zanati

Prva i druga definicija izvedenice. Rješavanje izvedenice za lutke: definicija, kako pronaći, primjeri rješenja. Derivati hiperboličkih funkcija

PRVI DERIVAT

(prva izvedenica) Stopa rasta vrijednosti funkcije kada njen argument raste u nekom trenutku, ako je sama funkcija definirana u ovoj tački. Na grafu prvi izvod funkcije pokazuje ugao njenog nagiba. Ako y=f(x), njegov prvi derivat u tački x0 je granica do koje f(x0+a)–f(x0)/a as A teži ka beskonačno maloj vrednosti. Prvi derivat se može označiti dy/dx ili y´(x). Funkcija y(x) ima konstantnu vrijednost u tački x0, Ako dy/dx u tački x0 jednako nuli. Prvi izvod jednak nuli je neophodan, ali ne i dovoljan uslov da funkcija dostigne svoj maksimum ili minimum u datoj tački.

Ekonomija. Rječnik. - M.: "INFRA-M", Izdavačka kuća "Ves Mir". J. Black. Opšta redakcija: doktor ekonomskih nauka Osadchaya I.M.. 2000 .

Ekonomski rječnik. 2000 .

Pogledajte šta je "PRVI DERIVAT" u drugim rječnicima:

- (derivacija) Stopa po kojoj se vrijednost funkcije povećava kada se njen argument poveća u nekom trenutku, ako je sama funkcija definirana u toj tački. Na grafu prvi izvod funkcije pokazuje ugao njenog nagiba. Ako je y \u003d f (x), njegov prvi izvod u tački ... ... Ekonomski rječnik

Ovaj izraz ima druga značenja, vidi Derivat. Ilustracija koncepta izvedenice Derivat ... Wikipedia

Izvod je osnovni koncept diferencijalnog računa, koji karakterizira brzinu promjene funkcije. Definira se kao granica omjera prirasta funkcije i prirasta njenog argumenta kada inkrement argumenta teži nuli, ako je takva granica ... ... Wikipedia

Problem graničnih vrijednosti posebnog tipa; sastoji se u pronalaženju u domeni D varijabli x=(x1,..., x n).rješenja diferencijalne jednadžbe (1) parnog reda 2m za date vrijednosti svih derivacija reda ne većeg od m na granici S domene D (ili njegovog dijela) ... Mathematical Encyclopedia

- (drugi izvod) Prvi izvod prvog izvoda funkcije. Prvi izvod mjeri nagib funkcije; drugi izvod mjeri kako se nagib mijenja sa rastućim argumentom. Drugi izvod od y = f(x)… … Ekonomski rječnik

Ovaj članak ili odjeljak treba revidirati. Molimo da poboljšate članak u skladu sa pravilima za pisanje članaka. Fractional pro ... Wikipedia

- (unakrsni parcijalni izvod) Učinak promjene jednog argumenta funkcije iz dvije ili više varijabli na izvod ove funkcije, uzet u odnosu na drugi argument. Ako je y \u003d f (x, z), tada je njegov izvod ili prvi izvod funkcije y u odnosu na argument x ... ... Ekonomski rječnik

analogna brzina tačke- Prvi izvod kretanja tačke duž generalizovane koordinate mehanizma ...

analog ugaone brzine veze- Prvi izvod ugla rotacije karike u odnosu na generalizovanu koordinatu mehanizma ... Politehnički terminološki rječnik

generalizovana brzina mehanizma- Prvi izvod generalizovane koordinate mehanizma u odnosu na vreme... Politehnički terminološki rječnik

Knjige

Zbirka problema iz diferencijalne geometrije i topologije, Mishchenko A.S.
Moji naučni članci Knjiga 3. Metoda matrice gustine u kvantnim teorijama lasera, proizvoljni atom, Bondarev Boris Vladimirovič. Ova knjiga razmatra objavljene naučne članke u kojima su nove kvantne teorije lasera, proizvoljnog atoma i prigušenog kvantnog oscilatora predstavljene metodom matrica gustoće...

Evo tabele sažetka za praktičnost i jasnoću prilikom proučavanja teme.

Konstantnoy=C

Funkcija snage y = x p

(x p)" = p x p - 1

Eksponencijalna funkcijay = x

(a x)" = a x ln a

Konkretno, kadaa = eimamo y = e x

(e x)" = e x

logaritamska funkcija

(log a x) " = 1 x ln a

Konkretno, kadaa = eimamo y = log x

(ln x)" = 1 x

Trigonometrijske funkcije

(sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x

Inverzne trigonometrijske funkcije

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

Hiperboličke funkcije

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Hajde da analiziramo kako su dobijene formule navedene tabele, odnosno dokazaćemo izvođenje formula za izvode za svaku vrstu funkcije.

Derivat konstante

Dokaz 1

Da bismo izveli ovu formulu, uzimamo kao osnovu definiciju derivacije funkcije u tački. Koristimo x 0 = x, gdje x poprima vrijednost bilo kojeg realnog broja, ili, drugim riječima, x je bilo koji broj iz domene funkcije f (x) = C . Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i priraštaja argumenta kao ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Imajte na umu da izraz 0 ∆ x spada pod granični znak. To nije nesigurnost “nule podijeljene sa nulom”, jer brojnik ne sadrži beskonačno malu vrijednost, već nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije je uvijek nula.

Dakle, derivacija konstantne funkcije f (x) = C jednaka je nuli u cijelom domenu definicije.

Primjer 1

Zadate konstantne funkcije:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Rješenje

Hajde da opišemo date uslove. U prvoj funkciji vidimo izvod prirodnog broja 3. U sljedećem primjeru, trebate uzeti derivat od A, Gdje A- bilo koji pravi broj. Treći primjer nam daje derivaciju iracionalnog broja 4. 13 7 22 , četvrti - derivacija nule (nula je cijeli broj). Konačno, u petom slučaju imamo izvod racionalnog razlomka - 8 7 .

odgovor: derivacije datih funkcija su nula za bilo koju realnu x(preko cijelog domena definicije)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivat funkcije moći

Okrećemo se funkciji stepena i formuli za njen izvod, koja ima oblik: (x p) " = p x p - 1, gdje je eksponent str je bilo koji realan broj.

Dokaz 2

Evo dokaza formule kada je eksponent prirodan broj: p = 1 , 2 , 3 , …

Ponovo se oslanjamo na definiciju derivata. Napišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Da bismo pojednostavili izraz u brojiocu, koristimo Newtonovu binomnu formulu:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

ovako:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Dakle, dokazali smo formulu za izvod funkcije stepena kada je eksponent prirodan broj.

Dokaz 3

Da dam dokaz za slučaj kada p- bilo kojeg realnog broja osim nule, koristimo logaritamski izvod (ovdje treba razumjeti razliku od izvoda logaritamske funkcije). Za potpunije razumijevanje poželjno je proučavati izvod logaritamske funkcije i dodatno se baviti izvodom implicitno zadane funkcije i derivacijom kompleksne funkcije.

Razmotrimo dva slučaja: kada x pozitivno i kada x su negativni.

Dakle, x > 0 . Tada je: x p > 0 . Uzimamo logaritam jednakosti y \u003d x p na bazu e i primjenjujemo svojstvo logaritma:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

U ovoj fazi je dobijena implicitno definirana funkcija. Definirajmo njegovu derivaciju:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Sada razmatramo slučaj kada x- negativan broj.

Ako indikator str je paran broj, tada je funkcija stepena također definirana za x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Zatim xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ako str je neparan broj, tada je funkcija stepena definirana za x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Posljednji prijelaz je moguć jer ako str je onda neparan broj p - 1 bilo paran broj ili nula (za p = 1), dakle, za negativan x jednakost (- x) p - 1 = x p - 1 je tačna.

Dakle, dokazali smo formulu za izvod funkcije stepena za bilo koje realno p.

Primjer 2

Zadate funkcije:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Odredite njihove derivate.

Rješenje

Dio datih funkcija transformiramo u tabelarni oblik y = x p , na osnovu svojstava stepena, a zatim koristimo formulu:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivat eksponencijalne funkcije

Dokaz 4

Izvodimo formulu za izvod, na osnovu definicije:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Imamo neizvjesnost. Da bismo ga proširili, pišemo novu varijablu z = a ∆ x - 1 (z → 0 kao ∆ x → 0). U ovom slučaju a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Za posljednji prijelaz koristi se formula za prijelaz na novu bazu logaritma.

Izvršimo zamjenu u originalnom limitu:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Prisjetite se druge divne granice i tada ćemo dobiti formulu za izvod eksponencijalne funkcije:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Primjer 3

Date su eksponencijalne funkcije:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Moramo pronaći njihove derivate.

Rješenje

Koristimo formulu za izvod eksponencijalne funkcije i svojstva logaritma:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivat logaritamske funkcije

Dokaz 5

Predstavljamo dokaz formule za izvod logaritamske funkcije za bilo koje x u domenu definicije i bilo koje važeće vrijednosti osnove a logaritma. Na osnovu definicije derivacije dobijamo:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Iz navedenog lanca jednakosti može se vidjeti da su transformacije izgrađene na osnovu svojstva logaritma. Jednakost lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e je tačna u skladu sa drugom značajnom granicom.

Primjer 4

Logaritamske funkcije su date:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

Potrebno je izračunati njihove derivate.

Rješenje

Primijenimo izvedenu formulu:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" = 1 x ln e = 1 x

Dakle, izvod prirodnog logaritma je jedan podijeljen sa x.

Derivati trigonometrijskih funkcija

Dokaz 6

Koristimo neke trigonometrijske formule i prvu divnu granicu da izvedemo formulu za izvod trigonometrijske funkcije.

Prema definiciji derivacije sinusne funkcije, dobijamo:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula za razliku sinusa omogućit će nam da izvršimo sljedeće radnje:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Konačno, koristimo prvu divnu granicu:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Dakle, derivacija funkcije sin xće cos x.

Na isti način ćemo dokazati i formulu za kosinusni derivat:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

One. derivacija funkcije cos x će biti – sin x.

Izvodimo formule za izvode tangente i kotangensa na osnovu pravila diferencijacije:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivati inverznih trigonometrijskih funkcija

Odjeljak o izvodu inverznih funkcija pruža opsežne informacije o dokazu formula za izvode arksinusa, arkkosinusa, arktangensa i arkkotangensa, tako da ovdje nećemo duplicirati materijal.

Derivati hiperboličkih funkcija

Dokaz 7

Možemo izvesti formule za izvode hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa koristeći pravilo diferencijacije i formulu za izvod eksponencijalne funkcije:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Vrlo je lako zapamtiti.

Pa, nećemo ići daleko, odmah ćemo razmotriti inverznu funkciju. Što je inverzno od eksponencijalne funkcije? logaritam:

U našem slučaju, baza je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam sa osnovom) naziva se „prirodnim“ i za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Šta je jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

Pronađite izvod funkcije.
Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponent i prirodni logaritam su funkcije koje su jedinstveno jednostavne u smislu derivacije. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Koja pravila? Opet novi mandat?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja derivata.

Samo i sve. Koja je druga riječ za ovaj proces? Nije proizvodnovanje... Diferencijal matematike se naziva samim prirastom funkcije at. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije.

Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka, ili lakše.

Primjeri.

Pronađite derivate funkcija:

u tački;
u tački;
u tački;
u tački.

rješenja:

(izvod je isti u svim tačkama, pošto je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvodimo novu funkciju i nalazimo njen prirast:

Derivat:

primjeri:

Pronađite derivate funkcija i;
Pronađite izvod funkcije u tački.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenta (jeste li već zaboravili šta je to?).

Pa gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo našu funkciju dovesti na novu bazu:

Da bismo to učinili, koristimo jednostavno pravilo: . onda:

Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Desilo se?

Evo, uvjerite se sami:

Ispostavilo se da je formula vrlo slična derivatu eksponenta: kako je bilo, tako je ostalo, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite derivate funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se napisati u jednostavnijem obliku. Stoga je u odgovoru ostavljeno u ovom obliku.

Imajte na umu da je ovdje količnik dvije funkcije, tako da primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferencijacije:

U ovom primjeru, proizvod dvije funkcije:

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljan iz logaritma s različitom bazom, na primjer, :

Moramo dovesti ovaj logaritam u bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada umjesto da pišemo:

Pokazalo se da je imenilac samo konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod je vrlo jednostavan:

Derivati eksponencijalne i logaritamske funkcije se gotovo nikada ne nalaze na ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat kompleksne funkcije.

Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, a ne tangenta luka. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam se logaritam čini teškim, pročitajte temu "Logaritmi" i sve će uspjeti), ali u matematičkom smislu riječ "složeno" ne znači "teško".

Zamislite mali transporter: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi omota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Ispada takav kompozitni predmet: čokoladica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate napraviti suprotne korake obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim ćemo kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, daju nam broj (čokolada), ja pronađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu drugu akciju s onim što se dogodilo kao rezultat prve.

Drugim riječima, Kompleksna funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer, .

Iste radnje možemo učiniti obrnutim redoslijedom: prvo kvadriraš, a onda tražim kosinus rezultirajućeg broja:. Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složenih funkcija: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.

Drugi primjer: (isto). .

Posljednja akcija koju uradimo će biti pozvana "vanjska" funkcija, a radnja izvedena prva - respektivno "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično promjeni varijabli: na primjer, u funkciji

Koju akciju ćemo prvo preduzeti? Prvo izračunamo sinus, a tek onda ga dižemo na kocku. Dakle, to je unutrašnja funkcija, a ne eksterna.
A originalna funkcija je njihov sastav: .
Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: .
Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: .
Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: .
Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: .

mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sad ćemo izvući našu čokoladu - potražite derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. Za originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se da je jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interni: ;

Vanjski: ;

2) Interni: ;

(samo nemojte pokušavati da smanjite do sada! Ništa se ne vadi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da ovdje postoji kompleksna funkcija na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a još uvijek izvlačimo korijen iz nje, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i sa trakom u aktovci). Ali nema razloga za strah: u svakom slučaju, ovu funkciju ćemo “raspakovati” istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.

U takvim slučajevima, zgodno je numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti "spoljašnja". Redoslijed radnji - kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo pravac akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Root. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Stavljajući sve zajedno:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNOM

Izvod funkcije- omjer povećanja funkcije i prirasta argumenta s beskonačno malim povećanjem argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Derivatni proizvod:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Definiramo "unutarnju" funkciju, pronalazimo njen izvod.
Definiramo "vanjsku" funkciju, pronalazimo njen izvod.
Množimo rezultate prve i druge tačke.

Može se izvaditi iz znaka derivat:

(af(x)"=af" (x).

Na primjer:

Derivat algebarskog zbira nekoliko funkcija (uzetih u konstantnom broju) jednako je algebarskom zbiru njihovih derivati:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 "(x) + f 2 "(x) - f 3 "(x).

Na primjer:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8) "= (0,3 x 2)" - (2 x) "+ (0,8)" = 0,6 x - 2 ( derivat zadnji termin jednačina je nula).

Ako derivat funkcije g nije nula, tada ima i omjer f/g konačni derivat. Ovo svojstvo se može napisati kao:

Neka funkcije y = f(x) i y = g(x) imaju konačnih derivata u tački x 0 . Onda funkcije f ± g i f g također imaju konačni derivati u ovo tačka. tada dobijamo:

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′.

Derivat kompleksne funkcije.

Neka funkcija y = f(x) ima konačni izvod u tački x 0 , funkcija z = s(y) ima konačan izvod u tački y 0 = f(x 0).

Onda složena funkcija z = s (f(x)) takođe ima konačan izvod u ovoj tački. Ovo se može napisati u obliku:

Derivat inverzne funkcije.

Neka ima funkcija y = f(x). inverzna funkcija x = g(y) na nekim interval(a, b) i postoji nenula konačni derivat ovu funkciju u tački x 0 , kojoj pripada domene, tj. x 0 ∈ (a, b).

Onda inverzna funkcija Ima derivat u tački y 0 = f(x 0):

Derivat implicitne funkcije.

Ako funkcija y = f(x) je implicitno definisan jednačina F(x, y(x)) = 0, tada je njegova derivat nalazi se iz uslova:

Kažu to funkcija y = f(x) postavljen implicitno, ako ona identično zadovoljava relaciju:

gdje je F(x, y) neka funkcija od dva argumenta.

Derivat funkcije zadane parametarski.

Ako funkcija y = f(x) je zadan parametarski koristeći razmatrano

Apsolutno je nemoguće riješiti fizičke probleme ili primjere iz matematike bez znanja o derivatu i metodama za njegovo izračunavanje. Izvod je jedan od najvažnijih koncepata matematičke analize. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Šta je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati izvod funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti derivat?

Geometrijsko i fizičko značenje izvedenice

Neka postoji funkcija f(x) , dato u nekom intervalu (a,b) . Točke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika njegovih vrijednosti x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se povećanje argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:

Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije u datoj tački i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha u pronalaženju takve granice? ali koji:

derivacija funkcije u tački jednaka je tangenti ugla između ose OX i tangente na graf funkcije u datoj tački.

Fizičko značenje izvedenice: vremenski izvod puta jednak je brzini pravolinijskog kretanja.

Zaista, još od školskih dana svi znaju da je brzina privatan put. x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom periodu:

Da biste saznali brzinu kretanja u datom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: izbacite konstantu

Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štaviše, to se mora uraditi. Prilikom rješavanja primjera iz matematike uzmite po pravilu - ako možete pojednostaviti izraz, budite sigurni da ste ga pojednostavili .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbira funkcija

Derivat zbira dviju funkcija jednak je zbroju izvoda ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite derivaciju funkcije:

Treće pravilo: derivacija proizvoda funkcija

Derivat proizvoda dvije diferencijabilne funkcije izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite derivaciju funkcije:

Rješenje:

Ovdje je važno reći o izračunavanju izvoda složenih funkcija. Derivat kompleksne funkcije jednak je proizvodu izvoda ove funkcije u odnosu na međuargument na derivaciju srednjeg argumenta u odnosu na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo razmatramo derivaciju eksterne funkcije u odnosu na međuargument, a zatim množimo derivacijom samog međuargumena u odnosu na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: Derivat količnika dvije funkcije

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dvije funkcije:

Pokušali smo da pričamo o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam da riješite najtežu kontrolu i da se nosite sa zadacima, čak i ako se nikada prije niste bavili proračunom izvedenica.