फ़र्मेट का महान प्रमेय। आइए उजागर करें! फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सिद्ध हुआ? फार्म प्रमेय कैसा लगता है

पियरे फ़र्मेट, अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस के "अरिथमेटिक" को पढ़ते हुए और इसके कार्यों पर चिंतन करते हुए, छोटी टिप्पणियों के रूप में पुस्तक के हाशिये में अपने प्रतिबिंबों के परिणामों को लिखने की आदत थी। किताब के हाशिये पर डायोफैंटस की आठवीं समस्या के खिलाफ, फ़र्मेट ने लिखा: " इसके विपरीत, एक घन को दो घनों में, या एक द्विघात को दो द्विघातों में विघटित करना असंभव है, और सामान्य तौर पर, एक ही प्रतिपादक के साथ एक वर्ग से दो डिग्री बड़ा कोई अंश नहीं है। मैंने इसका वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण खोजा है, लेकिन ये क्षेत्र उसके लिए बहुत संकीर्ण हैं।» / ईटी बेल "गणित के निर्माता"। एम., 1979, पी. 69/. मैं आपके ध्यान में फार्म के प्रमेय का एक प्रारंभिक प्रमाण लाता हूं, जिसे कोई भी हाई स्कूल का छात्र समझ सकता है जो गणित का शौकीन है।

आइए हम डायोफैंटस समस्या पर फ़र्मेट की टिप्पणी की तुलना फ़र्मेट के महान प्रमेय के आधुनिक सूत्रीकरण से करें, जिसमें एक समीकरण का रूप है।
« समीकरण

एक्स एन + वाई एन = जेड एन(जहाँ n दो से बड़ा एक पूर्णांक है)

धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है»

कमेंट्री कार्य के साथ तार्किक संबंध में है, विषय के साथ विधेय के तार्किक संबंध के अनुरूप है। डायोफैंटस की समस्या से जो पुष्टि होती है, इसके विपरीत, फ़र्मेट की टिप्पणी द्वारा पुष्टि की जाती है।

फ़र्मेट की टिप्पणी की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: यदि तीन अज्ञात के साथ द्विघात समीकरण में पाइथागोरस संख्याओं के सभी त्रिगुणों के समुच्चय पर समाधान का एक अनंत सेट है, तो, इसके विपरीत, तीन अज्ञात के साथ एक समीकरण जो वर्ग से एक डिग्री अधिक है

समीकरण में डायोफैंटस की समस्या के साथ इसके संबंध का कोई संकेत भी नहीं है। इसके कथन के लिए प्रमाण की आवश्यकता होती है, लेकिन इसके तहत ऐसी कोई शर्त नहीं है जिससे यह पता चलता है कि इसका सकारात्मक पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है।

मुझे ज्ञात समीकरण के प्रमाण के वेरिएंट को निम्न एल्गोरिथम में घटाया गया है।

1. Fermat के प्रमेय के समीकरण को इसके निष्कर्ष के रूप में लिया जाता है, जिसकी वैधता को प्रमाण की सहायता से सत्यापित किया जाता है।
2. एक ही समीकरण कहा जाता है मूलवह समीकरण जिससे उसका प्रमाण आगे बढ़ना चाहिए।

नतीजतन, एक तनातनी का गठन किया गया था: " यदि समीकरण का धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है, तो धनात्मक पूर्णांकों में इसका कोई हल नहीं है"। तनातनी का प्रमाण जानबूझकर गलत है और किसी भी अर्थ से रहित है। लेकिन यह विरोधाभासी तरीके से साबित होता है।

• आप जिस समीकरण को सिद्ध करना चाहते हैं, उसके विपरीत अनुमान लगाया जाता है। इसे मूल समीकरण का खंडन नहीं करना चाहिए, लेकिन यह इसके विपरीत है। बिना सबूत के जो स्वीकार किया जाता है उसे साबित करने का कोई मतलब नहीं है, और बिना सबूत के स्वीकार करने के लिए जो साबित करने की आवश्यकता है उसे स्वीकार करने का कोई मतलब नहीं है।
• स्वीकृत धारणा के आधार पर, यह साबित करने के लिए बिल्कुल सही गणितीय संचालन और क्रियाएं की जाती हैं कि यह मूल समीकरण का खंडन करता है और गलत है।

इसलिए, अब 370 वर्षों के लिए, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का प्रमाण गणित के विशेषज्ञों और शौकीनों का एक अवास्तविक सपना बना हुआ है।

मैंने समीकरण को प्रमेय के निष्कर्ष के रूप में लिया, और डायोफैंटस की आठवीं समस्या और इसके समीकरण को प्रमेय की स्थिति के रूप में लिया।

"यदि समीकरण एक्स 2 + वाई 2 = जेड 2 (1) पाइथागोरस संख्याओं के सभी त्रिगुणों के समुच्चय पर समाधान का एक अनंत सेट है, फिर, इसके विपरीत, समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहां एन> 2 (2) धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय पर कोई हल नहीं है।"

सबूत।

ए)हर कोई जानता है कि पाइथागोरस संख्याओं के सभी त्रिगुणों के समुच्चय पर समीकरण (1) के समाधान का एक अनंत सेट है। आइए हम सिद्ध करें कि पाइथागोरस संख्याओं का एक भी त्रिगुण जो समीकरण (1) का हल है, समीकरण (2) का हल नहीं है।

समानता की उत्क्रमणीयता के नियम के आधार पर, समीकरण (1) के पक्षों को आपस में बदल दिया जाता है। पाइथागोरस संख्या (जेड, एक्स, वाई) एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और वर्गों के रूप में व्याख्या की जा सकती है (एक्स 2, वाई 2, जेड 2) इसकी कर्ण और पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के रूप में व्याख्या की जा सकती है।

समीकरण (1) के वर्गों के वर्गों को मनमानी ऊंचाई से गुणा किया जाता है एच :

जेड 2 एच = एक्स 2 एच + वाई 2 एच (3)

समीकरण (3) की व्याख्या एक समानांतर चतुर्भुज के आयतन की समानता के रूप में दो समानांतर चतुर्भुजों के आयतन के योग के रूप में की जा सकती है।

माना तीन समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई एच = जेड :

जेड 3 = एक्स 2 जेड + वाई 2 जेड (4)

घन का आयतन दो समानांतर चतुर्भुजों के दो खंडों में विघटित होता है। घन के आयतन को अपरिवर्तित छोड़ दें, और पहले समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई को कम कर दें एक्स और दूसरे समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई को कम करें आप ... एक घन का आयतन दो घनों के आयतन के योग से अधिक होता है:

जेड 3> एक्स 3 + वाई 3 (5)

पाइथागोरस संख्याओं के त्रिगुणों के समुच्चय पर ( एक्स, वाई, जेड ) पर एन = 3 समीकरण (2) का कोई हल नहीं हो सकता। इसलिए, पाइथागोरस संख्याओं के सभी त्रिगुणों के समुच्चय पर, एक घन को दो घनों में विघटित करना असंभव है।

चलो समीकरण (3) में तीन समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई एच = जेड 2 :

जेड 2 जेड 2 = एक्स 2 जेड 2 + वाई 2 जेड 2 (6)

एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन दो समानांतर चतुर्भुजों के आयतन के योग में विघटित हो जाता है।
समीकरण (6) के बाएँ पक्ष को अपरिवर्तित छोड़ दें। इसके दाहिनी ओर ऊंचाई है जेड 2 कम करना एन एस पहले कार्यकाल में और अप करने के लिए दो पर दूसरे कार्यकाल में।

समीकरण (6) असमानता में बदल गया:

एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन दो समानांतर चतुर्भुजों के दो खंडों में विघटित होता है।

समीकरण (8) के बाएँ पक्ष को अपरिवर्तित छोड़ दें।
दाईं ओर ऊंचाई जेड एन-2 कम करना एक्स एन-2 पहले कार्यकाल में और घट कर वाई एन-2 दूसरे कार्यकाल में। समीकरण (8) असमानता में बदल जाता है:

जेड एन> एक्स एन + वाई एन

(9)

पाइथागोरस संख्याओं के त्रिगुणों के समुच्चय पर, समीकरण (2) का एक भी हल नहीं हो सकता।

इसलिए, सभी के लिए पाइथागोरस संख्याओं के सभी त्रिगुणों के समुच्चय पर एन> 2 समीकरण (2) का कोई हल नहीं है।

"पोस्टिनो चमत्कारी प्रमाण" प्राप्त किया, लेकिन केवल तीन गुना के लिए पाइथागोरस संख्या... यह है सबूतों के अभाव मेंऔर पी. फ़र्मेट के उससे इंकार करने का कारण।

बी)आइए हम सिद्ध करें कि समीकरण (2) का गैर-पायथागॉरियन संख्याओं के त्रिगुणों के समुच्चय पर कोई हल नहीं है, जो कि पाइथागोरस संख्याओं के मनमाने ढंग से लिए गए ट्रिपल के परिवार की विफलता है। जेड = 13, एक्स = 12, वाई = 5 और धनात्मक पूर्णांकों के एक मनमाना ट्रिपल का परिवार जेड = 21, एक्स = 19, वाई = 16

संख्याओं के दोनों त्रिक उनके परिवार के सदस्य हैं:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

परिवार के सदस्यों की संख्या (10) और (11), 13 बटा 12 और 21 बटा 20 के आधे गुणनफल के बराबर है, यानी 78 और 210.

परिवार के प्रत्येक सदस्य (10) में शामिल हैं जेड = 13 और चर एन एस तथा पर 13> एक्स> 0 , 13> वाई> 0 1

परिवार के प्रत्येक सदस्य (11) में शामिल हैं जेड = 21 और चर एन एस तथा पर जो पूर्णांकों का मान लेते हैं 21> एक्स> 0 , 21> वाई> 0 ... चर धीरे-धीरे कम हो जाते हैं 1 .

अनुक्रम (10) और (11) में संख्याओं के त्रिगुणों को तृतीय-डिग्री असमानताओं के अनुक्रम के रूप में दर्शाया जा सकता है:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

और चौथी डिग्री असमानताओं के रूप में:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

प्रत्येक असमानता की शुद्धता की पुष्टि संख्याओं को तीसरी और चौथी घातों तक बढ़ाने से होती है।

एक बड़ी संख्या के घन को छोटी संख्या के दो घनों में विघटित नहीं किया जा सकता है। यह दो छोटी संख्याओं के घनों के योग से या तो कम या अधिक होता है।

बड़ी संख्या के द्विघात को छोटी संख्या के दो द्विघातों में विघटित नहीं किया जा सकता है। यह छोटी संख्याओं के द्विघातों के योग से या तो कम या अधिक होता है।

घातांक में वृद्धि के साथ, वाम चरम असमानता को छोड़कर सभी असमानताओं का एक ही अर्थ है:

असमानताएं, उन सभी का एक ही अर्थ है: एक बड़ी संख्या की डिग्री एक ही घातांक के साथ दो से कम संख्याओं की शक्तियों के योग से अधिक होती है:

	13 एन> 12 एन + 12 एन; 13 एन> 12 एन + 11 एन; ...; 13 एन> 7 एन + 4 एन; ...; 13 एन> 1 एन + 1 एन	(12)
	21 एन> 20 एन + 20 एन; 21 एन> 20 एन + 19 एन; ...; ;…; 21 एन> 1 एन + 1 एन	(13)

अनुक्रमों का सबसे बायां पद (12) (13) सबसे कमजोर असमानता है। इसकी शुद्धता अनुक्रम की सभी बाद की असमानताओं की शुद्धता को निर्धारित करती है (12) के लिए एन> 8 और अनुक्रम (13) के लिए एन> 14 .

उनमें एक भी समानता नहीं हो सकती। सकारात्मक पूर्णांकों (21,19,16) का एक मनमाना ट्रिपल फ़र्मेट के महान प्रमेय के समीकरण (2) का समाधान नहीं है। यदि धनात्मक पूर्णांकों का मनमाने ढंग से लिया गया त्रिगुण समीकरण का हल नहीं है, तो धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय पर समीकरण का कोई हल नहीं है, जिसे हमें सिद्ध करना था।

साथ)डायोफैंटस समस्या पर फ़र्मेट की टिप्पणी में कहा गया है कि विघटित होना असंभव है " सामान्य तौर पर, वर्ग से अधिक कोई डिग्री नहीं, एक ही घातांक के साथ दो डिग्री से».

चुम्बनेएक वर्ग से अधिक डिग्री एक ही घातांक के साथ दो डिग्री में विघटित होना वास्तव में असंभव है। अनुपयुक्तवर्ग से अधिक डिग्री को एक ही घातांक के साथ दो डिग्री में विघटित किया जा सकता है।

धनात्मक पूर्णांकों का कोई मनमाना त्रिक (जेड, एक्स, वाई) एक परिवार से संबंधित हो सकता है, जिसके प्रत्येक सदस्य में एक स्थिर संख्या होती है जेड और दो संख्याएं . से कम जेड ... परिवार के प्रत्येक सदस्य को असमानता के रूप में दर्शाया जा सकता है, और सभी प्राप्त असमानताओं को असमानताओं के अनुक्रम के रूप में दर्शाया जा सकता है:

जेड एन< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 एन + 1 एन

(14)

असमानताओं का क्रम (14) उन असमानताओं से शुरू होता है जिनमें बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष से छोटा होता है, और उन असमानताओं पर समाप्त होता है जिनमें दायाँ पक्ष बाएँ पक्ष से छोटा होता है। बढ़ते घातांक के साथ एन> 2 अनुक्रम के दाईं ओर असमानताओं की संख्या (14) बढ़ जाती है। एक घातांक के साथ एन = के अनुक्रम के बाईं ओर की सभी असमानताएँ अपना अर्थ बदल देती हैं और अनुक्रम में असमानताओं के दाईं ओर असमानताओं का अर्थ लेती हैं (14)। सभी असमानताओं के घातांक में वृद्धि के परिणामस्वरूप, बायाँ भाग दाएँ पक्ष से बड़ा हो जाता है:

z k> (z-1) k + (z-1) k; z k> (z-1) k + (z-2) k; ...; जेड के> 2 के + 1 के; जेड के> 1 के + 1 के

(15)

प्रतिपादक में और वृद्धि के साथ एन> के कोई भी असमानता अपना अर्थ नहीं बदलती और न ही समानता में बदल जाती है। इस आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि किसी भी मनमाने ढंग से सकारात्मक पूर्णांकों का तीन गुना लिया जाता है (जेड, एक्स, वाई) पर एन> 2 , जेड> एक्स , z> y

धनात्मक पूर्णांकों के एक मनमाना त्रिक में जेड एक मनमाने ढंग से बड़ी प्राकृतिक संख्या हो सकती है। उन सभी प्राकृत संख्याओं के लिए जो . से बड़ी नहीं हैं जेड , Fermat का अंतिम प्रमेय सिद्ध होता है।

डी)संख्या कितनी भी बड़ी क्यों न हो जेड , संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला में इसके पहले पूर्णांकों का एक बड़ा, लेकिन परिमित सेट होता है, और इसके बाद - पूर्णांकों का एक अनंत सेट होता है।

आइए हम सिद्ध करें कि प्राकृत संख्याओं का संपूर्ण अनंत समुच्चय . से बड़ा है जेड , संख्याओं के त्रिक बनाते हैं जो ग्रेट फ़र्मेट के प्रमेय के समीकरण का समाधान नहीं हैं, उदाहरण के लिए, धनात्मक पूर्णांकों का मनमाने ढंग से लिया गया ट्रिपल (जेड + 1, एक्स, वाई) , जिसमें जेड + 1> एक्स तथा जेड + 1> वाई घातांक के सभी मूल्यों के लिए एन> 2 ग्रेट फ़र्मेट के प्रमेय के समीकरण का हल नहीं है।

धनात्मक पूर्णांकों का एक मनमाना त्रिक (जेड + 1, एक्स, वाई) संख्याओं के त्रिगुणों के परिवार से संबंधित हो सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक सदस्य में एक स्थिर संख्या होती है जेड + 1 और दो नंबर एन एस तथा पर से कम भिन्न मान लेना जेड + 1 ... परिवार के सदस्यों को असमानताओं के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें स्थिर बायाँ भाग दाएँ पक्ष से कम या अधिक होता है। असमानताओं के अनुक्रम के रूप में असमानताओं को व्यवस्थित तरीके से व्यवस्थित किया जा सकता है:

प्रतिपादक में और वृद्धि के साथ एन> के अनंत तक, अनुक्रम में कोई भी असमानता (17) इसका अर्थ नहीं बदलती और समानता में बदल जाती है। क्रम (16) में, धनात्मक पूर्णांकों के एक मनमाना ट्रिपल से बनने वाली असमानता (जेड + 1, एक्स, वाई) , प्रपत्र में इसके दाईं ओर हो सकता है (जेड + 1) एन> एक्स एन + वाई एन या इसके बाएँ भाग में रूप में हो (जेड + 1) एन< x n + y n .

किसी भी स्थिति में, धनात्मक पूर्णांकों का त्रिक (जेड + 1, एक्स, वाई) पर एन> 2 , जेड + 1> एक्स , जेड + 1> वाई अनुक्रम में (16) एक असमानता है और यह एक समानता का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है, अर्थात, यह ग्रेट फ़र्मेट के प्रमेय के समीकरण के समाधान का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है।

शक्ति असमानताओं (16) के अनुक्रम की उत्पत्ति को समझना आसान और सरल है, जिसमें बाईं ओर अंतिम असमानता और दाईं ओर पहली असमानता विपरीत अर्थ की असमानताएं हैं। इसके विपरीत, स्कूली बच्चों, हाई स्कूल के छात्रों और हाई स्कूल के छात्रों के लिए यह समझना आसान और आसान नहीं है कि असमानताओं के अनुक्रम (17) से असमानताओं का एक क्रम कैसे बनता है (16), जिसमें सभी असमानताओं का एक ही अर्थ है .

अनुक्रम (16) में, असमानताओं की पूर्णांक डिग्री में 1 इकाई की वृद्धि, बाईं ओर की अंतिम असमानता को दाईं ओर विपरीत अर्थ की पहली असमानता में बदल देती है। इस प्रकार, अनुक्रम के नौवें पक्ष पर असमानताओं की संख्या घट जाती है, जबकि दाईं ओर असमानताओं की संख्या बढ़ जाती है। विपरीत अर्थ की अंतिम और पहली शक्ति असमानताओं के बीच, आवश्यक रूप से एक शक्ति समानता है। इसकी घात पूर्णांक नहीं हो सकती है, क्योंकि दो क्रमागत प्राकृत संख्याओं के बीच केवल गैर-पूर्णांक होते हैं। प्रमेय की परिकल्पना द्वारा एक गैर-पूर्णांक डिग्री की शक्ति समानता को समीकरण (1) का समाधान नहीं माना जा सकता है।

यदि क्रम में (16) हम डिग्री को 1 इकाई बढ़ाते रहें, तो इसके बाईं ओर की अंतिम असमानता दाईं ओर के विपरीत अर्थ की पहली असमानता में बदल जाएगी। नतीजतन, एक भी बाईं ओर की असमानता नहीं रहती है और केवल दाईं ओर की असमानताएं रहती हैं, जो बढ़ती हुई शक्ति असमानताओं (17) के अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करती हैं। उनकी पूरी डिग्री में 1 इकाई की और वृद्धि केवल इसकी शक्ति असमानताओं को मजबूत करती है और पूरी तरह से समानता के प्रकट होने की संभावना को स्पष्ट रूप से बाहर करती है।

इसलिए, सामान्य तौर पर, शक्ति असमानताओं (17) के अनुक्रम की प्राकृतिक संख्या (z + 1) की कोई भी पूर्णांक शक्ति एक ही घातांक के साथ दो पूर्णांक घातों में विघटित नहीं की जा सकती है। इसलिए, प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट पर समीकरण (1) का कोई समाधान नहीं है, जिसे साबित करना आवश्यक था।

नतीजतन, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय इसकी सभी सार्वभौमिकता में सिद्ध होता है:

• खंड ए में) सभी त्रिगुणों के लिए (जेड, एक्स, वाई) पाइथागोरस संख्याएं (फर्मेट की खोज वास्तव में अद्भुत प्रमाण है),
• खंड बी में) किसी भी ट्रिपल के परिवार के सभी सदस्यों के लिए (जेड, एक्स, वाई) पाइथागोरस संख्या,
• अनुभाग सी में) संख्याओं के सभी त्रिगुणों के लिए (जेड, एक्स, वाई) , बड़ी संख्या नहीं जेड
• खंड डी में) संख्याओं के सभी त्रिगुणों के लिए (जेड, एक्स, वाई) संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला।

परिवर्तन 09/05/2010 को किए गए थे।

विरोधाभास से कौन से प्रमेय सिद्ध हो सकते हैं और क्या नहीं?

गणितीय शब्दों के व्याख्यात्मक शब्दकोश में, विपरीत प्रमेय के प्रमाण के लिए एक परिभाषा दी गई है, व्युत्क्रम प्रमेय के विपरीत।

"विरोधाभास द्वारा प्रमाण एक प्रमेय (प्रस्ताव) को सिद्ध करने की एक विधि है, जिसमें प्रमेय को स्वयं सिद्ध नहीं करना है, बल्कि इसके समकक्ष (समकक्ष), व्युत्क्रम (विपरीत के विपरीत) प्रमेय के विपरीत है। जब प्रत्यक्ष प्रमेय को सिद्ध करना कठिन होता है, तब विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग किया जाता है, और विपरीत को सिद्ध करना आसान होता है। विरोधाभास से सिद्ध होने पर, प्रमेय के निष्कर्ष को उसके निषेधन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और तर्क द्वारा कोई व्यक्ति शर्त के निषेध पर पहुंच जाता है, अर्थात। एक विरोधाभास के लिए, विपरीत के लिए (जो दिया गया है उसके विपरीत; गैरबराबरी में यह कमी प्रमेय को सिद्ध करती है। "

विरोधाभास द्वारा प्रमाण गणित में बहुत आम है। विरोधाभास द्वारा प्रमाण अपवर्जित तीसरे के कानून पर आधारित है, जो कि दो कथनों (कथनों) A और A (नकार A) में से एक सत्य है और दूसरा असत्य है।"/ गणितीय शर्तों का व्याख्यात्मक शब्दकोश: शिक्षकों के लिए एक गाइड / ओ। वी। मंटुरोव [और अन्य]; ईडी। वी। ए। डिटकिना।- एम।: शिक्षा, 1965.- 539 पी।: बीमार।-सी। 112 /।

यह खुले तौर पर घोषित करना बेहतर नहीं होगा कि विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने की विधि गणितीय विधि नहीं है, हालांकि इसका उपयोग गणित में किया जाता है, कि यह एक तार्किक विधि है और तर्क से संबंधित है। क्या यह कहना स्वीकार्य है कि विरोधाभास द्वारा एक सबूत "जब प्रत्यक्ष प्रमेय को साबित करना मुश्किल होता है" का उपयोग किया जाता है, जब वास्तव में इसका उपयोग तब किया जाता है जब और इसके लिए कोई विकल्प नहीं होता है?

एक दूसरे से प्रत्यक्ष और प्रतिलोम प्रमेयों के संबंध का लक्षण वर्णन विशेष ध्यान देने योग्य है। "किसी दिए गए प्रमेय (या किसी दिए गए प्रमेय के लिए) के लिए विलोम प्रमेय एक प्रमेय है जिसमें शर्त निष्कर्ष है, और निष्कर्ष दिए गए प्रमेय की शर्त है। विलोम प्रमेय के संबंध में इस प्रमेय को प्रत्यक्ष प्रमेय (मूल) कहा जाता है। साथ ही, विलोम प्रमेय का विलोम प्रमेय दिया गया प्रमेय होगा; इसलिए, प्रत्यक्ष और विलोम प्रमेय परस्पर प्रतिलोम कहलाते हैं। यदि प्रत्यक्ष (दिया गया) प्रमेय सत्य है, तो विलोम प्रमेय हमेशा सत्य नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि एक चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है, तो उसके विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं (प्रत्यक्ष प्रमेय)। यदि चतुर्भुज में विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है - यह सत्य नहीं है, अर्थात विलोम प्रमेय सत्य नहीं है।"/ गणितीय शर्तों का व्याख्यात्मक शब्दकोश: शिक्षकों के लिए एक गाइड / ओ। वी। मंटुरोव [और अन्य]; ईडी। वी। ए। डिटकिना।- एम।: शिक्षा, 1965.- 539 पी।: बीमार।-सी। 261 /।

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेय के बीच संबंध की यह विशेषता इस तथ्य को ध्यान में नहीं रखती है कि प्रत्यक्ष प्रमेय की स्थिति को बिना प्रमाण के दिया जाता है, ताकि इसकी शुद्धता की गारंटी न हो। विलोम प्रमेय की स्थिति को दी गई के रूप में नहीं लिया जाता है, क्योंकि यह सिद्ध प्रत्यक्ष प्रमेय का निष्कर्ष है। इसकी शुद्धता प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण से सिद्ध होती है। प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेय की शर्तों के बीच यह आवश्यक तार्किक अंतर इस प्रश्न में निर्णायक साबित होता है कि कौन से प्रमेय विरोधाभास द्वारा तार्किक विधि द्वारा सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं।

आइए मान लें कि मन में एक प्रत्यक्ष प्रमेय है, जिसे सामान्य गणितीय विधि द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, लेकिन यह कठिन है। आइए इसे सामान्य रूप में संक्षिप्त रूप में निम्नानुसार तैयार करें: से एचाहिए इ ... प्रतीक ए प्रमेय की दी गई शर्त, बिना प्रमाण के स्वीकृत, मायने रखती है। प्रतीक इ प्रमेय के निष्कर्ष का अर्थ, जिसे सिद्ध करना आवश्यक है।

हम प्रत्यक्ष प्रमेय को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करेंगे, तार्किकतरीका। एक प्रमेय को सिद्ध करने के लिए एक तार्किक विधि का उपयोग किया जाता है जिसमें गणितीय नहींहालत, और तार्किकशर्त। यह प्राप्त किया जा सकता है यदि प्रमेय की गणितीय स्थिति से एचाहिए इ , विपरीत स्थिति के साथ पूरक से एयह पालन नहीं करता है इ .

नतीजतन, हमें नए प्रमेय की तार्किक विरोधाभासी स्थिति मिली, जिसमें दो भाग शामिल हैं: से एचाहिए इ तथा से एयह पालन नहीं करता है इ ... नए प्रमेय की परिणामी स्थिति बहिष्कृत मध्य के तार्किक नियम से मेल खाती है और विरोधाभासी विधि द्वारा प्रमेय के प्रमाण से मेल खाती है।

कानून के अनुसार, एक विरोधाभासी स्थिति का एक हिस्सा झूठा है, इसका दूसरा हिस्सा सच है, और तीसरे को बाहर रखा गया है। विरोधाभास द्वारा प्रमाण का अपना कार्य है और यह स्थापित करना है कि प्रमेय की स्थिति के दो भागों में से कौन सा भाग गलत है। जैसे ही शर्त का झूठा हिस्सा निर्धारित किया जाता है, यह निर्धारित किया जाएगा कि दूसरा हिस्सा सही हिस्सा है, और तीसरे को बाहर रखा गया है।

गणितीय शब्दों के व्याख्यात्मक शब्दकोश के अनुसार, "सबूत तर्क है, जिसके दौरान किसी भी कथन (निर्णय, कथन, प्रमेय) की सच्चाई या असत्यता स्थापित होती है"... सबूत विरोधाभास सेतर्क है, जिसके दौरान इसे स्थापित किया जाता है असत्यता(बेतुकापन) से उत्पन्न निष्कर्ष की झूठाप्रमेय की शर्तों को सिद्ध किया जा रहा है।

दिया गया: से एचाहिए इऔर से एयह पालन नहीं करता है इ .

साबित करें: से एचाहिए इ .

सबूत: प्रमेय की तार्किक स्थिति में एक विरोधाभास होता है जिसे हल करने की आवश्यकता होती है। शर्त के अंतर्विरोध को इसका हल प्रमाण और उसके परिणाम में खोजना होगा। परिणाम निर्दोष और त्रुटि रहित तर्क के साथ गलत साबित होता है। तार्किक रूप से सही तर्क के साथ, गलत निष्कर्ष का कारण केवल एक विरोधाभासी स्थिति हो सकती है: से एचाहिए इ तथा से एयह पालन नहीं करता है इ .

इसमें संदेह की कोई छाया नहीं है कि स्थिति का एक हिस्सा झूठा है, जबकि इस मामले में दूसरा सच है। स्थिति के दोनों भागों की उत्पत्ति समान है, डेटा के रूप में स्वीकार किया जाता है, माना जाता है, समान रूप से संभव है, समान रूप से स्वीकार्य, आदि। तार्किक तर्क के दौरान, एक भी तार्किक विशेषता नहीं पाई गई जो स्थिति के एक हिस्से को दूसरे से अलग कर सके। . इसलिए, यह उसी हद तक हो सकता है से एचाहिए इ और शायद से एयह पालन नहीं करता है इ ... कथन से एचाहिए इ शायद झूठा, फिर बयान से एयह पालन नहीं करता है इ सच होगा। कथन से एयह पालन नहीं करता है इ गलत हो सकता है, तो बयान से एचाहिए इ सच होगा।

नतीजतन, विरोधाभास द्वारा प्रत्यक्ष प्रमेय को साबित करना असंभव है।

अब हम उसी प्रत्यक्ष प्रमेय को सामान्य गणितीय विधि से सिद्ध करेंगे।

दिया गया: ए .

साबित करें: से एचाहिए इ .

सबूत।

1. से एचाहिए बी

2. से बीचाहिए वी (पहले सिद्ध प्रमेय द्वारा))।

3. से वीचाहिए जी (पहले सिद्ध प्रमेय द्वारा)।

4. से जीचाहिए डी (पहले सिद्ध प्रमेय द्वारा)।

5. से डीचाहिए इ (पहले सिद्ध प्रमेय द्वारा)।

पारगमन के नियम के आधार पर, से एचाहिए इ ... प्रत्यक्ष प्रमेय सामान्य विधि से सिद्ध होता है।

माना कि सिद्ध प्रत्यक्ष प्रमेय में सही विलोम प्रमेय है: से इचाहिए ए .

आइए इसे हमेशा की तरह साबित करें गणितीयतरीका। विलोम प्रमेय के प्रमाण को गणितीय संक्रियाओं के एल्गोरिथम के रूप में प्रतीकात्मक रूप से व्यक्त किया जा सकता है।

दिया गया: इ

साबित करें: से इचाहिए ए .

सबूत।

1. से इचाहिए डी

2. से डीचाहिए जी (पहले सिद्ध किए गए विलोम प्रमेय द्वारा)।

3. से जीचाहिए वी (पहले सिद्ध किए गए विलोम प्रमेय द्वारा)।

4. से वीयह पालन नहीं करता है बी (विपरीत प्रमेय सत्य नहीं है)। इसीलिए से बीयह पालन नहीं करता है ए .

इस स्थिति में, विलोम प्रमेय के गणितीय प्रमाण को जारी रखने का कोई मतलब नहीं है। स्थिति का कारण तार्किक है। गलत विलोम प्रमेय को किसी भी चीज़ से बदलना असंभव है। नतीजतन, इस विलोम प्रमेय को सामान्य गणितीय विधि द्वारा सिद्ध नहीं किया जा सकता है। इस विलोम प्रमेय को विरोधाभास की विधि से सिद्ध करने की पूरी आशा है।

इसे विरोधाभासी विधि से सिद्ध करने के लिए, इसकी गणितीय स्थिति को एक तार्किक विरोधाभासी स्थिति से बदलना आवश्यक है, जिसके अर्थ में दो भाग होते हैं - असत्य और सत्य।

विलोम प्रमेयराज्य: से इयह पालन नहीं करता है ए ... उसकी हालत इ , जिससे निष्कर्ष निकलता है ए , सामान्य गणितीय विधि द्वारा प्रत्यक्ष प्रमेय को सिद्ध करने का परिणाम है। इस शर्त को बनाए रखा जाना चाहिए और बयान के साथ पूरक होना चाहिए से इचाहिए ए ... जोड़ के परिणामस्वरूप, नए विलोम प्रमेय की एक विरोधाभासी स्थिति प्राप्त होती है: से इचाहिए ए तथा से इयह पालन नहीं करता है ए ... इस पर आधारित तर्क मेंविरोधाभासी स्थिति, विपरीत प्रमेय को सही के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है तार्किककेवल तर्क, और केवल, तार्किकविरोधाभास विधि द्वारा। विरोधाभास द्वारा प्रमाण में, कोई भी गणितीय क्रिया और संचालन तार्किक लोगों के अधीन होते हैं और इसलिए गिनती नहीं करते हैं।

विरोधाभासी बयान के पहले भाग में से इचाहिए ए शर्त इ प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण द्वारा सिद्ध किया गया था। दूसरे भाग में से इयह पालन नहीं करता है ए शर्त इ बिना प्रमाण के मान लिया गया और स्वीकार कर लिया गया। उनमें से कुछ एक झूठा है और दूसरा सच है। यह साबित करना आवश्यक है कि उनमें से कौन सा झूठा है।

हम सही के माध्यम से साबित करते हैं तार्किकतर्क करते हैं और पाते हैं कि इसका परिणाम एक गलत, बेतुका निष्कर्ष है। झूठे तार्किक निष्कर्ष का कारण प्रमेय की विरोधाभासी तार्किक स्थिति है, जिसमें दो भाग होते हैं - असत्य और सत्य। केवल एक कथन असत्य भाग हो सकता है से इयह पालन नहीं करता है ए , जिसमें इ बिना प्रमाण के स्वीकार कर लिया गया। यह इस तरह से अलग है इ अनुमोदन से इचाहिए ए , जो प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण से सिद्ध होता है।

इसलिए, निम्नलिखित कथन सत्य है: से इचाहिए ए , साबित करने के लिए आवश्यक के रूप में।

उत्पादन: केवल विलोम प्रमेय एक तार्किक विधि द्वारा विरोधाभास द्वारा सिद्ध होता है, जिसमें एक गणितीय विधि द्वारा प्रत्यक्ष प्रमेय सिद्ध होता है और जिसे गणितीय विधि द्वारा सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

परिणामी निष्कर्ष ग्रेट फ़र्मेट के प्रमेय के विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि के संबंध में एक असाधारण महत्व प्राप्त करता है। इसे सिद्ध करने के अधिकांश प्रयास सामान्य गणितीय पद्धति पर नहीं, बल्कि विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने की तार्किक पद्धति पर आधारित होते हैं। विल्स के महान फ़र्मेट प्रमेय का प्रमाण कोई अपवाद नहीं है।

दिमित्री अबरारोव ने अपने लेख "फर्मेट्स थ्योरम: द फेनोमेनन ऑफ विल्स प्रूफ्स" में विल्स द्वारा ग्रेट फर्मेट प्रमेय के प्रमाण पर एक टिप्पणी प्रकाशित की। एब्रारोव के अनुसार, जर्मन गणितज्ञ गेरहार्ड फ्रे (बी। 1944) द्वारा एक उल्लेखनीय खोज की मदद से विल्स ने ग्रेट फ़र्मेट के प्रमेय को साबित किया, जिन्होंने फ़र्मेट के समीकरण के संभावित समाधान को जोड़ा। एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहां एन> 2 , दूसरे के साथ, उससे बिल्कुल अलग, समीकरण। यह नया समीकरण एक विशेष वक्र द्वारा दिया गया है (जिसे फ्रे अण्डाकार वक्र कहा जाता है)। फ्रे का वक्र एक बहुत ही सरल रूप के समीकरण द्वारा दिया गया है:
.

"अर्थात्, फ्रे ने हर समाधान का मिलान किया (ए, बी, सी)फ़र्मेट का समीकरण, अर्थात् संबंध को संतुष्ट करने वाली संख्याएँ ए एन + बी एन = सी एनवक्र के ऊपर। इस मामले में, महान फ़र्मेट का प्रमेय यहाँ से अनुसरण करेगा।(उद्धरण: अबरारोव डी। "फर्मेट्स थ्योरम: द फेनोमेनन ऑफ विल्स प्रूफ")

दूसरे शब्दों में, गेरहार्ड फ्रे ने सुझाव दिया कि महान फ़र्मेट के प्रमेय का समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहां एन> 2 , सकारात्मक पूर्णांकों में समाधान है। ये समाधान, फ्रे की धारणा के अनुसार, उनके समीकरण के समाधान हैं
वाई 2 + एक्स (एक्स - ए एन) (वाई + बी एन) = 0 , जो इसके अण्डाकार वक्र द्वारा दिया गया है।

एंड्रयू विल्स ने फ्रे द्वारा और इसकी मदद से इस उल्लेखनीय खोज को स्वीकार किया गणितीयविधि ने साबित कर दिया कि यह खोज, यानी फ्रे अण्डाकार वक्र मौजूद नहीं है। इसलिए, कोई समीकरण और उसके समाधान नहीं हैं, जो एक गैर-मौजूद अण्डाकार वक्र द्वारा दिए गए हैं। इसलिए, विल्स को इस निष्कर्ष को स्वीकार करना चाहिए था कि ग्रेट फ़र्मेट के प्रमेय और फ़र्मेट के प्रमेय का समीकरण स्वयं मौजूद नहीं है। हालांकि, उन्होंने अधिक विनम्र निष्कर्ष निकाला कि ग्रेट फर्मेट के प्रमेय के समीकरण का सकारात्मक पूर्णांक में कोई समाधान नहीं है।

यह एक अकाट्य तथ्य हो सकता है कि विल्स ने एक धारणा को स्वीकार किया जो कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय द्वारा बताए गए अर्थ के बिल्कुल विपरीत है। यह विल्स को फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को विरोधाभास से साबित करने के लिए बाध्य करता है। हम उसके उदाहरण का अनुसरण करेंगे और देखेंगे कि इस उदाहरण से क्या निकलता है।

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय में कहा गया है कि समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहां एन> 2 , धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण की तार्किक विधि के अनुसार, इस कथन को संरक्षित किया जाता है, बिना प्रमाण के दिया जाता है, और फिर अर्थ में विपरीत कथन के साथ पूरक किया जाता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहां एन> 2 , सकारात्मक पूर्णांकों में समाधान है।

कथित बयान भी बिना सबूत के दिए गए के रूप में स्वीकार किया जाता है। तर्क के मूल नियमों की दृष्टि से माने जाने वाले दोनों कथन समान रूप से मान्य, समान और समान रूप से संभव हैं। सही तर्क के माध्यम से, यह स्थापित करना आवश्यक है कि उनमें से कौन सा असत्य है, ताकि यह स्थापित किया जा सके कि दूसरा कथन सत्य है।

सही तर्क एक झूठे, बेतुके निष्कर्ष के साथ समाप्त होता है, जिसका तार्किक कारण केवल प्रमेय के सिद्ध होने की विरोधाभासी स्थिति हो सकती है, जिसमें सीधे विपरीत अर्थ के दो भाग होते हैं। वे बेतुके निष्कर्ष के तार्किक कारण थे, विरोधाभास द्वारा प्रमाण का परिणाम।

हालांकि, तार्किक रूप से सही तर्क के दौरान, एक भी संकेत नहीं मिला, जिससे यह स्थापित करना संभव हो सके कि कौन सा विशेष कथन गलत है। यह कथन हो सकता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहां एन> 2 , सकारात्मक पूर्णांकों में समाधान है। उसी आधार पर, यह कथन हो सकता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहां एन> 2 , धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

तर्क के परिणामस्वरूप, केवल एक ही निष्कर्ष हो सकता है: फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय विरोधाभास द्वारा सिद्ध नहीं किया जा सकता है.

यह एक पूरी तरह से अलग मामला होगा यदि फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय एक विलोम प्रमेय था जिसमें सामान्य गणितीय विधि द्वारा सिद्ध एक प्रत्यक्ष प्रमेय होता है। इस मामले में, यह विरोधाभास द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। और चूंकि यह एक प्रत्यक्ष प्रमेय है, इसलिए इसका प्रमाण विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने की तार्किक विधि पर नहीं, बल्कि सामान्य गणितीय पद्धति पर आधारित होना चाहिए।

आधुनिक रूसी गणितज्ञों में सबसे प्रसिद्ध डी. अबरारोव के अनुसार, शिक्षाविद वी. आई. अर्नोल्ड ने विल्स के प्रमाण पर प्रतिक्रिया व्यक्त की "सक्रिय रूप से संदेहपूर्ण।" शिक्षाविद ने कहा: "यह वास्तविक गणित नहीं है - वास्तविक गणित भौतिक विज्ञान के संबंध में ज्यामितीय और मजबूत है।" (उद्धरण: अबरारोव डी। "फर्मेट का प्रमेय: विल्स के प्रमाण की घटना।" शिक्षाविद का बयान विल्स के बहुत सार को व्यक्त करता है ग्रेट फ़र्मेट के प्रमेय का गैर-गणितीय प्रमाण।

विरोधाभास से यह साबित करना असंभव है कि ग्रेट फ़र्मेट के प्रमेय के समीकरण का कोई समाधान नहीं है, और न ही इसका कोई समाधान है। विल्स की गलती गणितीय नहीं है, बल्कि तार्किक है - विरोधाभास द्वारा सबूत का उपयोग जहां इसका उपयोग समझ में नहीं आता है और ग्रेट फर्मेट के प्रमेय को साबित नहीं करता है।

फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सामान्य गणितीय पद्धति का उपयोग करके सिद्ध नहीं होता है, यदि यह दिया गया हो: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहां एन> 2 , का धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है, और यदि इसमें सिद्ध करना आवश्यक है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहां एन> 2 , धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है। इस रूप में, कोई प्रमेय नहीं है, बल्कि अर्थ से रहित एक तनातनी है।

ध्यान दें।एक मंच पर बीटीएफ के मेरे सबूत पर चर्चा की गई। ट्रोटिल के योगदानकर्ताओं में से एक, संख्या सिद्धांत में एक विशेषज्ञ, ने निम्नलिखित आधिकारिक बयान दिया जिसका शीर्षक था: "मिरगोरोडस्की ने क्या किया की एक संक्षिप्त रीटेलिंग।" मैं इसे शब्दशः उद्धृत करता हूं:

« ए। उन्होंने सिद्ध किया कि यदि जेड 2 = एक्स 2 + वाई , फिर जेड एन> एक्स एन + वाई एन ... यह एक सर्वविदित और काफी स्पष्ट तथ्य है।

वी उन्होंने दो त्रिक - पाइथागोरस और गैर-पाइथागोरियन लिए और सरल खोज से दिखाया कि ट्रिपल (78 और 210 टुकड़े) के एक विशिष्ट, विशिष्ट परिवार के लिए, बीटीएफ पूरा हो गया है (और केवल उसके लिए)।

साथ। और फिर लेखक इस तथ्य को छोड़ देता है कि से < बाद की डिग्री में हो सकता है = , न सिर्फ़ > ... एक साधारण प्रति उदाहरण - संक्रमण एन = 1 वी एन = 2 पाइथागोरस ट्रिपलेट में।

डी। यह बिंदु बीटीएफ के प्रमाण में कुछ भी महत्वपूर्ण नहीं जोड़ता है। निष्कर्ष: बीटीएफ साबित नहीं हुआ है।"

मैं उनके निष्कर्ष बिंदु पर बिंदुवार विचार करूंगा।

ए।यह पाइथागोरस संख्याओं के ट्रिपल के पूरे अनंत सेट के लिए बीटीएफ साबित हुआ। ज्यामितीय विधि द्वारा सिद्ध, जैसा कि मेरा मानना ​​​​है, मेरे द्वारा खोजा नहीं गया था, लेकिन फिर से खोजा गया था। और यह खोजा गया था, जैसा कि मेरा मानना ​​​​है, पी। फ़र्मेट ने स्वयं। यह वह था जो फ़र्मेट के मन में हो सकता था जब उन्होंने लिखा था:

"मैंने इसका वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण खोजा है, लेकिन ये क्षेत्र उसके लिए बहुत संकीर्ण हैं।" यह मेरी धारणा इस तथ्य पर आधारित है कि डायोफैंटस समस्या में, जिसके खिलाफ, पुस्तक के हाशिये में, फ़र्मेट ने लिखा है, हम डायोफैंटाइन समीकरण के समाधान के बारे में बात कर रहे हैं, जो पाइथागोरस संख्याओं के ट्रिपल हैं।

पाइथागोरस संख्याओं के त्रिगुणों का एक अनंत सेट डायोफैटिक समीकरण के समाधान हैं, और फ़र्मेट के प्रमेय में, इसके विपरीत, कोई भी समाधान फ़र्मेट के प्रमेय के समीकरण का समाधान नहीं हो सकता है। और फ़र्मेट का वास्तव में चमत्कारी प्रमाण इस तथ्य से सीधे संबंधित है। बाद में Fermat अपने प्रमेय को सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय तक बढ़ा सका। सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर, BTF "असाधारण सुंदर प्रमेयों के समुच्चय" से संबंधित नहीं है। यह मेरी धारणा है, जिसे सिद्ध या अस्वीकृत करना असंभव है। इसे स्वीकार और अस्वीकार दोनों तरह से किया जा सकता है।

वीइस बिंदु पर, मैं साबित करता हूं कि मनमाने ढंग से लिए गए पाइथागोरियन ट्रिपलेट ऑफ़ नंबर्स का परिवार और बीटीएफ नंबरों के मनमाने ढंग से लिए गए गैर-पायथागॉरियन ट्रिपलेट का परिवार संतुष्ट है। यह बीटीएफ के मेरे सबूत में एक आवश्यक, लेकिन अपर्याप्त और मध्यवर्ती लिंक है। . पाइथागोरस संख्याओं के त्रिक के परिवार और गैर-पायथागॉरियन संख्याओं के त्रिक के परिवार के उदाहरण मैंने विशिष्ट उदाहरणों के अर्थ में लिए हैं जो समान अन्य उदाहरणों के अस्तित्व को मानते हैं और बाहर नहीं करते हैं।

ट्रोटिल का दावा है कि मैंने "एक साधारण खोज से दिखाया कि ट्रिपल (78 और 210 टुकड़े) के एक विशिष्ट परिवार के लिए बीटीएफ पूरा हो गया है (और केवल इसके लिए) नींव के बिना है। वह इस तथ्य का खंडन नहीं कर सकता कि मैं पाइथागोरस और गैर-पायथागॉरियन ट्रिपल के अन्य उदाहरण भी ले सकता हूं ताकि एक और दूसरे ट्रिपल के विशिष्ट विशिष्ट परिवार को प्राप्त किया जा सके।

मैं जो भी त्रिगुणों की जोड़ी लेता हूं, समस्या को हल करने के लिए उनकी उपयुक्तता की जांच, मेरी राय में, केवल "सरल गणना" विधि द्वारा की जा सकती है। कोई अन्य विधि मुझे ज्ञात नहीं है और इसकी आवश्यकता नहीं है। अगर ट्रोटिल को यह पसंद नहीं है, तो उसे एक और तरीका सुझाना चाहिए था, जो उसे पसंद नहीं है। बदले में कुछ भी दिए बिना, "सरल पाशविक बल" की निंदा करना गलत है, जो इस मामले में अपूरणीय है।

साथ।मैंने छोड़ा = बीच< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение जेड 2 = एक्स 2 + वाई (1), जिसमें डिग्री एन> 2 — पूरा का पूरासकारात्मक संख्या। असमानताओं के बीच समानता से यह निम्नानुसार है अनिवार्यसमीकरण का विचार (1) गैर-पूर्णांक डिग्री के साथ एन> 2 ... ट्रोटिल काउंटिंग अनिवार्यअसमानताओं के बीच समानता का विचार वास्तव में मानता है ज़रूरीबीटीएफ के प्रमाण में, के लिए समीकरण (1) पर विचार अधूराडिग्री का मतलब एन> 2 ... मैंने इसे अपने लिए किया और पाया कि समीकरण (1) for अधूराडिग्री का मतलब एन> 2 तीन संख्याओं का हल है: जेड, (जेड-1), (जेड-1) एक गैर-पूर्णांक घातांक के साथ।

ग्रिगोरी पेरेलमैन। रेफ्यूसेनिक

वसीली मैक्सिमोव

अगस्त 2006 में, ग्रह के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों के नामों की घोषणा की गई, जिन्होंने सबसे प्रतिष्ठित फील्ड्स मेडल प्राप्त किया - नोबेल पुरस्कार का एक प्रकार का एनालॉग, जिसे गणितज्ञ, अल्फ्रेड नोबेल की सनक से वंचित थे। फील्ड्स मेडल - सम्मान के बैज के अलावा, पुरस्कार विजेताओं को पंद्रह हजार कनाडाई डॉलर का चेक दिया जाता है - हर चार साल में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस द्वारा प्रदान किया जाता है। इसकी स्थापना कनाडा के वैज्ञानिक जॉन चार्ल्स फील्ड्स ने की थी और इसे पहली बार 1936 में सम्मानित किया गया था। 1950 से, गणितीय विज्ञान के विकास में उनके योगदान के लिए स्पेन के राजा द्वारा नियमित रूप से फील्ड्स मेडल को व्यक्तिगत रूप से सम्मानित किया जाता रहा है। पुरस्कार के विजेता चालीस वर्ष से कम आयु के एक से चार वैज्ञानिक हो सकते हैं। चालीस गणितज्ञ पहले ही पुरस्कार प्राप्त कर चुके हैं, जिनमें से आठ रूसी हैं।

ग्रिगोरी पेरेलमैन। हेनरी पोंकारे।

2006 में, पुरस्कार विजेताओं में फ्रांसीसी वेंडेलिन वर्नर, ऑस्ट्रेलियाई टेरेंस ताओ और दो रूसी - आंद्रेई ओकुंकोव, जो संयुक्त राज्य अमेरिका में काम करते हैं, और सेंट पीटर्सबर्ग के एक वैज्ञानिक ग्रिगोरी पेरेलमैन थे। हालांकि, आखिरी क्षण में यह ज्ञात हो गया कि पेरेलमैन ने इस प्रतिष्ठित पुरस्कार से इनकार कर दिया था - जैसा कि आयोजकों ने घोषणा की, "सिद्धांत के कारणों के लिए।"

रूसी गणितज्ञ का ऐसा असाधारण कार्य उन लोगों के लिए आश्चर्य के रूप में नहीं आया जो उन्हें जानते थे। यह पहली बार नहीं है कि उन्होंने गणितीय पुरस्कारों से इनकार कर दिया है, अपने निर्णय को इस तथ्य से समझाते हुए कि उन्हें अपने नाम के आसपास गंभीर घटनाएं और अत्यधिक प्रचार पसंद नहीं है। दस साल पहले, 1996 में, पेरेलमैन ने इस तथ्य का हवाला देते हुए यूरोपीय गणितीय कांग्रेस से पुरस्कार को ठुकरा दिया था कि उन्होंने पुरस्कार के लिए नामित वैज्ञानिक समस्या पर काम पूरा नहीं किया था, और यह आखिरी बार नहीं था। ऐसा लगता है कि रूसी गणितज्ञ ने जनता की राय और वैज्ञानिक समुदाय के खिलाफ जाकर लोगों को विस्मित करना अपने जीवन का लक्ष्य बना लिया है।

ग्रिगोरी याकोवलेविच पेरेलमैन का जन्म 13 जून, 1966 को लेनिनग्राद में हुआ था। छोटी उम्र से ही वह सटीक विज्ञान के शौकीन थे, गणित के गहन अध्ययन के साथ प्रसिद्ध 239 वें माध्यमिक विद्यालय से शानदार ढंग से स्नातक की उपाधि प्राप्त की, कई गणितीय ओलंपियाड जीते: उदाहरण के लिए, 1982 में, सोवियत स्कूली बच्चों की एक टीम के हिस्से के रूप में, उन्होंने भाग लिया बुडापेस्ट में आयोजित अंतर्राष्ट्रीय गणितीय ओलंपियाड में। परीक्षा के बिना पेरेलमैन को लेनिनग्राद विश्वविद्यालय के यांत्रिकी और गणित के संकाय में नामांकित किया गया था, जहां उन्होंने उत्कृष्ट अध्ययन किया, सभी स्तरों पर गणितीय प्रतियोगिताओं में जीत जारी रखी। विश्वविद्यालय से सम्मान के साथ स्नातक होने के बाद, उन्होंने स्टेक्लोव गणितीय संस्थान की सेंट पीटर्सबर्ग शाखा में स्नातक विद्यालय में प्रवेश किया। इसके वैज्ञानिक सलाहकार प्रसिद्ध गणितज्ञ शिक्षाविद अलेक्जेंड्रोव थे। अपनी पीएचडी थीसिस का बचाव करने के बाद, ग्रिगोरी पेरेलमैन संस्थान में ज्यामिति और टोपोलॉजी की प्रयोगशाला में बने रहे। अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान के सिद्धांत पर उनका काम जाना जाता है, वह कई महत्वपूर्ण परिकल्पनाओं के प्रमाण खोजने में सक्षम थे। अग्रणी पश्चिमी विश्वविद्यालयों के कई प्रस्तावों के बावजूद, पेरेलमैन रूस में काम करना पसंद करते हैं।

उनकी सबसे बड़ी सफलता 2002 में प्रसिद्ध पोंकारे परिकल्पना का समाधान थी, जिसे 1904 में प्रकाशित किया गया था और तब से यह अप्रमाणित है। पेरेलमैन ने इस पर आठ साल तक काम किया। पोंकारे की परिकल्पना को सबसे महान गणितीय रहस्यों में से एक माना जाता था, और इसका समाधान गणितीय विज्ञान में सबसे महत्वपूर्ण उपलब्धि है: यह ब्रह्मांड की भौतिक और गणितीय नींव की समस्याओं में तुरंत अनुसंधान को आगे बढ़ाएगा। ग्रह पर सबसे प्रमुख दिमागों ने कई दशकों बाद ही इसके समाधान की भविष्यवाणी की, और कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स में क्ले इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमैटिक्स ने सहस्राब्दी की सात सबसे दिलचस्प अनसुलझी गणितीय समस्याओं में पोंकारे की समस्या को शामिल किया, जिनमें से प्रत्येक को एक मिलियन डॉलर का पुरस्कार देने का वादा किया गया था। (मिलेनियम प्राइज प्रॉब्लम्स)...

फ्रांसीसी गणितज्ञ हेनरी पोंकारे (1854-1912) द्वारा एक अनुमान (कभी-कभी एक समस्या कहा जाता है) इस प्रकार तैयार किया गया है: कोई भी बंद बस जुड़ा हुआ त्रि-आयामी स्थान त्रि-आयामी क्षेत्र के लिए होमियोमॉर्फिक है। स्पष्ट करने के लिए, एक उदाहरण उदाहरण का उपयोग करें: यदि आप एक सेब को रबर बैंड से लपेटते हैं, तो, सिद्धांत रूप में, टेप को खींचकर, आप सेब को एक बिंदु पर निचोड़ सकते हैं। यदि आप एक बैगेल को उसी टेप से लपेटते हैं, तो आप डोनट या रबर को फाड़े बिना इसे एक बिंदु तक निचोड़ नहीं सकते। इस संदर्भ में, सेब को "सिंगल कनेक्टेड" फिगर कहा जाता है, जबकि डोनट केवल कनेक्टेड नहीं होता है। लगभग एक सदी पहले, पोंकारे ने स्थापित किया कि द्वि-आयामी क्षेत्र बस जुड़ा हुआ है, और सुझाव दिया कि त्रि-आयामी क्षेत्र भी बस जुड़ा हुआ है। विश्व के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञ इस परिकल्पना को सिद्ध नहीं कर सके।

क्ले इंस्टीट्यूट के पुरस्कार के लिए अर्हता प्राप्त करने के लिए, पेरेलमैन को केवल वैज्ञानिक पत्रिकाओं में से एक में अपना समाधान प्रकाशित करने की आवश्यकता थी, और यदि दो साल के भीतर कोई भी अपनी गणना में कोई त्रुटि नहीं ढूंढ पाता है, तो समाधान को सही माना जाएगा। हालांकि, पेरेलमैन ने शुरू से ही नियमों से विचलित होकर लॉस एलामोस साइंस लेबोरेटरी के प्रीप्रिंट साइट पर अपने निर्णय को प्रकाशित किया। शायद उसे इस बात का डर था कि कहीं उसकी गणना में कोई गलती न हो जाए - गणित में भी ऐसी ही कहानी हो चुकी थी। 1994 में, अंग्रेजी गणितज्ञ एंड्रयू विल्स ने प्रसिद्ध फ़र्मेट के प्रमेय के समाधान का प्रस्ताव रखा, और कुछ महीनों बाद यह पता चला कि उनकी गणना में एक गलती हो गई थी (हालाँकि बाद में इसे ठीक कर दिया गया था, और सनसनी अभी भी हुई थी)। पोंकारे की परिकल्पना के प्रमाण का अभी भी कोई आधिकारिक प्रकाशन नहीं है - लेकिन पेरेलमैन की गणना की शुद्धता की पुष्टि करते हुए, ग्रह के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों की एक आधिकारिक राय है।

पोंकारे समस्या को ठीक करने के लिए ग्रिगोरी पेरेलमैन को फील्ड मेडल से सम्मानित किया गया था। लेकिन रूसी वैज्ञानिक ने उस पुरस्कार को ठुकरा दिया, जिसके वह निस्संदेह हकदार हैं। "ग्रेगरी ने मुझे बताया कि वह इस समुदाय के बाहर अंतरराष्ट्रीय गणितीय समुदाय से अलग-थलग महसूस करता है, और इसलिए एक पुरस्कार प्राप्त नहीं करना चाहता है," - मैड्रिड में एक प्रेस कॉन्फ्रेंस में, वर्ल्ड यूनियन ऑफ मैथेमेटिशियन (एचसीएम) के अध्यक्ष ने कहा। , अंग्रेज जॉन बॉल।

अफवाह यह है कि ग्रिगोरी पेरेलमैन पूरी तरह से विज्ञान छोड़ने जा रहे हैं: छह महीने पहले उन्होंने अपने मूल स्टेक्लोव गणितीय संस्थान को छोड़ दिया, और वे कहते हैं कि वह अब गणित में शामिल नहीं होंगे। शायद रूसी वैज्ञानिक का मानना ​​\u200b\u200bहै कि प्रसिद्ध परिकल्पना को साबित करने के बाद, उन्होंने विज्ञान के लिए वह सब कुछ किया जो वह कर सकते थे। वैसे, इस तरह के एक शानदार वैज्ञानिक और असाधारण व्यक्ति के विचार की ट्रेन के बारे में बात करने का कार्य कौन करेगा? .. पेरेलमैन किसी भी टिप्पणी से इनकार करते हैं, और उन्होंने द डेली टेलीग्राफ को बताया: "मैं कुछ भी नहीं कह सकता जो थोड़ा सा सार्वजनिक हित है।" हालांकि, प्रमुख वैज्ञानिक प्रकाशन उनके आकलन में एकमत थे जब उन्होंने बताया कि "ग्रिगोरी पेरेलमैन, पोंकारे के प्रमेय को हल करने के बाद, अतीत और वर्तमान की सबसे बड़ी प्रतिभाओं के बराबर खड़ा था।"

मासिक साहित्यिक पत्रकारिता पत्रिका और प्रकाशन गृह।

उस एंड्रयू विल्स को 2016 में अर्ध-स्थिर अण्डाकार वक्रों के लिए तानियामा-शिमुरा अनुमान के प्रमाण के लिए और इस परिकल्पना से निम्नलिखित फ़र्मेट के प्रमेय के प्रमाण के लिए एबेल पुरस्कार प्राप्त होगा। प्रीमियम वर्तमान में नॉक 6 मिलियन या लगभग 50 मिलियन रूबल है। विल्स के अनुसार, यह पुरस्कार उनके लिए "एक पूर्ण आश्चर्य" था।

फ़र्मेट की प्रमेय, जो 20 साल से भी अधिक समय पहले सिद्ध हुई थी, अभी भी गणितज्ञों का ध्यान आकर्षित करती है। आंशिक रूप से, यह इसके निर्माण के कारण है, जो एक स्कूली बच्चे के लिए भी समझ में आता है: साबित करें कि प्राकृतिक n> 2 के लिए गैर-शून्य पूर्णांकों के कोई त्रिगुण नहीं हैं जैसे कि a n + b n = c n। पियरे फ़र्मेट ने इस अभिव्यक्ति को डायोफैंटस के अंकगणित के हाशिये में लिखा, अद्भुत हस्ताक्षर के साथ "मुझे इसका [इस कथन का] वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण मिला है, लेकिन पुस्तक के हाशिये उसके लिए बहुत संकीर्ण हैं।" अधिकांश गणित की कहानियों के विपरीत, यह वास्तविक है।

पुरस्कार की प्रस्तुति Fermat के प्रमेय से संबंधित दस मनोरंजक कहानियों को याद करने का एक शानदार अवसर है।

1.

इससे पहले कि एंड्रयू विल्स ने फ़र्मेट के प्रमेय को सिद्ध किया, इसे एक परिकल्पना, यानी फ़र्मेट का अनुमान कहना अधिक सही था। मुद्दा यह है कि एक प्रमेय, परिभाषा के अनुसार, पहले से ही सिद्ध कथन है। हालांकि, किसी कारण से ऐसा नाम इस बयान पर अटका हुआ था।

2.

यदि हम Fermat के प्रमेय में n = 2 रखते हैं, तो ऐसे समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं। इन समाधानों को "पायथागॉरियन ट्रिपलेट्स" कहा जाता है। उन्हें यह नाम इसलिए मिला क्योंकि वे समकोण त्रिभुजों से मेल खाते हैं, जिनकी भुजाएँ ऐसे ही संख्याओं के समुच्चय द्वारा व्यक्त की जाती हैं। आप इन तीन सूत्रों (m 2 - n 2, 2mn, m 2 + n 2) का उपयोग करके पाइथागोरस त्रिक उत्पन्न कर सकते हैं। इन फ़ार्मुलों में m और n के विभिन्न मानों को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और परिणाम वे त्रिगुण होंगे जिनकी हमें आवश्यकता है। हालाँकि, यहाँ मुख्य बात यह सुनिश्चित करना है कि प्राप्त संख्याएँ शून्य से अधिक होंगी - लंबाई को ऋणात्मक संख्याओं के साथ व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

वैसे, यह देखना आसान है कि यदि पायथागॉरियन ट्रिपल में सभी संख्याओं को कुछ गैर-शून्य से गुणा किया जाता है, तो आपको एक नया पायथागॉरियन ट्रिपल मिलता है। इसलिए, उन त्रिगुणों का अध्ययन करना उचित है जिनमें कुल मिलाकर तीन संख्याओं का एक सामान्य भाजक नहीं है। हमने जिस योजना का वर्णन किया है वह हमें ऐसे सभी त्रिगुण प्राप्त करने की अनुमति देती है - यह अब एक साधारण परिणाम नहीं है।

3.

1 मार्च को, पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज की 1847 की बैठक में, दो गणितज्ञों - गेब्रियल लेम और ऑगस्टिन कॉची - ने घोषणा की कि वे एक उल्लेखनीय प्रमेय साबित करने के कगार पर हैं। उन्होंने सबूत के टुकड़े पोस्ट करके एक दौड़ लगाई। अधिकांश शिक्षाविद लंगड़े के पक्ष में थे, क्योंकि कॉची एक ठग, असहिष्णु धार्मिक कट्टर (और, निश्चित रूप से, एक बिल्कुल शानदार समवर्ती गणितज्ञ) था। हालांकि, मैच का अंत होना तय नहीं था - अपने दोस्त जोसेफ लिउविल के माध्यम से, जर्मन गणितज्ञ अर्न्स्ट कमर ने शिक्षाविदों को बताया कि कॉची और लेम के प्रमाणों में एक ही त्रुटि थी।

स्कूल में, यह साबित होता है कि किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड अद्वितीय है। दोनों गणितज्ञों का मानना ​​था कि यदि आप पहले से ही जटिल मामले में पूर्णांकों के अपघटन को देखें, तो यह गुण - विशिष्टता - संरक्षित रहेगा। हालाँकि, ऐसा नहीं है।

यह उल्लेखनीय है कि यदि हम केवल m + i n पर विचार करें, तो अपघटन अद्वितीय है। ऐसी संख्याओं को गाऊसी कहा जाता है। लेकिन लंगड़ा और कौची के काम के लिए, साइक्लोटोमिक क्षेत्रों में गुणनखंडन की आवश्यकता थी। उदाहरण के लिए, ये वे संख्याएँ हैं जिनमें m और n परिमेय हैं, और i ^ k = 1 के गुण को संतुष्ट करता है।

4.

n = 3 के लिए Fermat की प्रमेय का स्पष्ट ज्यामितीय अर्थ है। आइए कल्पना करें कि हमारे पास कई छोटे घन हैं। मान लीजिए हमने उनमें से दो बड़े घन एकत्र किए हैं। इस मामले में, निश्चित रूप से, पक्ष पूर्णांक होंगे। क्या ऐसे दो बड़े घनों को खोजना संभव है, जिन्हें उनके घटक छोटे घनों में अलग करके, हम उनसे एक बड़े घन को इकट्ठा कर सकें? फ़र्मेट का प्रमेय कहता है कि आप ऐसा कभी नहीं कर सकते। यह मज़ेदार है कि यदि आप तीन घनों के लिए एक ही प्रश्न पूछते हैं, तो उत्तर हाँ है। उदाहरण के लिए, अद्भुत गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन द्वारा खोजी गई ऐसी चार संख्याएँ हैं:

3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3

5.

फ़र्मेट के प्रमेय की कहानी में, लियोनार्ड यूलर ने उल्लेख किया। वह वास्तव में कथन को सिद्ध करने में सफल नहीं हुआ (या यहाँ तक कि प्रमाण के निकट भी), लेकिन उसने एक परिकल्पना तैयार की कि समीकरण

एक्स 4 + वाई 4 + जेड 4 = यू 4

कोई पूर्णांक समाधान नहीं है। इस तरह के समीकरण का हल खोजने के सभी प्रयास सिर पर असफल रहे हैं। यह 1988 तक नहीं था कि हार्वर्ड के नाम एल्कीज़ को एक प्रतिरूप मिला। यह इस तरह दिख रहा है:

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .

आमतौर पर इस सूत्र को संख्यात्मक प्रयोग के संदर्भ में याद किया जाता है। एक नियम के रूप में, गणित में ऐसा दिखता है: कुछ सूत्र है। गणितज्ञ सरल मामलों में इस सूत्र की जाँच करता है, सत्य की पुष्टि करता है और कुछ परिकल्पना तैयार करता है। फिर वह (हालांकि अधिक बार उसके कुछ स्नातक छात्र या छात्र) यह जांचने के लिए एक कार्यक्रम लिखते हैं कि सूत्र पर्याप्त बड़ी संख्या के लिए सही है जिसे उसके हाथों से नहीं गिना जा सकता है (हम अभाज्य संख्याओं के साथ ऐसे एक प्रयोग के बारे में बात करेंगे)। यह निश्चित रूप से प्रमाण नहीं है, बल्कि एक परिकल्पना बताने का एक उत्कृष्ट कारण है। ये सभी रचनाएँ इस उचित धारणा पर आधारित हैं कि यदि किसी उचित सूत्र का प्रतिवाद है, तो हम इसे शीघ्रता से प्राप्त कर लेंगे।

यूलर की परिकल्पना हमें याद दिलाती है कि जीवन हमारी कल्पनाओं की तुलना में बहुत अधिक विविध है: पहला प्रतिवाद मनमाने ढंग से बड़ा हो सकता है।

6.

वास्तव में, निश्चित रूप से, एंड्रयू विल्स फर्मेट के प्रमेय को साबित करने की कोशिश नहीं कर रहे थे - वे तानियामा-शिमुरा अनुमान नामक एक अधिक कठिन समस्या को हल कर रहे थे। गणित में वस्तुओं के दो उल्लेखनीय वर्ग हैं। पहले को मॉड्यूलर रूप कहा जाता है और यह अनिवार्य रूप से लोबाचेवस्की अंतरिक्ष पर एक कार्य है। ये कार्य इसी तल की गति के साथ नहीं बदलते हैं। दूसरे को "अण्डाकार वक्र" कहा जाता है और जटिल तल पर तीसरी डिग्री के समीकरण द्वारा परिभाषित वक्र होते हैं। संख्या सिद्धांत में दोनों वस्तुएँ बहुत लोकप्रिय हैं।

पिछली शताब्दी के 50 के दशक में, दो प्रतिभाशाली गणितज्ञ, युताका तानियामा और गोरो शिमुरा, टोक्यो विश्वविद्यालय के पुस्तकालय में मिले थे। उस समय, विश्वविद्यालय में कोई विशेष गणित नहीं था: उसके पास युद्ध के बाद ठीक होने का समय नहीं था। नतीजतन, वैज्ञानिकों ने पुरानी पाठ्यपुस्तकों का उपयोग करके अध्ययन किया और संगोष्ठियों में उन समस्याओं का विश्लेषण किया जिन्हें यूरोप और संयुक्त राज्य अमेरिका में हल किया गया था और विशेष रूप से प्रासंगिक नहीं थे। यह तानियामा और शिमुरा थे जिन्होंने पाया कि मॉड्यूलर रूपों और अंडाकार कार्यों के बीच कुछ पत्राचार है।

उन्होंने वक्रों के कुछ सरल वर्गों पर अपनी परिकल्पना का परीक्षण किया। यह काम कर रहा निकला। इसलिए उन्होंने मान लिया कि यह संबंध हमेशा बना रहता है। इस तरह तानियामा-शिमुरा परिकल्पना सामने आई और तीन साल बाद तानियामा ने आत्महत्या कर ली। 1984 में, जर्मन गणितज्ञ गेरहार्ड फ्रे ने दिखाया कि यदि फ़र्मेट का प्रमेय गलत है, तो तानियामा-शिमुरा अनुमान गलत है। इससे यह निकला कि जिसने इस अनुमान को सिद्ध कर दिया वह भी प्रमेय को सिद्ध करेगा। यह वही है जो विल्स ने किया था - लेकिन बहुत सामान्य तरीके से नहीं।

7.

विल्स ने परिकल्पना को साबित करने में आठ साल बिताए। और जांच के दौरान, समीक्षकों को इसमें एक गलती मिली, जिसने अधिकांश सबूतों को "मार डाला", काम के सभी वर्षों को रद्द कर दिया। रिचर्ड टेलर नाम के समीक्षकों में से एक ने विल्स के साथ इस छेद को ठीक करने का बीड़ा उठाया। जब वे काम कर रहे थे, एक संदेश प्रकट हुआ कि एल्कीज़, जिसने यूलर के अनुमान के लिए एक प्रति उदाहरण पाया, ने फ़र्मेट के प्रमेय के लिए एक प्रति उदाहरण पाया (बाद में यह पता चला कि यह एक अप्रैल फूल का मजाक था)। विल्स उदास हो गया और आगे नहीं जाना चाहता था - सबूत में छेद किसी भी तरह से बंद नहीं हो रहा था। टेलर ने विल्स को एक और महीने के लिए लड़ने के लिए राजी किया।

एक चमत्कार हुआ, और गर्मियों के अंत तक, गणितज्ञ एक सफलता बनाने में कामयाब रहे - इस तरह एंड्रयू विल्स (पीडीएफ) द्वारा "मॉड्यूलर अण्डाकार वक्र और महान फ़र्मेट प्रमेय" और "कुछ हेके बीजगणित के रिंग-सैद्धांतिक गुण" काम करता है। "रिचर्ड टेलर और एंड्रयू विल्स द्वारा पैदा हुए थे। यह पहले से ही सही प्रमाण था। यह 1995 में प्रकाशित हुआ था।

8.

गणितज्ञ पॉल वोल्फस्केल का 1908 में डार्मस्टाट में निधन हो गया। खुद के बाद, उन्होंने एक वसीयत छोड़ी, जिसमें उन्होंने फ़र्मेट के महान प्रमेय का प्रमाण खोजने के लिए गणितीय समुदाय को 99 साल का समय दिया। प्रमाण के लेखक को 100 हजार अंक प्राप्त होने चाहिए (प्रति-उदाहरण के लेखक, वैसे, कुछ भी प्राप्त नहीं होता)। लोकप्रिय किंवदंती के अनुसार, प्रेम ने वोल्फस्केहल को गणितज्ञों को ऐसा उपहार देने के लिए प्रेरित किया। इस प्रकार साइमन सिंह ने अपनी पुस्तक फ़र्मेट्स लास्ट थ्योरम में किंवदंती का वर्णन किया है:

कहानी एक खूबसूरत महिला के साथ वोल्फस्केल के मोह से शुरू होती है, जिसकी पहचान कभी स्थापित नहीं हुई। वोल्फस्केल को बहुत पछतावा हुआ, रहस्यमय महिला ने उसे अस्वीकार कर दिया। वह इतनी गहरी निराशा में पड़ गया कि उसने आत्महत्या करने का फैसला कर लिया। वोल्फस्केल एक भावुक व्यक्ति था, लेकिन आवेगी नहीं था, और इसलिए उसने अपनी मृत्यु को हर विस्तार से समझना शुरू कर दिया। उसने अपनी आत्महत्या के लिए एक तिथि निर्धारित की और ठीक आधी रात को घड़ी की पहली प्रहार के साथ खुद को सिर में गोली मारने का फैसला किया। शेष दिनों के लिए, वोल्फस्केल ने अपने मामलों को क्रम में रखने का फैसला किया, जो बहुत अच्छे चल रहे थे, और आखिरी दिन उन्होंने एक वसीयत बनाई और करीबी दोस्तों और रिश्तेदारों को पत्र लिखे।

वोल्फस्केल ने इतनी मेहनत की कि उन्होंने आधी रात से पहले अपना सारा काम खत्म कर लिया और किसी तरह से बचे हुए घंटों को भरने के लिए पुस्तकालय गए, जहाँ उन्होंने गणितीय पत्रिकाओं को देखना शुरू किया। जल्द ही उन्हें कुमेर का एक क्लासिक लेख मिला, जिसमें उन्होंने बताया कि कॉची और लंगड़े क्यों विफल हो गए। कुमेर का काम अपनी उम्र के सबसे महत्वपूर्ण गणितीय प्रकाशनों में से एक था, और एक गणितज्ञ के लिए आत्महत्या करने की योजना के लिए एकदम सही पढ़ना था। वोल्फस्केल सावधानी से, लाइन दर लाइन, कुमेर की गणनाओं का पालन करता था। अचानक वोल्फस्केल को लगा कि उसने एक अंतर खोज लिया है: लेखक ने एक निश्चित धारणा बनाई और अपने तर्क में इस कदम की पुष्टि नहीं की। वोल्फस्केल को आश्चर्य हुआ कि क्या उसने वास्तव में एक गंभीर अंतर पाया था, या यदि कमर की धारणा मान्य थी। यदि एक अंतराल पाया जाता है, तो एक मौका था कि फर्मेट का अंतिम प्रमेय कई विचारों से कहीं अधिक आसान साबित हो सकता है।

वोल्फस्केल मेज पर बैठ गया, कुमेर के तर्क के "त्रुटिपूर्ण" हिस्से का सावधानीपूर्वक विश्लेषण किया और एक मिनी-प्रूफ को स्केच करना शुरू कर दिया, जो कि या तो कमर के काम का समर्थन करना चाहिए, या उसकी धारणा के भ्रम को प्रदर्शित करना चाहिए और परिणामस्वरूप, उसके सभी तर्कों का खंडन करना चाहिए। . भोर तक, वोल्फस्केल ने अपनी गणना पूरी कर ली थी। बुरी खबर (गणितीय रूप से) यह थी कि कुमेर का प्रमाण ठीक हो गया था, और फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय अभी भी अप्राप्य था। लेकिन एक अच्छी खबर थी: आत्महत्या के लिए नियत समय समाप्त हो गया था, और वोल्फस्केहल को इतना गर्व था कि वह महान अर्नेस्ट कमर के काम में एक अंतर खोजने और भरने में कामयाब रहा कि उसकी निराशा और उदासी अपने आप दूर हो गई। गणित ने उनके जीवन की प्यास को पुनर्जीवित किया।

हालांकि, एक वैकल्पिक संस्करण भी है। उनके अनुसार, वोल्फस्केल ने प्रगतिशील मल्टीपल स्केलेरोसिस के कारण गणित (और, वास्तव में, फ़र्मेट की प्रमेय) को अपनाया, जिसने उन्हें वह करने से रोका जो उन्हें पसंद था - एक डॉक्टर होने के नाते। और उसने अपनी पत्नी को नहीं छोड़ने के लिए गणितज्ञों के लिए पैसा छोड़ दिया, जिससे वह अपने जीवन के अंत तक बस नफरत करता था।

9.

फ़र्मेट के प्रमेय को प्राथमिक तरीकों से साबित करने के प्रयासों के कारण अजीब लोगों के एक पूरे वर्ग का उदय हुआ, जिन्हें "फ़र्माटिस्ट" कहा जाता है। वे भारी मात्रा में साक्ष्य प्रस्तुत करने में लगे हुए थे और इस साक्ष्य में त्रुटि पाए जाने पर वे बिल्कुल भी निराश नहीं हुए।

मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के यांत्रिकी और गणित संकाय में डोब्रेत्सोव नाम का एक प्रसिद्ध चरित्र था। उन्होंने विभिन्न विभागों से प्रमाण पत्र एकत्र किए और उनका उपयोग करते हुए, यांत्रिकी और गणित विभाग में प्रवेश किया। यह पूरी तरह से पीड़ित को खोजने के लिए किया गया था। किसी तरह वह एक युवा स्नातक छात्र (भविष्य के शिक्षाविद नोविकोव) से मिले। वह, अपने भोलेपन में, कागजों के ढेर का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने लगा कि डोब्रेत्सोव ने उसे शब्दों के साथ खिसका दिया, वे कहते हैं, यहाँ सबूत है। एक और के बाद "यहाँ एक गलती है ..." डोब्रेत्सोव ने ढेर लिया और उसे अपने ब्रीफकेस में भर दिया। दूसरे ब्रीफकेस से (हाँ, वह दो ब्रीफकेस के साथ यांत्रिकी और गणित विभाग के माध्यम से चला गया), उसने दूसरा ढेर निकाला, आह भरी और कहा: "ठीक है, चलो विकल्प 7 बी देखें"।

वैसे, इनमें से अधिकांश प्रमाण वाक्यांश से शुरू होते हैं "आइए किसी एक शब्द को समानता के दाईं ओर स्थानांतरित करें और इसे कारक बनाएं।"

10.

प्रमेय के बारे में कहानी अद्भुत फिल्म "द मैथमेटिशियन एंड द डेविल" के बिना पूरी नहीं होगी।

संशोधन

इस लेख की धारा 7 में मूल रूप से कहा गया है कि Naum Elkies ने Fermat के प्रमेय के लिए एक प्रति उदाहरण पाया, जो बाद में गलत निकला। यह सच नहीं है: प्रति-उदाहरण रिपोर्ट एक अप्रैल फूल का मज़ाक था। अशुद्धि के लिए हम क्षमा चाहते हैं।

एंड्री कोन्याएव