تظهر ممارسة دراسة الظواهر العشوائية أنه على الرغم من أن نتائج الملاحظات الفردية، حتى تلك التي يتم إجراؤها في ظل نفس الظروف، قد تختلف اختلافًا كبيرًا، إلا أن متوسط ​​النتائج لعدد كبير بما فيه الكفاية من الملاحظات يكون مستقرًا ويعتمد بشكل ضعيف على نتائج الملاحظات الفردية.

الأساس النظري لهذه الخاصية الرائعة للظواهر العشوائية هو قانون الأعداد الكبيرة. يجمع اسم “قانون الأعداد الكبيرة” بين مجموعة من النظريات التي تثبت استقرار متوسط ​​نتائج عدد كبير من الظواهر العشوائية وتفسر سبب هذا الاستقرار.

إن أبسط صيغة لقانون الأعداد الكبيرة، وتاريخيًا هي النظرية الأولى في هذا القسم نظرية برنوليوالتي تنص على أنه إذا كان احتمال وقوع حدث ما هو نفسه في جميع التجارب، فكلما زاد عدد المحاولات، يميل تكرار الحدث إلى احتمال الحدث ويتوقف عن أن يكون عشوائيًا.

تنص نظرية بواسون على أن تكرار حدث ما في سلسلة من التجارب المستقلة يميل إلى الوسط الحسابي لاحتمالاته ويتوقف عن أن يكون عشوائيًا.

نظريات الحد من نظرية الاحتمالات، والنظريات موافر لابلاسشرح طبيعة استقرار تكرار حدوث الحدث. وتكمن هذه الطبيعة في أن التوزيع الحدي لعدد تكرارات حدث ما مع زيادة غير محدودة في عدد المحاولات (إذا كان احتمال الحدث هو نفسه في جميع التجارب) هو التوزيع الطبيعي.

تشرح نظرية الحد المركزي الانتشار الواسع القانون العاديتوزيعات. تنص النظرية على أنه عندما يتشكل متغير عشوائي نتيجة إضافة عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات تباينات محدودة، فإن قانون التوزيع لهذا المتغير العشوائي يصبح عملياً طبيعيبموجب القانون.

النظرية الواردة أدناه بعنوان " قانون الأعداد الكبيرة" تنص على أنه في ظل ظروف معينة وعامة إلى حد ما، مع زيادة عدد المتغيرات العشوائية، يميل متوسطها الحسابي إلى المتوسط ​​الحسابي للتوقعات الرياضية ويتوقف عن أن يكون عشوائيًا.

تشرح نظرية ليابونوف الانتشار الواسع النطاق القانون العاديالتوزيع ويشرح آلية تكوينه. تسمح لنا النظرية بالقول أنه كلما تم تكوين متغير عشوائي نتيجة إضافة عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة، والتي تكون تبايناتها صغيرة مقارنة بتباين المجموع، يتحول قانون توزيع هذا المتغير العشوائي إلى ليكون عمليا طبيعيبموجب القانون. وبما أن المتغيرات العشوائية تتولد دائمًا من عدد لا حصر له من الأسباب وفي أغلب الأحيان لا يتمتع أي منها بتشتت مماثل لتشتت المتغير العشوائي نفسه، فإن معظم المتغيرات العشوائية التي يتم مواجهتها عمليًا تخضع لقانون التوزيع الطبيعي.

تعتمد البيانات النوعية والكمية لقانون الأعداد الكبيرة على عدم المساواة في تشيبيشيف. ويحدد الحد الأعلى لاحتمال أن يكون انحراف قيمة المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي أكبر من رقم محدد معين. ومن الجدير بالملاحظة أن متباينة تشيبيشيف تعطي تقديرًا لاحتمال وقوع حدث ما بالنسبة للمتغير العشوائي الذي يكون توزيعه غير معروف، لا يُعرف سوى توقعه الرياضي وتباينه.

عدم المساواة في تشيبيشيف.إذا كان للمتغير العشوائي x تباين، فإن أي e> 0 يحمل عدم المساواة التالية: ، أين مس و د x - التوقع الرياضي وتباين المتغير العشوائي x.

نظرية برنولي.دع m n هو عدد النجاحات في تجارب n Bernoulli وp احتمال النجاح في تجربة فردية. ثم بالنسبة لأي e> 0 فهذا صحيح .

نظرية الحد المركزي.إذا كانت المتغيرات العشوائية x 1 , x 2 , …, x n , … مستقلة بشكل زوجي وموزعة بشكل مماثل ولها تباين محدود، فبالنسبة لـ n ® بشكل موحد في x (- ,)

ما هو سر مندوبي المبيعات الناجحين؟ إذا لاحظت أفضل مندوبي المبيعات في أي شركة، ستلاحظ أن لديهم شيئًا واحدًا مشتركًا. يجتمع كل واحد منهم مع عدد أكبر من الأشخاص ويقدم عروضًا تقديمية أكثر من مندوبي المبيعات الأقل نجاحًا. يفهم هؤلاء الأشخاص أن المبيعات هي لعبة أرقام، وكلما زاد عدد الأشخاص الذين يخبرونهم عن منتجاتهم أو خدماتهم، زاد عدد الصفقات التي سيعقدونها - هذا كل شيء. إنهم يفهمون أنهم إذا تواصلوا ليس فقط مع هؤلاء القلائل الذين سيقولون لهم نعم بالتأكيد، ولكن أيضًا مع أولئك الذين ليس اهتمامهم بعرضهم كبيرًا جدًا، فإن قانون المتوسطات سيعمل لصالحهم.

سيعتمد دخلك على عدد المبيعات، لكنه في نفس الوقت سيتناسب بشكل مباشر مع عدد العروض التقديمية التي تقدمها. بمجرد أن تفهم قانون المتوسطات وتمارسه، فإن القلق المرتبط ببدء عمل تجاري جديد أو العمل في مجال جديد سيبدأ في الانخفاض. ونتيجة لذلك، فإن الشعور بالسيطرة والثقة في قدرتك على كسب المال سيبدأ في النمو. إذا قمت فقط بتقديم العروض التقديمية وصقل مهاراتك في هذه العملية، فسوف تأتي الصفقات.

بدلاً من التفكير في عدد الصفقات، فكر بشكل أفضل في عدد العروض التقديمية. لا فائدة من الاستيقاظ في الصباح أو العودة إلى المنزل في المساء والتساؤل من سيشتري منتجك. بدلاً من ذلك، من الأفضل التخطيط لعدد المكالمات التي تحتاج إلى إجرائها كل يوم. وبعد ذلك، مهما حدث - قم بإجراء كل هذه المكالمات! هذا النهج سيجعل عملك أسهل - لأنه هدف بسيط ومحدد. إذا كنت تعلم أن لديك هدفًا محددًا وقابلاً للتحقيق، فسيكون من الأسهل عليك إجراء العدد المخطط من المكالمات. إذا سمعت "نعم" عدة مرات خلال هذه العملية، فهذا أفضل بكثير!

وإذا كانت الإجابة "لا"، فستشعر في المساء أنك فعلت كل ما في وسعك بصدق، ولن تتعذب بأفكار حول مقدار الأموال التي كسبتها، أو عدد الرفاق الذين اكتسبتهم في اليوم.

لنفترض أنه في شركتك أو عملك، يقوم مندوب المبيعات العادي بإبرام صفقة واحدة لكل أربعة عروض تقديمية. الآن تخيل أنك تقوم بسحب البطاقات من على سطح السفينة. كل بطاقة من المجموعات الثلاث - البستوني والماس والنوادي - عبارة عن عرض تقديمي تقدم فيه منتجًا أو خدمة أو فرصة بشكل احترافي. أنت تفعل ذلك بقدر ما تستطيع، لكنك لا تزال غير قادر على إتمام الصفقة. وكل بطاقة قلب هي صفقة تتيح لك الحصول على المال أو الحصول على رفيق جديد.

في مثل هذه الحالة، ألا ترغب في سحب أكبر عدد ممكن من البطاقات من المجموعة؟ لنفترض أنه يُعرض عليك سحب أي عدد تريده من البطاقات، بينما يدفع لك أو يعرض عليك رفيقًا جديدًا في كل مرة تسحب فيها بطاقة قلب. ستبدأ في رسم البطاقات بحماس، وبالكاد تلاحظ ما يناسب البطاقة التي قمت بسحبها للتو.

أنت تعلم أنه يوجد في المجموعة المكونة من اثنين وخمسين بطاقة ثلاثة عشر قلبًا. وفي مجموعتين يوجد ستة وعشرون بطاقة قلب، وهكذا. هل ستصاب بخيبة أمل عند رسم البستوني أو الماس أو الهراوات؟ بالطبع لا! سوف تعتقد فقط أن كل "خطأ" من هذا القبيل يجعلك أقرب إلى ماذا؟ إلى بطاقة القلب!

ولكن هل تعلم؟ لقد تلقيت بالفعل مثل هذا العرض. أنت في وضع فريد لكسب ما تريد ورسم أكبر عدد تريده من القلوب في حياتك. وإذا قمت ببساطة "برسم البطاقات" بضمير حي، وقمت بتحسين مهاراتك وتحمل القليل من البستوني والماس والهراوات، فسوف تصبح بائعًا ممتازًا وتحقق النجاح.

أحد الأشياء التي تجعل المبيعات ممتعة للغاية هو أنه في كل مرة تقوم فيها بخلط أوراق اللعب، يتم خلط الأوراق بشكل مختلف. في بعض الأحيان تقع كل القلوب في بداية المجموعة، وبعد خط محظوظ (عندما يبدو لنا أننا لن نخسر أبدًا!) ينتظرنا صف طويل من البطاقات من نوع مختلف. وفي أحيان أخرى، للوصول إلى القلب الأول، عليك المرور بعدد لا نهائي من البستوني والهراوات والماس. وأحيانًا تظهر البطاقات ذات البدلات المختلفة بالترتيب الدقيق. ولكن على أية حال، في كل مجموعة مكونة من اثنتين وخمسين بطاقة، وبترتيب ما، يوجد دائمًا ثلاثة عشر قلبًا. ما عليك سوى سحب البطاقات حتى تجدها.

من: ليليا،  

تشير الكلمات المتعلقة بالأعداد الكبيرة إلى عدد الاختبارات - حيث يتم أخذ عدد كبير من قيم المتغير العشوائي أو التأثير التراكمي لعدد كبير من المتغيرات العشوائية في الاعتبار. جوهر هذا القانون هو كما يلي: على الرغم من أنه من المستحيل التنبؤ بالقيمة التي سيأخذها متغير عشوائي فردي في تجربة واحدة، إلا أن النتيجة الإجمالية لعمل عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة تفقد طبيعتها العشوائية ويمكن أن يمكن التنبؤ بها بشكل موثوق تقريبًا (أي باحتمالية عالية). على سبيل المثال، من المستحيل التنبؤ بالاتجاه الذي ستستقر فيه العملة المعدنية. ومع ذلك، إذا قمت برمي 2 طن من العملات المعدنية، فيمكننا بثقة كبيرة أن نقول أن وزن العملات المعدنية التي سقطت مع شعار النبالة يساوي طنًا واحدًا.

يشير قانون الأعداد الكبيرة في المقام الأول إلى ما يسمى متباينة تشيبيشيف، والتي تقدر في اختبار واحد احتمال قبول متغير عشوائي لقيمة تنحرف عن القيمة المتوسطة بما لا يزيد عن قيمة معينة.

عدم المساواة في تشيبيشيف. يترك X- متغير عشوائي تعسفي، أ=م(س) ، أ د(X) - تباينه. ثم

مثال. القيمة الاسمية (أي المطلوبة) لقطر الغلاف الذي يتم تشغيله على الجهاز تساوي 5 ملم، والتشتت لم يعد كذلك 0.01 (هذا هو التسامح دقة الجهاز). قم بتقدير احتمال أنه أثناء تصنيع جلبة واحدة سيكون انحراف قطرها عن القطر الاسمي أقل من 0.5 ملم .

حل. دع ر.ف. X– قطر البطانة المصنعة . وفقًا للحالة، فإن توقعها الرياضي يساوي القطر الاسمي (في حالة عدم وجود عطل منهجي في إعدادات الماكينة): أ=م(س)=5 ، والتشتت د(X) ≥0.01. تطبيق متباينة تشيبيشيف في ε = 0.5، نحن نحصل:

وبالتالي، فإن احتمال مثل هذا الانحراف مرتفع للغاية، وبالتالي يمكننا أن نستنتج أنه مع إنتاج جزء واحد، يكاد يكون من المؤكد أن انحراف القطر عن الاسمي لن يتجاوز 0.5 ملم .

وفي معناه الانحراف المعياري σ يميز متوسطانحراف المتغير العشوائي عن مركزه (أي عن توقعه الرياضي). لأن هذا متوسطالانحراف، فمن الممكن أثناء الاختبار حدوث انحرافات كبيرة (التركيز على o). ما مدى الانحرافات الكبيرة الممكنة عمليا؟ عند دراسة المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل طبيعي، استنتجنا قاعدة "ثلاثة سيجما": متغير عشوائي موزع بشكل طبيعي X في اختبار واحدعمليا لا ينحرف عن متوسطه أبعد من 3σ، أين σ= σ(X)- الانحراف المعياري لل r.v X. لقد اشتقنا هذه القاعدة من حقيقة أننا حصلنا على المتباينة

.

دعونا الآن نقدر احتمالية ذلك اِعتِباطِيّمتغير عشوائي Xقبول قيمة تختلف عن المتوسط ​​بما لا يزيد عن ثلاثة أضعاف الانحراف المعياري. تطبيق متباينة تشيبيشيف في ε = 3σونظرا لذلك د(خ)= σ 2 ، نحن نحصل:

.

هكذا، على العموميمكننا تقدير احتمال انحراف المتغير العشوائي عن وسطه بما لا يزيد عن ثلاثة انحرافات معيارية بالعدد 0.89 ، بينما بالنسبة للتوزيع الطبيعي يمكن ضمان ذلك بالاحتمال 0.997 .

يمكن تعميم متباينة تشيبيشيف على نظام من المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل متماثل.

عدم المساواة المعممة في تشيبيشيف. إذا كانت المتغيرات العشوائية المستقلة X 1 ، اكس 2 ،…،X ن م(X أنا )= أوالاختلافات د(X أنا )= د، الذي - التي

في ن=1 ويتحول هذا التفاوت إلى تباين تشيبيشيف المذكور أعلاه.

تُستخدم متباينة تشيبيشيف، التي لها أهمية مستقلة في حل المشكلات المقابلة، لإثبات ما يسمى بنظرية تشيبيشيف. سنتحدث أولاً عن جوهر هذه النظرية، ثم سنقدم صياغتها الرسمية.

يترك X 1 ، اكس 2 ،…،X ن- عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات التوقعات الرياضية م(X 1 )=أ 1 ، …، م(X ن )=أ ن. ومع أن كلاً منهما، نتيجة تجربة، يمكن أن يأخذ قيمة بعيدة عن متوسطه (أي التوقع الرياضي)، إلا أن المتغير العشوائي
، والتي تساوي متوسطها الحسابي، من المرجح أن تأخذ قيمة قريبة من رقم ثابت
(وهذا هو متوسط ​​جميع التوقعات الرياضية). وهذا يعني ما يلي. دعونا، نتيجة للاختبار، المتغيرات العشوائية المستقلة X 1 ، اكس 2 ،…،X ن(هناك الكثير منهم!) أخذوا القيم وفقًا لذلك X 1 ، اكس 2 ،…،X نعلى التوالى. ثم إذا تبين أن هذه القيم نفسها بعيدة عن متوسط ​​قيم المتغيرات العشوائية المقابلة، فإن متوسط ​​قيمتها
سيكون على الأرجح قريبًا من الرقم
. وبالتالي، فإن المتوسط ​​الحسابي لعدد كبير من المتغيرات العشوائية يفقد بالفعل طابعه العشوائي ويمكن التنبؤ به بدقة كبيرة. ويمكن تفسير ذلك بحقيقة الانحرافات العشوائية للقيم X أنامن أ أناقد تكون ذات علامات مختلفة، وبالتالي يتم تعويض هذه الانحرافات على الأرجح.

تيريما تشيبيشيف (قانون الأعداد الكبيرةفي شكل تشيبيشيف). يترك X 1 ، اكس 2 ،…،X ن … - سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة الزوجية التي تقتصر تبايناتها على نفس العدد. ثم، بغض النظر عن مدى صغر الرقم الذي نأخذه، فإن احتمال عدم المساواة

سيكون قريبًا من واحد حسب الرغبة إذا كان الرقم نخذ متغيرات عشوائية كبيرة بما فيه الكفاية. رسميا، وهذا يعني أنه في ظل ظروف النظرية

ويسمى هذا النوع من التقارب بالتقارب بالاحتمال ويشار إليه بما يلي:

وبالتالي، تقول نظرية تشيبيشيف أنه إذا كان هناك عدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية المستقلة، فإن متوسطها الحسابي في اختبار واحد سوف يأخذ بشكل موثوق تقريبًا قيمة قريبة من متوسط ​​توقعاتها الرياضية.

في أغلب الأحيان، يتم تطبيق نظرية تشيبيشيف في المواقف التي تكون فيها المتغيرات العشوائية X 1 ، اكس 2 ،…،X ن … لها نفس التوزيع (أي نفس قانون التوزيع أو نفس كثافة الاحتمال). في الواقع، إنه ببساطة عدد كبير من الحالات لنفس المتغير العشوائي.

عاقبة(عدم المساواة المعممة في تشيبيشيف). إذا كانت المتغيرات العشوائية المستقلة X 1 ، اكس 2 ،…،X ن … لها نفس التوزيع مع التوقعات الرياضية م(X أنا )= أوالاختلافات د(X أنا )= د، الذي - التي

، أي.
.

يأتي الدليل من معادلة تشيبيشيف المعممة بالمرور إلى الحد عند ن→∞ .

دعونا نلاحظ مرة أخرى أن التساويات المذكورة أعلاه لا تضمن قيمة الكمية
يسعى ل أفي ن→∞. لا تزال هذه الكمية متغيرًا عشوائيًا، ويمكن أن تكون قيمها الفردية بعيدة كل البعد عن ذلك أ. لكن احتمال حدوث ذلك (بعيد عن أ) القيم مع زيادة نيميل إلى 0.

تعليق. من الواضح أن استنتاج النتيجة الطبيعية صحيح أيضًا في الحالة الأكثر عمومية، عندما تكون هناك متغيرات عشوائية مستقلة X 1 ، اكس 2 ،…،X ن … لها توزيعات مختلفة، ولكن نفس التوقعات الرياضية (تساوي أ) وفروق محدودة بشكل مشترك. وهذا يسمح لنا بالتنبؤ بدقة قياس كمية معينة، حتى لو تم إجراء هذه القياسات بأدوات مختلفة.

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في تطبيق هذه النتيجة الطبيعية عند قياس الكميات. دعونا نستخدم بعض الأجهزة نقياسات لنفس الكمية التي تساوي قيمتها الحقيقية أونحن لا نعرف. نتائج هذه القياسات X 1 ، اكس 2 ،…،X نقد تختلف بشكل كبير عن بعضها البعض (ومن القيمة الحقيقية أ) بسبب عوامل عشوائية مختلفة (تغيرات الضغط، ودرجة الحرارة، والاهتزاز العشوائي، وما إلى ذلك). خذ بعين الاعتبار r.v. X- قراءة الأداة لقياس واحد لكمية، فضلا عن مجموعة من r.v. X 1 ، اكس 2 ،…،X ن- قراءة الأداة عند القياس الأول والثاني ... والأخير. وهكذا كل الكميات X 1 ، اكس 2 ،…،X ن هناك حالة واحدة فقط من حالات s.v. X، وبالتالي لديهم جميعًا نفس التوزيع مثل r.v. X. نظرًا لأن نتائج القياس لا تعتمد على بعضها البعض، فإن r.v. X 1 ، اكس 2 ،…،X نيمكن اعتبارها مستقلة. إذا لم ينتج الجهاز خطأ منهجي (على سبيل المثال، الصفر على المقياس ليس "متوقفًا"، أو الزنبرك غير ممتد، وما إلى ذلك)، فيمكننا افتراض أن التوقع الرياضي م(س) = أ، وبالتالي م(X 1 ) = ... = م(س ن ) = أ. وبذلك يتم استيفاء شروط النتيجة الطبيعية المذكورة أعلاه، وبالتالي كقيمة تقريبية للكمية أيمكننا أن ندرك "إدراك" متغير عشوائي
في تجربتنا (التي تتكون من إجراء سلسلة من نالقياسات) أي

.

ومع وجود عدد كبير من القياسات، فإن الدقة الجيدة في الحساب باستخدام هذه الصيغة تكون مؤكدة عمليًا. هذا هو الأساس المنطقي للمبدأ العملي القائل بأنه مع وجود عدد كبير من القياسات، فإن متوسطها الحسابي لا يختلف كثيرًا عن القيمة الحقيقية للقيمة المقاسة.

وتعتمد طريقة "أخذ العينات"، المستخدمة على نطاق واسع في الإحصاء الرياضي، على قانون الأعداد الكبيرة، الذي يسمح للمرء بالحصول على خصائصه الموضوعية بدقة مقبولة من عينة صغيرة نسبيا من قيم متغير عشوائي. ولكن هذا سيتم مناقشته في القسم التالي.

مثال. يتم قياس كمية معينة على جهاز قياس لا يحدث تشوهات منهجية أمرة واحدة (تم استلام القيمة X 1 )، ثم 99 مرة أخرى (تم الحصول على القيم X 2 ،…،X 100 ). لقيمة القياس الحقيقية أيتم أخذ نتيجة القياس الأول أولاً
ثم الوسط الحسابي لجميع القياسات
. دقة قياس الجهاز بحيث لا يزيد الانحراف المعياري للقياس σ عن 1 (وبالتالي فإن التشتت د=σ 2 كما لا يتجاوز 1). لكل طريقة قياس، قم بتقدير احتمال ألا يتجاوز خطأ القياس 2.

حل. دع ر.ف. X- قراءة الأداة لقياس واحد. ثم حسب الشرط م(س)=أ. للإجابة على الأسئلة المطروحة، نطبق متباينة تشيبيشيف المعممة

في ε =2 الأول ل ن=1 ومن ثم ل ن=100 . في الحالة الأولى نحصل على
، وفي الثانية. وبالتالي فإن الحالة الثانية تضمن عمليا دقة القياس المحددة، في حين أن الأولى تترك شكوكا كبيرة بهذا المعنى.

دعونا نطبق العبارات المذكورة أعلاه على المتغيرات العشوائية الناشئة في مخطط برنولي. دعونا نتذكر جوهر هذا المخطط. دعها تنتج ن محاكمات مستقلة، كل منها يحتوي على بعض الأحداث أيمكن أن تظهر بنفس الاحتمال ر، أ س=1–ص(في المعنى، هذا هو احتمال الحدث المعاكس - عدم وقوع الحدث أ) . دعونا ننفق بعض العدد نمثل هذه الاختبارات. لنفكر في المتغيرات العشوائية: X 1 - عدد مرات حدوث الحدث أالخامس 1 -الاختبار الخامس،...، X ن- عدد مرات حدوث الحدث أالخامس ن-الاختبار. تم إدخال جميع s.v. يمكن أن تأخذ على القيم 0 أو 1 (حدث أقد تظهر أو لا تظهر في الاختبار)، والقيمة 1 حسب الشرط مقبول في كل تجربة مع الاحتمال ص(احتمال وقوع الحدث أفي كل تجربة)، والقيمة 0 مع الاحتمال س= 1 – ص. ولذلك فإن هذه الكميات لها نفس قوانين التوزيع:

X 1

X ن

ولذلك فإن القيم المتوسطة لهذه الكميات وتبايناتها هي أيضًا واحدة: م(X 1 )=0 ∙ س+1 ∙ ع= ع، …، م(X ن )= ص ; د(X 1 )=(0 2 ∙ س+1 2 ∙ ص)− ص 2 = ص∙(1− ص)= ص ∙ ف، …، د(X ن )= ص ∙ س. باستبدال هذه القيم في معادلة تشيبيشيف المعممة، نحصل على

.

من الواضح أن ر.ف. X=X 1 +…+X نهو عدد تكرارات الحدث أفي كل شيء نالاختبارات (كما يقولون - "عدد النجاحات" في نالاختبارات). اسمحوا في أجريت نحدث الاختبار أظهرت في ك منهم. ثم يمكن كتابة المتباينة السابقة بالشكل

.

لكن الضخامة
، تساوي نسبة عدد مرات حدوث الحدث أالخامس نالتجارب المستقلة، إلى العدد الإجمالي للتجارب، كانت تسمى سابقًا بتكرار الحدث النسبي أالخامس نالاختبارات. ولذلك هناك عدم المساواة

.

أنتقل الآن إلى الحد في ن→∞، نحصل على
، أي.
(بالاحتمال). وهذا يشكل محتوى قانون الأعداد الكبيرة بصيغة برنولي. ويترتب على ذلك أنه مع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من الاختبارات نانحرافات صغيرة تعسفية للتردد النسبي
الأحداث من احتمالاتها ر- أحداث موثوقة تقريبا، والانحرافات الكبيرة - مستحيلة تقريبا. الاستنتاج الناتج حول هذا الاستقرار للترددات النسبية (الذي تحدثنا عنه سابقًا باسم تجريبيحقيقة) يبرر التعريف الإحصائي الذي تم تقديمه مسبقًا لاحتمال وقوع حدث ما كرقم يتقلب حوله التكرار النسبي للحدث.

معتبرا أن التعبير ص∙ س= ص∙(1− ص)= ص− ص 2 لا يتجاوز على الفاصل الزمني للتغيير
(من السهل التحقق من ذلك من خلال إيجاد الحد الأدنى لهذه الوظيفة في هذا الجزء)، من عدم المساواة أعلاه
من السهل الحصول على ذلك

,

والذي يستخدم في حل المشكلات ذات الصلة (سيتم تقديم إحداها أدناه).

مثال. تم رمي العملة 1000 مرة. قم بتقدير احتمال أن يكون انحراف التكرار النسبي لظهور شعار النبالة عن احتماله أقل من 0.1.

حل. تطبيق عدم المساواة
في ص= س=1/2 , ن=1000 , ε=0.1، سوف نتلقى .

مثال. قدر احتمال أن يكون العدد في ظل ظروف المثال السابق كالشعارات المسقطة ستكون في النطاق من 400 قبل 600 .

حل. حالة 400< ك<600 يعني أن 400/1000< ك/ ن<600/1000 ، أي. 0.4< دبليو ن (أ)<0.6 أو
. وكما رأينا للتو من المثال السابق، فإن احتمال وقوع مثل هذا الحدث ليس أقل 0.975 .

مثال. لحساب احتمالية بعض الأحداث أتم إجراء 1000 تجربة فيها الحدث أظهر 300 مرة. قدر احتمال أن يكون التكرار النسبي (يساوي 300/1000 = 0.3) بعيدًا عن الاحتمال الحقيقي رلا يزيد عن 0.1.

حل. تطبيق عدم المساواة أعلاه
بالنسبة لـ n=1000، ε=0.1، نحصل على .

إن ظاهرة تثبيت ترددات حدوث الأحداث العشوائية، المكتشفة على مادة كبيرة ومتنوعة، لم يكن لها في البداية أي مبرر وكان يُنظر إليها على أنها حقيقة تجريبية بحتة. وكانت النتيجة النظرية الأولى في هذا المجال هي نظرية برنولي الشهيرة، التي نشرت عام 1713، والتي وضعت الأساس لقوانين الأعداد الكبيرة.

نظرية برنولي في محتواها هي نظرية الحد، أي بيان المعنى المقارب الذي يقول ما سيحدث للمعلمات الاحتمالية مع عدد كبير من الملاحظات. إن سلف جميع البيانات العديدة الحديثة من هذا النوع هو بالتحديد نظرية برنولي.

يبدو اليوم أن القانون الرياضي للأعداد الكبيرة هو انعكاس لبعض الخصائص العامة للعديد من العمليات الحقيقية.

نظرًا للرغبة في إعطاء قانون الأعداد الكبيرة أكبر نطاق ممكن، بما يتوافق مع الإمكانات البعيدة عن استنفاد الإمكانات لتطبيق هذا القانون، صاغ أحد أعظم علماء الرياضيات في قرننا أ.ن.كولموغوروف جوهره على النحو التالي: قانون الأعداد الكبيرة هو "المبدأ العام الذي بموجبه يؤدي إجمالي تأثير عدد كبير من العوامل العشوائية إلى نتيجة مستقلة تقريبًا عن الصدفة."

وبالتالي، فإن قانون الأعداد الكبيرة له تفسيران. الأول رياضي، ويرتبط بنماذج رياضية محددة، وصياغات، ونظريات، والثاني أكثر عمومية، ويتجاوز هذا الإطار. يرتبط التفسير الثاني بظاهرة تشكيل عمل موجه أكثر أو أقل، وغالبا ما يتم ملاحظته في الممارسة العملية، على خلفية عدد كبير من عوامل التشغيل المخفية أو المرئية التي ليس لها مثل هذه الاستمرارية ظاهريا. ومن الأمثلة المرتبطة بالتفسير الثاني التسعير في السوق الحرة وتكوين الرأي العام حول قضية معينة.

بعد ملاحظة هذا التفسير العام لقانون الأعداد الكبيرة، دعونا ننتقل إلى صيغ رياضية محددة لهذا القانون.

كما قلنا أعلاه، فإن أول وأهم نظرية في نظرية الاحتمالات هي نظرية برنولي. محتوى هذه الحقيقة الرياضية، التي تعكس أحد أهم قوانين العالم المحيط، تتلخص في ما يلي.

خذ بعين الاعتبار سلسلة من الاختبارات غير المرتبطة (أي المستقلة)، والتي يتم تكرار شروطها باستمرار من اختبار إلى آخر. نتيجة كل اختبار هي ظهور أو عدم وقوع الحدث الذي يهمنا أ.

من الواضح أن هذا الإجراء (مخطط برنولي) يمكن اعتباره نموذجيًا للعديد من المجالات العملية: "الصبي - الفتاة" في تسلسل الأطفال حديثي الولادة، وملاحظات الأرصاد الجوية اليومية ("لقد أمطرت - لم تهطل")، والتحكم في تدفق المنتجات المصنعة ( "طبيعي - معيب") إلخ.

تكرار حدوث الحدث أفي صالاختبارات ( ر أ -

تردد الحدث أالخامس صالاختبارات) مع النمو صإن الميل إلى تثبيت قيمته هو حقيقة تجريبية.

نظرية برنولي.دعونا نختار أي رقم موجب صغير بشكل تعسفي ه

نؤكد على أنه لا ينبغي الخلط بين الحقيقة الرياضية التي أنشأها برنولي في نموذج رياضي معين (في مخطط برنولي) وبين الانتظام الثابت تجريبيًا لاستقرار التردد. لم يكتف برنولي بمجرد ذكر الصيغة (9.1)، ولكن، مع الأخذ في الاعتبار احتياجات الممارسة، أعطى تقييمًا لعدم المساواة الموجودة في هذه الصيغة. وسوف ننتقل إلى هذا التفسير أدناه.

كان قانون برنولي للأعداد الكبيرة موضوع بحث لعدد كبير من علماء الرياضيات الذين سعوا إلى تحسينه. إحدى هذه التحسينات حصل عليها عالم الرياضيات الإنجليزي موافر وتسمى حاليًا نظرية موافر لابلاس. في مخطط برنولي، ضع في اعتبارك تسلسل الكميات الطبيعية:

نظرية تكامل موافر - لابلاس.دعونا نختار أي رقمين × (و × 2.في هذه الحالة x، x 7، ثم في ص -» °°

إذا كان على الجانب الأيمن من الصيغة (9.3) المتغير س ستميل إلى ما لا نهاية، فإن الحد الناتج، اعتمادًا فقط على x 2 (يمكن إزالة الفهرس 2 في هذه الحالة)، سيكون دالة توزيع، تسمى التوزيع القياسي،أو قانون غاوس.

الجانب الأيمن من الصيغة (9.3) يساوي y = و(س 2) - و(س س). و(× 2)-> 1 في × 2-> °° و و(خ,) -> 0 في x، -> بسبب اختيار كبير بما فيه الكفاية

X] > 0 و X]n كبيرة بما فيه الكفاية من حيث القيمة المطلقة، نحصل على عدم المساواة التالية:

وبأخذ الصيغة (9.2) بعين الاعتبار، يمكننا استخلاص تقديرات موثوقة عمليا:

إذا كان مستوى الثقة y = 0.95 (أي احتمال الخطأ 0.05) قد يبدو غير كافٍ لشخص ما، فيمكنك "اللعب بطريقة آمنة" وإنشاء فاصل ثقة أوسع قليلاً باستخدام قاعدة الثلاثة سيجما المذكورة أعلاه:

يتوافق هذا الفاصل الزمني مع مستوى ثقة مرتفع جدًا y = 0.997 (انظر جداول التوزيع الطبيعي).

فكر في مثال يتضمن رمي عملة معدنية. دعونا إرم عملة معدنية ن = 100 مرة. هل يمكن أن يحدث هذا التردد رسيكون مختلفا جدا عن الاحتمال ر= 0.5 (بافتراض أن العملة متماثلة)، على سبيل المثال، هل تساوي الصفر؟ للقيام بذلك، من الضروري أن شعار النبالة لا يسقط ولو مرة واحدة. مثل هذا الحدث ممكن من الناحية النظرية، لكننا قمنا بالفعل بحساب احتمالات مماثلة لهذا الحدث؛ هذه القيمة

صغير جدًا، ترتيبه هو رقم به 30 صفرًا بعد العلامة العشرية. يمكن اعتبار حدث بمثل هذا الاحتمال مستحيلًا من الناحية العملية. ما هي انحرافات التردد عن الاحتمالية الممكنة عمليا مع عدد كبير من التجارب؟ باستخدام نظرية موافر لابلاس، نجيب على هذا السؤال على النحو التالي: مع الاحتمال في= 0.95 تردد شعار النبالة ريناسب ضمن فترة الثقة:

إذا كان الخطأ 0.05 لا يبدو صغيرا، فأنت بحاجة إلى زيادة عدد التجارب (رمي العملة). عند الزيادة صيتناقص عرض فاصل الثقة (لسوء الحظ، ليس بالسرعة التي نرغب فيها، ولكنه يتناسب عكسيًا مع -جن).على سبيل المثال، متى ص= 10000 نحصل على ذلك ريكمن في فاصل الثقة مع احتمال الثقة في= 0.95: 0.5 ±0.01.

وهكذا، فقد فهمنا من الناحية الكمية مسألة تقريب التكرار إلى الاحتمال.

الآن دعونا نوجد احتمالية وقوع حدث ما بناءً على تكراره ونقدر خطأ هذا التقريب.

دعونا نجري عددًا كبيرًا من التجارب ص(إرم عملة معدنية)، أوجد تكرار الحدث أونريد تقدير احتمالها ر.

من قانون الأعداد الكبيرة صيتبع ذلك:

الآن دعونا نقدر الخطأ العملي المحتمل للمساواة التقريبية (9.7). للقيام بذلك، نستخدم المتباينة (9.5) في النموذج:

لايجاد ربواسطة رنحتاج إلى حل المتباينة (9.8)، وللقيام بذلك نحتاج إلى تربيعها وحل المعادلة التربيعية المقابلة. ونتيجة لذلك نحصل على:

أين

للحصول على تقدير تقريبي ربواسطة ريمكن أن يكون في الصيغة (9.8) رعلى اليمين استبدل بـ رأو في الصيغ (9.10)، (9.11) تفترض ذلك

ثم نحصل على:

اتركه ص= 400 تجربة تم الحصول على قيمة التردد ر= 0.25، وبمستوى ثقة y = 0.95 نجد:

ماذا لو كنا بحاجة إلى معرفة الاحتمال بشكل أكثر دقة، مع وجود خطأ لا يزيد على 0.01 على سبيل المثال؟ للقيام بذلك، من الضروري زيادة عدد التجارب.

بافتراض في الصيغة (9.12) الاحتمال ر= 0.25، نقوم بمساواة قيمة الخطأ بالقيمة المعطاة 0.01 ونحصل على معادلة لـ ف:

وبحل هذه المعادلة نحصل على ن~ 7500.

دعونا الآن نفكر في سؤال آخر: هل يمكن تفسير انحراف التكرار عن الاحتمال الذي تم الحصول عليه في التجارب بأسباب عشوائية، أم أن هذا الانحراف يوضح أن الاحتمال ليس كما توقعنا؟ وبعبارة أخرى، هل تؤكد التجربة الفرضية الإحصائية المقبولة أم على العكس تقتضي رفضها؟

دعونا، على سبيل المثال، رمي عملة معدنية ص= 800 مرة نحصل على تكرار ظهور شعار النبالة ر= 0.52. شككنا في أن العملة كانت غير متماثلة. فهل هذه الشبهة مبررة؟ للإجابة على هذا السؤال، سننطلق من افتراض أن العملة متماثلة (ع = 0.5). دعونا نجد فاصل الثقة (مع احتمال الثقة في= 0.95) لتكرار ظهور شعار النبالة. إذا كانت القيمة التي تم الحصول عليها في التجربة ر= 0.52 يتناسب مع هذا الفاصل الزمني - كل شيء طبيعي، والفرضية المقبولة حول تناظر العملة لا تتعارض مع البيانات التجريبية. الصيغة (9.12) في ر= 0.5 يعطي فاصل زمني قدره 0.5 ± 0.035؛ تلقى القيمة ع = 0.52 يتناسب مع هذه الفترة، مما يعني أنه يجب "مسح" العملة من الشكوك حول عدم التماثل.

يتم استخدام طرق مماثلة للحكم على ما إذا كانت الانحرافات المختلفة عن التوقع الرياضي الملاحظ في الظواهر العشوائية عشوائية أو "مهمة". على سبيل المثال، هل تم العثور على نقص الوزن بالصدفة في عدد قليل من عينات البضائع المعبأة، أم أنه يشير إلى خداع منهجي للعملاء؟ فهل ارتفعت نسبة الشفاء بالصدفة لدى المرضى الذين يستخدمون الدواء الجديد أم أن ذلك بسبب تأثير الدواء؟

يلعب القانون العادي دورًا مهمًا بشكل خاص في نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها العملية. لقد رأينا بالفعل أعلاه أن المتغير العشوائي - عدد مرات حدوث بعض الأحداث في مخطط برنولي - به ص-»°° يتم اختزاله إلى القانون العادي. ومع ذلك، هناك نتيجة أكثر عمومية بكثير.

نظرية الحد المركزي.يتم توزيع مجموع عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة (أو المعتمدة بشكل ضعيف)، القابلة للمقارنة مع بعضها البعض في ترتيب تبايناتها، وفقًا للقانون العادي، بغض النظر عن قوانين توزيع المصطلحات. البيان أعلاه هو صياغة نوعية تقريبية لنظرية الحد المركزي. لهذه النظرية أشكال عديدة، تختلف عن بعضها البعض في الشروط التي يجب أن تلبيها المتغيرات العشوائية حتى يتم "تطبيع" مجموعها مع زيادة عدد الحدود.

يتم التعبير عن كثافة التوزيع الطبيعي Dx) بالصيغة:

أين أ -التوقع الرياضي للمتغير العشوائي X س= V7) هو الانحراف المعياري.

لحساب احتمال وقوع x ضمن الفترة (x 1؟ x 2)، يتم استخدام التكامل:

نظرًا لأن التكامل (9.14) عند الكثافة (9.13) لا يتم التعبير عنه من حيث الوظائف الأولية ("لم يتم أخذه")، ثم لحساب (9.14) يستخدمون جداول دالة التوزيع المتكامل للتوزيع الطبيعي القياسي، عندما أ = 0, a = 1 (مثل هذه الجداول متوفرة في أي كتاب مدرسي عن نظرية الاحتمالات):

يتم التعبير عن الاحتمال (9.14) باستخدام المعادلة (10.15) بالصيغة:

مثال. أوجد احتمال المتغير العشوائي X،وجود التوزيع الطبيعي مع المعلمات أ، أ، سوف ينحرف عن معيار التوقع الرياضي بما لا يزيد عن 3.

باستخدام الصيغة (9.16) وجدول دالة التوزيع للقانون الطبيعي نحصل على:

مثال. في كل من 700 تجربة مستقلة حدث هذا الحدث أيحدث مع احتمال ثابت ر= 0.35. أوجد احتمال وقوع الحدث أسوف يحدث:

• 1) بالضبط 270 مرة؛
• 2) أقل من 270 وأكثر من 230 مرة؛
• 3) أكثر من 270 مرة.

العثور على التوقع الرياضي أ = إلخوالانحراف المعياري:

المتغير العشوائي - عدد مرات حدوث الحدث أ:

العثور على القيمة المركزية والتطبيع العاشر:

من جداول كثافة التوزيع الطبيعي نجد و (خ):

دعونا نجد ذلك الآن ص ث (س،> 270) = ف 700 (270 ف(1.98) = = 1 - 0.97615 = 0.02385.

تم اتخاذ خطوة جادة في البحث في مشاكل الأعداد الكبيرة في عام 1867 من قبل P. L. Chebyshev. لقد اعتبر حالة عامة جدًا عندما لا يكون هناك شيء مطلوب من المتغيرات العشوائية المستقلة باستثناء وجود توقعات وتباينات رياضية.

عدم المساواة في تشيبيشيف.بالنسبة إلى عدد موجب صغير بشكل تعسفي e، فإن عدم المساواة التالية يحمل:

نظرية تشيبيشيف.لو س س، س 2، ..., س ع -متغيرات عشوائية مستقلة زوجية، ولكل منها توقع رياضي ه(XJ) = ciوالتباين D(x,) =)، وتكون الفروق محدودة بشكل موحد، أي 1،2 ...، ثم لأي رقم موجب صغير بشكل تعسفي هالعلاقة التالية تحمل:

عاقبة. لو أ،=منظمة العفو الدولية, -أ 2، ط= 1.2 ... إذن

مهمة. كم مرة يجب رمي العملة بحيث يكون الاحتمال لا يقل عن ص - 0.997، يمكن القول أن تكرار سقوط شعار النبالة سيكون في الفترة (0.499؛ 0.501)؟

لنفترض أن العملة متماثلة، ع - ف - 0.5. دعونا نطبق نظرية تشيبيشيف في الصيغة (9.19) على المتغير العشوائي X-تكرار ظهور شعار النبالة في صرميات العملة. لقد أظهرنا بالفعل أعلاه س = س س + × 2+ ... +X"،أين اكس تي -متغير عشوائي يأخذ القيمة 1 إذا كانت العملة رأسًا، والقيمة 0 إذا كانت العملة ذيلًا. لذا:

دعونا نكتب المتباينة (9.19) للحدث المقابل للحدث المشار إليه تحت علامة الاحتمال:

في حالتنا [e = 0.001, cj 2 = /?-p)]t هو عدد مرات ظهور شعار النبالة في صرمي. وبالتعويض بهذه الكميات في المتباينة الأخيرة ومع الأخذ في الاعتبار أنه وفقا لشروط المسألة يجب استيفاء المتراجحة نحصل على:

يوضح المثال الموضح إمكانية استخدام متباينة تشيبيشيف لتقدير احتمالات بعض انحرافات المتغيرات العشوائية (وكذلك مشاكل مثل هذا المثال المتعلقة بحساب هذه الاحتمالات). ميزة متباينة تشيبيشيف هي أنها لا تتطلب معرفة قوانين توزيع المتغيرات العشوائية. وبطبيعة الحال، إذا كان مثل هذا القانون معروفا، فإن عدم المساواة في تشيبيشيف يعطي تقديرات تقريبية للغاية.

دعونا ننظر إلى نفس المثال، ولكن باستخدام حقيقة أن رمي العملة المعدنية هو حالة خاصة من مخطط برنولي. عدد النجاحات (في المثال - عدد شعارات النبالة) يخضع لقانون ذات الحدين، وبنسبة كبيرة صيمكن تمثيل هذا القانون بقانون عادي مع توقع رياضي بسبب نظرية التكامل لموافر - لابلاس أ = العلاقات العامة = ن؟ 0.5 ومع الانحراف المعياري أ = يفنبق - 25=0.5 لتر/لتر. المتغير العشوائي – تكرار سقوط شعار النبالة – ​​له توقع رياضي = 0.5 وانحراف معياري

إذن لدينا:

من المتباينة الأخيرة نحصل على:

ومن جداول التوزيع الطبيعي نجد:

نرى أن التقريب العادي يعطي عدد رميات العملة التي توفر خطأ معين في تقدير احتمال ظهور شعار النبالة، وهو أصغر بمقدار 37 مرة مقارنة بالتقدير الذي تم الحصول عليه باستخدام متباينة تشيبيشيف (لكن متباينة تشيبيشيف تجعل من الممكن إجراء حسابات مماثلة في حالة عدم توفر معلومات حول قانون توزيع المتغير العشوائي قيد الدراسة).

دعونا الآن نفكر في مشكلة تطبيقية تم حلها باستخدام الصيغة (9.16).

مشكلة المنافسة. تمتلك كل من شركتي السكك الحديدية المتنافستين قطارًا واحدًا يعمل بين موسكو وسانت بطرسبرغ. تم تجهيز هذه القطارات بنفس المعدات تقريبًا، وتغادر وتصل في نفس الوقت تقريبًا. دعونا نتظاهر بذلك ص= 1000 راكب يختارون قطارهم بشكل مستقل وعشوائي، لذلك، كنموذج رياضي لاختيار القطار من قبل الركاب، نستخدم مخطط برنولي مع صالتحديات واحتمالات النجاح ر= 0.5. يجب على الشركة أن تقرر عدد المقاعد التي يجب توفيرها في القطار، مع الأخذ في الاعتبار شرطين متناقضين: من ناحية، لا تريد أن يكون لديك مقاعد فارغة، ومن ناحية أخرى، لا تريد أن يكون الناس غير راضين عن قلة المقاعد (في المرة القادمة سيفضلون الشركات المنافسة). وبطبيعة الحال، يمكن توفيرها في القطار ص= 1000 مكان، ولكن من الواضح أنه سيكون هناك أماكن فارغة. متغير عشوائي - عدد ركاب القطار - في إطار النموذج الرياضي المعتمد باستخدام نظرية التكامل لمويفر - لابلاس يطيع القانون الطبيعي مع توقع رياضي أ = العلاقات العامة = ن/2 والتباين أ 2 = npq = ص/4بالتتابع. احتمال أن أكثر من سالركاب ، يتم تحديدها بنسبة:

تحديد مستوى المخاطرة أأي: احتمال أن يأتي المزيد سركاب:

من هنا:

لو أهو جذر خطر المعادلة الأخيرة والذي نجده من جداول دالة التوزيع للقانون الطبيعي فنحصل على:

إذا، على سبيل المثال، ص = 1000, أ= 0.01 (هذا المستوى من الخطورة يعني أن عدد الأماكن سسيكون كافيا في 99 حالة من 100)، ثم س أ ~ 2.33 و ق = 537 مكانا. علاوة على ذلك، إذا قبلت كلا الشركتين نفس مستويات المخاطر أ= 0.01، فيكون إجمالي عدد مقاعد القطارين 1074 مقعدًا، 74 منها ستكون فارغة. وبالمثل، يمكن حساب أن 514 مقعدًا ستكون كافية في 80% من جميع القضايا، و549 مقعدًا ستكون كافية في 999 من أصل 1000 قضية.

تنطبق اعتبارات مماثلة على مشاكل الخدمة المنافسة الأخرى. على سبيل المثال، إذا تدور السينما تتنافس على نفس الشيء صالمتفرجين، فيجب قبوله ر= -. نحن نحصل،

ما هو عدد المقاعد سفي السينما يجب تحديد النسبة:

إجمالي عدد المساحات الفارغة يساوي:

ل أ = 0,01, ص= 1000 و ت= 2، 3، 4 قيم هذا الرقم تساوي تقريباً 74، 126، 147 على التوالي.

دعونا ننظر إلى مثال آخر. دع القطار يتكون من ف - 100 عربة. وزن كل سيارة هو متغير عشوائي مع توقع رياضي أ - 65 طنًا ومتوسط ​​مربع التوقع o = 9 طنًا يمكن للقاطرة أن تحمل قطارًا إذا كان وزنه لا يتجاوز 6600 طن؛ وإلا، عليك توصيل قاطرة ثانية. عليك أن تجد احتمالية أنك لن تضطر إلى القيام بذلك.

أوزان السيارات الفردية: ، لها نفس التوقع الرياضي أ - 65 ونفس التباين د-س 2 = 81. حسب قاعدة التوقعات الرياضية: السابق) - 100 * 65 = 6500. حسب قاعدة جمع الفروق: د(خ) = 100 × 81 = 8100. باستخراج الجذر نجد الانحراف المعياري. لكي تتمكن قاطرة واحدة من سحب قطار، يجب أن يكون وزن القطار Xتبين أنه مقيد، أي أنه وقع ضمن الفاصل الزمني (0؛ 6600). يمكن اعتبار المتغير العشوائي x - مجموع 100 حد - موزعًا بشكل طبيعي. وباستخدام الصيغة (9.16) نحصل على:

ويترتب على ذلك أن القاطرة سوف "تتعامل" مع القطار باحتمال 0.864 تقريبًا. دعونا الآن نخفض عدد السيارات في القطار بمقدار اثنتين، أي خذ ص= 98. الآن بحساب احتمال أن "تتعامل" القاطرة مع القطار، نحصل على قيمة تبلغ حوالي 0.99، أي حدث شبه مؤكد، على الرغم من أنه كان لا بد من إزالة سيارتين فقط لهذا الغرض.

لذا، إذا كنا نتعامل مع مجموع عدد كبير من المتغيرات العشوائية، فيمكننا استخدام القانون العادي. وبطبيعة الحال، يثير هذا السؤال: ما عدد المتغيرات العشوائية التي يجب إضافتها حتى يتم "تطبيع" قانون توزيع المجموع بالفعل؟ ذلك يعتمد على ما هي قوانين توزيع المصطلحات. هناك قوانين معقدة لدرجة أن التطبيع لا يحدث إلا بعدد كبير جدًا من المصطلحات. لكن هذه القوانين اخترعها علماء الرياضيات، والطبيعة، كقاعدة عامة، لا تخلق مثل هذه المشاكل عمدا. عادة في الممارسة العملية، لكي تتمكن من استخدام القانون العادي، تكفي خمسة أو ستة مصطلحات.

يمكن توضيح السرعة التي يتم بها "تطبيع" قانون التوزيع لمجموع المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل متماثل من خلال مثال المتغيرات العشوائية ذات التوزيع الموحد على الفاصل الزمني (0، 1). منحنى هذا التوزيع له شكل مستطيل، والذي لم يعد يشبه القانون العادي. دعونا نضيف متغيرين مستقلين - نحصل على متغير عشوائي موزع وفقًا لما يسمى بقانون سيمبسون، والذي يكون تمثيله الرسومي على شكل مثلث متساوي الساقين. كما أنه لا يبدو وكأنه قانون عادي، لكنه أفضل. وإذا قمت بجمع ثلاثة متغيرات عشوائية موزعة بشكل موحد، فستحصل على منحنى يتكون من ثلاثة أجزاء من القطع المكافئة، تشبه إلى حد كبير المنحنى العادي. إذا قمت بجمع ستة متغيرات عشوائية من هذا القبيل، فستحصل على منحنى لا يختلف عن المنحنى العادي. وهذا هو الأساس لطريقة مستخدمة على نطاق واسع للحصول على متغير عشوائي موزع بشكل طبيعي، وجميع أجهزة الكمبيوتر الحديثة مجهزة بأجهزة استشعار للأرقام العشوائية الموزعة بشكل موحد (0، 1).

يوصى بالطريقة التالية كطريقة عملية للتحقق من ذلك. نقوم ببناء فاصل ثقة لتكرار حدث ما بمستوى في= 0.997 حسب قاعدة الثلاثة سيجما:

وإذا كان طرفاه لا يتجاوزان القطعة (0، 1) فيمكن استخدام القانون العادي. إذا كان أي من حدود فترة الثقة خارج المقطع (0، 1)، فلا يمكن استخدام القانون العادي. ومع ذلك، في بعض الظروف، فإن قانون ذو الحدين لتكرار بعض الأحداث العشوائية، إذا كان لا يميل إلى الطبيعي، فإنه قد يميل إلى قانون آخر.

في العديد من التطبيقات، يتم استخدام مخطط برنولي كنموذج رياضي للتجربة العشوائية، حيث يتم تحديد عدد التجارب صكبير، والحدث العشوائي نادر جدًا، على سبيل المثال. ر = إلخليست صغيرة ولكنها ليست كبيرة أيضًا (تتراوح في حدود O -5-20). في هذه الحالة، فإن العلاقة الحدية تحمل:

تسمى الصيغة (9.20) بتقريب بواسون لقانون ذي الحدين، حيث أن التوزيع الاحتمالي على جانبه الأيمن يسمى قانون بواسون. يُقال إن توزيع بواسون هو توزيع احتمالي للأحداث النادرة لأنه يحدث عند استيفاء الحدود: ص -»°°, ر-»0 ولكن X = العلاقات العامة أوو.

مثال. أعياد الميلاد. ما هو الاحتمال ر ر (ك)أنه في مجتمع من 500 شخص لالناس ولدوا في يوم رأس السنة الجديدة؟ إذا تم اختيار هؤلاء الأشخاص الـ 500 عشوائيًا، فيمكن تطبيق مخطط برنولي مع احتمالية النجاح ف = 1/365. ثم

حسابات الاحتمال لمختلف لإعطاء القيم التالية: رو = 0,3484...; ص 2 = 0,2388...; ص 3 = 0,1089...; ف 4 = 0,0372...; ص 5 = 0,0101...; ص 6= 0.0023... التقريبات المقابلة باستخدام صيغة بواسون ل س = 500 1/365 = 1,37

إعطاء القيم التالية: رو = 0,3481...; ص 2 = 0,2385...; ر ه = 0,1089; ص 4 = 0,0373...; ف5 = 0,0102...; ف6 = 0.0023... جميع الأخطاء موجودة فقط في المنزلة العشرية الرابعة.

فيما يلي أمثلة للمواقف التي يمكنك فيها استخدام قانون بواسون للأحداث النادرة.

في مقسم الهاتف، يحدث اتصال غير صحيح مع احتمال منخفض ص،عادة ر~0.005. ثم تسمح لنا صيغة بواسون بإيجاد احتمالية الاتصالات غير الصحيحة لعدد إجمالي معين من الاتصالات ن~ 1000 متى X = العلاقات العامة =1000 0,005 = 5.

عند خبز الكعك، أضيفي الزبيب إلى العجينة. ينبغي أن نتوقع أنه بسبب التحريك، فإن تكرار كعك الزبيب سيتبع تقريبًا توزيع بواسون ص ص (ك، X)،أين X-كثافة الزبيب في العجين.

المادة المشعة تنبعث منها جسيمات i. حدث أن عدد د-الجسيمات يصل مع مرور الوقت رمساحة معينة من الفضاء، يأخذ قيمة ثابتة ل،يطيع قانون بواسون.

عدد الخلايا الحية ذات الكروموسومات المتغيرة عند تعرضها للأشعة السينية يتبع توزيع بواسون.

لذا فإن قوانين الأعداد الكبيرة تجعل من الممكن حل مشكلة الإحصائيات الرياضية المرتبطة بتقدير الاحتمالات المجهولة للنتائج الأولية لتجربة عشوائية. وبفضل هذه المعرفة، أصبحنا نجعل أساليب نظرية الاحتمالات ذات معنى ومفيدة من الناحية العملية. تتيح قوانين الأعداد الكبيرة أيضًا حل مشكلة الحصول على معلومات حول الاحتمالات الأولية غير المعروفة بشكل آخر - شكل اختبار الفرضيات الإحصائية.

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في الصياغة والآلية الاحتمالية لحل مشاكل اختبار الفرضيات الإحصائية.

قانون الأعداد الكبيرةفي نظرية الاحتمالات تنص على أن المتوسط ​​التجريبي (المتوسط ​​الحسابي) لعينة محدودة كبيرة بما فيه الكفاية من توزيع ثابت قريب من المتوسط ​​النظري (التوقع الرياضي) لهذا التوزيع. اعتمادًا على نوع التقارب، يتم التمييز بين القانون الضعيف للأعداد الكبيرة، عندما يحدث التقارب في الاحتمالات، والقانون القوي للأعداد الكبيرة، عندما يحدث التقارب في كل مكان تقريبًا.

يوجد دائمًا عدد محدود من المحاولات التي يكون فيها العدد أقل، مع أي احتمال مسبق محدد 1 سيختلف التكرار النسبي لحدوث بعض الأحداث بأقل قدر ممكن عن احتمال حدوثها.

المعنى العام لقانون الأعداد الكبيرة: العمل المشترك لعدد كبير من العوامل العشوائية المتماثلة والمستقلة يؤدي إلى نتيجة لا تعتمد في حدها على الصدفة.

تعتمد طرق تقدير الاحتمالية بناءً على تحليل العينات المحدودة على هذه الخاصية. ومن الأمثلة الواضحة على ذلك توقعات نتائج الانتخابات بناء على استطلاع لعينة من الناخبين.

يوتيوب الموسوعي

1 / 5

✪ قانون الأعداد الكبيرة

✪ 07 - نظرية الاحتمالية. قانون الأعداد الكبيرة

✪ 42 قانون الأعداد الكبيرة

✪1- قانون تشيبيشيف للأعداد الكبيرة

✪ الصف الحادي عشر الدرس 25 منحنى غاوسي. قانون الأعداد الكبيرة

ترجمات

دعونا نلقي نظرة على قانون الأعداد الكبيرة، والذي ربما يكون القانون الأكثر بديهية في الرياضيات ونظرية الاحتمالات. ولأنها تنطبق على أشياء كثيرة، فإنها تستخدم أحيانًا ويساء فهمها. اسمحوا لي أولاً أن أحدده للتأكد من دقته، وبعد ذلك سنتحدث عن الحدس. لنأخذ متغيرًا عشوائيًا، على سبيل المثال X. لنفترض أننا نعرف توقعه الرياضي أو متوسط ​​عدد السكان. قانون الأعداد الكبيرة يقول ببساطة أنه إذا أخذنا مثالاً على العدد n من ملاحظات متغير عشوائي وأخذنا متوسط ​​كل تلك الملاحظات... فلنأخذ متغيرًا. لنسميها X مع حرف n وشريط في الأعلى. هذا هو الوسط الحسابي للعدد n من مشاهدات المتغير العشوائي. وهنا ملاحظتي الأولى. أقوم بالتجربة مرة واحدة وأبدي هذه الملاحظة، ثم أفعلها مرة أخرى وأبدي هذه الملاحظة، وأفعلها مرة أخرى وأحصل على هذا. أقوم بإجراء هذه التجربة لعدد n من المرات، ثم أقسم على عدد ملاحظاتي. هنا هو متوسط ​​العينة الخاصة بي. هذا هو متوسط ​​جميع الملاحظات التي أدليت بها. يخبرنا قانون الأعداد الكبيرة أن متوسط ​​العينة الخاص بي سيقترب من القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي. أو يمكنني أيضًا أن أكتب أن متوسط ​​العينة الخاص بي سيقترب من متوسط ​​السكان للكمية n التي تتجه إلى اللانهاية. لن أفرق بشكل واضح بين "التقريب" و"التقارب"، لكني آمل أن تفهم بشكل بديهي أنه إذا أخذت عينة كبيرة إلى حد ما هنا، فسوف أحصل على القيمة المتوقعة للسكان ككل. أعتقد أن معظمكم يفهم بشكل حدسي أنه إذا قمت بإجراء اختبارات كافية مع عينة كبيرة من الأمثلة، فإن الاختبارات ستعطيني في النهاية القيم التي أتوقعها، مع الأخذ في الاعتبار القيمة المتوقعة والاحتمالية وكل ذلك الجاز. لكنني أعتقد أنه غالبًا ما يكون سبب حدوث ذلك غير واضح. وقبل أن أبدأ في شرح سبب ذلك، اسمحوا لي أن أقدم مثالا محددا. يخبرنا قانون الأعداد الكبيرة أن... لنفترض أن لدينا متغير عشوائي X. وهو يساوي عدد الصور في 100 رمية لعملة معدنية. أولًا، نحن نعرف التوقع الرياضي لهذا المتغير العشوائي. هذا هو عدد رميات العملة أو المحاولات مضروبًا في احتمالات نجاح أي تجربة. إذن هذا يساوي 50. أي أن قانون الأعداد الكبيرة يقول أننا إذا أخذنا عينة، أو إذا قمت بحساب متوسط ​​هذه التجارب، فسوف أحصل عليها. .. في المرة الأولى التي أقوم فيها بإجراء اختبار، سأرمي قطعة نقود معدنية 100 مرة، أو سأخذ صندوقًا به مائة قطعة نقدية، وأهزها، ثم أحسب عدد الرؤوس التي سأحصل عليها، وسأحصل على، على سبيل المثال. ، الرقم 55. سيكون ذلك X1. ثم رج الصندوق مرة أخرى وأحصل على الرقم 65. ثم مرة أخرى وأحصل على 45. وقمت بذلك لعدد n من المرات، ثم قسمته على عدد المحاولات. يخبرنا قانون الأعداد الكبيرة أن هذا المتوسط ​​(متوسط ​​جميع ملاحظاتي) سيقترب من 50 مع اقتراب n من اللانهاية. الآن أود أن أتحدث قليلاً عن سبب حدوث ذلك. يعتقد الكثير من الناس أنه بعد 100 تجربة، إذا كانت نتيجتي أعلى من المتوسط، فوفقًا لقوانين الاحتمالية، يجب أن أحصل على عدد أكبر أو أقل من الرؤوس، إذا جاز التعبير، لتعويض الفارق. هذا ليس بالضبط ما سيحدث. غالبًا ما يُطلق على هذا اسم "مغالطة المقامر". اسمحوا لي أن تظهر لك الفرق. سأستخدم المثال التالي. اسمحوا لي أن أرسم رسما بيانيا. دعونا نغير اللون. هذا هو n، ومحور x الخاص بي هو n. هذا هو عدد الاختبارات التي سأجريها. وسيكون المحور Y هو متوسط ​​العينة. نحن نعلم أن التوقع الرياضي لهذا المتغير الاختياري هو 50. اسمحوا لي أن أرسم هذا. هذا هو 50. دعونا نعود إلى مثالنا. إذا كان n... في أول اختبار لي حصلت على 55، فهذا هو المتوسط. ليس لدي سوى نقطة واحدة لإدخال البيانات. ثم بعد اختبارين حصلت على 65. لذا فإن متوسطي سيكون 65+55 مقسومًا على 2. وهذا يساوي 60. وقد ارتفع متوسطي قليلاً. ثم حصلت على 45، وهو ما خفض معدلي الحسابي مرة أخرى. لن أخطط لرسم 45. الآن أحتاج إلى حساب متوسط ​​كل هذا. ما هو يساوي 45+65؟ اسمحوا لي أن أحسب هذه القيمة لتمثيل النقطة. هذا يساوي 165 مقسومًا على 3. هذا يساوي 53. لا، 55. وبالتالي ينخفض ​​المتوسط ​​إلى 55. يمكننا مواصلة هذه الاختبارات. بعد أن قمنا بثلاث تجارب وحصلنا على هذا المتوسط، يعتقد الكثير من الناس أن آلهة الاحتمالات ستتأكد من أننا سنحصل على عدد أقل من الرؤوس في المستقبل، وأن التجارب القليلة القادمة ستحصل على درجات أقل لخفض المتوسط. ولكن هذا ليس هو الحال دائما. إن مجرد حصولك على عدد كبير غير متناسب من الرؤوس لا يعني أنك ستبدأ في مرحلة ما في الحصول على عدد كبير غير متناسب من الذيول. هذا ليس صحيحا تماما. يخبرنا قانون الأعداد الكبيرة أن هذا لا يهم. لنفترض أنه بعد عدد محدود معين من الاختبارات، فإن متوسطك... احتمال حدوث ذلك صغير جدًا، ولكن مع ذلك... لنفترض أن متوسطك قد وصل إلى هذه العلامة - 70. تعتقد: "رائع، لقد ابتعدنا عن القيمة المتوقعة." لكن قانون الأعداد الكبيرة يقول أنه لا يهم عدد الاختبارات التي نقوم بها. ولا يزال أمامنا عدد لا نهاية له من التحديات التي تنتظرنا. التوقع الرياضي لهذا العدد اللانهائي من المحاولات، خاصة في مثل هذه الحالة، سيكون على النحو التالي. عندما تصل إلى عدد محدود يعبر عن قيمة كبيرة، فإن العدد اللانهائي الذي يتقارب معه سيؤدي مرة أخرى إلى القيمة المتوقعة. وهذا بالطبع تفسير فضفاض للغاية، ولكن هذا ما يخبرنا به قانون الأعداد الكبيرة. انه مهم. لا يخبرنا ذلك أنه إذا حصلنا على الكثير من الرؤوس، فإن احتمال الحصول على الذيول سيزيد بطريقة أو بأخرى للتعويض. يخبرنا هذا القانون أنه لا يهم ما هي نتيجة عدد محدود من التجارب طالما أنه لا يزال لديك عدد لا حصر له من التجارب المتبقية. وإذا قمت بما يكفي منها، فسوف ينتهي بك الأمر إلى العودة إلى القيمة المتوقعة مرة أخرى. هذه نقطة مهمة. فكر في الأمر. نراكم في الفيديو التالي!

قانون الأعداد الكبيرة ضعيف

ويسمى القانون الضعيف للأعداد الكبيرة أيضًا بنظرية برنولي، نسبة إلى جاكوب بيرنولي، الذي أثبتها في عام 1713.

يجب أن يكون هناك تسلسل لا نهائي (تعداد متسلسل) للمتغيرات العشوائية الموزعة بشكل متماثل وغير المرتبطة. أي تباينهم c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). يترك . دعونا نشير إلى متوسط ​​العينة للأول ن (\displaystyle n)أعضاء:

.

ثم X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P)) )\mu ).

وهذا هو، لأي إيجابية ε (\displaystyle \varepsilon)

ليم ن → ∞ العلاقات العامة (| X ¯ ن − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

قانون معزز للأعداد الكبيرة

يجب أن يكون هناك تسلسل لا نهائي من المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل متماثل ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty ))، محددة في مساحة احتمالية واحدة (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). يترك E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N)) ). دعونا نشير بواسطة X ¯ n (\displaystyle (\bar (X))_(n))متوسط ​​العينة من الأول ن (\displaystyle n)أعضاء:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N)).

ثم X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu )تقريبا دائما.

العلاقات العامة (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ حق)=1.) .

مثل أي قانون رياضي، لا يمكن تطبيق قانون الأعداد الكبيرة على العالم الحقيقي إلا في ظل افتراضات معينة لا يمكن تلبيتها إلا بدرجة معينة من الدقة. على سبيل المثال، لا يمكن في كثير من الأحيان الحفاظ على شروط الاختبارات المتعاقبة إلى أجل غير مسمى وبدقة مطلقة. وبالإضافة إلى ذلك، فإن قانون الأعداد الكبيرة يتحدث فقط عن ذلك عدم الاحتماليةانحراف كبير للقيمة المتوسطة عن التوقع الرياضي.