Arean av figuren begränsas av linjer online parametriskt. Beräknar arean av en form som begränsas av en parametriskt definierad kurva. Hur man beräknar volymen av en rotationskropp

Låt oss överväga exempel på tillämpningen av den erhållna formeln, som gör det möjligt att beräkna arean av figurer avgränsade av parametriskt specificerade linjer.

Exempel.

Beräkna arean av en figur som begränsas av en linje, vars parametriska ekvationer är.

Lösning.

I vårt exempel, parametriskt sätt linjeär en ellips med halvaxlar 2 och 3 enheter. Låt oss bygga den.

Hitta arean av en fjärdedel av en ellips i den första kvadranten. Detta område ligger i intervallet ... Vi beräknar arean av hela figuren genom att multiplicera det resulterande värdet med fyra.

Det vi har:

För k = 0 får vi intervallet ... På detta intervall, funktionen monotont avtagande (se avsnitt). Vi tillämpar formeln för att beräkna arean och hittar den bestämda integralen med Newton-Leibniz formel:

Alltså är den ursprungliga figurens yta .

Kommentar.

En logisk fråga uppstår: varför tog vi en kvarts ellips och inte hälften? Den övre (eller nedre) halvan av figuren kunde ses. Det är i intervallet ... För det här fallet skulle vi få

Det vill säga för k = 0 får vi ett intervall. På detta intervall, funktionen monotont avtagande.

Då återfinns området för hälften av ellipsen som

Men du kan inte ta höger eller vänster halva av ellipsen.

Den parametriska representationen av en ellips centrerad vid origo och halvaxlarna a och b har formen. Om vi ​​agerar på samma sätt som i det analyserade exemplet så får vi formel för att beräkna arean av en ellips .

En cirkel centrerad vid utgångspunkten för koordinaterna med radien R genom parametern t ges av ett ekvationssystem. Om vi ​​använder den resulterande formeln för arean av en ellips, kan vi omedelbart skriva formel för att hitta arean av en cirkel radie R:.

Låt oss lösa ytterligare ett exempel.

Exempel.

Beräkna arean av en form som avgränsas av en parametrisk kurva.

Lösning.

När man springer lite framåt är kurvan en "lång" astroid. (Astroid har följande parametriska representation).

Låt oss uppehålla oss i detalj vid konstruktionen av kurvan som begränsar formen. Vi kommer att bygga det punkt för punkt. Vanligtvis är en sådan konstruktion tillräcklig för att lösa de flesta problem. I mer komplexa fall kommer det utan tvekan att krävas en detaljerad studie av en parametriskt given funktion med hjälp av differentialkalkyl.

I vårt exempel.

Dessa funktioner är definierade för alla reella värden av parametern t, och från egenskaperna för sinus och cosinus vet vi att de är periodiska med en period på två pi. Beräknar alltså värdena på funktioner för vissa (till exempel ), får vi en uppsättning poäng .

För enkelhetens skull, låt oss ange värdena i tabellen:

Vi markerar punkter på planet och förbinder dem FÖLJANDE med en linje.

Låt oss beräkna arean av området som ligger i det första koordinatkvartalet. För detta område .

På k = 0 får vi intervallet där funktionen minskar monotont. Vi använder formeln för att hitta området:

De erhållna definitiva integralerna kan beräknas med hjälp av Newton-Leibniz-formeln, och antiderivaten för Newton-Leibniz-formeln kan hittas med en återkommande formel av formen , var .

Därför är arean av en fjärdedel av en figur , då är hela figurens yta lika med.

På samma sätt kan det visas att astroid kvadrat ligger som , och arean av formen som omges av linjen beräknas med formeln.

När vi räknade ut den geometriska betydelsen av en bestämd integral fick vi en formel med vilken vi kan hitta arean av en krökt trapets som avgränsas av abskissaxeln, räta linjer x = a, x = b, samt en kontinuerlig (icke-negativ eller icke-positiv) funktion y = f (x). Ibland är det bekvämare att definiera funktionen som begränsar formen i en parametrisk form, d.v.s. uttrycka funktionellt beroende genom parametern t. Inom ramen för detta material kommer vi att visa hur du kan hitta arean av en figur om den begränsas av en parametriskt definierad kurva.

Efter att ha förklarat teorin och härlett formeln kommer vi att analysera flera typiska exempel för att hitta området för sådana figurer.

Grundformel för beräkning

Antag att vi har en kurvlinjär trapets vars gränser är de räta linjerna x = a, x = b, O x-axeln och en parametriskt definierad kurva x = φ (t) y = ψ (t), och funktionerna x = φ ( t) och y = ψ (t) är kontinuerliga på intervallet α; p, a< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Definition 1

För att beräkna arean av en trapets under sådana förhållanden måste du använda formeln S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ "(t) d t.

Vi härledde det från formeln för arean av en kurvlinjär trapets S (G) = ∫ a b f (x) d x genom substitutionsmetoden x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t

Definition 2

Med hänsyn till den monotona minskningen av funktionen x = φ (t) på intervallet β; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Om funktionen x = φ (t) inte är en av de grundläggande elementära, måste vi komma ihåg de grundläggande reglerna för att öka och minska en funktion på ett intervall för att avgöra om den kommer att öka eller minska.

I det här avsnittet kommer vi att analysera flera uppgifter för att tillämpa formeln härledd ovan.

Exempel 1

Skick: Hitta arean av figuren som linjen bildar, givet av ekvationer av formen x = 2 cos t y = 3 sin t.

Lösning

Vi har en parametriskt definierad linje. Grafiskt kan den visas som en ellips med två halvaxlar 2 och 3. Se illustration:

Låt oss försöka hitta arean 1 4 av den resulterande figuren, som upptar den första kvadranten. Området ligger i intervallet x ∈ a; b = 0; 2. Multiplicera sedan det resulterande värdet med 4 och hitta området hela figuren.

Här är flödet av våra beräkningar:

x = φ (t) = 2 cos ty = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk, k ∈ Z

Med k lika med 0 får vi intervallet β; a = 0; π 2. Funktionen x = φ (t) = 2 cos t kommer att minska monotont på den (för mer information, se artikeln om grundläggande elementära funktioner och deras egenskaper). Så du kan använda formeln för att beräkna arean och hitta en bestämd integral med hjälp av Newton-Leibniz formel:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π 2

Detta betyder att arean av figuren som ges av den ursprungliga kurvan kommer att vara S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π.

Svar: S (G) = 6 π

Låt oss förtydliga att när vi löste problemet ovan var det möjligt att ta inte bara en fjärdedel av en ellips, utan också dess halva - övre eller nedre. Ena halvan kommer att placeras på intervallet x ∈ a; b = -2; 2. I det här fallet skulle vi få:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z

Således, för k lika med 0, får vi β; a = 0; π. Funktionen x = φ (t) = 2 cos t på detta intervall kommer att minska monotont.

Efter det beräknar vi arean av hälften av ellipsen:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Det är viktigt att notera att endast toppen eller botten kan tas, och höger eller vänster kan inte tas.

Du kan skapa en parametrisk ekvation för en given ellips centrerad vid origo. Den kommer att ha formen x = a cos t y = b sin t. På samma sätt som i exemplet ovan får vi en formel för att beräkna arean av ellipsen S el och n med a = πab.

Du kan specificera en cirkel vars centrum är beläget vid origo med hjälp av ekvationen x = R cos t y = R sin t, där t är en parameter och R är radien för denna cirkel. Om vi ​​omedelbart använder formeln för arean av en ellips, får vi en formel med vilken vi kan beräkna arean av en cirkel med radien R: Sk r y r a = πR 2.

Låt oss titta på ytterligare ett problem.

Exempel 2

Skick: hitta vad som kommer att bli arean av figuren, som begränsas av den parametriskt givna kurvan x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

Lösning

Låt oss genast klargöra att den här kurvan ser ut som en långsträckt astroid. Vanligtvis uttrycks astroiden med hjälp av en ekvation av formen x = a cos 3 t y = a sin 3 t.

Låt oss nu titta närmare på hur man bygger en sådan kurva. Låt oss bygga på separata punkter. Detta är den vanligaste metoden och kan användas för de flesta uppgifter. Mer komplexa exempel kräver differentialkalkyl för att avslöja den parametriskt definierade funktionen.

Vi har x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

Dessa funktioner är definierade för alla giltiga värden på t. För sin och cos är det känt att de är periodiska och deras period är 2 pi. Beräkna värdena för funktionerna x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t för vissa t = t 0 ∈ 0; 2 π π 8, π 4, 3 π 8, π 2,. ... ... , 15 π 8, vi får poäng x 0; y0 = (φ (to); ψ (to)).

Låt oss skapa en tabell med totalsummor:

t 0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 = φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t 0	9 π 8	5 π 4	11 π 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2 π
x 0 = φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Efter det, markera de nödvändiga punkterna på planet och anslut dem med en linje.

Nu måste vi hitta arean för den del av formen som är i det första koordinatkvartalet. För henne, x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk, k ∈ Z

Om k är 0, får vi intervallet β; a = 0; π 2, och funktionen x = φ (t) = 3 cos 3 t kommer att minska monotont på den. Nu tar vi areaformeln och beräknar:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 tdt = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) dt = 08 ∫ 2 sin 4 tdt - ∫ 0 π 2 sin 6 tdt

Vi har erhållit vissa integraler som kan beräknas med hjälp av Newton-Leibniz formel. Antiderivaten för denna formel kan hittas med återkommande formel J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x), där J n (x) = ∫ synd nxdx.

∫ sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 tdt = = - co t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 tdt = = - cos t sin 3 t 4 - 3 co t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = - co t sin 3 t 4 - 3 co t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 tdt ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 5 6 3 π 16 = 15 π 96

Vi har beräknat arean av en fjärdedels siffra. Det är lika med 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

Om vi ​​multiplicerar detta värde med 4 får vi arean av hela figuren - 9 π 4.

På exakt samma sätt kan vi bevisa att arean av astroid, givet av ekvationerna x = a cos 3 ty = a sin 3 t, kan hittas med formeln S astroid s = 3 πa 2 8, och arean av figuren, som avgränsas av linjen x = a · cos 3 ty = b · sin 3 t, beräknas med formeln S = 3 πab 8.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl + Enter

Låt oss hitta volymen av kroppen som genereras av rotationen av cykloidbågen runt dess bas. Roberval hittade det genom att bryta den resulterande äggformade kroppen (Fig. 5.1) i oändligt tunna lager, skriva in cylindrar i dessa lager och lägga till deras volymer. Beviset var långt, tråkigt och inte helt rigoröst. Därför, för att beräkna det, vänder vi oss till högre matematik. Låt oss definiera cykloidekvationen parametriskt.

I integralkalkyl använder han följande anmärkning när han studerar volymer:

Om kurvan som begränsar den kurvlinjära trapetsen ges av parametriska ekvationer och funktionerna i dessa ekvationer uppfyller villkoren för satsen om förändringen av variabel i en bestämd integral, kommer volymen av trapetsens rotationskropp runt Ox-axeln att beräknas med formeln:

Låt oss använda den här formeln för att hitta den volym vi behöver.

Vi beräknar ytan på denna kropp på samma sätt.

L = ((x, y): x = a (t - sin t), y = a (1 - kostnad), 0? T? 2p)

I integralkalkyl finns det följande formel för att hitta ytarean av en rotationskropp runt x-axeln för en kurva definierad parametriskt på ett segment (t 0? T? T 1):

Genom att tillämpa denna formel på vår cykloidekvation får vi:

Betrakta också en annan yta som genereras av rotationen av en cykloidbåge. För att göra detta, konstruera en spegelbild av cykloidbågen i förhållande till dess bas och rotera den ovala figuren som bildas av cykloiden och dess reflektion runt KT-axeln (Fig.5.2)

Först hittar vi den volym av kroppen som bildas av rotationen av cykloidbågen runt KT-axeln. Dess volym kommer att beräknas med formeln (*):

Således beräknade vi volymen av hälften av denna kålrot. Då blir hela volymen lika stor

Avsnitt: Matte

Lektionstyp: kombinerad.

Syftet med lektionen: lära dig att beräkna volymerna av rotationskroppar med hjälp av integraler.

Uppgifter:

• att konsolidera förmågan att välja kurvlinjära trapezoider från ett antal geometriska former och att öva på skickligheten att beräkna arean av kurvlinjära trapezoider;
• bekanta dig med begreppet en volymetrisk figur;
• lära dig att beräkna volymerna av rotationskroppar;
• främja utvecklingen av logiskt tänkande, kompetent matematiskt tal, noggrannhet i konstruktionen av ritningar;
• främja intresse för ämnet, att arbeta med matematiska begrepp och bilder, främja vilja, självständighet, uthållighet i att uppnå det slutliga resultatet.

Under lektionerna

I. Organisatoriskt ögonblick.

Grupphälsning. Kommunicera lektionsmål till eleverna.

Reflexion. Lugn melodi.

– Dagens lektion skulle jag vilja börja med en liknelse. "Det fanns en visman som visste allt. En person ville bevisa att vismannen inte vet allt. Han kramade fjärilen i handflatorna och frågade: "Säg mig, visman, vilken fjäril är i mina händer: död eller levande?" Och själv tänker han: "Om en levande säger, jag kommer att döda henne, om en död kvinna säger, så släpper jag henne." Tänkande vismannen svarade: "Allt i dina händer". (Presentation.Glida)

"Därför, låt oss arbeta fruktbart idag, skaffa oss ett nytt kunskapsförråd och tillämpa de förvärvade färdigheterna och förmågorna senare i livet och i praktisk verksamhet. "Allt i dina händer".

II. Upprepning av tidigare studerat material.

- Låt oss komma ihåg huvudpunkterna i det tidigare studerade materialet. För att göra detta kommer vi att slutföra uppgiften "Eliminera det extra ordet."(Glida.)

(Eleven går till I.D. med hjälp av ett sudd tar bort ett extra ord.)

- Höger "Differentiell". Försök att namnge de återstående orden med ett allmänt ord. (Integralkalkyl.)

- Låt oss komma ihåg de viktigaste stadierna och koncepten som är förknippade med integralkalkyl ..

"Matematiskt kluster".

Träning. Återställ luckorna. (Eleven kommer ut och skriver in de ord som behövs med en penna.)

– Vi kommer att få höra ett sammandrag om tillämpningen av integraler senare.

Arbeta i anteckningsböcker.

- Newton-Leibniz-formeln härleddes av den engelske fysikern Isaac Newton (1643–1727) och den tyske filosofen Gottfried Leibniz (1646–1716). Och detta är inte förvånande, eftersom matematik är det språk som talas av naturen själv.

– Låt oss överväga hur denna formel används för att lösa praktiska uppgifter.

Exempel 1: Beräkna arean av en form avgränsad av linjer

Lösning: Låt oss konstruera grafer för funktioner på koordinatplanet ... Välj området för formen som ska hittas.

III. Att lära sig nytt material.

- Var uppmärksam på skärmen. Vad visas på den första bilden? (Glida) (Bilden visar en platt figur.)

- Vad visas på den andra bilden? Är den här figuren platt? (Glida) (Figuren visar en tredimensionell figur.)

– I rymden, på jorden och i Vardagsliv vi möter inte bara platta figurer, utan också tredimensionella, men hur beräknar man volymen av sådana kroppar? Till exempel volymen av en planet, komet, meteorit, etc.

– De tänker på volym både när man bygger hus och häller vatten från ett kärl till ett annat. Reglerna och teknikerna för att beräkna volymer borde ha uppstått, det är en annan sak hur korrekta och underbyggda de var.

Studentmeddelande. (Vera Tyurina.)

Året 1612 var mycket fruktbart för invånarna i den österrikiska staden Linz, där den berömde astronomen Johannes Kepler bodde på den tiden, särskilt för druvor. Folk förberedde vinfat och ville veta hur man praktiskt kunde bestämma deras volym. (Bild 2)

– Därmed lade Keplers övervägda verk grunden för en hel ström av studier som kulminerade under den sista fjärdedelen av 1600-talet. registrering i verk av I. Newton och G.V. Leibniz differential- och integralkalkyl. Matematiken för storhetsvariabler har intagit en ledande plats i systemet för matematisk kunskap sedan den tiden.

- Idag kommer vi att vara engagerade i sådana praktiska aktiviteter, därför,

Ämnet för vår lektion är "Beräkning av volymerna av revolutionskroppar med hjälp av en bestämd integral". (Glida)

- Du kommer att lära dig definitionen av en revolutionskropp genom att slutföra följande uppgift.

"Labyrint".

Labyrint (grekiska ordet) betyder att gå in i en fängelsehåla. Labyrint - ett intrikat nätverk av stigar, passager, rum som kommunicerar med varandra.

Men definitionen "kraschade", det finns tips i form av pilar.

Träning. Hitta en väg ut ur förvirringen och skriv ner definitionen.

Glida. ”Kartanvisning” Beräkning av volymer.

Med hjälp av en bestämd integral kan man beräkna volymen av en kropp, i synnerhet en rotationskropp.

En rotationskropp är en kropp som erhålls genom att rotera en krökt trapets runt dess bas (fig. 1, 2)

Volymen av rotationskroppen beräknas med hjälp av en av formlerna:

1. runt OX-axeln.

2. om rotationen av den krökta trapetsen runt OS-axeln.

Varje elev får ett instruktionskort. Instruktören betonar huvudpunkterna.

– Läraren förklarar lösningen med exempel på tavlan.

Låt oss överväga ett utdrag ur den berömda sagan av Alexander Pushkin "Sagan om tsar Saltan, hans ärorika och mäktiga hjältes son, prins Gvidon Saltanovich, och den vackra prinsessan Lebed" (Bild 4):

…..
Och tog med sig en budbärare berusad
Samma dag är ordningen följande:
"Kungen beordrar sina bojarer,
Att inte slösa tid
Och drottningen och avkomman
Kasta i hemlighet i vattnets avgrund”.
Det finns inget att göra: pojkar,
Längtar efter suveränen
Och den unga drottningen,
De kom till hennes sovrum i en folkmassa.
De förklarade kungens vilja -
Hon och hennes son har en ond lott,
Läs dekretet högt
Och drottningen i samma timme
De lade min son i en tunna,
Slipade, körde
Och de släppte in det i okiyan -
Detta är vad tsar Saltan beställde.

Vilken volym ska tunnan ha för att passa drottningen och hennes son?

- Tänk på följande uppgifter

1. Hitta volymen av kroppen som erhålls genom att rotera den krökta trapetsen runt ordinataaxeln, avgränsad av linjerna: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Svar: 1163 centimeter 3 .

Hitta volymen av en kropp som erhålls genom att rotera en parabolisk trapets runt abskissaxeln y =, x = 4, y = 0.

IV. Säkra nytt material

Exempel 2. Beräkna volymen av kroppen som bildas av kronbladets rotation runt abskissaxeln y = x 2, y 2 = x.

Låt oss bygga graferna för funktionen. y = x 2, y 2 = x... Schema y2 = x konvertera till formuläret y= .

Vi har V = V 1 - V 2 Låt oss beräkna volymen för varje funktion

- Nu, låt oss ta en titt på tornet för en radiostation i Moskva på Shabolovka, byggt enligt projektet av en underbar rysk ingenjör, hedersakademiker V.G. Shukhov. Den består av delar - revolutionshyperboloider. Dessutom är var och en av dem gjord av rätlinjiga metallstavar som förbinder intilliggande cirklar (fig. 8, 9).

- Tänk på problemet.

Hitta kroppens volym som erhålls genom att rotera hyperbelns bågar runt sin imaginära axel, som visas i fig. 8 var

Valp. enheter

Gruppuppdrag. Eleverna lottar med uppgifter, ritar ritningar på ett Whatman-papper, en av grupprepresentanterna försvarar arbetet.

1:a gruppen.

Träffa! Träffa! Ännu ett slag!
En boll flyger in i grinden - BOLLE!
Och det här är en vattenmelonboll
Grönt, runt, välsmakande.
Se bättre ut - vilken boll!
Den är gjord av samma cirklar.
Skär vattenmelonen i cirklar
Och smaka på dem.

Hitta den volym av kroppen som erhålls genom att rotera funktionen runt OX-axeln, avgränsad

Fel! Bokmärke inte definierat.

- Säg mig, snälla, var möter vi den här figuren?

Hus. uppgift för 1 grupp. CYLINDER (glida) .

"Cylinder - vad är det?" - Jag frågade min pappa.
Fadern skrattade: En hög hatt är en hatt.
För att ha en korrekt uppfattning,
Cylindern är, låt oss säga, en plåtburk.
Ångarrör - cylinder,
Skorstenen på vårt tak också,

Alla rör liknar en cylinder.
Och jag gav ett exempel som detta -
Mitt älskade kalejdoskop
Du kan inte ta blicken från honom
Och ser också ut som en cylinder.

- Träning. Läxan är att rita funktionen och beräkna volymen.

2:a gruppen. KON (glida).

Mamma sa: Och nu
Min berättelse kommer att handla om kotten.
Astrolog med hög hatt
Räknar stjärnor året runt.
CONE - Astrologhatt.
Det är vad han är. Förstått? Det är allt.
Mamma stod vid bordet,
Hon hällde olja på flaskor.
- Var är tratten? Ingen tratt.
Se. Stå inte åt sidan.
- Mamma, jag ger mig inte,
Berätta mer om konen.
– Tratten är i form av en vattenkannas kon.
Kom igen, hitta henne åt mig så snart som möjligt.
Jag kunde inte hitta en tratt,
Men mamma gjorde en påse
Jag vred kartongen runt fingret
Och säkrade den skickligt med ett gem.
Det rinner olja, mamma är glad
Konen kom ut precis vad vi behöver.

Träning. Beräkna volymen av kroppen som erhålls genom rotation runt abskissaxeln

Hus. uppgift för den andra gruppen. PYRAMID(glida).

Jag såg bilden. I denna bild
Det finns en PYRAMID i sandöknen.
Allt i pyramiden är extraordinärt
Det finns något slags mystik och mystik i det.
Ett Spasskaya-torn på Röda torget
Bekant för både barn och vuxna mycket väl.
Du tittar på tornet - ordinärt till utseendet,
Och vad finns på henne? Pyramid!

Träning. Läxa att rita funktionen och beräkna pyramidens volym

– Vi beräknade volymerna för olika kroppar utifrån grundformeln för kroppsvolymer med hjälp av en integral.

Detta är ytterligare en bekräftelse på att en bestämd integral har någon grund för studier av matematik.

- Nåväl, nu ska vi vila lite.

Hitta ett par.

En matematisk dominomelodi spelas.

"Vägen som jag själv letade efter kommer aldrig att glömmas..."

Forskning. Tillämpning av integralen i ekonomi och teknik.

Tester för starka elever och mattefotboll.

Matematisk simulator.

2. Mängden av alla antiderivator av en given funktion kallas

A) en obestämd integral,

B) funktion,

C) differentiering.

7. Hitta volymen av kroppen som erhålls genom att rotera en krökt trapets runt abskissaxeln, avgränsad av linjer:

D/Z. Beräkna volymerna av rotationskroppar.

Reflexion.

Mottagande av reflektion i formen syncwine(fem verser).

1:a raden - ämnesnamn (ett substantiv).

2: a raden - beskrivning av ämnet i två ord, två adjektiv.

3:e raden - beskrivning av åtgärden inom ramen för detta ämne i tre ord.

4:e raden - en fras med fyra ord, visar förhållandet till ämnet (hela meningen).

5:e raden är en synonym som upprepar ämnets kärna.

1. Volym.
2. Definitiv integrerad, integrerbar funktion.
3. Vi bygger, roterar, räknar.
4. Kroppen erhålls genom att rotera en krökt trapets (runt dess bas).
5. Rotationskropp (solid geometrisk kropp).

Produktion (glida).

• En bestämd integral är någon grund för matematikstudier, som ger ett oersättligt bidrag till att lösa problem av praktiskt innehåll.
• Ämnet "Integral" visar tydligt sambandet mellan matematik och fysik, biologi, ekonomi och teknik.
• Utvecklingen av modern vetenskap är otänkbar utan användning av en integral. I detta avseende är det nödvändigt att börja studera det inom ramen för sekundär specialiserad utbildning!

Betygsättning. (Med kommentarer.)

Den store Omar Khayyam är en matematiker, poet, filosof. Han kallar att vara mästare över ditt öde. Vi lyssnar på ett utdrag ur hans verk:

Du kommer att säga att det här livet är ett ögonblick.
Uppskatta henne, hämta inspiration från henne.
När du spenderar det kommer det att gå över.
Glöm inte: hon är din skapelse.