Ertaklar

Vektor uzunligi formulasi. Koordinatalar bo'yicha vektor uzunligini topish. Fazoviy masalalar uchun vektor koordinatalarini aniqlash formulasi

Vektor uzunligini uning koordinatalari (to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasida), vektorning boshi va oxiri nuqtalarining koordinatalari hamda kosinuslar teoremasi (2 vektor va ular orasidagi burchak berilgan) bo‘yicha topamiz.

Vektor yo'naltirilgan chiziq segmentidir. Ushbu segmentning uzunligi vektorning raqamli qiymatini aniqlaydi va deyiladi vektor uzunligi yoki vektor moduli.

1. Vektor uzunligini uning koordinatalaridan hisoblash

Agar vektor koordinatalari tekis (ikki o'lchovli) to'rtburchaklar koordinatalar tizimida berilgan bo'lsa, ya'ni. a x va y ma'lum bo'lsa, u holda vektor uzunligini formula bo'yicha topish mumkin

Fazoda vektor bo'lsa, uchinchi koordinata qo'shiladi

MS EXCEL ifodasida =ROOT(SUMSQ(B8:B9)) vektor modulini hisoblash imkonini beradi (vektor koordinatorlari hujayralarga kiritilgan deb taxmin qilinadi) B8: B9, misol fayliga qarang).

SUMSQ() funktsiyasi argumentlar kvadratlari yig'indisini qaytaradi, ya'ni. bu holda =B8*B8+B9*B9 formulasiga ekvivalent.

Misol fayli fazodagi vektor uzunligini ham hisoblab chiqadi.

Muqobil formula - ifodadir =ROOT(SUMPRODUCT(B8:B9,B8:B9)).

2. Nuqtalar koordinatalari orqali vektor uzunligini topish

Agar vektor uning boshlang'ich va oxirgi nuqtalarining koordinatalari orqali berilgan bo'lsa, formula boshqacha bo'ladi =ROOT(SUMDIFF(C28:C29,B28:B29))

Formula boshlang'ich va yakuniy nuqtalarning koordinatalari diapazonlarga kiritilganligini nazarda tutadi C28: C29 Va B28: B29 mos ravishda.

Funktsiya SUMMQVAR() ichida Ikki massivdagi mos qiymatlarning kvadrat farqlari yig'indisini qaytaradi.

Aslida, formula birinchi navbatda vektorning koordinatalarini (nuqtalarning mos keladigan koordinatalari orasidagi farq), so'ngra ularning kvadratlari yig'indisini hisoblab chiqadi.

3. Kosinus teoremasi yordamida vektor uzunligini topish

Agar kosinus teoremasi yordamida vektor uzunligini topmoqchi bo'lsangiz, u holda odatda 2 vektor (ularning modullari va ular orasidagi burchak) beriladi.

Formuladan foydalanib vektor uzunligini toping =ROOT(SUMQ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

Hujayralarda B43: B43 a va b vektorlari va katakning uzunliklarini o'z ichiga oladi B45 - ular orasidagi burchak radianlarda (PI() sonining kasrlarida).

Agar burchak darajalarda berilgan bo'lsa, unda formula biroz boshqacha bo'ladi. =ROOT(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*PI()/180))

Eslatma: ravshanlik uchun burchak qiymati darajalarda bo'lgan katakchada foydalanishingiz mumkin, masalan, maqolaga qarang.

Oksi

HAQIDA A O.A.

, qayerda O.A .

Shunday qilib, .

Bir misolni ko'rib chiqing.

Misol.

Yechim.

Javob:

Oxyz kosmosda.

A O.A diagonal bo'ladi.

Bunday holda (chunki O.A O.A .

Shunday qilib, vektor uzunligi .

Misol.

Vektor uzunligini hisoblang

Yechim.

, shuning uchun,

Javob:

Samolyotda to'g'ri chiziq

Umumiy tenglama

Ax + By + C (> 0).

Vektor = (A; B) normal chiziq vektoridir.

Vektor shaklida: + C = 0, bu erda to'g'ri chiziqdagi ixtiyoriy nuqtaning radius vektori (4.11-rasm).

Maxsus holatlar:

1) By + C = 0- o'qqa parallel to'g'ri chiziq ho'kiz;

2) Ax+C=0- o'qqa parallel to'g'ri chiziq Oy;

3) Ax + By = 0- chiziq koordinatadan o'tadi;

4) y=0- eksa ho'kiz;

5) x=0- eksa Oy.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi

Qayerda a, b- koordinata o'qlari bo'yicha to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlarning o'lchami.

To'g'ri chiziqning normal tenglamasi(4.11-rasm)

qayerda chiziq va o'qqa normal shakllangan burchak ho'kiz; p koordinatalar kelib chiqishidan chiziqgacha bo'lgan masofa.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini normal ko'rinishga keltirish:

Bu erda to'g'ridan-to'g'ri chiziqning normallashtirilgan omili; belgi belgiga qarama-qarshi tanlanadi C, agar va o'zboshimchalik bilan, agar C=0.

Koordinatalar bo'yicha vektor uzunligini topish.

Vektor uzunligi bilan belgilanadi. Ushbu belgi tufayli vektorning uzunligi ko'pincha vektorning moduli deb ataladi.

Koordinatalari bo‘yicha tekislikdagi vektor uzunligini topishdan boshlaylik.

Biz tekislikka to'rtburchak dekart koordinatalar tizimini kiritamiz Oksi. Unda vektor berilsin va uning koordinatalari bor. va koordinatalari orqali vektor uzunligini topish imkonini beruvchi formulani olaylik.

Koordinatalarning kelib chiqishini chetga surib qo'ying (nuqtadan HAQIDA) vektor. Nuqtaning proyeksiyalarini belgilang A koordinata o'qlari bo'yicha va mos ravishda va diagonali bo'lgan to'rtburchakni ko'rib chiqing O.A.

Pifagor teoremasi tufayli tenglik , qayerda . To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi vektorning koordinatalarini aniqlashdan shuni ta'kidlashimiz mumkinki, va , va qurilishi bo'yicha, uzunligi. O.A vektor uzunligiga teng, shuning uchun .

Shunday qilib, vektor uzunligini topish formulasi tekislikdagi koordinatalarida shaklga ega .

Agar vektor koordinata vektorlarida parchalanish sifatida ifodalansa , keyin uning uzunligi bir xil formula bilan hisoblanadi , chunki bu holda koeffitsientlar va berilgan koordinatalar tizimidagi vektorning koordinatalari.

Bir misolni ko'rib chiqing.

Misol.

Dekart koordinatalarida berilgan vektor uzunligini toping.

Yechim.

Koordinatalar bo'yicha vektor uzunligini topish uchun darhol formulani qo'llang :

Javob:

Endi vektor uzunligini topish formulasini olamiz to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi koordinatalari bo'yicha Oxyz kosmosda.

Vektorni koordinata boshidan chetga surib, nuqta proyeksiyalarini belgilang A koordinata o'qlarida, shuningdek. Keyin biz tomonlarga va to'rtburchaklar parallelepipedni qurishimiz mumkin O.A diagonal bo'ladi.

Bunday holda (chunki O.A to'rtburchaklar parallelepipedning diagonali), bu erdan . Vektorning koordinatalarini aniqlash bizga tengliklarni yozish imkonini beradi , va uzunligi O.A vektorning kerakli uzunligiga teng, shuning uchun .

Shunday qilib, vektor uzunligi fazoda uning koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng, ya'ni formula bo'yicha topiladi .

Misol.

Vektor uzunligini hisoblang , to'rtburchaklar koordinatalar sistemasining ortslari qayerda.

Yechim.

Bizga vektorning shaklning koordinata vektorlari bo'yicha kengayishi berilgan , shuning uchun, . Keyin vektor uzunligini koordinatalar bo'yicha topish formulasiga ko'ra, bizda .

Abscissa va ordinatada o'qlar deyiladi koordinatalar vektor. Vektor koordinatalari odatda shaklda ko'rsatilgan (x, y), va vektorning o'zi quyidagicha: = (x, y).

Ikki o'lchovli masalalar uchun vektorning koordinatalarini aniqlash formulasi.

Ikki o'lchovli muammo bo'lsa, ma'lum bo'lgan vektor nuqta koordinatalari A(x 1; y 1) Va B(x 2 ; y 2 ) hisoblash mumkin:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Fazoviy masalalar uchun vektor koordinatalarini aniqlash formulasi.

Fazoviy muammo bo'lsa, ma'lum bo'lgan vektor nuqta koordinatalari A (x 1; y 1;z 1 ) va B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) formula yordamida hisoblash mumkin:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Koordinatalar vektorning to'liq tavsifini beradi, chunki koordinatalardan vektorning o'zini qurish mumkin. Koordinatalarni bilish, hisoblash oson va vektor uzunligi. (Quyida 3-mulk).

Vektor koordinatalarining xossalari.

1. Har qanday teng vektorlar yagona koordinatalar tizimida mavjud teng koordinatalar.

2. Koordinatalar kollinear vektorlar mutanosib. Vektorlarning hech biri nolga teng bo'lmasligi sharti bilan.

3. Har qanday vektor uzunligining kvadrati uning kvadratlari yig'indisiga teng koordinatalar.

4. Operatsiya qachon vektor ko'paytirish yoqilgan haqiqiy raqam uning har bir koordinatasi shu raqamga ko'paytiriladi.

5. Vektor qo'shish operatsiyasi davomida mos keladiganlarning yig'indisini hisoblaymiz vektor koordinatalari.

6. Skalyar mahsulot Ikki vektorning tegishli koordinatalari ko'paytmalari yig'indisiga teng.

a → vektorining uzunligi a → bilan belgilanadi. Bu belgi sonning moduliga o'xshaydi, shuning uchun vektor uzunligi vektorning moduli deb ham ataladi.

Tekislikdagi vektor uzunligini uning koordinatalari bo'yicha topish uchun to'rtburchak dekart koordinatalar sistemasi O x y ni ko'rib chiqish talab etiladi. Unda qandaydir vektor a → koordinatalari a x bo'lsin; ay . a → vektorining uzunligini (modulini) a x va a y koordinatalari bo‘yicha topish formulasini kiritamiz.

O A → = a → vektorni koordinatadan chetga surib qo'ying. A nuqtaning koordinata o'qlariga mos keladigan proyeksiyalarini A x va A y deb belgilaymiz. Endi diagonali O A bo'lgan O A x A A y to'rtburchakni ko'rib chiqing.

Pifagor teoremasidan O A 2 = O A x 2 + O A y 2 tengligi kelib chiqadi, bundan O A = O A x 2 + O A y 2. To'g'ri to'rtburchaklar dekart koordinatalar sistemasidagi vektor koordinatalarining allaqachon ma'lum bo'lgan ta'rifidan O A x 2 = a x 2 va O A y 2 = a y 2 ekanligini va qurilishga ko'ra, O A uzunligining uzunligiga teng ekanligini olamiz. vektor O A →, demak, O A → = O A x 2 + O A y 2.

Shunday qilib, shunday bo'ladi vektor uzunligini topish formulasi a → = a x ; a y mos keladigan shaklga ega: a → = a x 2 + a y 2 .

Agar a → vektori a → = a x i → + a y j → koordinata vektorlarida kengayish sifatida berilgan bo‘lsa, u holda uning uzunligini bir xil a → = a x 2 + a y 2 formulasi yordamida hisoblash mumkin, bu holda a x va a y koeffitsientlari. berilgan koordinatalar sistemasidagi a → vektorining koordinatalari sifatida.

1-misol

a → = 7 vektorining uzunligini hisoblang; e , to'rtburchaklar koordinatalar tizimida berilgan.

Yechim

Vektor uzunligini topish uchun a → = a x 2 + a y 2 koordinatalari bo‘yicha vektor uzunligini topish formulasidan foydalanamiz: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e.

Javob: a → = 49 + e.

a → = a x vektor uzunligini topish formulasi; ay ; a z fazodagi Dekart koordinata tizimidagi Oxyz koordinatalari bo'yicha, tekislikdagi holat uchun formulaga o'xshash tarzda olinadi (quyidagi rasmga qarang)

Bunday holda, O A 2 \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (chunki OA to'rtburchaklar parallelepipedning diagonali), shuning uchun O A \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2. Vektorning koordinatalarini aniqlashdan quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin O A x = a x ; O A y = a y; O A z = a z ; , va OA uzunligi biz izlayotgan vektor uzunligiga teng, shuning uchun O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2.

Bundan kelib chiqadiki, a → = a x vektorining uzunligi; ay ; a z a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ga teng.

2-misol

a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → vektor uzunligini hisoblang, bu erda i → , j → , k → to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasining birlik vektorlari.

Yechim

a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → vektorining parchalanishi berilgan bo‘lsa, uning koordinatalari a → = 4, - 3, 5 bo‘ladi. Yuqoridagi formuladan foydalanib, a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 ni olamiz.

Javob: a → = 5 2 .

Vektorning boshlanish va tugash nuqtalarining koordinatalari bo'yicha uzunligi

Yuqorida vektor uzunligini uning koordinatalari bo'yicha topish imkonini beruvchi formulalar olingan. Biz ishlarni tekislikda va uch o'lchovli fazoda ko'rib chiqdik. Ulardan vektorning koordinatalarini uning boshlang‘ich va oxirgi nuqtalari koordinatalari bo‘yicha topamiz.

Demak, A (a x; a y) va B (b x; b y) koordinatalari berilgan nuqtalar, demak, A B → vektori koordinatalariga ega (b x - a x; b y - a y), bu uning uzunligini quyidagi formula bilan aniqlash mumkinligini anglatadi: A B → = ( b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

Va agar uch o'lchamli fazoda berilgan A (a x; a y; a z) va B (b x; b y; b z) koordinatalari bilan nuqtalar berilsa, A B → vektorining uzunligini formula bo'yicha hisoblash mumkin.

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

3-misol

A B → to'rtburchaklar koordinata tizimida A 1, 3, B - 3, 1 bo'lsa vektor uzunligini toping.

Yechim

Tekislikdagi boshlang'ich va oxirgi nuqtalarning koordinatalaridan vektor uzunligini topish formulasidan foydalanib, biz A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) 2 ni olamiz. + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Ikkinchi yechim bu formulalarni o z navbatida qo llashni nazarda tutadi: A B → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

Javob: A B → = 20 - 2 3.

4-misol

A B → vektorining uzunligi qanday qiymatlar uchun A (0, 1, 2) bo'lsa, 30 ga teng ekanligini aniqlang; B (5 , 2 , l 2) .

Yechim

Birinchidan, A B → vektorining uzunligini formula bo'yicha yozamiz: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 -) 1) 2 + (l 2 - 2) 2 = 26 + (l 2 - 2) 2

Keyin olingan ifodani 30 ga tenglashtiramiz, bu erdan kerakli l ni topamiz:

26 + (l 2 - 2) 2 = 30 26 + (l 2 - 2) 2 = 30 (l 2 - 2) 2 = 4 l 2 - 2 = 2 va l va l 2 - 2 = - 2 l 1 = - 2, l 2 = 2, l 3 = 0.

Javob: l 1 \u003d - 2, l 2 \u003d 2, l 3 \u003d 0.

Kosinuslar qonunidan foydalanib vektor uzunligini topish

Afsuski, vektorning koordinatalari har doim ham vazifalarda ma'lum emas, shuning uchun vektor uzunligini topishning boshqa usullarini ko'rib chiqaylik.

Ikki vektorning uzunliklari A B →, A C → va ular orasidagi burchak (yoki burchak kosinasi) berilsin va B C → yoki C B → vektorining uzunligini topish talab qilinadi. Bunday holda, siz uchburchakda kosinus teoremasidan foydalanishingiz kerak △ A B C , tomonning uzunligini hisoblang B C , bu vektorning kerakli uzunligiga teng.

Bunday holatni quyidagi misolda ko'rib chiqamiz.

5-misol

A B → va A C → vektorlarining uzunliklari mos ravishda 3 va 7 ga teng, ular orasidagi burchak esa p 3 ga teng. B C → vektorining uzunligini hisoblang.

Yechim

B C → vektorining uzunligi bu holda uchburchakning B C tomonining uzunligiga teng △ A B C . Shartdan uchburchakning A B va A C tomonlarining uzunliklari ma'lum (ular mos vektorlarning uzunliklariga teng), ular orasidagi burchak ham ma'lum, shuning uchun biz kosinus teoremasidan foydalanishimiz mumkin: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 3 7 cos p 3 = 37 ⇒ B C = 37 Shunday qilib, B C → = 37.

Javob: B C → = 37.

Demak, vektor uzunligini koordinatalar bo‘yicha topish uchun boshi va oxiri nuqtalarining koordinatalariga ko‘ra a → = a x 2 + a y 2 yoki a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 formulalari mavjud. vektorning A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 yoki A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, ba'zi hollarda kosinus teoremasi ishlatilishi kerak.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

6.4. Nuqta mahsulotining ba'zi ilovalari

11. Vektorning skalyar ko‘paytmasini omillar koordinatalari bo‘yicha ifodalash. Teorema.

12. Vektor uzunligi, segment uzunligi, vektorlar orasidagi burchak, vektorlarning perpendikulyarlik sharti.

13. Vektorlarning vektor mahsuloti, uning xossalari. Paralelogrammning maydoni.

14. Vektorlarning aralash mahsuloti, uning xossalari. Vektor solishtirish sharti. Parallelepipedning hajmi. Piramidaning hajmi.

15. Tekislikda to'g'ri chiziqni o'rnatish usullari.

16. Tekislikdagi to'g'ri chiziqning normal tenglamasi (hosil qilish). Koeffitsientlarning geometrik ma'nosi.

17. Tekislikdagi to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi (xulosa).

Tekislikning umumiy tenglamasini segmentlardagi tekislik tenglamasiga keltirish.

18. Nishabli tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi (chiqish).

19. Ikki nuqtadan o'tuvchi tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi (xulosa).

20. Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak (xulosa).

21. Tekislikdagi nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa (chiqish).

22. Tekislikdagi to'g'ri chiziqlarning parallellik va perpendikulyarlik shartlari (xulosa).

23. Tekislik tenglamasi. Tekislikning normal tenglamasi (hosil qilish). Koeffitsientlarning geometrik ma'nosi.

24. Tekislikning segmentlardagi tenglamasi (xulosa).

25. Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi (chiqish).

26. Samolyotlar orasidagi burchak (chiqish).

27. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa (chiqish).

28. Tekisliklarning parallellik va perpendikulyarlik shartlari (xulosa).

29. r3 dagi to‘g‘ri chiziq tenglamalari. Ikki qo'zg'almas nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalari (hosil qilish).

30. To'g'ri chiziqning fazodagi kanonik tenglamalari (hosil qilish).

Fazodagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini tuzish.

Kosmosdagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarining alohida holatlari.

Fazoda berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari.

Fazodagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalaridan to'g'ri chiziq tenglamalarining boshqa turlariga o'tish.

31. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak (chiqish).

32. Tekislikdagi nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa (chiqish).

Tekislikdagi nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa - nazariya, misollar, echimlar.

Tekislikda berilgan nuqtadan toʻgʻri chiziqgacha boʻlgan masofani topishning birinchi usuli.

Ikkinchi usul, bu sizga berilgan nuqtadan tekislikdagi berilgan chiziqgacha bo'lgan masofani topish imkonini beradi.

Tekislikda berilgan nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani topishga oid masalalar yechish.

Kosmosdagi nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa - nazariya, misollar, echimlar.

Kosmosdagi nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani topishning birinchi usuli.

Kosmosda nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topish imkonini beruvchi ikkinchi usul.

33. Fazodagi chiziqlarning parallellik va perpendikulyarlik shartlari.

34. To'g'ri chiziqlarning fazoda o'zaro joylashishi va tekislik bilan to'g'ri chiziq.

35. Ellipsning klassik tenglamasi (hosil qilish) va uning tuzilishi. Ellipsning kanonik tenglamasi ko'rinishga ega bo'lib, bu erda musbat haqiqiy sonlar, shuningdek, ellipsni qanday qurish mumkin?

36. Giperbolaning klassik tenglamasi (hosil qilish) va uning tuzilishi. Asimptotalar.

37. Parabolaning kanonik tenglamasi (hosilasi) va qurilishi.

38. Funktsiya. Asosiy ta'riflar. Asosiy elementar funksiyalarning grafiklari.

39. Raqamlar ketma-ketligi. Raqamli ketma-ketlikning chegarasi.

40. Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar. Ular orasidagi bog`lanish, xossalari haqidagi teorema.

41. Cheklangan chegaralarga ega bo'lgan o'zgaruvchilarga ta'sirlar haqidagi teoremalar.

42. Raqam e.

Tarkib

Aniqlash usullari

Xususiyatlari

Hikoya

Taxminlar

43. Funksiya chegarasining ta’rifi. Noaniqliklarni oshkor qilish.

44. Diqqatga sazovor chegaralar, ularning xulosasi. Ekvivalent cheksiz kichik miqdorlar.

Tarkib

Birinchi ajoyib chegara

Ikkinchi ajoyib chegara

45. Bir tomonlama chegaralar. Funksiyaning uzluksizligi va uzilishlari. Bir tomonlama chegaralar

Funktsiyaning chap va o'ng chegaralari

Birinchi turdagi uzilish nuqtasi

Ikkinchi turdagi uzilish nuqtasi

Buzilish nuqtasi

46. Hosila tushunchasi. Geometrik ma'no, hosilaning mexanik ma'nosi. Egri chiziq va nuqtaga teginish va normal tenglamalar.

47. Teskari, kompleks funksiyalarning hosilasi haqidagi teoremalar.

48. Eng oddiy elementar funksiyalarning hosilalari.

49. Parametrli, yashirin va ko‘rsatkichli funksiyalarni differensiallash.

21. Yashirin va parametrik aniqlangan funksiyalarni differensiallash

21.1. Yashirin funktsiya

21.2. Funktsiya parametrik ravishda aniqlanadi

50. Yuqori tartibli hosilalar. Teylor formulasi.

51. Differensial. Differensialni taxminiy hisob-kitoblarga qo'llash.

52. Rol, Lagranj, Koshi teoremalari. L'Hopital qoidasi.

53. Funksiyaning monotonligi uchun zarur va yetarli shartlar haqidagi teorema.

54. Funksiyaning maksimal, minimumini aniqlash. Funksiya ekstremumining mavjudligi uchun zarur va yetarli shartlar haqidagi teoremalar.

Teorema (zaruriy ekstremum shart)

55. Egri chiziqlarning qavariqligi va botiqligi. Burilish nuqtalari. Burilish nuqtalarining mavjudligi uchun zarur va etarli shartlar haqidagi teoremalar.

Isbot

57. n-tartibli aniqlovchilar, ularning xossalari.

58. Matritsalar va ularga amallar. Matritsa darajasi.

Ta'rif

Tegishli ta'riflar

Xususiyatlari

Chiziqli transformatsiya va matritsa darajasi

59. Teskari matritsa. Teskari matritsaning mavjudligi haqidagi teorema.

60. Chiziqli tenglamalar sistemalari. Chiziqli tenglamalar sistemalarining matritsali yechimi. Kramer qoidasi. Gauss usuli. Kroneker-Kapelli teoremasi.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini yechish, yechish usullari, misollar.

Ta'riflar, tushunchalar, belgilar.

Chiziqli algebraik tenglamalarning elementar sistemalarini yechish.

Chiziqli tenglamalar sistemalarini Kramer usulida yechish.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini matritsa usulida yechish (teskari matritsa yordamida).

Chiziqli tenglamalar sistemalarini Gauss usulida yechish.

Umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini yechish.

Kroneker-Kapelli teoremasi.

Umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishning Gauss usuli.

Eritmalarning fundamental sistemasi vektorlari yordamida bir jinsli va bir jinsli chiziqli algebraik sistemalarning umumiy yechimini yozish.

Tenglamalar sistemasini slyuzga keltiruvchi yechish.

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishgacha bo'lgan masalalarga misollar.

12. Vektor uzunligi, segment uzunligi, vektorlar orasidagi burchak, vektorlarning perpendikulyarlik sharti.

Vektor - bu kosmosdagi yoki tekislikdagi ikkita nuqtani bog'laydigan yo'naltirilgan segment. Vektorlar odatda kichik harflar yoki boshlanish va tugatish nuqtalari bilan belgilanadi. Yuqorida odatda chiziqcha bo'ladi.

Masalan, nuqtadan yo'naltirilgan vektor A nuqtaga B, belgilanishi mumkin a ,

Nol vektor 0 yoki 0 - - boshlanish va tugatish nuqtalari bir xil bo'lgan vektor, ya'ni. A = B. Bu yerdan, 0 = – 0 .

Vektorlar deyiladi kollinear agar ularning yo'naltirilgan segmentlari parallel chiziqlarda yotsa. Kollinear vektorlar a Va b belgilanadi a || b .

Uch yoki undan ortiq vektorlar deyiladi o'xshash agar ular bir tekislikda yotsalar.

Vektorlarni qo'shish. Chunki vektorlar yo'naltirilgan segmentlar, keyin ularni qo'shish amalga oshirilishi mumkin geometrik jihatdan. (Vektorlarning algebraik qo'shilishi quyida "Birlik ortogonal vektorlar" bandida tasvirlangan). Keling, shunday da'vo qilaylik

a = AB va b = CD,

keyin vektor __ __

a + b = AB+ CD

ikkita operatsiya natijasidir:

a)parallel uzatish vektorlardan biri, uning boshlang'ich nuqtasi ikkinchi vektorning oxirgi nuqtasiga to'g'ri keladi;

b)geometrik qo'shish, ya'ni. sobit vektorning boshlang'ich nuqtasidan tarjima qilingan vektorning oxirgi nuqtasiga o'tadigan natija vektorni qurish.

Vektorlarni ayirish. Ushbu operatsiya ayirib tashlangan vektorni teskarisiga almashtirish orqali oldingisiga qisqartiriladi: a – b =a + (– b ) .

Qo'shish qonunlari.

I. a + b = b + a (V kuchga ega qonun).

II. (a + b ) + c = a + (b + c ) (Qo'shma qonun).

III. a + 0 = a .

IV. a + (– a ) = 0 .

Vektorni songa ko'paytirish qonunlari.

I. 1 · a = a , 0 · a = 0 , m· 0 = 0 , (– 1) · a = – a .

II. ma = a m,| ma | = | m | · | a | .

III. m (na ) = (m n)a . (Birlashtirilgan

ko'paytirish qonuni).

IV. (m+n) a = ma +na , (Distribyutor

m(a + b ) = ma + mb . ko'paytirish qonuni).

Vektorlarning skalyar mahsuloti. __ __

Nolga teng bo'lmagan vektorlar orasidagi burchak AB Va CD nuqtalar tekislangunga qadar vektorlarning parallel ko'chirilishida hosil bo'ladigan burchak A Va C. Vektorlarning nuqta mahsulotia Va b ga teng sonni chaqirdi ularning uzunliklari orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytmasi:

Agar vektorlardan biri nolga teng bo'lsa, ta'rifga muvofiq ularning skalyar mahsuloti nolga teng:

(a , 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Agar ikkala vektor nolga teng bo'lmasa, ular orasidagi burchakning kosinusu quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Skalyar mahsulot ( a, a ) ga teng | a | 2 deyiladi skalyar kvadrat. Vektor uzunligi a va uning skalyar kvadrati quyidagilar bilan bog'liq:

Ikki vektorning nuqta mahsuloti:

- ijobiy vektorlar orasidagi burchak bo'lsa achchiq;

- salbiy vektorlar orasidagi burchak bo'lsa to'mtoq.

Ikki nolga teng bo'lmagan vektorning skalyar ko'paytmasi u holda nolga teng va faqat ular orasidagi burchak to'g'ri bo'lsa, ya'ni. bu vektorlar perpendikulyar (ortogonal) bo'lganda:

Skayar mahsulotning xossalari. Har qanday vektorlar uchun a , b, c va har qanday raqam m quyidagi munosabatlar amal qiladi:

I. (a , b ) = (b, a ) . (V amaldagi qonun)

II. (ma , b ) = m(a , b ) .

III.(a + b, c ) = (a , c ) + (b, c ). (Taqsimot qonuni)

Birlik ortogonal vektorlar. Har qanday to'rtburchaklar koordinata tizimida siz kiritishingiz mumkin birlik juft ortogonal vektorlari , j Va k koordinata o'qlari bilan bog'langan: i - aks bilan X, j - aks bilan Y Va k - aks bilan Z. Ushbu ta'rifga ko'ra:

(i , j ) = (i , k ) = (j , k ) = 0,

| i | =| j | =| k | = 1.

Har qanday vektor a Ushbu vektorlar bo'yicha o'ziga xos tarzda ifodalanishi mumkin: a = xi + yj + zk . Boshqa yozish shakli: a = (x, y, z). Bu yerga x, y, z-koordinatalari vektor a bu koordinatalar tizimida. Birlik ortogonal vektorlarning oxirgi munosabati va xossalariga muvofiq i, j , k ikki vektorning skalyar ko'paytmasi boshqacha ifodalanishi mumkin.

Mayli a = (x, y, z); b = (u, v, w). Keyin ( a , b ) = xi +yv +zw.

Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi mos keladigan koordinatalar ko'paytmalari yig'indisiga teng.

Vektorning uzunligi (modul). a = (x, y, z ) ga teng:

Bundan tashqari, biz hozir qodirmiz algebraik vektorlar ustida amallar, ya'ni vektorlarni qo'shish va ayirish koordinatalari bo'yicha bajarilishi mumkin:

a + b= (x + u , y + v , z + w) ;

a – b= (x–u, y– v, z–w) .

Vektorlarning vektor mahsuloti. vektor san'ati [a, b ] vektorlara Vab (shu tartibda) vektor deyiladi:

Vektor uzunligi uchun yana bir formula mavjud [ a, b ] :

| [ a, b ] | = | a | | b | gunoh( a, b ) ,

ya'ni uzunlik ( modul ) vektorlarning o‘zaro ko‘paytmasia Vab bu vektorlarning uzunliklari (modullari) va ular orasidagi burchak sinusining mahsulotiga teng. Boshqa so'zlar bilan aytganda: vektor uzunligi (modul).[ a, b ] vektorlar ustida qurilgan parallelogramm maydoniga son jihatdan teng a Vab .