Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na web stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

U ovom članku ćete pronaći svojstva simetrale i medijane trokuta koja mogu biti korisna u rješavanju problema.

Simetrale.

1. Tačka presjeka simetrala trougla je centar upisane kružnice trougla.

Dokaz.

Zaista, tačke koje leže na simetrali ugla jednako su udaljene od stranica ugla. Prema tome, tačka presjeka simetrala jednako je udaljena od svih strana trougla, odnosno središte je upisane kružnice.

2. Simetrala trougla dijeli suprotnu stranu na segmente proporcionalne susjednim stranicama:

Dokaz.

Napravimo dodatne konstrukcije. Nacrtajmo pravu paralelnu sa tačkom

Tačka preseka prave i prave linije:

∠1=∠2, pošto - simetrala ∠

∠2=∠3 ležeći poprečno, kao po konstrukciji.

Dakle, ∠1=∠3 i trougao je jednakokraki, i .

dakle,

3. Dužina simetrale se izračunava pomoću sljedećih formula:

Dokažimo drugu formulu.

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:

Izjednačimo izraze za površinu trokuta:

4. Neka je O centar upisane kružnice i simetrala ugla trokuta:

Tada vrijedi relacija:

dokaz:

Zamislite trougao:

Simetrala ugla, dakle, svojstvom simetrale trougla

Neka bude onda

Hajde da to izrazimo. Prema svojstvu simetrale trougla:

Odavde

U nekim je problemima zgodno produžiti simetralu trougla do sjecišta s opisanom kružnicom.

Lema o trolistu.

Dat je trougao. Tačka - tačka preseka simetrale ugla sa opisanom kružnicom trougla. Neka biti centar kruga upisan u trokut. Onda

Dokaz.

Upisani uglovi koji savijaju jednake lukove su jednaki. Obratite pažnju na jednake upisane uglove:

Odavde.

Središte incircle, dakle, je simetrala ugla .

Iz trougla

Zatim iz trougla

Got .

Odnosno, trougao je jednakokraki.

Odavde.

To dokazao

Dokažimo formulu (1) iz tačke 3:

dokaz:

Nastavimo simetralu dok se ne siječe s opisanom kružnicom. Razmotrimo trouglove i . Označimo jednake uglove:

Trokut je sličan trokutu pod dva ugla. Odavde:

Svojstvom segmenata tetiva koje se seku

Zamijenimo (3) u (2) i koristimo (4):

Izrazimo dužine odsječaka na koje simetrala dijeli stranicu trougla kroz dužine stranica trougla. Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:

Dobijamo sistem:

Medijani.

1. Medijane trokuta podijeljene su točkom presjeka u omjeru 2:1, računajući od vrha:

2. Neka je tačka unutar trokuta takva da vrijedi sljedeća relacija: , tada je tačka presjeka medijana trougla.

Dokaz.

Dokažimo pomoćnu teoremu.

Lemma.

Za proizvoljnu tačku unutar trougla vrijedi sljedeća relacija:

Spustimo se od tačaka i okomita na :

Iz sličnosti trokuta dobijamo:

Ako uzmemo u obzir trouglove sa zajedničkom bazom , tada dobijamo relaciju:

Slično dobijamo

Zbrajanjem ovih jednakosti dobijamo:

Koristimo ovu lemu da dokažemo tvrdnju 2.

Ako važi jednakost (1) , onda jednakost (2) a iz leme slijedi da je u jednakosti (2) svaki razlomak jednak .

Dokažimo da su u ovom slučaju segmenti su medijane.

Ako , onda dobijamo . Nacrtajmo linije paralelne sa i kroz tačku i razmotrimo dva para sličnih trokuta: i :

Odavde dobijamo

Iz sličnosti trouglova dobijamo, odnosno da je tačka sredina segmenta. Odavde.

Prema tome, je medijan trougla.

3. Medijane trougla, seku, podijele ga na 6 jednakih trouglova.

Dokaz.

Dokažimo to

jer ,

jer ,

dakle,

Visine.

1. Prave koje sadrže visine trougla seku se u jednoj tački. U slučaju oštrog trougla, same visine se sijeku u jednoj tački.

2. Točka presjeka visina trokuta ima sljedeće svojstvo: zbir kvadrata udaljenosti od vrha trokuta i kvadrata suprotne stranice jednak je za bilo koji vrh:

Dokaz.

Dokažimo prvi dio jednakosti:

Prepišimo to u obliku:

Prema Pitagorinoj teoremi: (iz trouglova i)

(iz trougla)

(iz trougla)

Zamjenom ovih izraza u (1) dobijamo:

Otvorimo zagrade i dobijemo:

Imamo identitet. Drugi dio jednakosti se dokazuje na sličan način.

3. Ako opišemo kružnicu oko trokuta i produžimo visine trokuta dok se ne sijeku s ovim krugom,

tada je za bilo koju visinu trokuta, udaljenost od osnove visine do tačke preseka nastavka visine sa kružnicom jednaka udaljenosti od osnove visine do tačke preseka visina:

ili ovako: Tačke simetrične tački presjeka visina trougla u odnosu na stranice trougla leže na opisanoj kružnici trougla.

Dokaz.

Dokažimo to.

Da biste to učinili, razmotrite trouglove i , I dokazati da :

Upotrijebimo znak da su trouglovi jednaki duž stranice i dva susjedna ugla. - opšta strana. Dokažimo jednakost dva ugla.

Dokažimo da je ∠ ∠

Neka je ∠, onda iz trougla dobijamo to

∠. Dakle, iz trougla dobijamo to

Ali ∠ i ∠ počivaju na istom luku, dakle ∠ ∠ ∠

Slično nalazimo da je ∠ ∠

4. U trokutu, tačke i su osnove visina povučenih iz vrhova i. Dokazati da je trokut sličan trokutu i da je koeficijent sličnosti jednak .

dokaz:

Središte opisane kružnice pravokutnog trougla leži u sredini hipotenuze . Tačka leži na ovoj kružnici jer - hipotenuza pravouglog trougla:

Kao upisani uglovi zasnovani na jednom luku.

iz trougla:

Odavde. Ugao je zajednički ugao trouglova i. Dakle, trokut je sličan trokutu. Koeficijent sličnosti jednak je omjeru sličnih stranica, odnosno stranica koje leže nasuprot jednakih kutova:

Ceva teorema

Neka u trougao

Segmenti se sijeku u jednoj tački ako i samo ako

Dokaz.

Dokažimo da ako se segmenti sijeku u jednoj tački, onda je relacija (1) zadovoljena.

Lako je provjeriti da ako , onda vrijedi

Primijenimo ovo svojstvo proporcije:

Isto tako:

Ceva teorema se može napisati na sljedeći način:

Ako se segmenti sijeku u jednoj tački, tada vrijedi sljedeća relacija:

Dokazati Ceva teorema u obliku sinusa, dovoljno je u drugom dijelu jednakosti (2) umjesto površina trokuta za površinu svakog trokuta zamijeniti formulu .

Iz predavanja Agakhanova Nazara Khangeljeviča i Vladimira Viktoroviča Truškova, KPK MIPT.

Trougao je mnogougao sa tri strane, ili zatvorena izlomljena linija sa tri karike, ili lik formiran od tri segmenta koji spajaju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji (vidi sliku 1).

Osnovni elementi trougla abc

Vrhovi – tačke A, B i C;

Zabave – segmenti a = BC, b = AC i c = AB koji spajaju vrhove;

Uglovi – α, β, γ formirana od tri para stranica. Uglovi se često označavaju na isti način kao i vrhovi, sa slovima A, B i C.

Ugao koji formiraju stranice trougla i koji leži u njegovoj unutrašnjoj površini naziva se unutrašnji ugao, a onaj koji mu se graniči je susedni ugao trougla (2, str. 534).

Visine, medijane, simetrale i srednje linije trougla

Pored glavnih elemenata u trouglu, razmatraju se i drugi segmenti sa zanimljivim svojstvima: visine, medijane, simetrale i srednje linije.

Visina

Visine trougla- to su okomice spuštene sa vrhova trougla na suprotne strane.

Da biste iscrtali visinu, morate izvršiti sljedeće korake:

1) nacrtati pravu liniju koja sadrži jednu od stranica trougla (ako je visina povučena iz temena oštrog ugla u tupouglom trouglu);

2) iz vrha koji leži nasuprot nacrtanoj liniji, nacrtajte segment od tačke do ove linije, čineći s njim ugao od 90 stepeni.

Točka presjeka visine sa stranicom trougla naziva se visina osnove (vidi sliku 2).

Svojstva visina trougla

U pravokutnom trokutu, visina povučena iz vrha pravog ugla dijeli ga na dva trokuta slična originalnom trokutu.

U oštrom trokutu, njegove dvije visine odsijecaju slične trouglove od njega.

Ako je trokut oštar, tada sve osnovice visina pripadaju stranicama trokuta, a u tupouglom trokutu dvije visine padaju na nastavak stranica.

Tri visine u oštrom trouglu seku se u jednoj tački i ta tačka se zove ortocentar trougao.

Medijan

Medijani(od latinskog mediana - "sredina") - to su segmenti koji povezuju vrhove trougla sa sredinama suprotnih strana (vidi sliku 3).

Da biste konstruirali medijanu, morate izvršiti sljedeće korake:

1) pronađite sredinu stranice;

2) spoji tačku koja je sredina stranice trougla sa suprotnim vrhom segmentom.

Svojstva medijana trougla

Medijan dijeli trokut na dva trougla jednake površine.

Medijane trougla seku se u jednoj tački, koja svaku od njih deli u omjeru 2:1, računajući od vrha. Ova tačka se zove centar gravitacije trougao.

Cijeli trokut podijeljen je svojim medijanama na šest jednakih trouglova.

Simetrala

Simetrale(od latinskog bis - dvaput i seko - rez) su pravi segmenti zatvoreni unutar trougla koji dijele njegove uglove (vidi sliku 4).

Da biste konstruirali simetralu, morate izvršiti sljedeće korake:

1) konstruisati zrak koji izlazi iz vrha ugla i deli ga na dva jednaka dela (simetrala ugla);

2) naći tačku preseka simetrale ugla trougla sa suprotnom stranom;

3) izaberite segment koji povezuje vrh trougla sa tačkom preseka na suprotnoj strani.

Svojstva simetrala trougla

Simetrala ugla trougla dijeli suprotnu stranu u omjeru jednakom omjeru dviju susjednih stranica.

Simetrale unutrašnjih uglova trougla seku se u jednoj tački. Ova tačka se naziva središte upisane kružnice.

Simetrale unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla su okomite.

Ako simetrala vanjskog ugla trokuta siječe produžetak suprotne stranice, tada je ADBD=ACBC.

Simetrale jednog unutrašnjeg i dva vanjska ugla trougla seku se u jednoj tački. Ova tačka je centar jedne od tri kružne kružnice ovog trougla.

Osnove simetrala dva unutrašnja i jednog spoljašnjeg ugla trougla leže na istoj pravoj liniji ako simetrala spoljašnjeg ugla nije paralelna sa suprotnom stranom trougla.

Ako simetrale vanjskih uglova trougla nisu paralelne sa suprotnim stranama, tada njihove osnove leže na istoj pravoj liniji.

Prilikom proučavanja bilo koje teme u školskom kursu možete odabrati određeni minimum problema, a nakon što savladaju metode za njihovo rješavanje, studenti će moći riješiti bilo koji problem na nivou programskih zahtjeva na temu koja se proučava. Predlažem da razmotrite probleme koji će vam omogućiti da vidite međusobne odnose pojedinih tema u školskom kursu matematike. Stoga je sastavljeni sistem zadataka efikasan način ponavljanja, generalizacije i sistematizacije nastavnog materijala u toku pripreme studenata za ispit.

Za polaganje ispita bit će korisno imati dodatne informacije o nekim elementima trougla. Razmotrimo svojstva medijane trougla i probleme u rješavanju kojih se ta svojstva mogu koristiti. Predloženi zadaci implementiraju princip diferencijacije nivoa. Svi zadaci su uslovno podeljeni na nivoe (nivo je naznačen u zagradama iza svakog zadatka).

Prisjetimo se nekih svojstava medijane trougla

Nekretnina 1. Dokazati da je medijana trougla ABC, izvučen iz vrha A, manje od polovine zbira strana AB I A.C..

Dokaz

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Nekretnina 2. Medijan seče trougao na dve jednake oblasti.

Dokaz

Nacrtajmo iz temena B trougla ABC medijanu BD i visinu BE..gif" alt="Površina" width="82" height="46">!}

Pošto je segment BD medijan, onda

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Nekretnina 4. Medijani trougla dijele trokut na 6 jednakih trouglova.

Dokaz

Dokažimo da je površina svakog od šest trouglova na koje medijane dijele trokut ABC jednaka površini trokuta ABC. Da biste to učinili, uzmite u obzir, na primjer, trokut AOF i ispustite okomitu AK iz vrha A na pravu BF.

Zbog imovine 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Nekretnina 6. Medijan u pravokutnom trokutu povučen iz vrha pravog ugla jednak je polovini hipotenuze.

Dokaz

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Posljedice:1. Središte kružnice opisane oko pravokutnog trokuta leži u sredini hipotenuze.

2. Ako je u trouglu dužina medijane jednaka polovini dužine stranice na koju je povučena, onda je ovaj trougao pravougao.

ZADACI

Prilikom rješavanja svakog sljedećeg problema koriste se dokazana svojstva.

№1 Teme: Udvostručenje medijane. Težina: 2+

Znakovi i svojstva paralelograma Ocjene: 8,9

Stanje

Na nastavku medijane A.M. trougao ABC po bodu M segment odgođen M.D., jednako A.M.. Dokazati da je četverougao ABDC- paralelogram.

Rješenje

Koristimo jedan od znakova paralelograma. Dijagonale četverougla ABDC seku u tački M i podijelite ga na pola, dakle četverougao ABDC- paralelogram.

Postoji teorema da Medijane trokuta se sijeku u jednoj tački, a ova tačka dijeli svaku medijanu u omjeru 2:1, pri čemu 2 odgovara segmentu od temena iz kojeg je povučena medijana do točke presjeka medijana, a 1 odgovara segmentu od točke presjeka medijana do sredine strane na koju je povučena medijana.

Da biste dokazali ovu teoremu, razmotrite trokut ABC sa medijanama AE, BF, CD. Odnosno, tačke D, E, F popolavljaju stranice AB, BC, CA, respektivno.
Ne znamo da li se sve medijane sijeku u jednoj tački (ovo još treba dokazati). Međutim, bilo koje dvije medijane će se ukrštati u jednoj tački, jer ne mogu biti paralelne. Neka se medijane AE i BF sijeku u tački O.

Medijan BF dijeli medijan AE na dva segmenta AO i EO. Povučemo pravu paralelnu sa BF kroz tačku E. Ova prava će preseći stranu AC u određenoj tački L. Takođe ćemo povući još jednu pravu paralelnu sa BF kroz sredinu segmenta AB (tačka D). Presjecat će AC u tački K.

Prema Talesovoj teoremi, ako na jednoj strani ugla iz njegovog vrha postavimo sukcesivno jednake segmente i povučemo paralelne linije kroz krajeve ovih segmenata koje sijeku drugu stranu ugla, tada će i te paralelne prave odsjeći jednake segmente na drugoj strani ugla.

Pogledajmo ugao BCA ovog trougla. Segmenti BE i EC su međusobno jednaki, prave BF i EL su paralelne jedna drugoj. Tada je, prema Talesovoj teoremi, CL = LF.
Ako pogledamo ugao BAC, pošto je AD = BD i DK || BF, tada AK = KF.

Kako su segmenti AF i CF međusobno jednaki (pošto su formirani medijanom) i svaki od njih je podijeljen na dva jednaka segmenta, onda su sva četiri segmenta stranice AC jednaka jedan drugom: AK = KF = FL = LC.

Razmotrimo ugao EAC. Kroz krajeve tri jednaka segmenta stranice AC povlače se paralelne linije. Posljedično, oni su odsjekli jednake segmente na strani AE. Segment AO sadrži dva takva segmenta, a EO samo jedan. Tako smo dokazali da je najmanje jedna medijana trougla, u tački preseka sa drugom medijanom, podeljena na dva segmenta, čije su dužine povezane kao 2:1.

Sada razmotrite presjek medijane AE sa medijanom CD-a. Neka se sijeku u tački P.

Slično prethodnom, dokazano je da paralelne prave FM, CD, EN dijele stranu AB na jednake segmente. Zauzvrat, oni dijele AE na tri jednaka segmenta. Štaviše, od temena A do presjeka medijana postoje dva takva segmenta, a nakon toga jedan.

Isti segment se ne može podijeliti na tri jednaka dijela tako da s jednom opcijom podjele budu iste veličine, a s drugom - različite. Prema tome, tačke O i P moraju se poklapati. To znači da se sve tri medijane trougla seku u jednoj tački.

Da biste dokazali da su druge dvije medijane podijeljene točkom presjeka u omjeru 2:1, možete, slično kao i prethodni, povući paralelne linije stranicama AB i BC.