Формула за аритметична прогресия an. Аритметична прогресия: какво е това? Условия и обозначения
Внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които "не са много ..."
И за тези, които "много ...")
Аритметичната прогресия е поредица от числа, в които всяко число е по -голямо (или по -малко) от предишното със същото количество.
Тази тема често е трудна и неразбираема. Индекси за букви, n -тият член на прогресията, разликата в прогресията - всичко това е някак объркващо, да ... Нека разберем значението на аритметичната прогресия и всичко ще се получи веднага.)
Концепция за аритметична прогресия.
Аритметичната прогресия е много проста и ясна концепция. Съмнение? Напразно.) Вижте сами.
Ще напиша незавършена поредица от числа:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Можете ли да удължите този ред? Какви числа ще последват след петте? Всеки ... ъ-ъ-ъ ..., накратко, всеки ще осъзнае, че числата 6, 7, 8, 9 и т.н. ще отидат по-далеч.
Нека усложним задачата. Давам незавършена поредица от числа:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Ще можете да хванете модела, да разширите серията и името седмономер на ред?
Ако сте разбрали, че това число е 20 - поздравявам ви! Не само се чувствахте ключови точки от аритметичната прогресия,но също така успешно ги използва в бизнеса! Ако не сте разбрали, прочетете нататък.
Сега нека преведем ключовите моменти от усещането в математиката.)
Първият ключов момент.
Аритметичната прогресия се занимава с поредица от числа.Това в началото е объркващо. Свикнали сме да решаваме уравнения, да начертаваме графики и всичко това ... И след това да разширим серията, да намерим номера на серията ...
ОК е. Просто прогресията е първото запознаване с нов клон на математиката. Разделът се нарича "Редове" и работи със серия от числа и изрази. Свиквай.)
Втори ключов момент.
В аритметична прогресия всяко число е различно от предишното със същата сума.
В първия пример тази разлика е една. Каквото и число да вземете, то е по -голямо от предишното едно по едно. Във втория - три. Всяко число, по -голямо от предходното с три. Всъщност именно този момент ни дава възможност да уловим модела и да изчислим следващите числа.
Третият ключов момент.
Този момент не е поразителен, да ... Но е много, много важен. Ето го: всяко число в прогресията стои на мястото си.Там е първото число, има седмото, има четиридесет и петото и т.н. Ако те са объркани на случаен принцип, моделът ще изчезне. Аритметичната прогресия също ще изчезне. Ще има само ред от числа.
Това е целият смисъл.
Разбира се, в новата тема се появяват нови термини и обозначения. Трябва да ги познавате. В противен случай няма да разберете задачата. Например, трябва да решите нещо като:
Изпишете първите шест члена от аритметичната прогресия (a n), ако a 2 = 5, d = -2,5.
Вдъхновява ли?) Писма, някои индекси ... И задачата, между другото - не може да бъде по -лесна. Просто трябва да разберете значението на термините и обозначенията. Сега ще овладеем този бизнес и ще се върнем към задачата.
Условия и обозначения.
Аритметична прогресияе поредица от числа, в която всяко число е различно от предишното със същата сума.
Това количество се нарича ... Нека се заемем с тази концепция по -подробно.
Разлика в аритметичната прогресия.
Разлика в аритметичната прогресияе сумата, с която всеки номер на прогресията Повече ▼предишната.
Един важен момент. Моля, обърнете внимание на думата "Повече ▼".Математически това означава, че всяко число в прогресията се получава добавянеразликата на аритметичната прогресия до предишното число.
За изчисление, да речем второномер на поредицата, е необходимо да първиятброя добаветесъщата тази разлика в аритметичната прогресия. За изчисление пети- разликата е необходима добаветеДа се четвърто,добре и т.н.
Разлика в аритметичната прогресияможе би положителен,тогава всеки номер от реда ще се окаже наистина повече от предишния.Тази прогресия се нарича повишаване на.Например:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Тук се получава всяко число добавянеположително число, +5 към предишното.
Разликата може да бъде отрицателен,тогава всяко число от поредицата ще бъде по -малко от предходната.Такава прогресия се нарича (няма да повярвате!) намаляващ.
Например:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Тук се получава и всяко число добавянекъм предишното, но вече отрицателно число, -5.
Между другото, когато работите с прогресия, е много полезно веднага да определите естеството й - независимо дали се увеличава или намалява. Много помага да се ориентирате в решението, да откриете грешките си и да ги поправите, преди да е станало твърде късно.
Разлика в аритметичната прогресияобозначава се, като правило, с буквата д.
Как да намеря д? Много просто. Необходимо е да се извади от произволен номер от поредицата предишниномер. Извадете. Между другото, резултатът от изваждането се нарича "разлика".)
Определяме, например, дза увеличаване на аритметичната прогресия:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Взимаме произволен номер от реда, който искаме, например, 11. Изваждаме от него предишен номер,тези. осем:
Това е верният отговор. За тази аритметична прогресия разликата е три.
Можете да вземете точно произволен брой прогресия,от за конкретна прогресия д -винаги същото.Поне някъде в началото на реда, поне в средата, поне навсякъде. Не можете да вземете само първото число. Просто защото първото число няма предходна.)
Между другото, знаейки това d = 3, много лесно е да се намери седмият номер на тази прогресия. Добавете 3 към петото число - получаваме шестото, ще бъде 17. Добавете три към шестото число, получаваме седмото число - двадесет.
Определяме дза намаляваща аритметична прогресия:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Напомням ви, че независимо от знаците, за да определите де необходимо от произволен номер премахнете предишния.Избираме произволен номер от прогресията, например -7. Предишната е -2. Тогава:
d = -7 -(-2) = -7 + 2 = -5
Разликата в аритметичната прогресия може да бъде произволно число: цяло, дробно, ирационално, каквото и да е.
Други термини и обозначения.
Всяко число от поредицата се извиква член на аритметична прогресия.
Всеки член на прогресията има свой собствен номер.Цифрите са строго подредени, без никакви трикове. Първо, второ, трето, четвърто и т.н. Например, в прогресията 2, 5, 8, 11, 14, ... два е първият член, пет е вторият, единадесет е четвъртият, добре, разбирате ...) Моля, разберете ясно - самите числаможе да бъде абсолютно всяко, цяло, частично, отрицателно, каквото и да е, но номериране на числа- строго по ред!
Как да запишем обща прогресия? Няма проблем! Всяко число в реда е написано като буква. Като правило буквата се използва за обозначаване на аритметична прогресия а... Номерът на члена е обозначен с индекс в долния десен ъгъл. Пишем членове, разделени със запетаи (или точка и запетая), по следния начин:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
а 1е първото число, а 3- трета и др. Нищо сложно. Можете накратко да напишете тази поредица така: (a n).
Прогресиите са краен и безкраен.
Крайнатапрогресията има ограничен брой членове. Пет, тридесет и осем, каквото и да е. Но - крайно число.
Безкраенпрогресия - има безкраен брой членове, както се досещате.)
Можете да напишете окончателната прогресия през поредица като тази, всички членове и точка в края:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.
Или така, ако има много членове:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
В кратък запис ще трябва допълнително да посочите броя на членовете. Например (за двадесет членове), така:
(a n), n = 20
Безкрайна прогресия може да бъде разпозната от елипсата в края на реда, както в примерите в този урок.
Сега можете да решавате задачи. Задачите са прости, чисто за разбиране на значението на аритметичната прогресия.
Примери за задачи по аритметична прогресия.
Нека разгледаме по -отблизо задачата, която е дадена по -горе:
1. Запишете първите шест члена от аритметичната прогресия (a n), ако a 2 = 5, d = -2,5.
Превеждаме задачата на разбираем език. Дадена е безкрайна аритметична прогресия. Вторият номер на тази прогресия е известен: а 2 = 5.Разликата в прогресията е известна: d = -2,5.Необходимо е да се намерят първият, третият, четвъртият, петият и шестият член на тази прогресия.
За по -голяма яснота ще запиша поредица според състоянието на проблема. Първите шест термина, където вторият термин е пет:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6, ....
а 3 = а 2 + д
Замяна в израз а 2 = 5и d = -2,5... Не забравяйте за минуса!
а 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Третият термин е по -малък от втория. Всичко е логично. Ако числото е по -голямо от предишното с отрицателенстойност, тогава самото число ще се окаже по -малко от предишното. Прогресията намалява. Добре, нека го вземем предвид.) Ние считаме четвъртия член на нашата поредица:
а 4 = а 3 + д
а 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
5 = а 4 + д
5=0+(-2,5)= - 2,5
а 6 = 5 + д
а 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
И така, сроковете от третия до шестия се изчисляват. Резултатът е такава серия:
a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
Остава да намерим първия термин а 1според добре познатия втори. Това е стъпка в друга посока, наляво.) Следователно, разликата в аритметичната прогресия дне е необходимо да се добавя към а 2, а за вкъщи:
а 1 = а 2 - д
а 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Това е всичко. Отговор на задачата:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
По пътя ще отбележа, че решихме тази задача повтарящи сеначин. Тази страшна дума означава само търсене на член на прогресията. с предишния (съседен) номер.Ще разгледаме други начини за работа с прогресия по -късно.
От тази проста задача може да се направи един важен извод.
Помня:
Ако знаем поне един термин и разликата в аритметична прогресия, можем да намерим всеки член на тази прогресия.
Помня? Това просто заключение ви позволява да решите повечето задачи на училищния курс по тази тема. Всички задачи се въртят около три основни параметъра: член на аритметична прогресия, разлика в прогресията, номер на член на прогресията.Всичко.
Разбира се, цялата предишна алгебра не се отменя.) Неравенствата, уравненията и други неща са свързани с прогресията. Но от самата прогресия- всичко се върти около три параметъра.
Нека да разгледаме някои от популярните задачи по тази тема като пример.
2. Запишете крайната аритметична прогресия като серия, ако n = 5, d = 0.4 и a 1 = 3.6.
Тук всичко е просто. Всичко вече е дадено. Трябва да запомните как членовете на аритметична прогресия се броят, преброяват и записват. Препоръчително е да не пропускате думите в условието на задачата: "окончателен" и " n = 5". Да не се брои до пълното посиняване на лицето.) В тази прогресия има само 5 (пет) члена:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
а 4 = а 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
5 = а 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Остава да запишем отговора:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Друга задача:
3. Определете дали числото 7 е член на аритметичната прогресия (a n), ако a 1 = 4,1; d = 1,2.
Хм ... Кой знае? Как да определим нещо?
Как-как ... Да, запишете прогресията под формата на серия и вижте дали там ще има седем или не! Ние считаме:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
а 4 = а 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Сега ясно се вижда, че сме само седем се промъкнамежду 6.5 и 7.7! Седемте не попаднаха в нашата поредица от числа и следователно седемте няма да бъдат членове на дадената прогресия.
Отговорът е не.
И ето задача, базирана на реална версия на GIA:
4. Няколко последователни члена на аритметичната прогресия са изписани:
...; 15; NS; девет; 6; ...
Тук се пише ред без край и начало. Без номера на членове, без разлика д... ОК е. За да се реши проблемът, е достатъчно да се разбере значението на аритметичната прогресия. Гледаме и мислим какво е възможно да знамот тази поредица? Кои са трите основни параметъра?
Номерата на членовете? Тук няма нито един номер.
Но има три числа и - внимание! - дума "последователен"в състояние. Това означава, че числата са строго подредени, без пропуски. Има ли двама в този ред съседниизвестни числа? Да, има! Това са 9 и 6. Така че можем да изчислим разликата в аритметичната прогресия! Изваждаме от шестте предишниномер, т.е. девет:
Останаха просто дреболии. Какво е предишното число за X? Петнадесет. Това означава, че x може лесно да се намери чрез просто добавяне. Добавете разликата в аритметичната прогресия към 15:
Това е всичко. Отговор: x = 12
Ние сами решаваме следните проблеми. Забележка: тези проблеми не са свързани с формули. Чисто за разбиране на значението на аритметична прогресия.) Ние просто записваме поредица от цифри-букви, гледаме и мислим.
5. Намерете първия положителен член на аритметичната прогресия, ако a 5 = -3; d = 1,1.
6. Известно е, че числото 5.5 е член на аритметичната прогресия (a n), където a 1 = 1.6; d = 1,3. Определете числото n на този член.
7. Известно е, че в аритметичната прогресия a 2 = 4; а 5 = 15,1. Намерете 3.
8. Изписани няколко последователни члена на аритметичната прогресия:
...; 15,6; NS; 3,4; ...
Намерете термина в прогресията, обозначен с буквата х.
9. Влакът започна да се движи от гарата, като постоянно увеличава скоростта си с 30 метра в минута. Каква ще бъде скоростта на влака след пет минути? Дайте своя отговор в км / ч.
10. Известно е, че в аритметичната прогресия a 2 = 5; а 6 = -5. Намерете 1.
Отговори (в безпорядък): 7.7; 7,5; 9,5; девет; 0,3; 4.
Всичко се получи? Чудесен! Можете да овладеете аритметичната прогресия на по -високо ниво в следващите уроци.
Не всичко ли се получи? Няма проблем. В специален раздел 555 всички тези проблеми са подредени на парчета.) И, разбира се, е описана проста практическа техника, която веднага подчертава решаването на такива задачи ясно, ясно, сякаш на дланта ви!
Между другото, в пъзела за влака има два проблема, на които хората често се спъват. Единият е изцяло в прогресия, а вторият е често срещан за всякакви проблеми в математиката и физиката също. Това е превод на измерения от един в друг. В него е показано как трябва да се решат тези проблеми.
В този урок разгледахме елементарното значение на аритметичната прогресия и нейните основни параметри. Това е достатъчно за решаване на почти всички проблеми по тази тема. Добавяне дкъм числата, напишете серия, всичко ще бъде решено.
Разтворът за пръсти работи добре за много къси парчета от ред, както в примерите в този урок. Ако редът е по -дълъг, изчисленията стават по -сложни. Например, ако в проблем 9 във въпроса, заменете "пет минути"На "тридесет и пет минути"проблемът ще се разгневи значително.)
Има и задачи, които са прости по същество, но невероятни по отношение на изчисленията, например:
Получавате аритметична прогресия (a n). Намерете 121, ако 1 = 3 и d = 1/6.
И какво, ще добавим много, много пъти по 1/6?! Можеш ли да се самоубиеш!?
Можете.) Ако не знаете проста формула, според която подобни задачи могат да бъдат решени за минута. Тази формула ще бъде в следващия урок. И този проблем е решен там. След минутка.)
Ако харесвате този сайт ...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаването на примери и да разберете вашето ниво. Незабавно тестване за валидиране. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
Математиката има своя собствена красота, точно като живописта и поезията.
Руски учен, механик Н.Е. Жуковски
Проблемите, свързани с понятието аритметична прогресия, са много чести проблеми при приемните изпити по математика. За успешно решаване на подобни проблеми е необходимо да се познават добре свойствата на аритметичната прогресия и да се имат определени умения в тяхното прилагане.
Първо припомняме основните свойства на аритметичната прогресия и представяме най -важните формули, свързани с това понятие.
Определение. Числова последователност, при което всеки следващ термин се различава от предишния със същия номер, наречена аритметична прогресия. Освен това броятнарича разликата в прогресията.
За аритметична прогресия следните формули са валидни
, (1)
където . Формула (1) се нарича формула за общия член на аритметична прогресия, а формула (2) е основното свойство на аритметичната прогресия: всеки член на прогресията съвпада със средната аритметична на съседните й членове и.
Обърнете внимание, че именно поради това свойство разглежданата прогресия се нарича "аритметична".
Горните формули (1) и (2) са обобщени, както следва:
(3)
За да се изчисли суматапървият членове на аритметичната прогресияобикновено се прилага формулата
(5) къде и.
Като се вземе предвид формулата (1), тогава формула (5) предполага
Ако обозначаваме, тогава
където . Тъй като, тогава формулите (7) и (8) са обобщение на съответните формули (5) и (6).
В частност , формула (5) предполага, Какво
Свойството на аритметичната прогресия, формулирано чрез следната теорема, е сред малко познатите на повечето студенти.
Теорема.Ако, тогава
Доказателство.Ако, тогава
Теоремата е доказана.
Например , използвайки теоремата, може да се покаже, че
Нека преминем към разглеждане на типични примери за решаване на задачи по темата "Аритметична прогресия".
Пример 1.Нека и. Намирам .
Решение.Прилагайки формула (6), получаваме. Тъй като и, тогава или.
Пример 2.Нека бъде три пъти повече и когато се дели на по частното, получаваме 2 и остатък 8. Определете и.
Решение.Условието на примера предполага системата от уравнения
Тъй като ,, и, тогава от системата от уравнения (10) получаваме
Решението на тази система от уравнения е и.
Пример 3.Намерете дали и.
Решение.Според формула (5) имаме или. Въпреки това, използвайки свойство (9), получаваме.
Тъй като и, след това от равенството уравнението следваили .
Пример 4.Намерете ако.
Решение.По формула (5) имаме
Използвайки теоремата обаче, човек може да пише
От това и формула (11) получаваме.
Пример 5. Като се има предвид :. Намирам .
Решение.От тогава. Въпреки това, следователно.
Пример 6.Нека, и. Намирам .
Решение.Използвайки формула (9), получаваме. Следователно, ако, тогава или.
От и, тогава тук имаме системата от уравнения
Решавайки което, получаваме и.
Естественият корен на уравнениетое .
Пример 7.Намерете дали и.
Решение.Тъй като по формула (3) имаме това, тогава постановката на проблема предполага системата от уравнения
Ако замените изразавъв второто уравнение на системата, тогава получаваме или.
Корените на квадратното уравнение саи .
Нека разгледаме два случая.
1. Нека тогава. От и тогава.
В този случай, съгласно формула (6), имаме
2. Ако, тогава и
Отговор: и.
Пример 8.Известно е, че и. Намирам .
Решение.Като вземем предвид формулата (5) и условието на примера, записваме и.
Оттук следва системата от уравнения
Ако умножим първото уравнение на системата с 2 и след това го добавим към второто уравнение, получаваме
Съгласно формула (9) имаме... В тази връзка от (12) следваили .
От и тогава.
Отговор: .
Пример 9.Намерете дали и.
Решение.Тъй като и по условие, тогава или.
От формула (5) е известно, Какво . От тогава.
Следователно, тук имаме система от линейни уравнения
Следователно получаваме и. Като вземем предвид формулата (8), пишем.
Пример 10.Решете уравнението.
Решение.От даденото уравнение следва, че. Да предположим, че ,, и. В такъв случай .
Съгласно формула (1) можете да напишете или.
Тъй като уравнението (13) има един -единствен подходящ корен.
Пример 11.Намерете максималната стойност при условие, че и.
Решение.Тъй като разглежданата аритметична прогресия намалява. В тази връзка изразът приема максималната стойност, когато е числото на минималния положителен член на прогресията.
Използваме формула (1) и факта, като. Тогава получаваме това или.
Оттогава, или ... В това неравенство обаченай -голямо естествено число, Следователно .
Ако стойностите и са заместени във формулата (6), тогава получаваме.
Отговор: .
Пример 12.Определете сумата от всички двуцифрени естествени числа, които, разделени на 6, дават остатък от 5.
Решение.Нека обозначим чрез множеството от всички двуцифрени естествени числа, т.е. ... След това конструираме подмножество, състоящо се от тези елементи (числа) от множеството, които, разделени на 6, дават на остатъка 5.
Не е трудно да се установи, Какво . Очевидно, че елементите на множествотообразуват аритметична прогресия, в която и.
За да установим мощността (броя на елементите) на множеството, приемаме, че. Тъй като и, то от формула (1) следва или. Като вземем предвид формулата (5), получаваме.
Горните примери за решаване на проблеми по никакъв начин не могат да претендират за изчерпателни. Тази статия е написана въз основа на анализ на съвременни методи за решаване на типични проблеми по дадена тема. За по -задълбочено изследване на методите за решаване на проблеми, свързани с аритметичната прогресия, е препоръчително да се обърнете към списъка с препоръчителна литература.
1. Сборник от задачи по математика за кандидати за технически колежи / Под ред. M.I. Сканави. - М.: Мир и образование, 2013.- 608 стр.
2. Супрун В.П. Математика за ученици от гимназията: допълнителни раздели от училищната програма. - М.: Ленанд / URSS, 2014.- 216 стр.
3. Медински М.М. Пълен курс по елементарна математика в задачи и упражнения. Книга 2: Последователности и прогресии на числата. - М.: Едит, 2015.- 208 стр.
Все още имате въпроси?
За да получите помощ от учител - регистрирайте се.
сайт, с пълно или частично копиране на материала, е необходима връзка към източника.
Някой е предпазлив от думата „прогресия“, като много сложен термин от клоновете на висшата математика. Междувременно най -простата аритметична прогресия е работата на таксиметровата машина (където те все още остават). И да се разбере същността (а в математиката няма нищо по -важно от "разбирането на същността") на аритметичната последователност не е толкова трудно, като се анализират няколко елементарни понятия.
Математическа последователност от числа
Прието е да се назовават поредица от числа чрез цифрова последователност, всяка от които има свой собствен номер.
a 1 - първият член на последователността;
и 2 е вторият член на последователността;
и 7 е седмият член на последователността;
и n е n -тият член на последователността;
Ние обаче не се интересуваме от произволен набор от числа и числа. Нашето внимание ще бъде съсредоточено върху числовата последователност, в която стойността на n -тия член е свързана с неговия порядков номер чрез зависимост, която може да бъде ясно формулирана математически. С други думи: числовата стойност на n-то число е някаква функция от n.
a - стойност на член от числова последователност;
n е неговият сериен номер;
f (n) е функция, където ординалът в числовата последователност n е аргумент.
Определение
Обичайно е да се нарича аритметична прогресия числова последователност, в която всеки следващ член е по -голям (по -малък) от предишния със същия номер. Формулата за n -ия член на аритметична последователност е следната:
a n - стойността на текущия член на аритметичната прогресия;
a n + 1 - формулата за следващото число;
d - разлика (определено число).
Лесно е да се определи, че ако разликата е положителна (d> 0), тогава всеки следващ член от разглежданата серия ще бъде по -голям от предишния и такава аритметична прогресия ще се увеличава.
В графиката по -долу е лесно да се види защо последователността от числа се нарича „възходяща“.
В случаите, когато разликата е отрицателна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Стойността на посочения член
Понякога е необходимо да се определи стойността на произволен член a n от аритметична прогресия. Можете да направите това, като изчислите последователно стойностите на всички членове на аритметичната прогресия, започвайки от първия до желания. Този път обаче не винаги е приемлив, ако например е необходимо да се намери значението на петхилядния или осеммилионния член. Традиционното изчисление ще отнеме много време. Въпреки това, специфична аритметична прогресия може да бъде изследвана с помощта на специфични формули. Има и формула за n -ти член: стойността на всеки член на аритметична прогресия може да се определи като сумата на първия член на прогресията с разликата на прогресията, умножена по броя на желания член, намалена с един.
Формулата е универсална както за увеличаване, така и за намаляване на прогресията.
Пример за изчисляване на стойността на даден член
Нека решим следния проблем за намиране на стойността на n -ия член на аритметична прогресия.
Условие: има аритметична прогресия с параметри:
Първият член в последователността е 3;
Разликата в числовите серии е 1.2.
Задание: трябва да намерите стойността на 214 членове
Решение: за да определим стойността на даден термин, използваме формулата:
a (n) = a1 + d (n-1)
Замествайки данните от условието на задачата в израза, имаме:
a (214) = a1 + d (n-1)
a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Отговор: 214 -ият член в поредицата е 258,6.
Предимствата на този метод на изчисление са очевидни - цялото решение отнема не повече от 2 реда.
Сума от определен брой членове
Много често в даден аритметичен ред се изисква да се определи сумата от стойностите на определен сегмент от него. Това също не изисква изчисляване на стойностите на всеки член и след това сумиране. Този метод е приложим, ако броят на термините, които ще бъдат намерени, е малък. В други случаи е по -удобно да използвате следната формула.
Сумата от членовете на аритметичната прогресия от 1 до n е равна на сумата от първия и n -ия член, умножена по броя на члена n и разделена на две. Ако във формулата стойността на n -тия член се замени с израза от предишния параграф на статията, получаваме:
Пример за изчисление
Например, нека решим проблем със следните условия:
Първият член в поредицата е нула;
Разликата е 0,5.
В задачата трябва да определите сумата от членовете на поредицата от 56 -то до 101.
Решение. Нека използваме формулата за определяне на сумата от прогресията:
s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2
Първо, ние определяме сумата от стойностите на 101 членове на прогресията, замествайки данните за техните условия на нашия проблем във формулата:
s 101 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2 525
Очевидно, за да се разбере сумата от членовете на прогресията от 56 -и до 101 -ви, е необходимо да се извади S 55 от S 101.
s 55 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742,5
По този начин сумата от аритметичната прогресия за този пример:
s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5
Пример за практическо приложение на аритметичната прогресия
В края на статията, нека се върнем към примера на аритметичната последователност, дадена в първия параграф - таксометър (измервател на таксиметрови коли). Нека разгледаме един пример.
Качването на такси (което включва 3 км бягане) струва 50 рубли. Всеки следващ километър се заплаща в размер на 22 рубли / км. Разстояние за пътуване 30 км. Изчислете цената на пътуването.
1. Нека изхвърлим първите 3 км, чиято цена е включена в цената за кацане.
30 - 3 = 27 км.
2. По -нататъшното изчисление не е нищо повече от анализ на аритметична числова серия.
Номер на член - броят на изминатите километри (минус първите три).
Стойността на члена е сумата.
Първият член в този проблем ще бъде равен на 1 = 50 p.
Разлика в прогресията d = 22 p.
числото, което ни интересува, е стойността на (27 + 1) -ия член на аритметичната прогресия - показанието на брояча в края на 27 -ия километър е 27.999 ... = 28 км.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Изчисленията на календарните данни за произволно дълъг период се основават на формули, описващи определени числови последователности. В астрономията дължината на орбитата геометрично зависи от разстоянието на небесното тяло до светилото. В допълнение, различни числови серии се използват успешно в статистиката и други приложни математически клонове.
Друг вид последователност от числа е геометрична
Геометричната прогресия се характеризира с големи, в сравнение с аритметичните, темпове на промяна. Неслучайно в политиката, социологията, медицината често казват, че процесът се развива експоненциално, за да покаже високия темп на разпространение на явление, например болест по време на епидемия.
N -тият член на геометричния числов ред се различава от предишния по това, че се умножава по някакво постоянно число - знаменателят, например, първият член е 1, знаменателят съответно 2, тогава:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n = 5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - стойността на текущия член на геометричната прогресия;
b n + 1 - формулата на следващия член на геометричната прогресия;
q е знаменателят на геометрична прогресия (постоянно число).
Ако графиката на аритметичната прогресия е права линия, тогава геометричната рисува малко по -различна картина:
Както в случая с аритметиката, геометричната прогресия има формула за стойността на произволен член. Всеки n-ти член на геометричната прогресия е равен на произведението на първия член от знаменателя на прогресията до степен n, намален с единица:
Пример. Имаме геометрична прогресия с първия член равен на 3 и знаменателя на прогресията, равен на 1,5. Намерете 5 -ия член на прогресията
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Сумата от даден брой членове се изчислява по същия начин, като се използва специална формула. Сумата от първите n членове на геометрична прогресия е равна на разликата между произведението на n -ия член на прогресията и нейния знаменател и първия член на прогресията, разделен на знаменателя, намален с единица:
Ако b n се замени с помощта на формулата, разгледана по -горе, стойността на сумата от първите n членове на разглежданата числова серия ще приеме формата:
Пример. Геометричната прогресия започва с първия член, равен на 1. Знаменателят е зададен равен на 3. Намерете сумата от първите осем члена.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Така че нека да седнем и да започнем да записваме няколко числа. Например:
Можете да напишете всякакви числа и може да има колкото искате (в нашия случай те). Без значение колко числа пишем, винаги можем да кажем кое е първото, кое е второто и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за последователност от числа:
Числова последователност
Например, за нашата последователност:
Присвоеният номер е специфичен само за един номер в поредицата. С други думи, в поредицата няма три втори числа. Второто число (като -то число) винаги е едно.
Числото с номера се нарича th -ият член на поредицата.
Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например) и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член :.
В нашия случай: 
Да приемем, че имаме числова последователност, в която разликата между съседните числа е еднаква и равна.
Например: 
и т.н.
Тази цифрова последователност се нарича аритметична прогресия.
Терминът "прогресия" е въведен от римския автор Боеций през 6 век и е разбран в по -широк смисъл като безкрайна последователност от числа. Името "аритметика" е пренесено от теорията за непрекъснатите пропорции, която е била заета от древните гърци.
Това е числова последователност, всеки член на която е равен на предишния, добавен към същото число. Това число се нарича разлика на аритметичната прогресия и се обозначава с.
Опитайте се да определите кои последователности от числа са аритметична прогресия и кои не:
а)
б)
° С)
д)
Разбрах? Нека сравним нашите отговори:
Еаритметична прогресия - b, c.
Не еаритметична прогресия - a, d.
Нека се върнем към дадената прогресия () и се опитаме да намерим стойността на неговия член. Съществува двеначинът да го намерите.
1. Метод
Можем да добавим към предишната стойност на номера на прогресията, докато стигнем до третия член на прогресията. Добре е, че не ни остава много да обобщим - само три стойности:
И така, th -ият член на описаната аритметична прогресия е равен на.
2. Метод
Ами ако трябваше да намерим стойността на този член в прогресията? Обобщаването би ни отнело повече от един час и не е факт, че няма да сбъркаме, когато добавяме числа.
Разбира се, математиците са измислили начин, по който не е необходимо да добавяте разликата в аритметичната прогресия към предишната стойност. Погледнете по -отблизо нарисуваната картина ... Със сигурност вече сте забелязали определен модел, а именно:
Например, нека видим как се добавя стойността на th -ия член на тази аритметична прогресия: 
С други думи:
Опитайте се сами да намерите по този начин стойността на член на дадена аритметична прогресия.
Изчислено? Сравнете вашите бележки с отговора:
Моля, обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно добавихме членовете на аритметичната прогресия към предишната стойност.
Нека се опитаме да „обезличим“ тази формула - ще я приведем в обща форма и ще получим:
|
Уравнение за аритметична прогресия. |
Аритметичните прогресии нарастват, а понякога намаляват.
Възходящ- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по -голяма от предишната.
Например:
Намаляване- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по -малка от предишната.
Например:
Получената формула се използва при изчисляване на членовете както в нарастващи, така и в намаляващи членове на аритметична прогресия.
Нека го проверим на практика.
Дадена ни е аритметична прогресия, състояща се от следните числа: Нека проверим какъв ще бъде числото на тази аритметична прогресия, ако използваме нашата формула за изчисляването й:
От тогава:
Така се уверихме, че формулата работи както в намаляваща, така и във нарастваща аритметична прогресия.
Опитайте се сами да намерите тия и този член на тази аритметична прогресия.
Нека сравним получените резултати:
Свойство на аритметична прогресия
Нека усложним задачата - ще извлечем свойството на аритметичната прогресия.
Да предположим, че имаме следното условие:
- аритметична прогресия, намерете стойността.
Лесно, казваш и започваш да броиш по формулата, която вече знаеш:
Нека, а, тогава:
Абсолютно прав. Оказва се, че първо откриваме, след това го добавяме към първото число и получаваме това, което търсим. Ако прогресията е представена с малки стойности, тогава няма нищо сложно в това, но ако ни бъдат дадени числа в условието? Признайте си, има шанс да направите грешка в изчисленията.
Сега помислете, възможно ли е да се реши този проблем с едно действие, използвайки някаква формула? Разбира се, да, и именно тя ще се опитаме да се оттеглим сега.
Нека обозначим необходимия член на аритметичната прогресия като, ние знаем формулата за намирането му - това е същата формула, която изведохме в началото:
, тогава:
- предишният член на прогресията е:
- следващият член на прогресията е:
Нека обобщим предишните и следващите членове на прогресията:
Оказва се, че сумата от предишните и следващите членове на прогресията е удвоената стойност на члена на прогресията, разположен между тях. С други думи, за да се намери стойността на член на прогресията с известни предишни и последователни стойности, е необходимо да се съберат и разделят на.
Точно така, имаме същия номер. Нека поправим материала. Изчислете сами стойността за прогресията, защото това изобщо не е трудно.
Много добре! Знаеш почти всичко за прогресията! Остава само една формула, която трябва да се научи, която според легендата е лесно изведена за него от един от най -великите математици на всички времена, „краля на математиците“ - Карл Гаус ...
Когато Карл Гаус беше на 9 години, учител, ангажиран с проверка на работата на учениците от други класове, зададе следния проблем в урока: „Изчислете сумата от всички естествени числа от до (според други източници до) включително“. Представете си изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) даде правилния отговор на проблема за минута, докато повечето съученици на смелчака, след дълги изчисления, получиха грешен резултат ...
Младият Карл Гаус забеляза определен модел, който лесно можете да забележите.
Да кажем, че имаме аритметична прогресия, състояща се от -ти членове: Трябва да намерим сумата от дадените членове на аритметичната прогресия. Разбира се, можем ръчно да сумираме всички стойности, но какво, ако в задачата е необходимо да се намери сумата от нейните членове, както търсеше Гаус?
Нека нарисуваме дадена прогресия. Погледнете внимателно маркираните числа и се опитайте да извършите различни математически операции с тях. 
Пробвали ли сте го? Какво забелязахте? Точно така! Сумите им са равни
Сега ми кажете, колко такива двойки има в дадената прогресия? Разбира се, точно половината от всички числа, т.е.
Въз основа на факта, че сумата от два члена на аритметична прогресия е равна и подобни равни двойки, получаваме, че общата сума е:
.
Така формулата за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде следната:
При някои проблеми не знаем този термин, но знаем разликата в прогресията. Опитайте се да замените във формулата сумата, формулата на този член.
Какво направи?
Много добре! Сега да се върнем към задачата, дадена на Карл Гаус: изчислете сами каква е сумата от числата, започващи от -то, и сумата от числата, започващи от -то.
Колко получи?
Гаус открива, че сумата на членовете е равна, а сумата на членовете. Така ли си решил?
Всъщност формулата за сумата от членовете на аритметична прогресия е доказана от древногръцкия учен Диофант през 3 век и през цялото това време остроумните хора са използвали свойствата на аритметичната прогресия в най -голяма степен.
Например, представете си Древен Египет и най -голямата строителна площадка от онова време - изграждането на пирамидата ... Фигурата показва едната й страна. 
Къде е прогреса тук казвате? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата. 
Не е ли аритметична прогресия? Изчислете колко блока са необходими за изграждането на една стена, ако блокови тухли са поставени в основата. Надявам се, че няма да броите, като прокарате пръст по монитора, помните ли последната формула и всичко, което казахме за аритметичната прогресия?
В този случай прогресията изглежда така :.
Разлика в аритметичната прогресия.
Броят на членовете на аритметичната прогресия.
Нека заменим нашите данни в последните формули (ще преброим броя на блоковете по 2 начина).
Метод 1.
Метод 2.
И сега можете да изчислите на монитора: сравнете получените стойности с броя блокове, които са в нашата пирамида. Събра ли се? Браво, усвоихте сумата от условията на аритметичната прогресия.
Разбира се, не можете да изградите пирамида от блокове в основата, но от? Опитайте се да изчислите колко тухли от пясък са необходими за изграждане на стена с това условие.
Успяхте ли?
Правилният отговор е блокове:
Тренировка
Задачи:
- Маша влиза във форма до лятото. Всеки ден тя увеличава броя на клековете с. Колко пъти Маша ще кляка след седмици, ако на първата тренировка е правила клякания.
- Каква е сумата от всички нечетни числа, съдържащи се в.
- Когато съхранявате трупи, дървосекачите ги подреждат така, че всеки горен слой да съдържа един трупа по -малко от предишния. Колко трупи има в една зидария, ако трупите служат като основа на зидарията.
Отговори:
- Нека определим параметрите на аритметичната прогресия. В такъв случай
(седмици = дни).Отговор:След две седмици Маша трябва да кляка веднъж на ден.
- Първо нечетно число, последно число.
Разлика в аритметичната прогресия.
Броят на нечетните числа е наполовина, но ще проверим този факт, като използваме формулата за намиране на -тия член на аритметична прогресия:Цифрите съдържат нечетни числа.
Заменете наличните данни във формулата:Отговор:Сумата от всички нечетни числа, съдържащи се в, е равна на.
- Нека си припомним проблема с пирамидата. За нашия случай, а, тъй като всеки горен слой е намален с един дневник, тогава само в куп слоеве, т.е.
Нека заменим данните във формулата:Отговор:В зидарията има трупи.
Нека обобщим
- - числова последователност, в която разликата между съседните числа е еднаква и равна. Тя може да бъде възходяща и намаляваща.
- Намиране на формула-тият член на аритметичната прогресия се записва по формулата -, където е броят на числата в прогресията.
- Свойство на членове на аритметична прогресия- - къде е броят на числата в прогресията.
- Сумата от членовете на аритметична прогресияможе да се намери по два начина:
, където е броят на стойностите.
АРИМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. СРЕДНО НИВО
Числова последователност
Хайде да седнем и да започнем да пишем няколко числа. Например:
Можете да напишете всякакви числа и може да има колкото искате. Но винаги можете да кажете кой е първият, кой е вторият и т.н., тоест можем да ги номерираме. Това е пример за последователност от числа.
Числова последователносте набор от числа, на всеки от които може да бъде присвоен уникален номер.
С други думи, всяко число може да бъде свързано с определено естествено число и единствено. И няма да присвоим този номер на друг номер от този набор.
Числото с номера се нарича th -ият член на поредицата.
Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например) и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член :.
Много е удобно, ако th -ият член на последователността може да бъде даден с някаква формула. Например формулата
задава последователността:
Формулата е следната последователност:
Например аритметичната прогресия е последователност (първият член тук е равен и разликата). Или (, разлика).
Формула N -ти термин
Ние наричаме рекурентно формула, в която, за да разберете този член, трябва да знаете предишните или няколко предишни:
За да намерим например th -ия член на прогресията, използвайки такава формула, ще трябва да изчислим предишните девет. Например, нека. Тогава:
Е, каква е формулата сега?
Във всеки ред, към който добавяме, умножено по някакво число. За какво? Много просто: това е номерът на текущия член минус:
Сега е много по -удобно, нали? Проверяваме:
Решете сами:
В аритметична прогресия намерете формулата за n -ия член и намерете стотния член.
Решение:
Първият член е равен. Каква е разликата? И ето какво:
(това е така, защото се нарича разлика, която е равна на разликата на последователните членове на прогресията).
Така че формулата е:
Тогава стотният термин е:
Каква е сумата на всички естествени числа от до?
Според легендата великият математик Карл Гаус, като 9-годишно момче, е изчислил тази сума за няколко минути. Той забеляза, че сумата от първото и последното число е равна, сумата от второто и последното, но едното е същото, сумата от третото и третото от края е същото и т.н. Колко такива двойки ще има? Точно така, точно половината от броя на всички числа, т.е. Така,
Общата формула за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия би била:
Пример:
Намерете сумата от всички двуцифрени кратни.
Решение:
Първият такъв номер е. Всяко следващо се получава чрез добавяне към предишното число. По този начин числата, които ни интересуват, образуват аритметична прогресия с първия член и разликата.
Формулата на термина за тази прогресия е:
Колко членове са в прогресия, ако всички те трябва да са двуцифрени?
Много лесно: .
Последният член в прогресията ще бъде равен. Тогава сумата:
Отговор: .
Сега решете сами:
- Всеки ден спортистът бяга повече от предишния ден. Колко километра ще избяга за седмици, ако избяга км m в първия ден?
- Колоездач изминава повече километри всеки ден от предишния. Първия ден измина км. Колко дни му трябват, за да измине км? Колко километра ще измине в последния ден от пътуването?
- Цената на хладилник в магазин намалява с една и съща сума всяка година. Определете колко цената на хладилника намалява всяка година, ако, пуснат за продажба за рубли, шест години по -късно е продаден за рубли.
Отговори:
- Най -важното тук е да разпознаем аритметичната прогресия и да определим нейните параметри. В този случай (седмици = дни). Трябва да определите сумата от първите членове на тази прогресия:
.
Отговор: - Тук е дадено :, е необходимо да се намери.
Очевидно трябва да използвате същата формула за сумата, както в предишния проблем:
.
Заменете стойностите:Коренът очевидно не се вписва, така че отговорът е.
Нека изчислим изминатото разстояние за последния ден, като използваме формулата за този термин:
(км).
Отговор: - Като се има предвид :. Намирам: .
Не може да бъде по -лесно:
(търкайте).
Отговор:
АРИМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО
Това е числова последователност, в която разликата между съседните числа е еднаква и равна.
Аритметичната прогресия може да бъде възходяща () и намаляваща ().
Например:
Формулата за намиране на n-ти член на аритметична прогресия
написано по формулата, където е броят на числата в прогресията.
Свойство на членове на аритметична прогресия
Тя ви позволява лесно да намерите член на прогресията, ако нейните съседни членове са известни - къде е броят на числата в прогресията.
Сумата от членовете на аритметична прогресия
Има два начина да намерите сумата:
Къде е броят на стойностите.
Къде е броят на стойностите.
ОСТАВЯЩИТЕ 2/3 СТАТИИ СА НАЛИЧНИ САМО ЗА УЧЕНИЦИТЕ, КОИТО НЕ МАГАТ!
Станете студент на YouClever,
Подгответе се за ИЗПОЛЗВАНЕ или ИЗПОЛЗВАНЕ по математика на цената на "чаша кафе на месец",
И също така получавате неограничен достъп до учебника "YouClever", учебната програма "100gia" (reshebnik), неограничен пробен период USE и OGE, 6000 проблема с анализ на решения и до други услуги на YouClever и 100gia.
Сумата от аритметичната прогресия.
Сумата от аритметична прогресия е просто нещо. Както по смисъл, така и по формула. Но има всякакви задачи по тази тема. От елементарно до доста солидно.
Първо, нека разберем значението и формулата за сумата. И тогава ще го поправим. За ваше удоволствие.) Значението на сумата е просто, като бръмчене. За да намерите сумата от аритметична прогресия, просто трябва внимателно да добавите всички нейни членове. Ако тези термини са малко, можете да добавяте без никакви формули. Но ако има много, или много ... добавянето е досадно.) В този случай формулата спестява.
Формулата за сумата изглежда проста:
Нека да разберем какви букви са включени във формулата. Това ще изясни много.
S n - сумата от аритметичната прогресия. Резултат от добавянето от всичкичленове с първиятНа последен.Важно е. Добавете точно всичкочленове подред, без пропуски и скокове. И именно, като се започне от първо.В задачи като намирането на сумата от третия и осмия член или сумата от петия до двадесетия член директното прилагане на формулата ще бъде разочароващо.)
а 1 - първочлен на прогресията. Тук всичко е ясно, просто е първономер на ред.
a n- последночлен на прогресията. Последният номер на реда. Не е много познато име, но когато се приложи към сумата, дори е много подходящо. Тогава ще се убедите сами.
н - номера на последния член. Важно е да се разбере, че във формулата това число съвпада с броя на добавените членове.
Нека да дефинираме концепцията Последниятчлен a n... Въпрос за запълване: кой член ще бъде последниятако е дадено безкраенаритметична прогресия?)
За уверен отговор трябва да разберете елементарния смисъл на аритметичната прогресия и ... прочетете внимателно заданието!)
В задачата за намиране на сумата от аритметична прогресия винаги се появява последният член (пряко или косвено), които трябва да бъдат ограничени.В противен случай крайната, конкретна сума просто не съществува.За решението не е важно коя прогресия е дадена: крайна или безкрайна. Няма значение как е зададен: чрез редица числа или по формулата на n-тия член.
Най -важното е да разберете, че формулата работи от първия член на прогресията до числото c. н.Всъщност пълното име на формулата изглежда така: сумата от първите n членове на аритметична прогресия.Броят на тези най -първи членове, т.е. н, се определя изключително от задачата. В задачата цялата тази ценна информация често е криптирана, да ... Но нищо, в примерите по -долу ще разкрием тези тайни.)
Примери за задачи за сумата от аритметична прогресия.
На първо място, полезна информация:
Основната трудност в задачите за сумата от аритметична прогресия се крие в правилното определяне на елементите на формулата.
Авторите на задачите криптират именно тези елементи с безгранично въображение.) Основното тук е да не се страхувате. Разбирането на същността на елементите е достатъчно просто да ги дешифрираме. Нека разгледаме по -отблизо няколко примера. Нека започнем със задача, базирана на истински GIA.
1. Аритметичната прогресия се определя от условието: a n = 2n-3.5. Намерете сумата на първите 10 члена.
Добра задача. Лесно.) Какво трябва да знаем, за да определим количеството по формулата? Първи семестър а 1, последен срок a n, да номера на последния член н.
Къде да получите номера на последния член н? Да там, в състояние! Пише: намерете сумата първите 10 членове.Е, какъв номер ще бъде последно,десети член?) Няма да повярвате, броят му е десети!) Така че вместо a nвъв формулата ще заменим 10и вместо н- десет. Отново броят на последния член е същият като броя на членовете.
Остава да се определи а 1и 10... Лесно е да се изчисли по формулата на n -ия член, която е дадена в постановката на задачата. Не сте сигурни как да направите това? Посетете предишния урок, без него - нищо.
а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
10= 210 - 3,5 = 16,5
S n = S 10.
Открихме значението на всички елементи на формулата за сумата от аритметична прогресия. Остава да ги заменим и преброим:
Това е всичко. Отговор: 75.
Друга задача, базирана на GIA. Малко по -сложно:
2. Получавате аритметична прогресия (a n), чиято разлика е 3,7; а 1 = 2,3. Намерете сумата на първите 15 членове.
Веднага пишем формулата за сумата:
Тази формула ни позволява да намерим стойността на всеки член по неговия номер. Търсим проста замяна:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Остава да заменим всички елементи във формулата за сумата от аритметичната прогресия и да изчислим отговора:
Отговор: 423.
Между другото, ако във формулата сумата вместо a nпросто заместваме формулата за n -ия член, получаваме:
Даваме подобни, получаваме нова формула за сумата от членовете на аритметична прогресия:
 |
Както можете да видите, n -тият термин тук не е задължителен. a n... В някои задачи тази формула помага много, да ... Можете да запомните тази формула. Или просто можете да го покажете в точното време, като тук. В крайна сметка формулата за сумата и формулата за n -ти член трябва да се запомнят по всякакъв начин.)
Сега задачата е под формата на кратко криптиране):
3. Намерете сумата от всички положителни двуцифрени числа, кратни на три.
Как! Нито първият член, нито последният, нито изобщо прогресията ... Как да живеем!?
Трябва да мислите с главата си и да извадите всички елементи на сумата от аритметичната прогресия от условието. Знаем какво представляват двуцифрените числа. Те се състоят от две цифри.) Какво двуцифрено число ще бъде първият? 10, предполагам.) последно нещодвуцифрено число? 99, разбира се! Трицифрени ще го последват ...
Множества от три ... Хм ... Това са числа, които се делят общо на три, тук! Десет не се дели на три, 11 не се дели ... 12 ... се дели! Значи нещо се очертава. Вече е възможно да се запише поредица според условието на проблема:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Ще бъде ли тази серия аритметична прогресия? Разбира се! Всеки член се различава от предишния строго по три. Ако добавим 2 или 4 към термина, да речем, резултатът, т.е. новото число вече няма да бъде разделено изцяло на 3. Към купчината можете веднага да определите разликата в аритметичната прогресия: d = 3.Ще ви бъде от полза!)
Така че можете спокойно да запишете някои параметри на прогресията:
И какъв ще бъде номерът нпоследен член? Всеки, който смята, че 99 е фатално погрешно ... Числа - те винаги вървят подред, а нашите членове прескачат първите три. Те не съвпадат.
Има два начина за решаването му. Един от начините е за супер трудолюбивите. Можете да нарисувате прогресията, цялата поредица от числа и да преброите броя на членовете с пръст.) Вторият начин е за внимателен. Трябва да запомним формулата за n -ия член. Ако приложим формулата към нашия проблем, получаваме, че 99 е тридесетият член на прогресията. Тези. n = 30.
Разглеждаме формулата за сумата от аритметична прогресия:
Гледаме и сме щастливи.) Извадихме от условието на проблема всичко необходимо за изчисляване на сумата:
а 1= 12.
30= 99.
S n = S 30.
Остава елементарна аритметика. Заместваме числата във формулата и преброяваме:
Отговор: 1665
Друг вид популярни пъзели:
4. Дадена е аритметична прогресия:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Намерете сумата от членове от двадесети до тридесет и четвърти.
Разглеждаме формулата за сумата и ... се разстройваме.) Формулата, нека ви напомня, изчислява сумата от първиячлен. И в задачата трябва да изчислите сумата от двадесети ...Формулата няма да работи.
Разбира се, можете да нарисувате цялата последователност последователно и да добавите членове от 20 до 34. Но ... това е някак глупаво и отнема много време, нали?)
Има по -елегантно решение. Нека разделим нашия ред на две части. Първата част ще бъде от първия член до деветнадесетия.Втора част - от двадесети до тридесет и четвърти.Ясно е, че ако изчислим сумата на членовете на първата част S 1-19, да, добавяме към сумата от условията на втората част S 20-34, получаваме сумата от прогресията от първия член до тридесет и четвъртия S 1-34... Като този:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Това показва, че за да намерите сумата S 20-34може да бъде просто изваждане
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Разглеждат се и двете суми от дясната страна от първиячлен, т.е. стандартната формула за сумата е доста приложима за тях. Приготвяме се да започнем?
Изваждаме параметрите на прогресията от постановката на проблема:
d = 1,5.
а 1= -21,5.
За да изчислим сумите на първите 19 и първите 34 члена, ще ни трябват 19 -ият и 34 -ият член. Преброяваме ги по формулата на n -ия член, както в задача 2:
а 19= -21,5 + (19-1) 1,5 = 5,5
а 34= -21,5 + (34-1) 1,5 = 28
Не остана нищо. Извадете 19 членове от общо 34 членове:
S 20-34 = S 1-34-S 1-19 = 110,5-(-152) = 262,5
Отговор: 262.5
Една важна забележка! Има много полезен трик при решаването на този проблем. Вместо директно уреждане това, от което се нуждаете (S 20-34),сме броили какво, изглежда, не е необходимо - S 1-19.И тогава те определиха и S 20-34, изхвърляйки ненужното от пълния резултат. Такъв „трик с ушите“ често спестява в зли задачи.)
В този урок разгледахме проблемите, за решаването на които е достатъчно да разберем значението на сумата от аритметична прогресия. Е, трябва да знаете няколко формули.)
Практически съвети:
Когато решавате всяка задача за сумата от аритметична прогресия, препоръчвам незабавно да изпишете две основни формули от тази тема.
Формула на n -ия термин:
Тези формули веднага ще ви кажат какво да търсите, в каква посока да мислите, за да решите проблема. Помага.
А сега задачи за независимо решение.
5. Намерете сумата от всички двуцифрени числа, които не се делят на три.
Готино?) Съветът е скрит в бележката към задача 4. Е, задача 3 ще помогне.
6. Аритметичната прогресия се определя от условието: a 1 = -5,5; a n + 1 = a n +0,5. Намерете сумата на първите 24 члена.
Необичайно?) Това е повтаряща се формула. Можете да прочетете за това в предишния урок. Не пренебрегвайте връзката, такива задачи често се срещат в GIA.
7. Вася е спестил пари за празника. До 4550 рубли! И реших да подаря на моя най -обичан човек (себе си) няколко дни щастие). Да живееш красиво, без да си отказваш нищо. Похарчете 500 рубли през първия ден и харчете с 50 рубли повече за всеки следващ ден, отколкото за предходния! До изчерпване на предлагането на пари. Колко дни щастие получи Вася?
Трудно?) Допълнителна формула от задача 2 ще ви помогне.
Отговори (в безпорядък): 7, 3240, 6.
Ако харесвате този сайт ...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаването на примери и да разберете вашето ниво. Незабавно тестване за валидиране. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
