Düzbucaqlı bir trapezoidin 614 diaqonalı. Trapezoidin diaqonalları. Trapezoidin əsaslarına paralel olan bir xəttin xüsusiyyətləri
Yenə Pifaqor üçbucağı :))) Əgər böyük bazadan kəsişmə nöqtəsinə qədər olan böyük diaqonaldan bir parça x olaraq təyin olunarsa, eyni açılardakı düzbucaqlı üçbucaqların aşkar oxşarlığından x / 64 = 36 / x, buna görə x = 48; 48/64 = 3/4, buna görə də bazalar, diaqonallar və bazaya dik olan bir tərəfin yaratdığı BÜTÜN düzbucaqlı üçbucaqlar, tərəfləri 3,4,5 olan üçbucağa bənzəyir. Yeganə istisna, diaqonal parçalardan və əyri tərəfdən əmələ gələn üçbucaqdır, amma biz bununla maraqlanmırıq :). (Aydınlaşdırmaq üçün, oxşarlıq bucaqların başqa bir trigonometrik funksiyasıdır :) böyük diaqonal və böyük baz arasındakı bucağın teğetini artıq bilirik, 3/4, yəni sinus 3/5 deməkdir və kosinus 4 /5 -dir :)) Dərhal yaza bilərsiniz
Cavablar. Alt baza 80 60, üst 45 olacaq. (36 * 5/4 = 45, 64 * 5/4 = 80, 100 * 3/5 = 60)
Oxşar vəzifələr:
1. Prizmanın əsası bir tərəfi 2 sm, digər ikisi 3 sm olan bir üçbucaqdır.Yan kənarı 4 sm -dir və təməl müstəvisi ilə 45 bucaq təşkil edir.Bərabərinin kənarını tapın. -ölçülü kub.
2. Eğimli prizmanın əsası a tərəfi olan bərabər tərəfli üçbucaqdır; yan üzlərdən biri baza müstəvisinə dikdir və daha kiçik diaqonal c -yə bərabər olan bir rombdur. Prizmanın həcmini tapın.
3. Eğimli bir prizmada, baza düzbucaqlı üçbucaqdır, hipotenüzü c-yə, bir iti bucağı 30-a, yan kənarı k-yə bərabərdir və təməl müstəvisi ilə 60-cı bucaq təşkil edir. prizmanın həcmi.
1. Meydanın diaqonalı 10 sm olarsa, onun tərəfini tapın
2. Təkbucaqlı bir trapezoiddə, bucaq bucağının əsası 4 sm, hündürlüyü 2 sm -dən 135 dərəcə azdır, trapezoidin sahəsini tapın?
3. Trapezoidin hündürlüyü əsaslardan birinin hündürlüyündən 3 dəfə çoxdur, amma digərinin yarısıdır. Trapezoidin sahəsi 168 sm kvadratdırsa, trapezoidin əsasını və hündürlüyünü tapın?
4. ABC üçbucağında A = B bucağı = 75 dərəcə. Üçbucağın sahəsi 36 sm kvadratdırsa, BC tapın.
1. AB və CD tərəfləri olan ABCD trapezoidində diaqonallar O nöqtəsində kəsişir
a) ABD və ACD üçbucaqlarının sahələrini müqayisə edin
b) ABO və CDO üçbucaqlarının sahələrini müqayisə edin
c) OA * OB = OC * OD olduğunu sübut edin
2. Təkbucaqlı üçbucağın əsası yan tərəfi 4: 3 olaraq ifadə edir və əsasına çəkilən hündürlüyü 30 sm -dir.Bu hündürlüyün təməldəki bucağın bisektoruna bölündüyü seqmentləri tapın.
3. AM xətti -bir dairəyə teğet, bu dairənin AB -akkordu. MAB bucağının MAB açısının içərisində yerləşən AB qövsünün yarısı ilə ölçüldüyünü sübut edin.
- Trapez diaqonallarının orta nöqtələrini birləşdirən seqment əsas fərqin yarısına bərabərdir
- Trapezoidin təməlləri və diaqonalların kəsişmə nöqtəsinə qədər meydana gələn üçbucaqlar oxşardır.
- Yan tərəfləri trapezoidin yan tərəflərində uzanan trapezoid diaqonallarının seqmentlərindən əmələ gələn üçbucaqlar bərabərdir (eyni sahəyə malikdir)
- Trapezoidin yan tərəflərini daha kiçik bazaya doğru uzatsanız, bir nöqtədə təməllərin orta nöqtələrini birləşdirən düz xətt ilə kəsişirlər.
- Trapezoidin əsaslarını birləşdirən və trapezoidin diaqonallarının kəsişmə nöqtəsindən keçən seqment bu nöqtəyə trapezoidin əsaslarının uzunluqlarının nisbətinə bərabər nisbətdə bölünür.
- Trapezoidin əsaslarına paralel olan və diaqonalların kəsişmə nöqtəsindən çəkilmiş bir seqment bu nöqtəyə yarıya bölünür və uzunluğu 2ab / (a+ b) bərabərdir, burada a və b əsasdır trapezoiddən
Trapezoidal diaqonalların orta nöqtələrini birləşdirən xətt seqmentinin xüsusiyyətləri
ABCD trapezoidinin diaqonallarının orta nöqtələrini birləşdiririk, bunun nəticəsində LM seqmentinə sahibik.
Trapezoidal diaqonalların orta nöqtələrini birləşdirən seqment, trapezoidin orta xəttində yerləşir.
Bu seqment trapezoidin əsasına paralel olaraq.
Trapezoidin diaqonallarının orta nöqtələrini birləşdirən seqmentin uzunluğu, əsaslarının yarı fərqinə bərabərdir.
LM = (AD - BC) / 2
və ya
LM = (a-b) / 2
Trapezoidin diaqonallarından əmələ gələn üçbucaqların xüsusiyyətləri
Trapezoidin əsası və trapezoidin diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi ilə yaranan üçbucaqlar - oxşardır.
Üçbucaqlar BOC və AOD oxşardır. BOC və AOD bucaqları şaquli olduğundan bərabərdirlər.
OCB və OAD bucaqları AD və BC paralel xətlərində (trapezoidin əsasları bir -birinə paraleldir) və ayrılmış AC xəttində daxili çarpazdır, buna görə də bərabərdirlər.
OBC və ODA açıları eyni səbəbdən bərabərdir (daxili kəsişmə).
Bir üçbucağın hər üç açısı digər üçbucağın uyğun açılarına bərabər olduğundan bu üçbucaqlar oxşardır.
Bundan nə çıxır?
Həndəsədəki problemləri həll etmək üçün üçbucaqların oxşarlığı aşağıdakı kimi istifadə olunur. Bənzər üçbucaqların uyğun iki elementinin uzunluqlarının dəyərlərini bilsək, oxşarlıq əmsalını taparıq (bir -birimizə bölürük). Bütün digər elementlərin uzunluqları eyni dəyərə sahibdir.
Trapezoidin kənarında və diaqonallarında uzanan üçbucaqların xüsusiyyətləri
AB və CD trapezoidinin yan tərəflərində uzanan iki üçbucağı nəzərdən keçirək. Bunlar AOB və COD üçbucaqlarıdır. Bu üçbucaqların ayrı tərəflərinin ölçüləri tamamilə fərqli ola bilsə də tərəflərin yaratdığı üçbucaqların sahələri və trapezoidin diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi, yəni üçbucaqların ölçüləri bərabərdir.
Trapezoidin tərəflərini daha kiçik bazaya doğru uzatsanız, tərəflərin kəsişmə nöqtəsi olacaq təməllərin orta nöqtələrindən keçən düz bir xətt ilə düzün.
Beləliklə, hər hansı bir trapezoid üçbucağa qədər uzadıla bilər. Burada:
- Genişlənmiş yan tərəflərin kəsişməsində ümumi bir təpə olan bir trapezoidin əsaslarından əmələ gələn üçbucaqlar oxşardır.
- Trapezoidin əsasının orta nöqtələrini birləşdirən düz xətt eyni zamanda qurulmuş üçbucağın medianıdır.
Trapezoid əsasları birləşdirən xəttin xüsusiyyətləri
Uçları trapezoidin (KN) diaqonallarının kəsişmə nöqtəsində yerləşən trapezoidin əsasına söykənən bir seqment çəksəniz, onu təşkil edən seqmentlərin baza tərəfdən olan hissəyə nisbəti diaqonalların kəsişmə nöqtəsi (KO / ON) trapezoidin əsaslarının nisbətinə bərabər olacaqdır(BC / AD).
KO / ON = BC / AD
Bu xüsusiyyət uyğun üçbucaqların oxşarlığından irəli gəlir (yuxarıya bax).
Trapezoidin əsaslarına paralel olan bir xəttin xüsusiyyətləri
Trapezoidin əsaslarına paralel və trapezoidin diaqonallarının kəsişmə nöqtəsindən keçən bir seqment çəksəniz, aşağıdakı xüsusiyyətlərə sahib olacaq:
- Əvvəlcədən təyin olunmuş məsafə (KM) trapezoidal diaqonalların kəsişmə nöqtəsini yarıya bölür
- Segment uzunluğu trapezoidin diaqonallarının kəsişmə nöqtəsindən keçən və əsaslara paralel olana bərabərdir KM = 2ab / (a+ b)
Trapezoidin diaqonallarını tapmaq üçün düsturlar
a, b- trapezoidin əsası
c, d- trapezoidin yan tərəfləri
d1 d2- trapezoid diaqonalları
α β - trapezoidin daha böyük bir bazası olan açılar
Bir trapezoidin kökündən, tərəflərindən və bucaqlarından olan diaqonalları tapmaq üçün düsturlar
Birinci qrup formulalar (1-3) trapezoid diaqonallarının əsas xüsusiyyətlərindən birini əks etdirir:
1. Bir trapezoidin diaqonallarının kvadratlarının cəmi, tərəflərin kvadratlarının cəminə bərabər, əsaslarının məhsulunun iki qatına bərabərdir. Bir trapezoidin diaqonallarının bu xüsusiyyəti ayrı bir teorem olaraq sübut edilə bilər
2 ... Bu formula əvvəlki düsturu çevirərək əldə edilir. İkinci diaqonalın kvadratı bərabər işarədən atılır, bundan sonra ifadənin sol və sağ tərəflərindən kvadrat kök çıxarılır.
3 ... Trapezoid diaqonalının uzunluğunu tapmaq üçün bu düstur əvvəlkisinə bənzəyir, fərqlə ifadənin sol tərəfində başqa bir diaqonal qalıb.
Növbəti düsturlar qrupu (4-5) mənasına görə oxşardır və oxşar nisbəti ifadə edir.
Düsturlar qrupu (6-7), trapezoidin daha böyük bazası, bir tərəfi və bazadakı bucaq məlumdursa, trapezoidin diaqonalını tapmağa imkan verir.
Trapezoidin hündürlüyü baxımından diaqonallarını tapmaq üçün düsturlar
Tapşırıq.
ABCD (AD | | BC) trapezoidinin diaqonalları O nöqtəsində kəsişir. Baza AD = 24 sm, uzunluq AO = 9 sm, uzunluq OC = 6 sm olarsa, trapezoidin BC əsasının uzunluğunu tapın.
Həll.
Bu problemin ideologiya baxımından həlli əvvəlki problemlərlə tamamilə eynidir.
Üçbucaqlar AOD və BOC üç küncdə oxşardır - AOD və BOC şaquli, digər açılar isə cüt olaraq bərabərdir, çünki bir düz xətt və iki paralel xəttin kəsişməsindən əmələ gəlir.
Üçbucaqlar oxşar olduğu üçün problemin ifadəsindən bizə məlum olan AO və OC seqmentlərinin həndəsi ölçüləri olaraq bütün həndəsi ölçüləri bir -biri ilə əlaqəlidir. Yəni
AO / OC = AD / BC
9/6 = 24 / e.ə
BC = 24 * 6/9 = 16
Cavab: 16 sm
Tapşırıq.
ABCD trapezində AD = 24, BC = 8, AC = 13, BD = 5√17 olduğu bilinir. Trapezoidin sahəsini tapın. 
Həll .
Trapezoidin hündürlüyünü daha kiçik B və C bazalarının təpələrindən tapmaq üçün iki yüksəkliyi daha böyük bazaya endiririk. Trapezoid bərabər olmadığı üçün AM = a uzunluğunu, KD = b uzunluğunu işarə edirik ( düsturdakı işarələrlə qarışdırılmamalıdır trapezoidin sahəsini tapmaq). Trapezoidin əsasları paralel olduğundan və daha böyük bazaya dik olan iki yüksəkliyi buraxdığımız üçün MBCK düzbucaqlıdır.
Vasitələr
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Üçbucaqlar DBM və ACK düzbucaqlıdır, buna görə də onların düz açıları trapezoidin yüksəkliyindən əmələ gəlir. Trapezoidin hündürlüyünü işarə edək. Sonra Pifaqor teoremi ilə
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
və
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
A = 16 - b, sonra birinci tənlikdə olduğunu nəzərə alırıq
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Pifaqor Teoreminin əldə etdiyi ikinci tənlikdə hündürlüyün kvadratının dəyərini əvəz edək. Əldə edirik:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
- (64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Beləliklə KD = 12
Harada
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Trapezoidin hündürlüyü və əsasların cəminin yarısını tapın
, a b - trapezoidin əsası, h - trapezoidin hündürlüyü
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 sm 2
Cavab: trapezoidin sahəsi 80 sm 2 -dir.
İki tərəfli trapezoidin diaqonalları dik olarsa, aşağıdakı nəzəri material problemin həllində faydalı olacaq.
1. Əgər bir cütbucaqlı trapezoiddə diaqonallar dikdirsə, trapezoidin hündürlüyü əsasların cəminin yarısına bərabərdir.
C nöqtəsindən BD -yə paralel CF xətti çəkin və AD xəttini CF ilə kəsişməyə qədər uzatın.
Dördbucaqlı BCFD - paralelloqram (trapezoidin əsası kimi BC∥ DF, tikintisinə görə BD∥ CF). Beləliklə, CF = BD, DF = BC və AF = AD + BC.
Üçbucaqlı ACF düzbucaqlıdır (əgər bir xətt iki paralel xətdən birinə dikdirsə, o zaman digər xəttə də dikdir). Bir yamaçlı trapezoidin diaqonalları bərabər olduğu üçün və CF = BD, onda CF = AC, yəni ACF üçbucağı baz AF ilə bərabərbucaqlıdır. Beləliklə, CN yüksəkliyi də mediandır. Hipotenuza çəkilmiş düzbucaqlı üçbucağın medianı yarısına bərabər olduğu üçün
ümumiyyətlə olaraq yazıla bilər
burada h trapezoidin hündürlüyü, a və b onun əsasıdır.
2. Əgər bir cütbucaqlı trapezoiddə diaqonallar dikdirsə, hündürlüyü orta xəttə bərabərdir.
Trapezoidin orta xətti m əsasların yarısına bərabər olduğuna görə
3. Əgər bir cütbucaqlı trapezoiddə diaqonallar dikdirsə, trapezoidin sahəsi trapezoidin hündürlüyünün kvadratına (və ya əsasların yarısının cəminin kvadratına və ya orta xəttin kvadratına bərabərdir) ).
Trapezoidin sahəsi düsturla tapıldığı üçün
və dik diaqonallı bir yamaçlı trapezoidin hündürlüyü, təməllərinin yarısı və orta xətti bir-birinə bərabərdir:
4. Əgər bir yamaçlı trapezoiddə diaqonallar dikdirsə, onun diaqonalının kvadratı əsasların cəminin yarısının kvadratına, habelə hündürlüyünün iki dəfə və orta xəttin kvadratının iki qatına bərabərdir.
Dördbucaqlı dördbucağın sahəsi diaqonalları və aralarındakı bucaqla düsturla tapıla bilər
