Arifmetik irəliləyişin həllini necə öyrənmək olar.  Cəbr: Arifmetik və həndəsi irəliləyişlər. Arifmetik irəliləyişin cəmi

Məsələn, ardıcıllıq \(2\); \(5\); \(səkkiz\); \(on bir\); \(14\)… arifmetik irəliləyişdir, çünki hər bir sonrakı element əvvəlkindən üç ilə fərqlənir (əvvəlki elementdən üç əlavə etməklə əldə etmək olar):

Bu irəliləyişdə \(d\) fərqi müsbətdir (\(3\)-ə bərabərdir) və buna görə də hər növbəti termin əvvəlkindən böyükdür. Belə irəliləmələr deyilir artır.

Bununla belə, \(d\) mənfi ədəd də ola bilər. Misal üçün, arifmetik irəliləyişdə \(16\); \(on\); \(dörd\); \(-2\); \(-8\)… irəliləyiş fərqi \(d\) mənfi altıya bərabərdir.

Və bu halda, hər bir növbəti element əvvəlkindən az olacaq. Bu irəliləyişlər adlanır azalan.

Arifmetik irəliləyiş qeydi

Proqressiya kiçik Latın hərfi ilə işarələnir.

Proqressiya əmələ gətirən ədədlər ona deyilir üzvləri(və ya elementlər).

Onlar arifmetik irəliləyişlə eyni hərflə, lakin sıra ilə element nömrəsinə bərabər ədədi indekslə işarələnirlər.

Məsələn, arifmetik irəliləmə \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) elementlərindən ibarətdir \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) və s.

Başqa sözlə, irəliləmə üçün \(a_n = \sol\(2; 5; 8; 11; 14…\sağ\)\)

Arifmetik irəliləyişlə bağlı məsələlərin həlli

Prinsipcə, yuxarıda göstərilən məlumatlar arifmetik irəliləyişlə bağlı demək olar ki, hər hansı bir problemi həll etmək üçün kifayətdir (OGE-də təklif olunanlar da daxil olmaqla).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(b_1=7; d=4\) şərtləri ilə verilir. \(b_5\) tapın.
Həll:

Cavab: \(b_5=23\)

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişin ilk üç üzvü verilmişdir: \(62; 49; 36...\) Bu irəliləyişin birinci mənfi üzvünün qiymətini tapın.
Həll:

	Bizə ardıcıllığın ilk elementləri verilir və onun arifmetik irəliləyiş olduğunu bilirik. Yəni hər bir element qonşudan eyni sayda fərqlənir. Növbəti elementdən əvvəlkini çıxmaqla hansının olduğunu tapın: \(d=49-62=-13\).
	İndi irəliləyişimizi istədiyiniz (ilk mənfi) elementə bərpa edə bilərik.
	Hazır. Cavab yaza bilersiniz.

Cavab: \(-3\)

Nümunə (OGE). Arifmetik proqresiyanın bir neçə ardıcıl elementi verilmişdir: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) hərfi ilə işarələnən elementin qiymətini tapın.
Həll:

	\(x\) tapmaq üçün növbəti elementin əvvəlkindən nə qədər fərqləndiyini, başqa sözlə, irəliləyiş fərqini bilməliyik. Onu iki məlum qonşu elementdən tapaq: \(d=12,5-10=2,5\).
	İndi isə biz axtardığımızı problemsiz tapırıq: \(x=5+2,5=7,5\).
	Hazır. Cavab yaza bilersiniz.

Cavab: \(7,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş aşağıdakı şərtlərlə verilir: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu irəliləyişin ilk altı üzvünün cəmini tapın.
Həll:

	Proqresiyanın ilk altı şərtinin cəmini tapmalıyıq. Amma onların mənalarını bilmirik, bizə yalnız birinci element verilir. Buna görə də, əvvəlcə bizə verilənlərdən istifadə edərək, öz növbəsində dəyərləri hesablayırıq: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Bizə lazım olan altı elementi hesablayaraq onların cəmini tapırıq.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Tələb olunan məbləğ tapıldı.

Cavab: \(S_6=9\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişdə \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu irəliləyişin fərqini tapın.
Həll:

Cavab: \(d=7\).

Əhəmiyyətli Arifmetik Proqressiya Düsturları

Gördüyünüz kimi, bir çox arifmetik irəliləyiş məsələləri sadəcə əsas şeyi başa düşməklə həll edilə bilər - arifmetik irəliləyiş ədədlər zənciridir və bu zəncirdəki hər bir növbəti element əvvəlkinə eyni ədədi əlavə etməklə əldə edilir (fərq irəliləməsi).

Ancaq bəzən "alında" həll etmək çox əlverişsiz olduqda vəziyyətlər var. Məsələn, təsəvvür edin ki, ilk misalda biz beşinci elementi \(b_5\) deyil, üç yüz səksən altıncı \(b_(386)\) tapmalıyıq. Nədir, biz \ (385 \) dəfə dörd əlavə edək? Və ya təsəvvür edin ki, sondan əvvəlki nümunədə ilk yetmiş üç elementin cəmini tapmaq lazımdır. Saymaq qarışıqdır...

Buna görə də, belə hallarda, onlar "alında" həll etmirlər, ancaq arifmetik irəliləyiş üçün əldə edilən xüsusi düsturlardan istifadə edirlər. Əsas olanlar isə irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur və birinci hədlərin \(n\) cəminin düsturudur.

\(n\)-ci üzv üçün düstur: \(a_n=a_1+(n-1)d\), burada \(a_1\) irəliləyişin ilk üzvüdür;
\(n\) – tələb olunan elementin sayı;
\(a_n\) \(n\) rəqəmi ilə irəliləyişin üzvüdür.

Bu düstur bizə yalnız birinci və irəliləyiş fərqini bilməklə ən azı üç yüzüncü, hətta milyonuncu elementi tez tapmağa imkan verir.

Misal. Arifmetik irəliləmə şərtlərlə verilir: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) tapın.
Həll:

Cavab: \(b_(246)=1850\).

İlk n şərtin cəmi üçün formula belədir: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), burada

\(a_n\) son cəmlənmiş termindir;

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(a_n=3.4n-0.6\) şərtləri ilə verilir. Bu irəliləyişin ilk \(25\) şərtlərinin cəmini tapın.
Həll:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		İlk iyirmi beş elementin cəmini hesablamaq üçün birinci və iyirmi beşinci müddətin qiymətini bilməliyik. Bizim irəliləyişimiz onun sayından asılı olaraq n-ci hədd düsturu ilə verilir (ətraflı bax). Birinci elementi \(n\) ilə əvəz edərək hesablayaq.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		İndi \(n\) əvəzinə iyirmi beşi əvəz edərək iyirmi beşinci həddi tapaq.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Yaxşı, indi heç bir problem olmadan tələb olunan məbləği hesablayırıq.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Cavab hazırdır.

Cavab: \(S_(25)=1090\).

Birinci şərtlərin \(n\) cəmi üçün başqa düstur əldə edə bilərsiniz: sadəcə \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) əvəzinə \(a_n\) düsturu ilə əvəz edin \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz əldə edirik:

İlk n şərtin cəmi üçün formula belədir: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), burada

\(S_n\) – birinci elementlərin tələb olunan məbləği \(n\);
\(a_1\) cəmlənəcək ilk termindir;
\(d\) – irəliləyiş fərqi;
\(n\) - cəmdəki elementlərin sayı.

Misal. Arifmetik irəliləyişin ilk \(33\)-ex hədlərinin cəmini tapın: \(17\); \(15,5\); \(on dörd\)…
Həll:

Cavab: \(S_(33)=-231\).

Daha mürəkkəb arifmetik irəliləyiş məsələləri

İndi demək olar ki, istənilən arifmetik irəliləyiş problemini həll etmək üçün lazım olan bütün məlumatlara sahibsiniz. Təkcə düsturları tətbiq etmək deyil, həm də bir az düşünmək lazım olan problemləri nəzərdən keçirərək mövzunu bitirək (riyaziyyatda bu faydalı ola bilər ☺)

Nümunə (OGE). Proqresiyanın bütün mənfi şərtlərinin cəmini tapın: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Həll:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Tapşırıq əvvəlki ilə çox oxşardır. Eyni şəkildə həll etməyə başlayırıq: əvvəlcə \(d\) tapırıq.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		İndi cəm üçün düsturda \(d\) əvəz edərdik... və burada kiçik bir nüans görünür - biz \(n\) bilmirik. Başqa sözlə desək, nə qədər terminin əlavə edilməsi lazım olduğunu bilmirik. Necə tapmaq olar? Gəlin düşünək. İlk müsbət elementə çatanda elementlər əlavə etməyi dayandıracağıq. Yəni bu elementin sayını tapmaq lazımdır. Necə? Arifmetik irəliləyişin hər hansı elementini hesablamaq üçün düsturu yazaq: bizim işimiz üçün \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Bizə \(a_n\) sıfırdan böyük olmaq lazımdır. Bunun nə üçün \(n\) olacağını öyrənək.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Bərabərsizliyin hər iki tərəfini \(0,3\) ilə bölürük.
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		İşarələri dəyişdirməyi unutmadan, mənfi birini köçürürük
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Hesablama...
\(n>65,333…\)		…və belə çıxır ki, birinci müsbət element \(66\) rəqəminə sahib olacaq. Müvafiq olaraq, sonuncu mənfi \(n=65\) var. Hər halda, gəlin yoxlayaq.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Beləliklə, ilk \(65\) elementləri əlavə etməliyik.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Cavab hazırdır.

Cavab: \(S_(65)=-630,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş şərtlərlə verilir: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-dan \(42\) element daxil olmaqla cəmini tapın.
Həll:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bu məsələdə siz həm də elementlərin cəmini tapmaq lazımdır, lakin birincidən deyil, \(26\)-dan başlayaraq. Bunun üçün bir düsturumuz yoxdur. Necə qərar vermək olar? Asan - \(26\)-dan \(42\)-ə qədər olan məbləği əldə etmək üçün əvvəlcə \(1\)-dən \(42\)-ə qədər olan cəmini tapmalı, sonra ondan cəmini çıxarmalısınız. birincidən \ (25 \) ci (şəkilə bax).
	Bizim irəliləyişimiz üçün \(a_1=-33\) və fərq \(d=4\) (hər şeydən sonra növbəti elementi tapmaq üçün əvvəlki elementə dörd əlavə edirik). Bunu bilərək birinci \(42\)-uh elementlərinin cəmini tapırıq.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	İndi birinci \(25\)-ci elementlərin cəmi.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Və nəhayət, cavabı hesablayırıq.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Cavab: \(S=1683\).

Arifmetik irəliləyiş üçün praktiki faydalılığı az olduğuna görə bu məqalədə nəzərdən keçirmədiyimiz daha bir neçə düstur var. Bununla belə, onları asanlıqla tapa bilərsiniz.

Ədədi ardıcıllıq anlayışı hər bir natural ədədin hansısa real qiymətə uyğun olduğunu nəzərdə tutur. Belə bir sıra nömrələr həm ixtiyari ola bilər, həm də müəyyən xüsusiyyətlərə malikdir - irəliləyiş. Sonuncu halda, ardıcıllığın hər bir sonrakı elementi (üzvü) əvvəlkindən istifadə etməklə hesablana bilər.

Arifmetik irəliləyiş, qonşu üzvlərinin bir-birindən eyni sayda fərqləndiyi ədədi dəyərlər ardıcıllığıdır (2-cidən başlayaraq seriyanın bütün elementləri oxşar xüsusiyyətə malikdir). Bu ədəd - əvvəlki və sonrakı üzv arasındakı fərq sabitdir və irəliləmə fərqi adlanır.

Tərəqqi fərqi: Tərif

j qiymətlərindən ibarət ardıcıllığı nəzərdən keçirək A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j N natural ədədlər çoxluğuna aiddir. Arifmetik irəliləyiş, tərifinə görə a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - ardıcıllığıdır. a(j-1) = d. d dəyəri bu irəliləyişin istənilən fərqidir.

d = a(j) - a(j-1).

Ayrın:

• Artan irəliləyiş, bu halda d > 0. Misal: 4, 8, 12, 16, 20, …
• irəliləyişin azalması, sonra d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Proqresiyanın fərqi və onun ixtiyari elementləri

Proqresiyanın 2 ixtiyari üzvü (i-ci, k-ci) məlumdursa, bu ardıcıllıq üçün fərq əlaqə əsasında müəyyən edilə bilər:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, deməli d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Proqressiv fərq və onun birinci müddəti

Bu ifadə naməlum dəyəri yalnız ardıcıllıq elementinin sayı məlum olduğu hallarda təyin etməyə kömək edəcəkdir.

Tərəqqi fərqi və onun cəmi

Proqresiyanın cəmi onun üzvlərinin cəmidir. İlk j elementlərinin ümumi dəyərini hesablamaq üçün müvafiq düsturdan istifadə edin:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, lakin o vaxtdan a(j) = a(1) + d(j – 1), onda S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Rəssamlıq və şeir kimi riyaziyyatın da öz gözəlliyi var.

Rus alimi, mexanik N.E. Jukovski

Riyaziyyatdan qəbul imtahanlarında çox yayılmış tapşırıqlar arifmetik irəliləyiş anlayışı ilə bağlı tapşırıqlardır. Belə məsələləri uğurla həll etmək üçün arifmetik proqresiyanın xassələrini yaxşı bilmək və onların tətbiqində müəyyən bacarıqlara malik olmaq lazımdır.

Əvvəlcə arifmetik irəliləyişin əsas xassələrini xatırlayaq və ən vacib düsturları təqdim edək, bu konsepsiya ilə əlaqələndirilir.

Tərif. Rəqəmsal ardıcıllıq, hər bir sonrakı termin əvvəlkindən eyni sayda fərqlənir, arifmetik irəliləyiş adlanır. Eyni zamanda, nömrəirəliləyiş fərqi adlanır.

Arifmetik irəliləyiş üçün düsturlar etibarlıdır

, (1)

harada. Formula (1) arifmetik irəliləyişin ümumi həddinin düsturu adlanır və düstur (2) arifmetik irəliləyişin əsas xassəsidir: proqressiyanın hər bir üzvü qonşu üzvlərinin arifmetik ortası ilə üst-üstə düşür və .

Qeyd edək ki, məhz bu xassəsinə görə nəzərdən keçirilən proqressiya “arifmetik” adlanır.

Yuxarıdakı düsturlar (1) və (2) aşağıdakı kimi ümumiləşdirilmişdir:

(3)

Cəmi hesablamaq üçün birinci arifmetik irəliləyişin üzvləriformul adətən istifadə olunur

(5) harada və .

Formulu nəzərə alsaq (1), onda (5) düstur nəzərdə tutulur

təyin etsək

harada. Çünki (7) və (8) düsturları müvafiq (5) və (6) düsturlarının ümumiləşdirilməsidir.

Xüsusilə , düsturdan (5) belə çıxır, nə

Əksər tələbələrə az məlum olanlar arasında aşağıdakı teorem vasitəsilə tərtib edilmiş arifmetik irəliləyişin xassəsidir.

Teorem.Əgər, onda

Sübut.Əgər, onda

Teorem sübut edilmişdir.

Misal üçün , teoremdən istifadə etməklə, bunu göstərmək olar

“Arifmetik irəliləyiş” mövzusunda məsələlərin həllinin tipik nümunələrinin nəzərdən keçirilməsinə keçək.

Misal 1 Qoy və. tap .

Həll. Düsturu (6) tətbiq edərək, əldə edirik. Bundan sonra və , sonra və ya .

Misal 2Üç dəfə çox olsun və bölgüdə bölünəndə 2 olur, qalan isə 8 olur. Müəyyən edin və.

Həll. Tənliklər sistemi nümunənin şərtindən irəli gəlir

olduğundan, , və , onda (10) tənliklər sistemindən alırıq

Bu tənliklər sisteminin həlli və .

Misal 3Əgər tapın və .

Həll.(5) düsturuna görə bizdə və ya var. Bununla belə, (9) əmlakdan istifadə edərək əldə edirik.

bəri və , sonra bərabərliyindən tənlik aşağıdakı kimidir və ya .

Misal 4Əgər tapın.

Həll.Formula (5) görə bizdə var

Ancaq teoremdən istifadə edərək yazmaq olar

Buradan və düsturdan (11) əldə edirik.

Misal 5. Verildi: . tap .

Həll. O vaxtdan bəri . Bununla belə .

Misal 6 Qoy, və. tap .

Həll.(9) düsturundan istifadə edərək əldə edirik. Buna görə də əgər , onda və ya .

O vaxtdan və onda burada tənliklər sistemimiz var

Hansını həll edərək, alırıq və .

Tənliyin təbii kökü edir .

Misal 7Əgər tapın və .

Həll.Çünki (3) düsturuna görə biz buna malikik, deməli məsələnin şərtindən tənliklər sistemi çıxır

ifadəsini əvəz etsəksistemin ikinci tənliyinə daxil edilir, onda alırıq və ya .

Kvadrat tənliyin kökləri bunlardır və .

Gəlin iki halı nəzərdən keçirək.

1. Qoy, sonra. O vaxtdan bəri və sonra.

Bu halda (6) düsturuna görə bizdə var

2. Əgər , onda , və

Cavab: və.

Misal 8 Məlumdur ki, və tap .

Həll. Formula (5) və nümunənin şərtini nəzərə alaraq və yazırıq.

Bu, tənliklər sistemini nəzərdə tutur

Sistemin birinci tənliyini 2-yə vurub ikinci tənliyə əlavə etsək, alırıq.

Formula (9) görə bizdə var. Bununla əlaqədar (12)-dən belə çıxır və ya .

O vaxtdan bəri və sonra.

Cavab: .

Misal 9Əgər tapın və .

Həll. O vaxtdan , və şərtlə , sonra və ya .

(5) düsturundan məlumdur, nə . O vaxtdan bəri .

Nəticədə, burada xətti tənliklər sistemimiz var

Buradan alırıq və . Formulu (8) nəzərə alaraq yazırıq.

Misal 10 Tənliyi həll edin.

Həll. Verilmiş tənlikdən belə çıxır ki. Fərz edək ki, , və. Bu halda .

Formula (1) uyğun olaraq və ya yaza bilərik.

Çünki (13) tənliyinin unikal uyğun kökü var.

Misal 11. və olması şərtilə maksimum dəyəri tapın.

Həll.-dən bəri hesab edilən arifmetik irəliləyiş azalır. Bu baxımdan ifadə irəliləyişin minimum müsbət üzvünün sayı olduqda maksimum qiymət alır.

Formula (1) və faktdan istifadə edirik, hansı və . Sonra bunu alırıq və ya .

Çünki , sonra və ya . Ancaq bu bərabərsizlikdəən böyük natural ədəd, buna görə də .

Əgər və dəyərləri (6) düsturu ilə əvəz edilərsə, onda biz alarıq.

Cavab: .

Misal 12. 6-ya bölündükdə 5 qalığı olan bütün ikirəqəmli natural ədədlərin cəmini tapın.

Həll. Bütün ikiqiymətli natural ədədlərin çoxluğu ilə işarələyin, yəni. . Sonra, çoxluğun həmin elementlərindən (rəqəmlərindən) ibarət alt çoxluq qururuq ki, 6 rəqəminə bölündükdə 5-in qalığını verir.

Quraşdırmaq asandır, nə . Aydındır ki, ki, çoxluğun elementləriarifmetik irəliləyiş əmələ gətirir, hansı və .

Çoxluğun kardinallığını (elementlərin sayını) müəyyən etmək üçün güman edirik ki, . Çünki və , onda (1) düstur və ya nəzərdə tutur. (5) düsturunu nəzərə alaraq əldə edirik.

Problemlərin həllinə dair yuxarıda göstərilən nümunələr heç bir halda tam olduğunu iddia edə bilməz. Bu məqalə verilmiş mövzu üzrə tipik problemlərin həlli üçün müasir metodların təhlili əsasında yazılmışdır. Arifmetik irəliləyişlə bağlı məsələlərin həlli üsullarını daha dərindən öyrənmək üçün tövsiyə olunan ədəbiyyat siyahısına müraciət etmək məsləhətdir.

1. Texniki ali məktəblərə abituriyentlər üçün riyaziyyatdan tapşırıqlar toplusu / Red. M.İ. Skanavi. - M .: Dünya və Təhsil, 2013. - 608 s.

2. Suprun V.P. Orta məktəb şagirdləri üçün riyaziyyat: məktəb kurikulumunun əlavə bölmələri. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.

3. Medınski M.M. Tapşırıqlar və məşqlərdə ibtidai riyaziyyatın tam kursu. Kitab 2: Nömrələrin ardıcıllığı və irəliləmələri. – M.: Editus, 2015. - 208 s.

Hər hansı bir sualınız var?

Repetitordan kömək almaq üçün - qeydiyyatdan keçin.

sayt, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.

Arifmetik irəliləyişin cəmi.

Arifmetik irəliləyişin cəmi sadə bir şeydir. Həm mənada, həm də formulda. Ancaq bu mövzuda hər cür tapşırıq var. Elementardan olduqca möhkəmə qədər.

Əvvəlcə cəminin mənası və düsturu ilə məşğul olaq. Və sonra qərar verəcəyik. Öz zövqünüz üçün.) Məbləğin mənası aşağılamaq qədər sadədir. Arifmetik irəliləyişin cəmini tapmaq üçün onun bütün üzvlərini diqqətlə əlavə etmək kifayətdir. Bu şərtlər azdırsa, heç bir düstur olmadan əlavə edə bilərsiniz. Amma çox olarsa, yaxud çoxsa... əlavə etmək bezdiricidir.) Bu halda düstur qənaət edir.

Cəmi düsturu sadədir:

Düstura hansı hərflərin daxil olduğunu anlayaq. Bu çox şeyə aydınlıq gətirəcək.

S n arifmetik irəliləyişin cəmidir. Əlavə nəticə hamısıüzvləri, ilə birinci haqqında sonuncu. Vacibdir. Tam olaraq əlavə edin hamısı boşluqlar və atlamalar olmadan bir sıra üzvləri. Və, dəqiq, başlayaraq birinci.Üçüncü və səkkizinci şərtlərin cəmini və ya beşdən iyirminciyə qədər olan şərtlərin cəmini tapmaq kimi problemlərdə düsturun birbaşa tətbiqi məyus olacaq.)

a 1 - birinci irəliləyişin üzvü. Burada hər şey aydındır, sadədir birinci sıra nömrəsi.

a n- axırıncı irəliləyişin üzvü. Sıranın son nömrəsi. Çox tanış ad deyil, amma məbləğə müraciət etdikdə çox uyğun gəlir. Sonra özünüz görəcəksiniz.

n sonuncu üzvün nömrəsidir. Formulada bu rəqəmin olduğunu başa düşmək vacibdir əlavə edilən terminlərin sayı ilə üst-üstə düşür.

Konsepsiyanı müəyyən edək sonuncuüzv a n. Doldurucu sual: hansı üzv olacaq sonuncu, verilirsə sonsuz arifmetik irəliləyiş?

Etibarlı cavab üçün siz arifmetik irəliləyişin elementar mənasını başa düşməlisiniz və ... tapşırığı diqqətlə oxuyun!)

Arifmetik irəliləyişin cəmini tapmaq tapşırığında həmişə sonuncu termin görünür (birbaşa və ya dolayısı ilə), hansı ki, məhdudlaşdırılmalıdır.Əks halda, sonlu, konkret məbləğ sadəcə mövcud deyil. Həll üçün hansı növ irəliləyişin verilməsinin əhəmiyyəti yoxdur: sonlu və ya sonsuz. Necə verildiyinin fərqi yoxdur: ədədlər silsiləsi və ya n-ci üzvün düsturu ilə.

Ən əsası, düsturun irəliləyişin ilk terminindən nömrə ilə terminə qədər işlədiyini başa düşməkdir n.Əslində, formulun tam adı belə görünür: arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi. Bu ilk üzvlərin sayı, yəni. n, yalnız vəzifə ilə müəyyən edilir. Tapşırıqda bütün bu qiymətli məlumatlar tez-tez şifrələnir, bəli ... Ancaq heç bir şey yoxdur, aşağıdakı nümunələrdə bu sirləri açacağıq.)

Arifmetik irəliləyişin cəmi üçün tapşırıqların nümunələri.

İlk növbədə faydalı məlumat:

Arifmetik irəliləyişin cəmi üçün tapşırıqlarda əsas çətinlik düsturun elementlərinin düzgün müəyyən edilməsidir.

Tapşırıqların müəllifləri məhz bu elementləri sonsuz təxəyyüllə şifrələyirlər.) Burada əsas odur ki, qorxma. Elementlərin mahiyyətini başa düşmək, sadəcə onları deşifrə etmək kifayətdir. Gəlin bir neçə nümunəyə ətraflı nəzər salaq. Həqiqi GİA-ya əsaslanan bir vəzifə ilə başlayaq.

1. Arifmetik irəliləmə şərtlə verilir: a n = 2n-3,5. İlk 10 şərtin cəmini tapın.

Yaxşı iş. Asan.) Düstur üzrə məbləği müəyyən etmək üçün nəyi bilməliyik? İlk üzv a 1, son dövr a n, bəli, son terminin nömrəsi n.

Son üzv nömrəsini haradan əldə etmək olar n? Bəli, eyni yerdə, vəziyyətdə! Cəmi tapın deyir ilk 10 üzv. Yaxşı, neçə nömrə olacaq sonuncu, onuncu üzv?) İnanmayacaqsınız, onun sayı onuncudur!) Buna görə də əvəzinə a n düsturla əvəz edəcəyik a 10, lakin əvəzinə n- on. Yenə sonuncu üzvün sayı üzvlərin sayı ilə eynidir.

Bunu müəyyən etmək qalır a 1 və a 10. Bu, problemin ifadəsində verilmiş n-ci həddinin düsturu ilə asanlıqla hesablanır. Bunu necə edəcəyinizi bilmirsiniz? Əvvəlki dərsi ziyarət edin, onsuz - heç nə.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Arifmetik irəliləyişin cəmi üçün düsturun bütün elementlərinin mənasını tapdıq. Onları əvəz etmək və saymaq qalır:

Bütün bunlar var. Cavab: 75.

GIA-ya əsaslanan başqa bir vəzifə. Bir az daha mürəkkəb:

2. Fərqi 3,7 olan arifmetik irəliləyiş (a n) verilmişdir; a 1 \u003d 2.3. İlk 15 şərtin cəmini tapın.

Dərhal cəmi düsturunu yazırıq:

Bu düstur istənilən üzvün dəyərini onun nömrəsinə görə tapmağa imkan verir. Biz sadə bir əvəz axtarırıq:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Düsturdakı bütün elementləri arifmetik irəliləyişin cəmi ilə əvəz etmək və cavabı hesablamaq qalır:

Cavab: 423.

Yeri gəlmişkən, əgər cəmi düsturun yerinə a n sadəcə n-ci həddi düsturla əvəz etsək, alırıq:

Bənzərləri veririk, arifmetik irəliləyişin üzvlərinin cəmi üçün yeni bir düstur alırıq:

Gördüyünüz kimi burada n-ci hədd tələb olunmur. a n. Bəzi tapşırıqlarda bu düstur çox kömək edir, bəli ... Bu düsturu xatırlaya bilərsiniz. Siz sadəcə olaraq burada olduğu kimi lazımi vaxtda onu geri götürə bilərsiniz. Axı, cəminin düsturu və n-ci həddi üçün düstur hər şəkildə yadda saxlanılmalıdır.)

İndi qısa şifrələmə şəklində tapşırıq):

3. Üçə çoxlu olan bütün müsbət ikirəqəmli ədədlərin cəmini tapın.

Necə! Nə birinci üzv, nə sonuncu, nə də irəliləyiş... Necə yaşamaq olar!?

Başınızla düşünməli və arifmetik irəliləyişin cəminin bütün elementlərini vəziyyətdən çıxarmalı olacaqsınız. İkirəqəmli ədədlər nədir - biz bilirik. Onlar iki ədəddən ibarətdir.) Hansı ikirəqəmli ədəd olacaq birinci? 10, ehtimal ki.) son şey iki rəqəmli rəqəm? 99, əlbəttə! Üç rəqəmli olanlar onun ardınca gələcək...

Üçə çarpanlar... Hm... Bunlar üçə bərabər bölünən ədədlərdir, burada! On üçə bölünmür, 11 bölünmür... 12... bölünür! Beləliklə, bir şey ortaya çıxır. Problemin vəziyyətinə uyğun olaraq artıq bir sıra yaza bilərsiniz:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bu seriya arifmetik irəliləyiş olacaqmı? Əlbəttə! Hər bir termin əvvəlkindən ciddi şəkildə üç ilə fərqlənir. Terminə 2 və ya 4 əlavə edilərsə, deyək ki, nəticə, yəni. yeni nömrə artıq 3-ə bölünməyəcək. Yığına arifmetik irəliləyişin fərqini dərhal müəyyən edə bilərsiniz: d = 3. Faydalı!)

Beləliklə, bəzi irəliləyiş parametrlərini təhlükəsiz şəkildə yaza bilərik:

Nömrə nə olacaq n son üzv? 99-un ölümcül səhv olduğunu düşünən hər kəs ... Nömrələr - onlar həmişə bir sıra ilə gedirlər və üzvlərimiz ilk üçlüyün üstündən tullanır. Onlar uyğun gəlmir.

Burada iki həll yolu var. Bir yol super çalışqanlar üçündür. Siz tərəqqi, bütün nömrələr seriyasını rəngləyə və barmağınızla terminlərin sayını hesablaya bilərsiniz.) İkinci yol düşüncəli insanlar üçündür. n-ci dövr üçün düsturu xatırlamaq lazımdır. Düstur problemimizə tətbiq edilərsə, 99-un irəliləyişin otuzuncu üzvü olduğunu alırıq. Bunlar. n = 30.

Arifmetik irəliləyişin cəminin düsturuna baxırıq:

Baxırıq və sevinirik.) Məbləği hesablamaq üçün lazım olan hər şeyi problemin vəziyyətindən çıxardıq:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Qalan elementar arifmetikadır. Düsturdakı rəqəmləri əvəz edin və hesablayın:

Cavab: 1665

Məşhur bulmacaların başqa bir növü:

4. Arifmetik irəliləyiş verilmişdir:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

İyirmidən otuz dördüncüyə qədər olan şərtlərin cəmini tapın.

Cəm düsturuna baxırıq və ... əsəbləşirik.) Düstur, sizə xatırladıram, cəmi hesablayır. birincidənüzv. Və problemdə məbləği hesablamaq lazımdır iyirminci ildən... Formula işləməyəcək.

Siz, əlbəttə ki, bütün irəliləyişi ardıcıllıqla rəngləyə və üzvləri 20-dən 34-ə qədər qoya bilərsiniz. Amma ... birtəhər axmaq və uzun müddətə çıxır, elə deyilmi?)

Daha zərif bir həll var. Serialımızı iki hissəyə bölək. Birinci hissə olacaq birinci dövrdən on doqquzuncu dövrə qədər.İkinci hissə - iyirmi otuz dörd. Aydındır ki, birinci hissənin şərtlərinin cəmini hesablasaq S 1-19, ikinci hissənin üzvlərinin cəminə əlavə edək S 20-34, birinci hissədən otuz dördüncüyə qədər irəliləyişin cəmini alırıq S 1-34. Bunun kimi:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Bu, cəminin tapılacağını göstərir S 20-34 sadə çıxma ilə edilə bilər

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Sağ tərəfdəki hər iki məbləğ nəzərə alınır birincidənüzv, yəni. standart cəmi düsturu onlara kifayət qədər uyğundur. Biz başlayırıq?

Tapşırıq şəraitindən irəliləyiş parametrlərini çıxarırıq:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

İlk 19 və ilk 34 şərtin cəmini hesablamaq üçün bizə 19 və 34-cü hədlər lazım olacaq. Onları 2-ci məsələdə olduğu kimi n-ci hədisin düsturuna əsasən hesablayırıq:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Heç nə qalmayıb. 34 şərtin cəmindən 19 şərtin cəmini çıxın:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Cavab: 262.5

Bir vacib qeyd! Bu problemin həllində çox faydalı bir xüsusiyyət var. Birbaşa hesablama əvəzinə sizə nə lazımdır (S 20-34), saydıq nə, görünür, lazım deyil - S 1-19. Və sonra qərar verdilər S 20-34, tam nəticədən lazımsızları atmaq. Belə bir "qulaqlarla sünilik" tez-tez pis bulmacalara qənaət edir.)

Bu dərsdə biz arifmetik irəliləyişin cəminin mənasını başa düşmək üçün kifayət olan problemləri araşdırdıq. Yaxşı, bir neçə düstur bilməlisən.)

Praktik məsləhət:

Arifmetik irəliləyişin cəmi üçün hər hansı bir problemi həll edərkən dərhal bu mövzudan iki əsas düstur yazmağı məsləhət görürəm.

n-ci həddinin düsturu:

Bu düsturlar dərhal sizə problemi həll etmək üçün nə axtarmaq lazım olduğunu, hansı istiqamətdə düşünmək lazım olduğunu söyləyəcək. Kömək edir.

İndi müstəqil həll üçün vəzifələr.

5. Üçə bölünməyən bütün ikirəqəmli ədədlərin cəmini tapın.

Cool?) İşarə 4-cü məsələnin qeydində gizlənib. Yaxşı, problem 3 kömək edəcək.

6. Arifmetik irəliləmə şərtlə verilir: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. İlk 24 şərtin cəmini tapın.

Qeyri-adi?) Bu təkrarlanan düsturdur. Bu barədə əvvəlki dərsdə oxuya bilərsiniz. Bağlantıya məhəl qoymayın, bu cür bulmacalara tez-tez GIA-da rast gəlinir.

7. Vasya bayram üçün pul yığdı. 4550 rubla qədər! Və ən sevimli insana (özümə) bir neçə gün xoşbəxtlik bəxş etmək qərarına gəldim). Özünüzdən heç nəyi inkar etmədən gözəl yaşayın. İlk gündə 500 rubl xərcləyin və hər növbəti gündə əvvəlkindən 50 rubl çox xərcləyin! Pul bitənə qədər. Vasyanın neçə gün xoşbəxtliyi var idi?

Çətindir?) 2-ci tapşırıqdan əlavə düstur kömək edəcək.

Cavablar (dağınıq halda): 7, 3240, 6.

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Beləliklə, oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Misal üçün:
İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və istədiyiniz qədər ola bilər (bizim vəziyyətimizdə onlar). Nə qədər rəqəm yazsaq da, hər zaman onlardan hansının birinci, hansının ikinci olduğunu və s. sonuncuya qədər deyə bilərik, yəni nömrələyə bilərik. Bu, bir sıra ardıcıllığına bir nümunədir:

Rəqəmsal ardıcıllıq
Məsələn, ardıcıllığımız üçün:

Təyin edilmiş nömrə yalnız bir sıra nömrəsinə xasdır. Başqa sözlə, ardıcıllıqla üç saniyəlik rəqəm yoxdur. İkinci nömrə (-ci nömrə kimi) həmişə eynidir.
Nömrəsi olan ədəd ardıcıllığın -ci üzvü adlanır.

Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərf adlandırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü - bu üzvün sayına bərabər indeksi olan eyni hərf: .

Bizim vəziyyətimizdə:

Tutaq ki, qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu bir ədədi ardıcıllığımız var.
Misal üçün:

və s.
Belə ədədi ardıcıllığa arifmetik irəliləyiş deyilir.
“Tərəqqi” termini hələ 6-cı əsrdə Roma müəllifi Boethius tərəfindən təqdim edilmişdir və daha geniş mənada sonsuz ədədi ardıcıllıq kimi başa düşülürdü. "Arifmetika" adı qədim yunanların məşğul olduqları davamlı nisbətlər nəzəriyyəsindən köçürülmüşdür.

Bu, hər bir üzvü əvvəlkinə bərabər olan, eyni nömrə ilə əlavə olunan ədədi ardıcıllıqdır. Bu ədəd arifmetik irəliləyişin fərqi adlanır və işarələnir.

Hansı ədəd ardıcıllığının arifmetik irəliləyiş olduğunu və hansının olmadığını müəyyən etməyə çalışın:

a)
b)
c)
d)

Anladım? Cavablarımızı müqayisə edin:
edir arifmetik irəliləyiş - b, c.
Deyil arifmetik irəliləyiş - a, d.

Verilmiş irəliləməyə () qayıdaq və onun ci üzvünün qiymətini tapmağa çalışaq. Mövcuddur iki tapmaq yolu.

1. Metod

Proqresiyanın 3-cü həddinə çatana qədər irəliləmə nömrəsinin əvvəlki dəyərinə əlavə edə bilərik. Yaxşı ki, ümumiləşdirəcək çox şeyimiz yoxdur - yalnız üç dəyər:

Deməli, təsvir olunan arifmetik irəliləyişin --ci üzvü bərabərdir.

2. Yol

Əgər irəliləyişin ci həddinin qiymətini tapmaq lazım gəlsə nə etməli? Toplama bizə bir saatdan çox vaxt aparacaqdı və rəqəmləri toplayanda səhv etmədiyimiz fakt deyil.
Təbii ki, riyaziyyatçılar elə bir üsul tapıblar ki, arifmetik irəliləyişin fərqini əvvəlki qiymətə əlavə etmək lazım deyil. Çəkilmiş şəklə diqqətlə baxın ... Şübhəsiz ki, siz artıq müəyyən bir nümunə görmüsünüz, yəni:

Məsələn, görək bu arifmetik irəliləyişin --ci üzvünün dəyəri nədən ibarətdir:


Başqa sözlə:

Bu arifmetik irəliləyişin üzvünün dəyərini müstəqil şəkildə tapmağa çalışın.

Hesablanıb? Girişlərinizi cavabla müqayisə edin:

Diqqət yetirin ki, arifmetik irəliləyişin üzvlərini ardıcıl olaraq əvvəlki qiymətə əlavə etdikdə əvvəlki üsulda olduğu kimi eyni ədədi əldə etdiniz.
Gəlin bu düsturu "şəxsiləşdirməyə" çalışaq - onu ümumi formada gətiririk və əldə edirik:

Arifmetik irəliləyiş tənliyi.

Arifmetik irəliləyişlər ya artır, ya da azalır.

Artan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən böyük olduğu irəliləyişlər.
Misal üçün:

Azalan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən az olduğu irəliləyişlər.
Misal üçün:

Alınmış düstur arifmetik irəliləyişin həm artan, həm də azalan şərtlərində terminlərin hesablanmasında istifadə olunur.
Bunu praktikada yoxlayaq.
Bizə aşağıdakı ədədlərdən ibarət arifmetik irəliləyiş verilmişdir:

O vaxtdan bəri:

Beləliklə, biz əmin olduq ki, formula həm azalan, həm də artan arifmetik irəliləyişdə işləyir.
Bu arifmetik irəliləyişin -inci və -ci üzvlərini özünüz tapmağa çalışın.

Nəticələri müqayisə edək:

Arifmetik irəliləyiş xassəsi

Tapşırığı çətinləşdirək - arifmetik irəliləyişin xassəsini alırıq.
Tutaq ki, bizə aşağıdakı şərt verilib:
- arifmetik irəliləyiş, qiyməti tapın.
Asandır, deyirsən və artıq bildiyin düsturla saymağa başlayırsan:

Qoy, a, onda:

Tamamilə doğru. Belə çıxır ki, biz əvvəlcə tapırıq, sonra onu birinci nömrəyə əlavə edirik və axtardığımızı əldə edirik. Əgər irəliləyiş kiçik qiymətlərlə təmsil olunursa, onda bunda mürəkkəb bir şey yoxdur, bəs şərtdə bizə ədədlər verilsə nə olar? Razılaşın, hesablamalarda səhv etmək ehtimalı var.
İndi düşünün, hər hansı bir düsturdan istifadə etməklə bu problemi bir addımda həll etmək mümkündürmü? Əlbəttə ki, bəli və biz bunu indi ortaya çıxarmağa çalışacağıq.

Arifmetik irəliləyişin istədiyiniz terminini belə işarə edək ki, biz onu tapmaq üçün düsturu bilirik - bu, əvvəldə əldə etdiyimiz düsturla eynidir:
, sonra:

• irəliləyişin əvvəlki üzvü:
• irəliləyişin növbəti müddəti:

Proqresiyanın əvvəlki və sonrakı üzvlərini ümumiləşdirək:

Belə çıxır ki, irəliləyişin əvvəlki və sonrakı üzvlərinin cəmi onların arasında yerləşən irəliləyiş üzvünün qiymətindən iki dəfədir. Başqa sözlə desək, əvvəlki və ardıcıl qiymətləri məlum olan irəliləyiş üzvünün qiymətini tapmaq üçün onları toplamaq və bölmək lazımdır.

Düzdü, eyni nömrəni aldıq. Materialı düzəldək. Proqnozun dəyərini özünüz hesablayın, çünki bu, heç də çətin deyil.

Əla! Siz inkişaf haqqında demək olar ki, hər şeyi bilirsiniz! Əfsanəyə görə, bütün zamanların ən böyük riyaziyyatçılarından biri, "riyaziyyatçıların kralı" - Karl Qaussun özü üçün asanlıqla çıxardığı yalnız bir düstur tapmaq qalır ...

Karl Qauss 9 yaşında olanda digər sinif şagirdlərinin işini yoxlamaqla məşğul olan müəllim dərsdə aşağıdakı tapşırığı verdi: “Bütün natural ədədlərin cəmini (digər mənbələrə görə) daxil olmaqla hesablayın. " Şagirdlərindən biri (bu Karl Qauss idi) bir dəqiqədən sonra tapşırığa düzgün cavab verəndə müəllimin sürprizi nə oldu, cəsarətli sinif yoldaşlarının çoxu uzun hesablamalardan sonra səhv nəticə aldı ...

Gənc Carl Gauss asanlıqla fərq edə biləcəyiniz bir nümunə gördü.
Tutaq ki, -ti üzvlərindən ibarət arifmetik irəliləyişimiz var: Arifmetik irəliləyişin verilmiş üzvlərinin cəmini tapmaq lazımdır. Əlbəttə ki, biz bütün dəyərləri əl ilə cəmləyə bilərik, amma Gaussun axtardığı kimi, tapşırıqda onun şərtlərinin cəmini tapmaq lazım gələrsə, necə?

Bizə verilən irəliləyişi təsvir edək. Vurğulanmış rəqəmlərə diqqətlə baxın və onlarla müxtəlif riyazi əməliyyatlar aparmağa çalışın.


Sınadı? Nə fərq etdiniz? Düzgün! Onların məbləğləri bərabərdir

İndi cavab verin, bizə verilən irəliləyişdə neçə belə cüt olacaq? Əlbəttə ki, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni.
Arifmetik irəliləyişin iki üzvünün cəminin və oxşar bərabər cütlərin cəminin bərabər olmasına əsaslanaraq, ümumi cəmin bərabər olduğunu alırıq:
.
Beləliklə, hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəminin düsturu belə olacaq:

Bəzi məsələlərdə biz ci termini bilmirik, lakin irəliləyiş fərqini bilirik. Cəmi düsturda, ci üzvün düsturu ilə əvəz etməyə çalışın.
Nə aldınız?

Əla! İndi isə qayıdaq Karl Qaussa verilən məsələyə: özünüz hesablayın --dən başlayan rəqəmlərin cəmini, --dən başlayan rəqəmlərin cəmini.

Nə qədər aldınız?
Qauss üzə çıxdı ki, şərtlərin cəmi bərabərdir və şərtlərin cəmi. Siz belə qərar verdiniz?

Əslində, arifmetik irəliləyişin üzvlərinin cəminin düsturu hələ III əsrdə qədim yunan alimi Diofant tərəfindən sübut edilmiş və bu müddət ərzində hazırcavab insanlar arifmetik irəliləyişin xassələrindən güc və əsas ilə istifadə etmişlər.
Məsələn, Qədim Misiri və o dövrün ən böyük tikinti sahəsini - piramidanın tikintisini təsəvvür edin... Şəkil onun bir tərəfini göstərir.

Burada irəliləyiş haradadır deyirsiniz? Diqqətlə baxın və piramida divarının hər cərgəsindəki qum bloklarının sayında bir nümunə tapın.


Niyə arifmetik irəliləyiş olmasın? Baza bloklu kərpiclər qoyulursa, bir divar qurmaq üçün neçə blok lazım olduğunu hesablayın. Ümid edirəm ki, barmağınızı monitorda hərəkət etdirərək saymayacaqsınız, son düstur və arifmetik irəliləyiş haqqında dediyimiz hər şeyi xatırlayırsınız?

Bu vəziyyətdə irəliləyiş belə görünür:
Arifmetik irəliləyiş fərqi.
Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin sayı.
Məlumatlarımızı sonuncu düsturlara əvəz edək (blokların sayını 2 yolla hesablayırıq).

Metod 1.

Metod 2.

İndi monitorda da hesablaya bilərsiniz: əldə edilmiş dəyərləri piramidamızda olan blokların sayı ilə müqayisə edin. Razılaşdı? Əla, siz arifmetik irəliləyişin ci hədlərinin cəmini mənimsədiniz.
Əlbəttə ki, təməldəki bloklardan bir piramida qura bilməzsiniz, amma nədən? Bu şərtlə divar qurmaq üçün nə qədər qum kərpicinin lazım olduğunu hesablamağa çalışın.
idarə etdin?
Düzgün cavab bloklardır:

Çalışmaq

Tapşırıqlar:

1. Maşa yay üçün forma alır. Hər gün çömbəlmə sayını artırır. Maşa ilk məşqdə squats etsə, həftələrdə neçə dəfə çömbələcək.
2. İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi nədir.
3. Günlükləri saxlayarkən, odunçular onları elə yığırlar ki, hər üst qat əvvəlkindən bir az log olsun. Bir hörgüdə neçə log var, əgər hörgü əsası loglardırsa.

Cavablar:

1. Arifmetik irəliləyişin parametrlərini təyin edək. Bu halda
   (həftələr = günlər).

   Cavab:İki həftə ərzində Maşa gündə bir dəfə çömbəlməlidir.

2. İlk tək nömrə, son nömrə.
   Arifmetik irəliləyiş fərqi.
   Yarımdakı tək ədədlərin sayı, lakin arifmetik irəliləyişin -ci üzvünü tapmaq üçün düsturdan istifadə edərək bu faktı yoxlayın:

   Rəqəmlər tək nömrələrdən ibarətdir.
   Mövcud məlumatları düsturla əvəz edirik:

   Cavab:İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi bərabərdir.

3. Piramidalarla bağlı problemi xatırlayın. Bizim vəziyyətimiz üçün a , hər bir üst təbəqə bir log ilə azaldığından, yalnız bir dəstə təbəqə var, yəni.
   Düsturdakı məlumatları əvəz edin:

   Cavab: Hörgüdə loglar var.

Xülasə

1. - qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu ədədi ardıcıllıq. Artır və azalır.
2. Düsturun tapılması arifmetik proqresiyanın ci üzvü - düsturu ilə yazılır, burada proqressiyadakı ədədlərin sayıdır.
3. Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi- - harada - irəliləyişdəki nömrələrin sayı.
4. Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin cəmi iki yolla tapıla bilər:
   
   , qiymətlərin sayı haradadır.

ARİFMETİK PROQRESSİYA. ORTA SƏVİYYƏ

Rəqəmsal ardıcıllıq

Gəlin oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Misal üçün:

İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və istədiyiniz qədər də ola bilər. Amma siz həmişə onlardan hansının birinci, hansının ikinci olduğunu və sairə deyə bilərsiniz, yəni biz onları nömrələyə bilərik. Bu ədəd ardıcıllığına bir nümunədir.

Rəqəmsal ardıcıllıq hər birinə unikal nömrə təyin edilə bilən nömrələr toplusudur.

Başqa sözlə, hər bir ədəd müəyyən natural ədədlə əlaqələndirilə bilər və yalnız bir. Və biz bu nömrəni bu dəstdən heç bir başqa nömrəyə təyin etməyəcəyik.

Nömrəsi olan ədəd ardıcıllığın -ci üzvü adlanır.

Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərf adlandırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü - bu üzvün sayına bərabər indeksi olan eyni hərf: .

Ardıcıllığın -ci üzvü hansısa düsturla verilə bilsə, çox rahatdır. Məsələn, formula

ardıcıllığı təyin edir:

Və formula aşağıdakı ardıcıllıqdır:

Məsələn, arifmetik irəliləyiş ardıcıllıqdır (burada birinci termin bərabərdir və fərq). Və ya (, fərq).

n-ci müddətli düstur

Təkrarlanan düstur deyirik ki, burada --ci termini tapmaq üçün əvvəlki və ya bir neçə əvvəlkiləri bilməlisiniz:

Məsələn, belə bir düsturdan istifadə edərək, irəliləyişin üçüncü müddətini tapmaq üçün əvvəlki doqquzu hesablamalıyıq. Məsələn, qoy. Sonra:

Yaxşı, indi aydın oldu ki, formula nədir?

Hər sətirdə biz əlavə edirik, hansısa ədədə vurulur. Nə üçün? Çox sadə: bu, cari üzvün sayı minusdur:

İndi daha rahatdır, elə deyilmi? Yoxlayırıq:

Özünüz üçün qərar verin:

Arifmetik irəliləyişdə n-ci həd üçün düstur tapın və yüzüncü həddi tapın.

Həll:

Birinci üzv bərabərdir. Və fərq nədir? Və budur:

(axı o, irəliləyişin ardıcıl üzvlərinin fərqinə bərabər olduğu üçün fərq adlanır).

Beləliklə, formula belədir:

Onda yüzüncü şərt belədir:

Bütün natural ədədlərin cəmi neçəyə bərabərdir?

Rəvayətə görə, böyük riyaziyyatçı Karl Qauss 9 yaşlı uşaq olaraq bu məbləği bir neçə dəqiqəyə hesablayıb. Diqqət etdi ki, birinci və sonuncu ədədin cəmi bərabərdir, ikinci və sondan əvvəlkinin cəmi eynidir, axırdan üçüncü ilə 3-cü rəqəmin cəmi eynidir və s. Neçə belə cüt var? Düzdür, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni. Belə ki,

Hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəmi üçün ümumi düstur belə olacaq:

Misal:
Bütün ikirəqəmli çarpanların cəmini tapın.

Həll:

İlk belə rəqəm budur. Hər bir növbəti əvvəlkinə bir nömrə əlavə etməklə əldə edilir. Beləliklə, bizi maraqlandıran ədədlər birinci hədd və fərqlə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.

Bu irəliləyiş üçün 3-cü terminin düsturu belədir:

Əgər onların hamısı iki rəqəm olmalıdırsa, irəliləmədə neçə şərt var?

Çox asan: .

Proqresiyanın son müddəti bərabər olacaq. Sonra cəmi:

Cavab: .

İndi özünüz qərar verin:

1. İdmançı hər gün əvvəlki gündən 1 metr çox qaçır. Birinci gündə km m qaçsa, həftədə neçə kilometr qaçacaq?
2. Velosipedçi hər gün əvvəlkindən daha çox mil qət edir. İlk gün o, km qət etdi. Bir kilometri qət etmək üçün neçə gün sürməlidir? Səfərin son günündə neçə kilometr yol qət edəcək?
3. Mağazada soyuducunun qiyməti hər il eyni məbləğdə endirilir. Rubl üçün satışa çıxarılan soyuducunun qiymətinin hər il nə qədər azaldığını müəyyənləşdirin, altı il sonra rubla satıldı.

Cavablar:

1. Burada ən vacibi arifmetik irəliləyişin tanınması və onun parametrlərinin müəyyən edilməsidir. Bu halda, (həftələr = günlər). Bu irəliləyişin ilk şərtlərinin cəmini təyin etməlisiniz:
   .
   Cavab:
2. Burada verilir:, tapmaq lazımdır.
   Aydındır ki, əvvəlki problemdə olduğu kimi eyni cəmi düsturundan istifadə etməlisiniz:
   .
   Dəyərləri əvəz edin:

   Kök açıq şəkildə uyğun gəlmir, buna görə cavab.
   --ci hədd düsturu ilə son sutka ərzində qət edilən məsafəni hesablayaq:
   (km).
   Cavab:

3. Verildi: . Tapın: .
   Bu asanlaşmır:
   (rub).
   Cavab:

ARİFMETİK PROQRESSİYA. ƏSAS HAQQINDA QISA

Bu, bitişik ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu ədədi ardıcıllıqdır.

Arifmetik irəliləyiş artır () və azalır ().

Misal üçün:

Arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün tapılması düsturu

düstur kimi yazılır, burada irəliləyişdəki ədədlərin sayıdır.

Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi

Qonşu üzvləri məlumdursa, irəliləyişin üzvünü tapmağı asanlaşdırır - irəliləyişdəki rəqəmlərin sayı haradadır.

Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin cəmi

Cəmi tapmağın iki yolu var:

Dəyərlərin sayı haradadır.

Dəyərlərin sayı haradadır.

QALAN 2/3 MƏQALƏLƏR YALNIZ SİZİN AĞIR TƏLƏBƏLƏRİN İÇİNDİR!

YouClever-in tələbəsi olun,

OGE-yə hazırlaşın və ya "ayda bir fincan qəhvə" qiymətinə riyaziyyatda istifadə edin,

Həm də "YouClever" dərsliyinə, "100gia" təlim proqramına (həll kitabı), limitsiz sınaq İSTİFADƏSİ və OGE, həllərin təhlili ilə 6000 tapşırıq və digər YouClever və 100gia xidmətlərinə məhdudiyyətsiz giriş əldə edin.