Kartlar

Bütün arifmetik proqressiya düsturları. Arifmetik irəliləyiş. Nömrələr ardıcıllığının başqa bir növü həndəsi

Rəsm və şeir kimi riyaziyyatın da öz gözəlliyi var.

Rus alimi, mexaniki N.E. Jukovski

Arifmetik proqressiya anlayışı ilə bağlı problemlər riyaziyyatdan qəbul imtahanlarında çox yayılmış problemdir. Bu cür problemləri uğurla həll etmək üçün arifmetik irəliləyişin xüsusiyyətlərini yaxşı bilmək və onların tətbiqində müəyyən bacarıqlara malik olmaq lazımdır.

Əvvəlcə arifmetik irəliləmənin əsas xüsusiyyətlərini xatırlayırıq və ən vacib düsturları təqdim edirik, bu konsepsiya ilə əlaqədardır.

Tərif. Nömrələr ardıcıllığı, hər bir sonrakı müddət əvvəlki saydan eyni sayda fərqlənir, arifmetik irəliləmə adlanır. Üstəlik, sayıirəliləmə fərqi adlanır.

Arifmetik irəliləyiş üçün aşağıdakı düsturlar etibarlıdır

, (1)

harada. Formula (1) arifmetik irəliləmənin ümumi müddəti üçün düstur adlanır və (2) düsturu arifmetik irəliləmənin əsas xüsusiyyətidir: hər bir irəliləyiş dövrü qonşu şərtlərinin arifmetik ortalaması ilə üst -üstə düşür.

Diqqət yetirin ki, məhz bu xüsusiyyətə görə hesab olunan irəliləməyə "hesab" deyilir.

Yuxarıdakı düsturlar (1) və (2) aşağıdakı kimi ümumiləşdirilmişdir:

(3)

Məbləği hesablamaq üçün birinci arifmetik irəliləyişin üzvləriadətən düstur tətbiq olunur

(5) harada və.

Düsturu nəzərə alaraq (1), sonra (5) düsturu nəzərdə tutulur

Əgər işarə etsək, onda

harada. Çünki, (7) və (8) düsturları (5) və (6) düsturlarının ümumiləşdirilməsidir.

Xüsusilə, (5) düsturundan belə çıxır, nə

Aşağıdakı teorem vasitəsi ilə tərtib edilən arifmetik irəliləyişin xüsusiyyəti əksər şagirdlər tərəfindən az tanınanlardan biridir.

Teorem.Əgər, onda

Sübut.Əgər, onda

Teorem isbat olunur.

Misal üçün , teoremdən istifadə etməklə, bunu göstərmək olar

"Arifmetik irəliləmə" mövzusunda problemlərin həllinin tipik nümunələrini nəzərdən keçirək.

Misal 1. Qoy və. Tapın.

Həll.(6) düsturunu tətbiq edərək əldə edirik. Və sonra, sonra və ya.

Misal 2. Qoy üç qat daha çox olsun və hissəyə bölünəndə 2 və qalan 8 -i alaq.

Həll. Nümunənin şərti tənliklər sistemini nəzərdə tutur

,, və, sonra tənliklər sistemindən (10) əldə edirik

Bu tənliklər sisteminin həlli və.

Misal 3.Əgər tapsanız.

Həll. Formula (5) görə bizdə və ya. Ancaq mülkdən (9) istifadə edərək əldə edirik.

Bəri və sonra bərabərlikdən aşağıdakı tənlik gəlir və ya.

Misal 4. Olsa tapın.

Həll.(5) düsturu ilə əldə edirik

Ancaq teoremdən istifadə edərək yaza bilərsiniz

Bundan və (11) düsturundan əldə edirik.

Misal 5. Verilən :. Tapın.

Həll. O vaxtdan bəri. Ancaq buna görə.

Misal 6. Qoy və. Tapın.

Həll.(9) düsturundan istifadə edərək əldə edirik. Buna görə, əgər, onda və ya.

İldən və, onda burada tənliklər sistemimiz var

Hansını həll edirik, alırıq və.

Tənliyin təbii kökü birdir.

Misal 7.Əgər tapsanız.

Həll.(3) düsturu ilə buna sahib olduğumuz üçün problem ifadəsi tənliklər sistemini nəzərdə tutur

Ifadəni əvəz etsənizsistemin ikinci tənliyinə daxil edilir, ya da alırıq.

Kvadrat tənliyin kökləri belədir və.

İki vəziyyəti nəzərdən keçirək.

1. O zaman icazə verin. O vaxtdan və sonra.

Bu vəziyyətdə, (6) düsturuna görə bizdə var

2. Əgər, onda və

Cavab: və.

Misal 8. Məlumdur ki, və. Tapın.

Həll. Formula (5) və nümunənin şərtini nəzərə alaraq və yazırıq.

Beləliklə, tənliklər sistemini izləyir

Sistemin birinci tənliyini 2 ilə vurub ikinci tənliyə əlavə etsək, əldə edərik

Formula (9) görə bizdə var... Bununla əlaqədar olaraq, (12) -dən aşağıdakılar gəlir və ya.

O vaxtdan və sonra.

Cavab:.

Misal 9.Əgər tapsanız.

Həll. Bəri və şərtlə, sonra və ya.

(5) düsturundan məlumdur, nə . O vaxtdan bəri.

Deməli, burada xətti tənliklər sistemimiz var

Beləliklə alırıq və. (8) düsturunu nəzərə alaraq yazırıq.

Misal 10. Tənliyi həll edin.

Həll. Verilən tənlikdən belə çıxır. Tutaq ki ,, və. Bu halda .

Formula (1) görə yaza bilərsiniz və ya.

O vaxtdan bəri (13) tənliyinin tək uyğun kökü var.

Misal 11. Və verilən maksimum dəyəri tapın.

Həll.Çünki hesab olunan arifmetik irəliləyiş azalır. Bu baxımdan, ifadə, inkişafın minimum müsbət müddətinin sayı olduqda maksimum dəyəri alır.

Formula (1) və faktdan istifadə edirik, kimi. Sonra ya bunu əldə edirik.

O vaxtdan, ya sonra ... Ancaq bu bərabərsizlikdəən böyük natural ədəd, buna görə də

Dəyərlər və (6) düsturunda əvəz olunarsa, əldə edirik.

Cavab:.

Misal 12. 6-ya bölünəndə 5-in qalan hissəsini verən bütün iki rəqəmli natural ədədlərin cəmini təyin edin.

Həll. Bütün iki rəqəmli natural ədədlərin çoxluğu ilə işarələyək, yəni. ... Sonra, 6 -ya bölündükdə, qalanı 5 verən dəstin elementlərindən (ədədlərindən) ibarət bir alt quruluş qururuq.

Qurmaq çətin deyil, nə . Aydındır ki, ki, dəstin elementləriarifmetik irəliləyiş təşkil edir, hansı və.

Bir dəstin kardinallığını (elementlərin sayını) müəyyən etmək üçün güman edirik. Və sonra, (1) formulundan sonra və ya. Düsturu (5) nəzərə alaraq əldə edirik.

Problemlərin həllinə dair yuxarıdakı nümunələr heç bir şəkildə tam olduğunu iddia edə bilməz. Bu məqalə, müəyyən bir mövzuda tipik problemləri həll etmək üçün müasir metodların təhlili əsasında yazılmışdır. Arifmetik irəliləyişlə əlaqəli problemlərin həlli üsullarını daha dərindən öyrənmək üçün tövsiyə olunan ədəbiyyat siyahısına müraciət etmək məsləhətdir.

1. Texniki məktəblərə abituriyentlər üçün riyaziyyat fənni üzrə problemlər toplusu / Ed. M.İ. Skanavi. - M.: Sülh və Təhsil, 2013 .-- 608 s.

2. Suprun V.P. Orta məktəb şagirdləri üçün riyaziyyat: məktəb proqramının əlavə bölmələri. - M.: Lenand / URSS, 2014.- 216 s.

3. Medynsky M.M. Problemlər və məşqlərdə ibtidai riyaziyyat kursu. Kitab 2: Sayı ardıcıllığı və irəliləmələri. - M.: Edithus, 2015.- 208 s.

Hələ suallarınız var?

Tərbiyəçidən kömək almaq üçün - qeydiyyatdan keçin.

materialın tam və ya qismən kopyalanması ilə saytın mənbəyinə bir keçid tələb olunur.

Dərsin növü: yeni material öyrənmək.

Dərsin məqsədləri:

arifmetik irəliləyişdən istifadə edərək həll olunan problemlər haqqında şagirdlərin fikirlərinin genişləndirilməsi və dərinləşdirilməsi; arifmetik irəliləmənin ilk n üzvünün cəmi üçün bir düstur əldə edərkən şagirdlərin axtarış fəaliyyətinin təşkili;
müstəqil olaraq yeni biliklər əldə etmək, qarşıya qoyulan vəzifəni yerinə yetirmək üçün əldə edilmiş biliklərdən istifadə etmək bacarıqlarının inkişafı;
əldə edilmiş faktları ümumiləşdirmək istəyinin və ehtiyacının inkişafı, müstəqilliyin inkişafı.

Tapşırıqlar:

"Arifmetik irəliləyiş" mövzusunda mövcud bilikləri ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək;
arifmetik irəliləmənin ilk n üzvünün cəminin hesablanması üçün düsturlar çıxarmaq;
əldə edilmiş düsturların müxtəlif problemlərin həllində necə tətbiq olunacağını öyrətmək;
ədədi ifadənin dəyərini taparkən şagirdlərin diqqətini hərəkətlərin sırasına cəlb etmək.

Avadanlıq:

qruplarda və cütlərdə işləmək üçün tapşırıqları olan kartlar;
qiymətləndirmə sənədi;
təqdimat"Arifmetik irəliləyiş".

I. Əsas biliklərin yenilənməsi.

1. Cüt -cüt müstəqil iş.

Birinci seçim:

Arifmetik irəliləyişin tərifini verin. Arifmetik irəliləməni təyin edən təkrarlanan düsturu yazın. Salam arifmetik irəliləyiş nümunəsi və fərqini göstərin.

2 -ci seçim:

Arifmetik irəliləmənin n -ci müddəti üçün düsturu yazın. Arifmetik tərəqqinin 100 -cü müddətini tapın ( bir n}: 2, 5, 8 …
Bu zaman lövhənin arxasındakı iki şagird eyni suallara cavab hazırlayır.
Şagirdlər tərəfdaşın işini lövhəyə qarşı qiymətləndirirlər. (Cavabları olan vərəqlər verilir).

2. Oyun anı.

Məşq 1.

Müəllim. Bir qədər arifmetik irəliləyiş düşündüm. Mənə iki sual verin ki, cavablardan sonra bu inkişafın 7 -ci müddətini tez bir zamanda adlandırasınız. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Tələbə sualları.

İnkişafda altıncı müddət nədir və fərq nədir?
Davam edən səkkizinci müddət nədir və fərq nədir?

Başqa sual yoxdursa, müəllim onları stimullaşdıra bilər - d (fərqi) "qadağan edin", yəni fərqin nə olduğunu soruşmağa icazə verilmir. Suallar verə bilərsiniz: irəliləmənin 6 -cı dövrü və 8 -ci dövr nədir?

Tapşırıq 2.

Lövhədə 20 ədəd yazılıb: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Müəllim kürəyi lövhəyə söykənərək dayanır. Şagirdlər nömrənin nömrəsinə, müəllim isə dərhal nömrənin özünə zəng vurur. Necə etdiyimi izah edin?

Müəllim n -ci dövr üçün düsturu xatırlayır a n = 3n - 2 və verilən n dəyərlərini əvəz edərək, uyğun dəyərləri tapır bir n

II. Təhsil probleminin ifadəsi.

Eramızdan əvvəl II minilliyə aid olan, Misir papiruslarında tapılmış qədim bir problemi həll etməyi təklif edirəm.

Tapşırıq:"Sizə deyilsin: 10 ölçü arpanı 10 nəfərə bölün, hər bir insanla qonşu arasındakı fərq ölçünün 1/8 hissəsinə bərabərdir."

Bu tapşırıq arifmetik proqressiya mövzusu ilə necə əlaqəlidir? (Növbəti hər biri 1/8 daha çox ölçü alır, yəni fərq d = 1/8, 10 nəfər, n = 10 deməkdir)
Sizcə 10 rəqəmi nə deməkdir? (Bütün irəliləyiş üzvlərinin cəmi.)
Arpanın vəzifənin şərtinə görə bölünməsini asan və sadə etmək üçün başqa nə bilmək lazımdır? (Davam edən ilk dövr.)

Dərsin məqsədi- irəliləyiş üzvlərinin cəminin sayından, birinci müddətdən və fərqdən asılılığının əldə edilməsi və problemin qədim zamanlarda düzgün həll edilib -edilmədiyinin yoxlanılması.

Formuladan nəticə çıxarmazdan əvvəl qədim misirlilərin problemi necə həll etdiklərinə baxaq.

Və bunu aşağıdakı kimi həll etdilər:

1) 10 ölçü: 10 = 1 ölçü - orta pay;
2) 1 ölçü ∙ = 2 ölçü - ikiqat orta bölüşmək.
İkiqat orta pay 5 -ci və 6 -cı adamların paylarının cəmidir.
3) 2 ölçü - 1/8 ölçü = 1 7/8 ölçü - beşinci şəxsin payının iki qatı.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - beşincinin payı; və s. hər əvvəlki və sonrakı şəxsin payını tapa bilərsiniz.

Ardıcıllığı əldə edirik:

III. Problemin həlli.

1. Qrup şəklində işləmək

I qrup: Ardıcıl 20 ədədin cəmini tapın: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.

Ümumiyyətlə

II qrup: 1 -dən 100 -ə qədər olan natural ədədlərin cəmini tapın (Kiçik Gauss Əfsanəsi).

S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050

Çıxış:

III qrup: 1 -dən 21 -ə qədər olan natural ədədlərin cəmini tapın.

Həll: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

Çıxış:

IV qrup: 1 -dən 101 -ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın.

Çıxış:

Bu problemlərin həlli üçün "Gauss Metodu" adlanır.

2. Hər qrup lövhədə problemin həllini təqdim edir.

3. İstənilən ixtiyari arifmetik irəliləyiş üçün təklif olunan həllərin ümumiləşdirilməsi:

a 1, a 2, a 3, ..., a n-2, a n-1, a n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Bənzər bir şəkildə düşünərək bu məbləği tapaq:

4. Qarşımıza qoyulan vəzifəni həll etdikmi?(Bəli.)

IV. Alınan düsturların ilkin anlaşılması və problemlərin həllində tətbiqi.

1. Formuladan istifadə edərək köhnə bir problemin həllini yoxlamaq.

2. Müxtəlif problemlərin həllində düsturun tətbiqi.

3. Problemləri həll edərkən düsturu tətbiq etmək bacarığını formalaşdırmaq üçün məşqlər.

A) No 613

Verildi: ( a n) - arifmetik irəliləyiş;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Tap: S 1500

Həll: , a 1 = 1, 1500 = 1500,

B) verilmişdir: ( a n) - arifmetik irəliləyiş;
(a n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Tap: n
Həll:

V. Qarşılıqlı yoxlama ilə müstəqil iş.

Denis kuryer kimi işə başladı. İlk ayda əmək haqqı 200 rubl, sonrakı hər ay 30 rubl artdı. Bir ildə nə qədər qazandı?

Verildi: ( a n) - arifmetik irəliləyiş;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Tap: S 12
Həll:

Cavab: Denis bir ildə 4380 rubl aldı.

Vi. Ev tapşırığı.

s.4.3 - düsturun törəməsini öyrənin.
№№ 585, 623 .
Arifmetik irəliləmənin ilk n üzvünün cəminin düsturundan istifadə edərək həll ediləcək bir problem yaradın.

VII. Dərsi yekunlaşdırmaq.

1. Qiymətləndirmə vərəqi

2. Cümlələrə davam edin

Bu gün öyrəndiyim dərsdə ...
Öyrənilən düsturlar ...
Mən düşünürəm ki …

3. 1 -dən 500 -ə qədər ədədlərin cəmini tapa bilərsinizmi? Bu problemi həll etmək üçün hansı metoddan istifadə edəcəksiniz?

Biblioqrafiya.

1. Cəbr, 9 -cu sinif. Təhsil müəssisələri üçün dərslik. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Təhsil", 2009.

Bəli, bəli: arifmetik irəliləyiş sizin üçün oyuncaq deyil :)

Yaxşı, dostlar, əgər bu mətni oxuyursunuzsa, o zaman daxili şəhadətnamə arifmetik irəliləyişin nə olduğunu hələ bilmədiyinizi söyləyir, amma həqiqətən də (yox, bu kimi: SOOOOO!) Bilmək istəyirsiniz. Buna görə də, uzun tanışlıqlarla sizə əzab verməyəcəyəm və dərhal işə başlayacağam.

Bir neçə nümunədən başlayaq. Bir neçə ədəd dəstini nəzərdən keçirin:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $

Bütün bu dəstlərin ortaq cəhətləri nələrdir? İlk baxışdan heç nə. Amma əslində bir şey var. Məhz: hər bir sonrakı element əvvəlkindən eyni sayda fərqlənir.

Özünüz üçün mühakimə edin. Birinci dəst sadəcə bir -birinin ardınca gələn ədədlərdir, hər biri əvvəlki rəqəmdən çoxdur. İkinci halda, bitişik ədədlər arasındakı fərq artıq beşə bərabərdir, lakin bu fərq hələ də sabitdir. Üçüncü halda, ümumiyyətlə köklər. Ancaq $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ və $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, yəni. və bu halda, hər bir sonrakı element sadəcə $ \ sqrt (2) $ artır (və bu rəqəmin rasional olmadığından qorxmayın).

Beləliklə: bütün bu ardıcıllıqlara arifmetik irəliləyişlər deyilir. Ciddi bir tərif verək:

Tərif. Hər birinin əvvəlki ilə eyni miqdarda fərqləndiyi bir sıra ardıcıllığına arifmetik irəliləmə deyilir. Rəqəmlərin fərqləndiyi məbləğə irəliləmənin fərqi deyilir və ən çox $ d $ hərfi ilə ifadə olunur.

Təyinat: $ \ sol (((a) _ (n)) \ sağ) $ - irəliləmənin özü, $ d $ - fərqi.

Və yalnız bir neçə vacib qeyd. Birincisi, yalnız nizamlıədədlərin ardıcıllığı: onların yazıldığı qaydada ciddi şəkildə oxunmasına icazə verilir - başqa heç nə. Nömrələri dəyişdirə və ya dəyişdirə bilməzsiniz.

İkincisi, ardıcıllığın özü sonlu və ya sonsuz ola bilər. Məsələn, (1; 2; 3) çoxlu arifmetik irəliləyişdir. Ancaq ruhda bir şey yazsanız (1; 2; 3; 4; ...) - bu artıq sonsuz bir irəliləyişdir. Dördlükdən sonrakı elips, sanki hələ də davam edən bir neçə rəqəmin olduğunu göstərir. Sonsuz çox, məsələn. :)

Qeyd etmək istərdim ki, irəliləyişlər artır və azalır. Artıq artanları gördük - eyni dəst (1; 2; 3; 4; ...). Və irəliləyişlərin azalmasına dair nümunələr:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

Tamam, tamam: bu son nümunə çox mürəkkəb görünə bilər. Ancaq qalanları başa düşürsən. Buna görə yeni təriflər təqdim edəcəyik:

Tərif. Arifmetik irəliləyiş adlanır:

hər bir sonrakı element əvvəlkindən daha böyük olduqda artır;

azalır, əksinə, hər bir sonrakı element əvvəlkindən daha azdır.

Bundan əlavə, "stasionar" deyilən ardıcıllıqlar var - onlar eyni təkrarlanan ədəddən ibarətdir. Məsələn, (3; 3; 3; ...).

Yalnız bir sual qalır: artan irəliləyişi azalandan necə ayırmaq olar? Xoşbəxtlikdən, hamısı $ d $ rəqəminin işarəsindən asılıdır, yəni. fərqin irəliləməsi:

$ D \ gt 0 $ olarsa, irəliləyiş artır;
$ D \ lt 0 $ olarsa, irəliləyiş açıq şəkildə azalır;
Nəhayət, $ d = 0 $ işi var - bu halda bütün irəliləyiş eyni ədədlərin sabit bir ardıcıllığına endirilir: (1; 1; 1; 1; ...) və s.

Yuxarıda verilən üç azalma irəliləməsi üçün $ d $ fərqini hesablamağa çalışaq. Bunu etmək üçün hər iki bitişik elementi (məsələn, birinci və ikinci) götürmək və soldakı rəqəmi sağdakı rəqəmdən çıxarmaq kifayətdir. Bu belə görünəcək:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

Gördüyünüz kimi, hər üç halda fərq həqiqətən mənfi oldu. Və indi az -çox tərifləri anladıqdan sonra, irəliləyişlərin necə təsvir edildiyini və xüsusiyyətlərinin nə olduğunu anlamağın vaxtı gəldi.

Tərəqqi üzvləri və təkrarlanan düstur

Ardıcıllığımızın elementləri dəyişdirilə bilmədiyi üçün nömrələnə bilər:

\ [\ sol (((a) _ (n)) \ sağ) = \ sol \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ sağ \) \]

Bu dəstin fərdi elementlərinə irəliləmənin üzvləri deyilir. Onlar bir rəqəmlə göstərilir: birinci dövr, ikinci dövr və s.

Əlavə olaraq bildiyimiz kimi, irəliləmənin qonşu üzvləri düsturla əlaqəlidir:

\ [((a) _ (n))-((a) _ (n-1)) = d \ Sağ ox ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

Qısacası, irəliləyişdə $ n $ th müddətini tapmaq üçün $ n-1 $ th termini və $ d $ fərqini bilmək lazımdır. Belə bir düstura təkrarlanan deyilir, çünki köməyi ilə hər hansı bir nömrəni tapa bilərsiniz, yalnız əvvəlkisini (və əslində - bütün əvvəlki nömrələri) bilər. Bu çox əlverişsizdir, buna görə hər hansı bir hesablamanı birinci müddətə və fərqə endirən daha çətin bir düstur var:

\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ sol (n-1 \ sağ) d \]

Şübhəsiz ki, bu formulu artıq tapmısınız. Hər cür məlumat kitablarında və reshebniklərdə verməyi sevirlər. Və hər hansı bir ağıllı riyaziyyat dərsliyində o, birincisindən gedir.

Buna baxmayaraq, bir az məşq etməyi təklif edirəm.

Problem nömrəsi 1. $ \ Left ((((a) _ (n)) \ right) $, əgər $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $ olarsa, arifmetik irəliləyişin ilk üç şərtini yazın.

Həll. Beləliklə, $ ((a) _ (1)) = 8 $ ilk müddətini və $ d = -5 $ irəliləməsinin fərqini bilirik. Yeni verilən düsturu istifadə edək və $ n = 1 $, $ n = 2 $ və $ n = 3 $ ilə əvəz edək:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ sol (n-1 \ sağ) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ sol (1-1 \ sağ) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ sol (2-1 \ sağ) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ sol (3-1 \ sağ) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ end (align) \]

Cavab: (8; 3; -2)

Hamısı budur! Diqqət edin: irəliləyişimiz azalır.

Əlbəttə ki, $ n = 1 $ əvəz edilə bilməzdi - birinci termin artıq bizə məlumdur. Ancaq birini əvəz edərək, düsturumuzun ilk dövr üçün belə işlədiyinə əmin olduq. Digər hallarda, hamısı əhəmiyyətsiz arifmetikaya qədər qaynadı.

Problem nömrəsi 2. Yeddinci hissəsi −40 və on yeddinci hissəsi −50 olarsa, arifmetik irəliləmənin ilk üç şərtini yazın.

Həll. Problemin şərtini adi ifadələrlə yazaq:

\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ sol \ (\ başla (hizala) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ end (align) \ sağ. \]

\ [\ sol \ (\ başla (hizala) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ son (hizala) \ sağ. \]

Sistemin işarəsini qoyuram, çünki bu tələblər eyni vaxtda yerinə yetirilməlidir. Və indi qeyd edək ki, birinci tənliyi ikinci tənlikdən çıxarsaq (bir sistemimiz olduğu üçün bunu etmək hüququmuz var), bunu əldə edirik:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & ((a) _ (1)) + 16d- \ sol (((a) _ (1)) + 6d \ sağ) =- 50- \ sol (-40 \ sağ); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ son (hizalan) \]

İnkişafdakı fərqi bu qədər asan tapdıq! Tapılan rəqəmi sistemin hər hansı bir tənliyində əvəz etmək qalır. Məsələn, birincisində:

\ [\ başlama (matris) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) -6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ sonu (matris) \]

İndi birinci termin və fərqi bildiyimiz halda, ikinci və üçüncü şərtləri tapmaq qalır:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ son (hizalan) \]

Hazır! Problem həll olundu.

Cavab: (-34; -35; -36)

Kəşf etdiyimiz irəliləyişin maraqlı bir xüsusiyyətinə diqqət yetirin: əgər $ n $ th və $ m $ th şərtlərini götürsək və onları bir-birindən çıxarsaq, o zaman irəliləmənin fərqini $ n-m $ sayı ilə çarpırıq:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ sol (n -m \ sağ) \]

Mütləq bilməli olduğunuz sadə, lakin çox faydalı bir xüsusiyyət - köməyi ilə bir çox problemin həllini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirə bilərsiniz. Burada əsas bir nümunə:

Problem nömrəsi 3. Arifmetik tərəqqinin beşinci dövrü 8.4, onuncu hissəsi isə 14.4 -dir. Bu irəliləmənin on beşinci müddətini tapın.

Həll. $ ((A) _ (5)) = 8.4 $, $ ((a) _ (10)) = 14.4 $ olduğu üçün $ ((a) _ (15)) $ tapmalısınız, onda aşağıdakıları qeyd edirik :

\ [\ başla (hizala) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & (a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ son (hizalan) \]

Ancaq $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14.4-8.4 = 6 $ şərtlə, buna görə də $ 5d = $ 6, haradan əldə edirik:

\ [\ başla (hizala) & ((a) _ (15)) - 14.4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14.4 = 20.4. \\ \ end (align) \]

Cavab: 20.4

Hamısı budur! Bəzi tənliklər sistemlərini tərtib etməyə və birinci termini və fərqi hesablamağa ehtiyac yox idi - hər şey bir neçə sətirdə həll edildi.

İndi başqa bir vəzifə növünü nəzərdən keçirək - inkişafın mənfi və müsbət üzvlərini tapmaq. Heç kimə sirr deyil ki, irəliləyiş artarsa, birinci dövr mənfi olsa, onda gec -tez müsbət terminlər meydana çıxacaq. Və əksinə: azalan irəliləyişin üzvləri gec -tez mənfi olacaqlar.

Eyni zamanda, elementləri ardıcıl olaraq keçərək bu anı "baş-başa" nəzərdən keçirmək həmişə mümkün deyil. Çox vaxt problemlər elə tərtib olunur ki, düsturları bilmədən hesablamalar bir neçə vərəqə aparar - cavabı taparkən yuxuya gedərdik. Bu səbəbdən bu problemləri daha sürətli bir şəkildə həll etməyə çalışacağıq.

Problem nömrəsi 4. Arifmetik irəliləmədə neçə mənfi termin var -38.5; −35.8; ...?

Həll. Beləliklə, $ ((a) _ (1)) = - 38.5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35.8 $, burada fərqi dərhal tapırıq:

Qeyd edək ki, fərq müsbətdir, buna görə irəliləyiş artır. Birinci termin mənfi, buna görə də bir nöqtədə həqiqətən müsbət rəqəmlərə rast gələcəyik. Yeganə sual bunun nə vaxt olacağıdır.

Tapmağa çalışaq: şərtlərin neqativliyi nə vaxta qədər (yəni hansı natural ədədə qədər $ n $ qədər) qorunub saxlanılır:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Sağ ox ((a) _ (1)) + \ sol (n-1 \ sağ) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ sol (n -1 \ sağ) \ cdot 2.7 \ lt 0; \ dörd \ sol | \ cdot 10 \ sağ. \\ & -385 + 27 \ cdot \ sol (n -1 \ sağ) \ lt 0; \\ & -385 + 27n -27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Rightarrow ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ end (align) \]

Son sətir aydınlaşdırma tələb edir. Beləliklə, $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $ olduğunu bilirik. Digər tərəfdən, ədədin yalnız tam ədədləri ilə kifayətlənəcəyik (üstəlik: $ n \ in \ mathbb (N) $), buna görə icazə verilən ən böyük rəqəm tam olaraq $ n = 15 $ -dır və heç bir halda 16 -dır.

Problem nömrəsi 5. Arifmetik irəliləyişdə $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Bu irəliləyişin ilk müsbət müddətinin sayını tapın.

Əvvəlki problemlə eyni problem olardı, amma $ ((a) _ (1)) $ bilmirik. Ancaq qonşu şərtlər məlumdur: $ ((a) _ (5)) $ və $ ((a) _ (6)) $, buna görə də irəliləmənin fərqini asanlıqla tapa bilərik:

Əlavə olaraq, beşinci termini birinci və fərqi standart düstura görə ifadə etməyə çalışacağıq:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ sol (n-1 \ sağ) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = -150-12 = -162. \\ \ end (align) \]

İndi əvvəlki tapşırıqla bənzətməyə davam edirik. Sıramızın hansı nöqtəsində müsbət ədədlərin olacağını öyrənirik:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ sol (n -1 \ sağ) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n -3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Sağ ox ((n) _ (\ dəq)) = 56. \\ \ end (align) \]

Bu bərabərsizliyin ən kiçik tamsayı həlli 56 -dır.

Diqqət yetirin: son vəzifədə hər şey ciddi bir bərabərsizliyə endirildi, buna görə $ n = 55 $ seçimi bizə uyğun olmayacaq.

İndi sadə problemləri həll etməyi öyrəndikdən sonra daha mürəkkəb problemlərə keçək. Ancaq əvvəlcə, gələcəkdə bizə çox vaxt və qeyri -bərabər hüceyrələr saxlayacaq arifmetik proqressiyaların başqa çox faydalı bir xüsusiyyətini öyrənək. :)

Arifmetik orta və bərabər girintilər

$ \ Left (((a) _ (n)) \ right) $ artan arifmetik irəliləyişin ardıcıl bir neçə üzvünü nəzərdən keçirək. Onları nömrə xəttində qeyd etməyə çalışaq:

Sayı sətrində arifmetik irəliləyişin üzvləri

Xüsusi olaraq $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, heç bir $ ((a) _ (1)), \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ və s. Çünki indi danışacağım qayda hər hansı bir "seqment" üçün eyni şəkildə işləyir.

Və qayda çox sadədir. Rekursiya düsturunu xatırlayaq və qeyd olunan bütün üzvlər üçün yazaq:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ end (align) \]

Ancaq bu bərabərliklər fərqli şəkildə yenidən yazıla bilər:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & ((a) _ (n -1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n -2)) = ((a) _ (n)) - 2g; \\ & ((a) _ (n -3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ end (align) \]

Yaxşı, bəs nə? Və $ ((a) _ (n-1)) $ və $ ((a) _ (n + 1)) $ şərtlərinin $ ((a) _ (n)) $ ilə eyni məsafədə yerləşməsi . Və bu məsafə $ d $ bərabərdir. Eyni şeyi $ ((a) _ (n -2)) $ və $ ((a) _ (n + 2)) $ üzvləri haqqında da demək olar - onlar da $ ((a) _ (n) qrupundan çıxarılır. ) $ eyni məsafə $ 2d $ bərabərdir. Sonsuza qədər davam edə bilərsiniz, ancaq şəkil mənasını yaxşı göstərir.

Proqressiya üzvləri mərkəzdən eyni məsafədə uzanırlar

Bunun bizim üçün nə mənası var? Bu o deməkdir ki, qonşu ədədlər məlumdursa $ ((a) _ (n)) $ tapa bilərsiniz:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]

Mükəmməl bir ifadə ilə gəldik: hər bir arifmetik irəliləyiş üzvü qonşu terminlərin arifmetik ortalamasına bərabərdir! Üstəlik: $ ((a) _ (n)) $ solumuzdan və sağımızdan bir addım yox, $ k $ addımlarımızdan kənara çıxa bilərik - və yenə də formula düzgün olacaq:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

Bunlar. $ ((a) _ (100)) $ və $ ((a) _ (200)) $ bilsək asanlıqla $ ((a) _ (150)) $ tapa bilərik, çünki $ ((a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. İlk baxışdan bu faktın bizə faydalı heç nə vermədiyi görünə bilər. Ancaq praktikada bir çox problem ortalamanın hesablanması üçün xüsusi olaraq "kəskinləşdirilir". Bax:

Problem nömrəsi 6. $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ və $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ ədədlərinin ardıcıl üzv olduğu $ x $ bütün dəyərlərini tapın. arifmetik irəliləyiş (sıraya görə).

Həll. Göstərilən ədədlər irəliləyişin üzvləri olduğu üçün arifmetik ortalamanın şərti onlar üçün təmin edilir: $ x + 1 $ mərkəzi elementi bitişik elementlərlə ifadə edilə bilər:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ end (align) \]

Nəticə klassik bir kvadrat tənlikdir. Kökləri: $ x = 2 $ və $ x = -3 $ - bunlar cavablardır.

Cavab: −3; 2

Problem nömrəsi 7. $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ ədədlərinin arifmetik irəliləyiş təşkil etdiyi $$ dəyərlərini tapın (bu qaydada).

Həll. Yenə orta termini qonşu terminlərin arifmetik ortalaması baxımından ifadə edirik:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ cdot 2 \ sağ.; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ end (align) \]

Yenə də kvadrat tənlik. Və yenə iki kök var: $ x = 6 $ və $ x = 1 $.

Cavab: 1; 6.

Bir problemi həll edərkən bəzi qəddar nömrələr çıxarırsınızsa və ya tapılan cavabların düzgünlüyünə tam əmin deyilsinizsə, yoxlamağa imkan verən gözəl bir texnika var: problemi düzgün həll etdikmi?

Məsələn, 6 nömrəli problemdə -3 və 2 cavablarını aldıq. Bu cavabların doğru olub olmadığını necə yoxlamaq olar? Onları ilkin vəziyyətə bağlayaq və nə olacağını görək. Xatırlatmaq istərdim ki, arifmetik bir irəliləyiş yaratmalı olan üç ədədimiz var ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ və $ 14 + 4 (() ^ (2)) $). $ X = -3 $ əvəz edin:

\ [\ başla (align) & x = -3 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = -54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ son (hizalan) \]

Alınan nömrələr -54; −2; 52 ilə fərqlənən 50, şübhəsiz ki, arifmetik bir irəliləyişdir. Eyni şey $ x = 2 $ üçün də baş verir:

\ [\ başla (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ bit (hizalan) \]

Yenə bir irəliləyiş, ancaq 27 fərqlə. Beləliklə, problem düzgün həll olunur. Maraqlananlar ikinci problemi təkbaşına yoxlaya bilərlər, amma dərhal deyim: orda da hər şey düzdür.

Ümumiyyətlə, son problemləri həll edərkən yadda saxlanması lazım olan başqa bir maraqlı faktla qarşılaşdıq:

Üç ədəd ikincisi birincinin və sonun arifmetik ortalamasıdırsa, bu ədədlər bir arifmetik irəliləyiş təşkil edir.

Gələcəkdə bu ifadəni başa düşmək, problemin vəziyyətinə əsaslanaraq lazımi irəliləyişləri sözün əsl mənasında "qurmağa" imkan verəcək. Ancaq belə bir "quruluşa" girməzdən əvvəl, daha əvvəl nəzərdən keçirilmiş olan bir fakta diqqət yetirməliyik.

Elementlərin qruplaşdırılması və cəmi

Yenə rəqəm oxuna qayıdaq. Orada, bəlkə də aralarında bir neçə irəliləyiş üzvünü qeyd edək. bir çox başqa üzv var:

Nömrələr xəttində işarələnmiş 6 element var

"Sol quyruğu" $ ((a) _ (n)) $ və $ d $, "sağ quyruğu" isə $ ((a) _ (k)) $ və $ ilə ifadə etməyə çalışaq. d $. Çox sadədir:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (k)) - 2g. \\ \ end (align) \]

İndi aşağıdakı məbləğlərin bərabər olduğunu unutmayın:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2g = S. \ son (hizalan) \]

Sadə dillə desək, inkişafın iki elementini cəmi $ S $ bərabər olan iki element hesab etsək və sonra bu elementlərdən əks istiqamətdə (bir -birimizə doğru və ya əksinə çıxarmaq üçün) getməyə başlasaq, sonra tökəcəyimiz elementlərin cəmləri də bərabər olacaq$ S $. Bu ən aydın şəkildə qrafik olaraq təqdim edilə bilər:

Bərabər girinti bərabər məbləğlər verir

Bu həqiqəti başa düşmək, yuxarıda düşündüyümüzdən daha yüksək bir mürəkkəblik problemini həll etməyə imkan verəcəkdir. Məsələn, belə:

Problem nömrəsi 8. Birinci müddətin 66, ikinci və on ikinci bəndlərin məhsulu mümkün olan ən kiçik olan arifmetik irəliləyişin fərqini təyin edin.

Həll. Bildiyimiz hər şeyi yazaq:

\ [\ başla (hizala) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ dəq. \ bit (hizalan) \]

Beləliklə, $ d $ irəliləməsinin fərqini bilmirik. Əslində $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ məhsulu aşağıdakı kimi yenidən yazıla biləcəyi üçün bütün həll fərq üzərində qurulacaq:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ sol (66 + d \ sağ) \ cdot \ sol (66 + 11d \ sağ) = \\ & = 11 \ cdot \ sol (d + 66 \ sağ) \ cdot \ sol (d + 6 \ sağ). \ bit (hizalan) \]

Tankda olanlar üçün: İkinci parantezdən 11 -in ümumi faktorunu çıxartdım. Beləliklə, axtarılan məhsul $ d $ dəyişəninə görə kvadratik bir funksiyadır. Buna görə $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ funksiyasını nəzərdən keçirək - onun qrafiki budaqları olan bir parabola olacaq, çünki mötərizələri genişləndirsək, əldə edirik:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & f \ sol (d \ sağ) = 11 \ sol (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ sağ) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (align) \]

Gördüyünüz kimi, aparıcı müddətdə əmsal 11 -dir - bu müsbət bir rəqəmdir, buna görə də dalları yuxarı olan bir parabola ilə məşğul oluruq:

kvadratik funksiya qrafiki - parabola
Diqqət yetirin: bu parabola minimum dəyərini zirvəsində abscissa $ ((d) _ (0)) $ ilə alır. Əlbəttə ki, bu absisi standart sxemə görə hesablaya bilərik ($ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $ düsturu da var), amma daha ağlabatan olardı arzu olunan zirvənin parabolanın ox simmetriyasında olduğunu nəzərə almaq üçün $ ((d) _ (0)) $ nöqtəsi $ f \ left (d \ right) = 0 $ tənliyinin köklərindən bərabər məsafədədir:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & f \ sol (d \ sağ) = 0; \\ & 11 \ cdot \ sol (d + 66 \ sağ) \ cdot \ sol (d + 6 \ sağ) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ end (align) \]

Bu səbəbdən mötərizələri açmağa tələsmədim: orijinal formada kökləri tapmaq çox asan idi. Buna görə absis −66 və -6 ədədlərinin arifmetik ortasına bərabərdir:

\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) =-36 \]

Kəşf edilən rəqəm bizə nə verir? Bununla, tələb olunan məhsul ən kiçik dəyəri alır (yeri gəlmişkən, $ ((y) _ (\ min)) $ saymadıq - bu bizdən tələb olunmur). Eyni zamanda, bu rəqəm orijinal irəliləmə arasındakı fərqdir, yəni. cavab tapdıq. :)

Cavab: −36

Problem nömrəsi 9. $ - \ frac (1) (2) $ və $ - \ frac (1) (6) $ ədədləri arasına üç ədəd daxil edin ki, verilən ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirsinlər.

Həll. Əsasən, ilk və son ədədlər artıq məlum olan beş ədəddən ibarət ardıcıllıq qurmalıyıq. İtkin nömrələri $ x $, $ y $ və $ z $ dəyişənləri ilə ifadə edək:

\ [\ sol (((a) _ (n)) \ sağ) = \ sol \ ( - \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ sağ \ ) \]

$ Y $ rəqəminin ardıcıllığımızın "ortası" olduğunu unutmayın - həm $ x $, həm də $ z $ rəqəmlərindən və $ - \ frac (1) (2) $ və $ - \ rəqəmlərindən eyni məsafədədir. frac (1) (6) $. Və əgər hazırda $ x $ və $ z $ rəqəmlərindən $ y $ ala bilmiriksə, o zaman vəziyyətin inkişafı ilə fərqlidir. Arifmetik ortalamanı xatırlayaraq:

İndi $ y $ bilərək, qalan nömrələri tapacağıq. $ X \ $ $ - \ frac (1) (2) $ və $ y = - \ frac (1) (3) $ ədədləri arasında olduğunu unutmayın. Buna görə də

Eyni şəkildə düşünərək, qalan nömrəni tapırıq:

Hazır! Hər üç rəqəmi tapdıq. Onları orijinal nömrələr arasına daxil edilmə qaydasında cavabda yazaq.

Cavab: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $

Problem sayı 10. Daxil olan ədədlərin birinci, ikinci və sonunun cəminin 56 olduğunu bilsəniz, bu ədədlərlə birlikdə arifmetik irəliləyiş yaradan 2 və 42 rəqəmləri arasına bir neçə ədəd daxil edin.

Həll. Daha mürəkkəb bir vəzifə, lakin əvvəlkilərlə eyni sxemə görə - arifmetik orta hesabla həll olunur. Problem ondadır ki, dəqiq neçə ədəd daxil edəcəyimizi bilmirik. Buna görə də, qəti olmaq üçün hər şeyi daxil etdikdən sonra tam olaraq $ n $ ədədlərinin olacağını və bunların birincisinin 2, sonuncunun isə 42 olduğunu düşünək. Bu halda istədiyiniz arifmetik irəliləyiş aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

\ [\ sol (((a) _ (n)) \ sağ) = \ sol \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ sağ \) \]

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

$ ((A) _ (2)) $ və $ ((a) _ (n-1)) $ ədədlərinin kənarlarındakı 2 və 42 ədədlərindən bir-birinə doğru bir addımda əldə edildiyini unutmayın. yəni ... ardıcıllığın mərkəzinə. Bu o deməkdir ki

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

Ancaq sonra yuxarıda yazılan ifadə aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ sol (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ sağ) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ end (align) \]

$ ((A) _ (3)) $ və $ ((a) _ (1)) $ bilərək, irəliləmənin fərqini asanlıqla tapa bilərik:

\ [\ başlamaq (hizalamaq) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ sol (3-1 \ sağ) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Sağ ox d = 5. \\ \ end (align) \]

Qalan üzvləri tapmaq qalır:

\ [\ başla (hizala) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ end (align) \]

Beləliklə, artıq 9 -cu pillədə ardıcıllığın sol ucuna - 42 rəqəminə gələcəyik. Cəmi 7 rəqəm daxil etmək lazım idi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Cavab: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Proqressiya ilə söz problemləri

Sonda bir neçə nisbətən sadə işi nəzərdən keçirmək istərdim. Yaxşı, nə qədər sadədir: məktəbdə riyaziyyat oxuyan və yuxarıda yazılanları oxumayan şagirdlərin əksəriyyəti üçün bu tapşırıqlar qalay kimi görünə bilər. Buna baxmayaraq, riyaziyyatda OGE və USE -də rast gəlinən məhz belə problemlərdir, buna görə də onlarla tanış olmağı məsləhət görürəm.

Problem nömrəsi 11. Briqada yanvar ayında 62 hissə istehsal etdi və hər növbəti ayda əvvəlkindən 14 ədəd çox istehsal etdi. Noyabr ayında komanda neçə hissə hazırladı?

Həll. Aydındır ki, aylara görə planlaşdırılan hissələrin sayı artan bir arifmetik irəliləməni təmsil edəcək. Üstəlik:

\ [\ başla (align) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ sol (n-1 \ sağ) \ cdot 14. \\ \ son (hizalan) \]

Noyabr ilin 11 -ci ayıdır, buna görə $ ((a) _ (11)) $ tapmalıyıq:

\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

Nəticədə, noyabr ayında 202 hissə istehsal ediləcək.

Problem nömrəsi 12. Kitab ciltləmə emalatxanası yanvar ayında 216 kitabı cildləşdirdi və hər ay bir əvvəlki kitabdan 4 kitab daha çox bağladı. Seminar dekabr ayında neçə kitab bağladı?

Həll. Hamısı eyni:

$ \ begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ sol (n-1 \ sağ) \ cdot 4. \\ \ son (align) $

Dekabr ilin son, 12 -ci ayıdır, buna görə $ ((a) _ (12)) $ axtarırıq:

\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

Cavab budur - dekabrda 260 kitab cildləşdiriləcək.

Yaxşı, bu günə qədər oxumusunuzsa, sizi təbrik etməyə tələsirəm: "gənc döyüşçü kursunu" hesablamalarda uğurla keçmisiniz. Növbəti dərsə etibarlı şəkildə davam edə bilərsiniz, burada irəliləyişin cəminin düsturunu və bunun vacib və çox faydalı nəticələrini öyrənəcəyik.

Məsələn, \ (2 \) ardıcıllığı; \ (5 \); $səkkiz$; \ (on bir \); \ (14 \) ... arifmetik bir irəliləyişdir, çünki hər bir sonrakı element əvvəlkindən üç fərqlənir (üçlüyün əlavə edilməsi ilə əvvəlkindən əldə edilə bilər):

Bu irəliləyişdə \ (d \) fərqi müsbətdir (\ (3 \) bərabərdir) və buna görə də hər bir sonrakı termin əvvəlkindən daha böyükdür. Belə irəliləyişlər adlanır artan.

Bununla birlikdə \ (d \) mənfi də ola bilər. Misal üçün, arifmetik irəliləmədə \ (16 \); \ (on \); \ (4 \); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... irəliləmənin \ (d \) fərqi mənfi altıya bərabərdir.

Və bu vəziyyətdə, hər bir sonrakı element əvvəlkindən daha kiçik olacaq. Bu irəliləmələr adlanır azalır.

Arifmetik proqressiya notasiyası

Tərəqqi kiçik bir Latın hərfi ilə göstərilir.

Proqressiyanı meydana gətirən ədədlər buna çağırır üzvləri(və ya elementlər).

Arifmetik irəliləyişlə eyni hərflə, lakin sıraya görə elementin sayına bərabər olan ədədi indekslə işarələnirlər.

Məsələn, arifmetik irəliləmə \ (a_n = \ sol \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ sağ \) \) \ (a_1 = 2 \) elementlərindən ibarətdir; \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) və s.

Başqa sözlə, irəliləyiş üçün \ (a_n = \ sol \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ sağ \) \)

Arifmetik irəliləyiş üçün problemlərin həlli

Prinsipcə, yuxarıda göstərilən məlumatlar arifmetik irəliləyiş üçün demək olar ki, hər hansı bir problemi həll etmək üçün kifayətdir (OGE -də təklif olunanları da daxil olmaqla).

Məsələn (OGE). Arifmetik irəliləyiş \ (b_1 = 7; d = 4 \) şərtləri ilə müəyyən edilir. \ (B_5 \) tapın.
Həll:

Cavab: \ (b_5 = 23 \)

Məsələn (OGE). Arifmetik irəliləmənin ilk üç şərti verilir: \ (62; 49; 36 ... \) Bu irəliləmənin ilk mənfi üzvünün dəyərini tapın.
Həll:

	Ardıcıllığın ilk elementləri bizə verilir və bunun arifmetik bir irəliləyiş olduğunu bilirik. Yəni hər bir element qonşusundan eyni sayda fərqlənir. Növbəti elementdən əvvəlkisini çıxaraq hansını tapın: \ (d = 49-62 = -13 \).
	İndi irəliləyişimizi ehtiyac duyduğumuz (ilk mənfi) elementə bərpa edə bilərik.
	Hazırdır. Cavab yaza bilərsiniz.

Cavab: $-3$

Məsələn (OGE). Arifmetik irəliləmənin ardıcıl bir neçə elementi verilir: \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) \ (x \) hərfi ilə göstərilən elementin dəyərini tapın.
Həll:

	\ (X \) tapmaq üçün, sonrakı elementin əvvəlkindən nə qədər fərqləndiyini, başqa sözlə, irəliləmənin fərqini bilmək lazımdır. İki məlum qonşu elementdən tapaq: \ (d = 12.5-10 = 2.5 \).
	İndi istədiyimizi problemsiz tapırıq: \ (x = 5 + 2.5 = 7.5 \).
	Hazırdır. Cavab yaza bilərsiniz.

Cavab: $7,5$.

Məsələn (OGE). Arifmetik irəliləyiş aşağıdakı şərtlərlə müəyyən edilir: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Bu irəliləmənin ilk altı üzvünün cəmini tapın.
Həll:

İnkişafın ilk altı müddətinin cəmini tapmalıyıq. Amma mənalarını bilmirik, bizə yalnız birinci element verilir. Buna görə əvvəlcə bizə verilənləri istifadə edərək dəyərləri növbə ilə hesablayırıq:

\ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \)
\ (n = 2 \); \ (a_ (2 + 1) = a_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \)
\ (n = 3 \); \ (a_ (3 + 1) = a_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \)
Və ehtiyacımız olan altı elementi hesablayaraq onların cəmini tapırıq.

\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \)
$=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9$

Axtardığınız məbləğ tapıldı.

Cavab: \ (S_6 = 9 \).

Məsələn (OGE). Arifmetik tərəqqidə \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Bu irəliləyiş arasındakı fərqi tapın.
Həll:

Cavab: \ (d = 7 \).

Əhəmiyyətli Arifmetik Proqressiya Düsturları

Gördüyünüz kimi, bir çox arifmetik irəliləyiş problemi sadəcə əsas şeyi başa düşməklə həll edilə bilər - arifmetik irəliləyişin ədədlər zənciri olduğunu və bu zəncirin hər bir sonrakı elementinin eyni rəqəmi əvvəlkisinə əlavə etməklə əldə edildiyini (fərq irəliləyiş).

Ancaq bəzən "baş-başa" qərar vermək çox əlverişsiz olduğu hallar olur. Məsələn, təsəvvür edin ki, ilk nümunədə \ (b_5 \) beşinci elementi yox, üç yüz səksən altıncı \ (b_ (386) \) tapmaq lazımdır. Bu nədir, biz \ (385 \) dəfə dörd əlavə edirik? Ya da təsəvvür edin ki, sondan əvvəlki nümunədə ilk yetmiş üç elementin cəmini tapmaq lazımdır. Saymaq üçün işgəncə görəcəksən ...

Buna görə də, belə hallarda, "baş-başa" həll etmirlər, ancaq hesabın inkişafı üçün əldə edilən xüsusi düsturlardan istifadə edirlər. Və əsas olanlar, irəliləmənin n -ci müddəti üçün düstur və ilk terminlərin \ (n \) cəminin düsturudur.

Formula \ (n \) - ci üzv: \ (a_n = a_1 + (n -1) d \), burada \ (a_1 \) irəliləmənin ilk dövrüdür;
\ (n \) - axtarılan elementin nömrəsi;
\ (a_n \), \ (n \) sayı ilə irəliləmənin üzvüdür.

Bu düstur, inkişafın yalnız birincisini və fərqini bilməklə ən azı üç yüzdə, hətta milyonda bir elementi tez bir zamanda tapmağa imkan verir.

Misal. Arifmetik irəliləyiş şərtlərlə müəyyən edilir: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8.2 \). \ (B_ (246) \) tapın.
Həll:

Cavab: \ (b_ (246) = 1850 \).

İlk n terminlərin cəminin düsturu: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), burada

\ (a_n \) - son yekunlaşdırılmış müddət;

Məsələn (OGE). Arifmetik irəliləyiş \ (a_n = 3,4n-0,6 \) şərtləri ilə müəyyən edilir. Bu irəliləyişin ilk \ (25 \) üzvlərinin cəmini tapın.
Həll:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		İlk iyirmi beş elementin cəmini hesablamaq üçün birinci və iyirmi beşinci şərtlərin dəyərini bilmək lazımdır. Bizim irəliləyişimiz sayından asılı olaraq n -ci müddətin formulu ilə verilir (detallara baxın). \ (N \) əvəzinə birinci elementi hesablayaq.
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3.4 1-0.6 = 2.8 \)		İndi \ (n \) yerinə iyirmi beşi əvəz edən iyirmi beşinci termini tapırıq.
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3.4 25-0.6 = 84.4 \)		Yaxşı, indi lazım olan məbləği heç bir problem olmadan hesablaya bilərik.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (2.8 + 84.4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		Cavab hazırdır.

Cavab: \ (S_ (25) = 1090 \).

İlk şərtlərin \ (n \) cəmi üçün başqa bir düstur əldə edə bilərsiniz: sadəcə \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) əvəzinə \ (a_n \) formulunu əvəz edin \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). Əldə edirik:

İlk n terminlərin cəminin düsturu: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), burada

\ (S_n \) - ilk elementlərin tələb olunan cəmi \ (n \);
\ (a_1 \) - ilk yekunlaşdırılmış müddət;
\ (d \) - irəliləmə fərqi;
\ (n \) - cəmdəki maddələrin sayı.

Misal. Arifmetik proqresiyanın ilk \ (33 \) - keçmiş üzvlərinin cəmini tapın: \ (17 \); \ (15.5 \); \ (on dörd \)…
Həll:

Cavab: \ (S_ (33) = - 231 \).

Daha mürəkkəb arifmetik irəliləmə problemləri

İndi demək olar ki, hər hansı bir arifmetik irəliləyiş problemini həll etmək üçün lazım olan bütün məlumatlara sahibsiniz. Mövzunu yalnız düstur tətbiq etməyiniz lazım deyil, həm də bir az düşünməyiniz lazım olan problemləri nəzərdən keçirərək bitiririk (riyaziyyatda bu faydalı ola bilər ☺)

Məsələn (OGE). İrəliləmənin bütün mənfi şərtlərinin cəmini tapın: \ (- 19,3 \); \ (-19 \); \ (- 18.7 \) ...
Həll:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \)		Tapşırıq əvvəlkisinə çox bənzəyir. Biz də həll etməyə başlayırıq: əvvəlcə \ (d \) tapırıq.
\ (d = a_2 -a_1 = -19 - ( - 19.3) = 0.3 \)		İndi cəminin formulunda \ (d \) əvəz edərdim ... və burada kiçik bir nüans ortaya çıxır - bilmirik \ (n \). Başqa sözlə, nə qədər şərt əlavə edilməli olduğunu bilmirik. Necə öyrənmək olar? Gəlin düşünək. İlk müsbət elementə çatanda element əlavə etməyi dayandıracağıq. Yəni bu elementin sayını öyrənməlisiniz. Necə? Arifmetik irəliləmənin hər hansı bir elementinin hesablanması üçün düsturu yazaq: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) halımız üçün.
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \)
\ (a_n = -19.3 + (n -1) 0.3 \)		\ (A_n \) sıfırdan böyük olması lazımdır. Bunun nədən ibarət olacağını \ (n \) öyrənək.
\ (- 19.3+ (n-1) 0.3> 0 \)
\ ((n-1) 0.3> 19.3 \) \ (\|: 0.3 \)		Bərabərsizliyin hər iki tərəfini \ (0,3 \) ilə bölürük.
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \)		İşarələri dəyişdirməyi unutmayın və mənfi bir hərəkət edin
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \)		Hesablayırıq ...
\ (n> 65,333 ... \)		... və ilk müsbət elementin \ (66 \) rəqəminə sahib olduğu ortaya çıxdı. Buna görə, son mənfi \ (n = 65 \) malikdir. Hər ehtimala qarşı yoxlayaq.
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = -19.3+ (65-1) 0.3 = -0.1 \) \ (n = 66; \) \ (a_ (66) = - 19.3+ (66-1) 0.3 = 0.2 \)		Beləliklə, ilk \ (65 \) elementlərini əlavə etməliyik.
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ (( - 38.6 + 19.2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630.5 \)		Cavab hazırdır.

Cavab: \ (S_ (65) = - 630.5 \).

Məsələn (OGE). Arifmetik irəliləyiş şərtlərlə müəyyən edilir: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). \ (26 \) - dan \ (42 \) elementi daxil olmaqla cəmi tapın.
Həll:

\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \)	Bu problemdə, elementlərin cəmini də tapmaq lazımdır, ancaq birincidən deyil, \ (26 \) - thdən başlayaraq. Belə bir vəziyyət üçün heç bir düsturumuz yoxdur. Necə qərar vermək olar? Asan - \ (26 \) - thdən \ (42 \) - a qədər olan məbləği əldə etmək üçün əvvəlcə \ (1 \) - ci ilə \ (42 \) - oh arasındakı cəmi tapmalı və sonra əvvəlcə \ (25 \) - ci ilə cəmi (şəklə bax).
	Bizim irəliləyişimiz üçün \ (a_1 = -33 \) və fərq \ (d = 4 \) (axır ki, sonrakı birini tapmaq üçün əvvəlki elementə əlavə etdiyimiz dörddür). Bunu bilərək, ilk \ (42 \) - yh elementlərinin cəmini tapırıq.
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	İndi ilk \ (25 \) - ty elementlərinin cəmi.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	Sonda cavabı hesablayırıq.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

Cavab: \ (S = 1683 \).

Arifmetik irəliləyiş üçün praktiki faydalılığı aşağı olduğuna görə bu məqalədə nəzərdən keçirmədiyimiz daha bir neçə düstur var. Ancaq onları asanlıqla tapa bilərsiniz.

Kimsə "riyazi" sözündən, yüksək riyaziyyat sahələrindən çox mürəkkəb bir termin olaraq ehtiyat edir. Bu arada ən sadə hesablama, taksi sayğacının işidir (hələ də qaldıqları yerdə). Arifmetik ardıcıllığın mahiyyətini başa düşmək (və riyaziyyatda "mahiyyəti anlamaqdan daha vacib bir şey yoxdur"), bir neçə elementar anlayışı təhlil edərək, o qədər də çətin deyil.

Riyazi ədəd ardıcıllığı

Hər birinin öz nömrəsi olan bir sıra ardıcıllıqla ad vermək adətdir.

a 1 - ardıcıllığın ilk üzvü;

və 2 ardıcıllığın ikinci üzvüdür;

və 7 ardıcıllığın yeddinci üzvüdür;

və n ardıcıllığın n -ci üzvüdür;

Ancaq heç bir ixtiyari ədəd və ədəd dəsti bizi maraqlandırmır. Diqqətimiz, n -ci terminin dəyərinin riyazi sayı ilə riyazi olaraq aydın şəkildə tərtib edilə bilən bir asılılıq ilə əlaqəli olduğu ədədi ardıcıllığa yönəldiləcəkdir. Başqa sözlə desək: n-ci ədədin ədədi dəyəri n-nin bəzi funksiyalarıdır.

a - ədədi ardıcıllığın üzvünün dəyəri;

n seriya nömrəsidir;

f (n), ədədi ardıcıllığındakı sıranın arqument olduğu bir funksiyadır.

Tərif

Arifmetik bir irəliləməni, hər bir sonrakı müddətin əvvəlki saydan eyni sayda daha böyük (az) olduğu bir sıra ardıcıllığı adlandırmaq adətdir. Arifmetik ardıcıllığın n -ci üzvünün düsturu belədir:

a n - hesablamanın cari üzvünün dəyəri;

a n + 1 - növbəti ədəd üçün düstur;

d - fərq (müəyyən bir ədəd).

Əgər fərq müsbətdirsə (d> 0), onda nəzərdən keçirilən seriyanın hər bir sonrakı müddəti əvvəlkindən daha böyük olacaq və belə bir arifmetik irəliləyiş artacaq.

Aşağıdakı qrafikdə ədəd ardıcıllığının niyə "artan" adlandırıldığını anlamaq asandır.

Fərqin mənfi olduğu hallarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Göstərilən üzvün dəyəri

Bəzən hər hansı bir ixtiyari üzvün a n arifmetik irəliləyişinin dəyərini təyin etmək lazım gəlir. Bunu birincidən başlayaraq istənilən birinə qədər arifmetik inkişafın bütün üzvlərinin dəyərlərini ardıcıl olaraq hesablayaraq edə bilərsiniz. Ancaq, məsələn, beş mininci və ya səkkiz milyonuncu üzvün mənasını tapmaq lazımdırsa, bu yol həmişə məqbul deyil. Ənənəvi hesablama uzun müddət çəkəcək. Bununla birlikdə, xüsusi düsturlardan istifadə edərək müəyyən bir arifmetik irəliləyiş araşdırıla bilər. N -ci müddət üçün bir düstur da var: bir arifmetik irəliləmənin hər hansı bir üzvünün dəyəri, irəliləyişin fərqi ilə, istədiyiniz müddətin sayına vurularaq azaldılması ilə irəliləmənin birinci müddətinin cəmi olaraq təyin edilə bilər. bir

Formula həm artan, həm də azalan inkişaf üçün universaldır.

Verilmiş bir üzvün dəyərinin hesablanması nümunəsi

Arifmetik irəliləmənin n -ci üzvünün dəyərini tapmaq üçün aşağıdakı problemi həll edək.

Vəziyyət: parametrləri olan bir arifmetik irəliləyiş var:

Ardıcıllığın ilk müddəti 3;

Nömrələr seriyasındakı fərq 1,2 -dir.

Tapşırıq: 214 üzvün dəyərini tapmaq lazımdır

Həll: müəyyən bir terminin dəyərini təyin etmək üçün düsturdan istifadə edirik:

a (n) = a1 + d (n-1)

Problemin vəziyyətindəki məlumatları ifadəyə dəyişdirərək bizdə var:

a (214) = a1 + d (n-1)

a (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Cavab: Ardıcıllıqdakı 214 -cü müddət 258.6 -dır.

Bu hesablama metodunun üstünlükləri göz qabağındadır - bütün həll 2 sətirdən çox deyil.

Müəyyən sayda üzvlərin cəmi

Çox vaxt, müəyyən bir aritmetik seriyada, müəyyən bir seqmentin dəyərlərinin cəmini təyin etmək tələb olunur. Bu da hər bir dövrün dəyərlərinin hesablanmasını və sonra cəmlənməsini tələb etmir. Bu üsul tapılacaq terminlərin sayı az olduqda tətbiq olunur. Digər hallarda, aşağıdakı düsturu istifadə etmək daha rahatdır.

1 -dən n -ə qədər olan arifmetik irəliləyiş üzvlərinin cəmi, n üzvünün sayına vurularaq ikiyə bölünən birinci və n -ci üzvlərin cəminə bərabərdir. Formulda n -ci müddətin dəyəri məqalənin əvvəlki abzasındakı ifadə ilə əvəz edilərsə, əldə edirik:

Hesablama nümunəsi

Məsələn, aşağıdakı şərtlərlə bir problemi həll edək:

Ardıcıllığın ilk müddəti sıfırdır;

Fərq 0,5 -dir.

Problemdə 56 -dan 101 -ə qədər olan üzvlərin cəmini təyin etməlisiniz.

Həll. İrəliləmənin cəmini təyin etmək üçün düsturdan istifadə edək:

s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Birincisi, problemin şərtlərinin məlumatlarını düstura qoyaraq, inkişafın 101 üzvünün dəyərlərinin cəmini təyin edirik:

s 101 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2525

Aydındır ki, 56 -dan 101 -ə qədər olan inkişaf üzvlərinin cəmini öyrənmək üçün S 55 -dən S 101 -dən çıxarmaq lazımdır.

s 55 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742.5

Beləliklə, bu nümunə üçün arifmetik irəliləmənin cəmi:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742.5 = 1.782.5

Arifmetik proqresiyanın praktik tətbiqinə bir nümunə

Məqalənin sonunda birinci paraqrafda verilmiş arifmetik ardıcıllığın nümunəsinə - taksimetrinə (taksi avtomobili sayğacına) qayıdaq. Bir nümunəyə baxaq.

Bir taksiyə minmək (3 km qaçış daxildir) 50 rubla başa gəlir. Sonrakı hər kilometr 22 rubl / km nisbətində ödənilir. Səyahət məsafəsi 30 km. Gəzinti xərclərini hesablayın.

1. Qiyməti eniş qiymətinə daxil olan ilk 3 km -ni ataq.

30 - 3 = 27 km.

2. Əlavə hesablama arifmetik ədədlər seriyasının təhlilindən başqa bir şey deyil.

Üzv nömrəsi - gedilən kilometrlərin sayı (ilk üçü çıxmaqla).

Üzvün dəyəri cəmdir.

Bu problemin birinci dövrü 1 = 50 p -ə bərabər olacaq.

Davam etmə fərqi d = 22 p.

maraqlandığımız nömrə arifmetik irəliləmənin (27 + 1) -ci müddətinin dəyəridir - 27 -ci kilometrin sonunda sayğacın oxunması 27.999… = 28 km -dir.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Özbaşına uzun müddət üçün təqvim məlumatlarının hesablamaları müəyyən ədədi ardıcıllıqları təsvir edən düsturlara əsaslanır. Astronomiyada orbitin uzunluğu həndəsi olaraq göy cisiminin armatura olan məsafəsindən asılıdır. Bundan əlavə, müxtəlif ədədi seriyalar statistikada və riyaziyyatın digər tətbiq olunan sahələrində uğurla istifadə olunur.

Nömrələr ardıcıllığının başqa bir növü həndəsi

Həndəsi irəliləyiş arifmetiklə müqayisədə böyük dəyişiklik dərəcələri ilə xarakterizə olunur. Təsadüfi deyil ki, siyasətdə, sosiologiyada, tibbdə tez -tez bir fenomenin, məsələn, bir epidemiya zamanı bir xəstəliyin yüksək yayılma sürətini göstərmək üçün prosesin sürətlə inkişaf etdiyini söyləyirlər.

Həndəsi ədədi seriyanın N -ci termini, əvvəlkindən fərqli olaraq sabit bir ədədlə vurulması ilə fərqlənir - məxrəc, məsələn, birinci termin 1, məxrəc müvafiq olaraq 2 -dir, sonra:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - həndəsi irəliləmənin cari üzvünün dəyəri;

b n + 1 - həndəsi irəliləmənin növbəti müddətinin düsturu;

q həndəsi irəliləmənin məxrəcidir (sabit ədəd).

Arifmetik irəliləmənin qrafiki düz bir xəttdirsə, həndəsi bir az fərqli bir şəkil çəkir:

Arifmetikdə olduğu kimi, həndəsi bir irəliləmədə ixtiyari bir terminin dəyəri üçün bir düstur var. Həndəsi irəliləmənin hər hansı bir n-ci hissəsi, n-nin gücünün irəliləyişinin məxrəci ilə birinci müddətin məhsuluna bərabərdir və bir azaldılır:

Misal. Birinci dövrü 3 -ə, irəliləyişin məxrəci 1,5 -ə bərabər olan həndəsi bir irəliləyişimiz var. İrəliləmənin 5 -ci müddətini tapın

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

Xüsusi bir düsturdan istifadə edərək müəyyən sayda üzvlərin cəmi eyni şəkildə hesablanır. Həndəsi irəliləmənin ilk n şərtinin cəmi, məxrəcin n -ci dövrü ilə məxrəcinin məhsulu ilə məxrəcə bölünərək bölünmənin birinci dövrü arasındakı fərqə bərabərdir:

Əgər b n yuxarıda nəzərdən keçirilən düsturla əvəz edilərsə, nəzərdən keçirilən ədədi seriyanın ilk n terminlərinin cəminin dəyəri aşağıdakı formada olacaq: