B na Kubi. Gradnja kocke. Od kod prihajajo formule skrajšanega množenja
Vaja je operacija, ki je tesno povezana z množenjem, ta operacija je posledica večkratnega množenja poljubne številke na sebi. Ponudil bom formulo: A1 * A2 * ... * AN \u003d AN.
Na primer, A \u003d 2, N \u003d 3: 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.
Na splošno se razstava pogosto uporablja v različnih formulah v matematiki in fiziki. Ta funkcija ima bolj znanstveno destinacijo kot štirje glavni: dodatek, odštevanje, množenje, delitev.
Erekcijo
Postavitev števila ni zapletena. Povezan je z množenjem, podobnim pomnožkom in dodajanjem. Snemanje je povzetek N-TH, število številk "a" pomnoženo drug drugemu.
Razmislite o vaji v obsegu v najlažji primeri, ki se premikajo na kompleksno.
Na primer, 42. 42 \u003d 4 * 4 \u003d 16. Štiri kvadratne (druge stopnje) je šestnajst. Če ne razumete množenja 4 * 4, nato preberite naše, da postanete razmnoževanje.
Razmislite o drugem primeru: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pet na Kubi (v tretji meri) je enako sto petindvajset.
Drug primer: 9 ^ 3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devet na Kubi je enako sedem sto devetih.
Formule
Ko kompetentno postavite v obsegu, morate zapomniti in poznati spodaj navedene formule. Nič ni nad naravno, glavna stvar je razumeti bistvo in potem ne bodo le spomniti, vendar se bodo zdeli svetlobo.
Postavitev
Kaj predstavlja sami? To je produkt številk in spremenljivk v kateri koli količini. Na primer, dva - nerochene. In to je postavitev takih univerze ta članek.
Izkoriščanje formul za vajo za izračun gradnje univerzalnega do stopnje ne bo težko.
Na primer, (3x ^ 2,3 ^ 3) ^ 2 \u003d 3 ^ 2 * x ^ 2 * 2 * y ^ (3 * 2) \u003d 9x ^ 4,6 ^ 6; Če je do stopnje nezasedeno, je vsak kompozit neveljaven v stopnjo.
Enostavna spremenljivka stopnje že ima diplomo, stopnja se pomnoži. Na primer, (x ^ 2) ^ 3 \u003d x ^ (2 * 3) \u003d x ^ 6;
Negativno
Negativna stopnja - nasprotna številka. Kaj je nasprotna številka? Vsaka številka X bo 1 / X. To je, x-1 \u003d 1 / x. To je bistvo negativne stopnje.
Razmislite o primeru (3Y) ^ - 3:
(3Y) ^ - 3 \u003d 1 / (27Y ^ 3).
Zakaj je to? Ker je stopnja minus do stopnje, se ta izraz preprosto prenese na imenovalca, nato pa se postavi v tretjo stopnjo. Ravno prav?
Prečkajte
Začnimo obravnavati vprašanje na posebnem primeru. 43/2. Kaj počne stopnja 3/2? 3 - Številka, pomeni postavitev števila (v tem primeru 4) v kocki. Številka 2 je imenovalec, ekstrakcija korena druge stopnje izmed (v tem primeru 4).
Potem dobimo kvadratni koren 43 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8. Odgovor: 8.
Torej, imenovalec frakcientne stopnje je lahko, tako 3 in 4 in do neskončnosti po poljubnem številu in ta številka določa stopnjo kvadratnega korena, ekstrahiranega iz določene številke. Seveda, imenovalec ne more biti nič.
Rapid Root.
Če je korenina postavljena v stopnjo, ki je enaka stopnji same korene, potem bo odgovor izraz hranjenje. Na primer, (√H) 2 \u003d x. In tako v vsakem primeru enakost korena in stopnjo gradnje korena.
Če (√x) ^ 4. To (√x) ^ 4 \u003d x ^ 2. Preverjanje odločitve Prenos izraza v izraz z delno stopnjo. Ker je koren trg, je imenovalec 2. in če je koren postavljen v četrto stopnjo, potem števec 4. dobimo 4/2 \u003d 2. Odgovor: X \u003d 2.
V vsakem primeru je najboljša možnost preprosto prenesena na izraz s frakcijsko stopnjo. Če se frakcija ne skrči, bo ta odgovor in bo, pod pogojem, da koren določene številke ni dodeljena.
Korrilstvo v stopnji integriranega števila
Kaj je celovita številka? Kompleksno število je izraz, ki ima formulo A + B * I; A, B - Veljavne številke. I - številka, ki jo številka -1 daje na trgu.
Razmislite o primeru. (2 + 3i) ^ 2.
(2 + 3i) ^ 2 \u003d 22 +2 * 2 * 3i + (3i) ^ 2 \u003d 4 + 12i ^ -9 \u003d -5 + 12i.
Prijavite se za tečaj "Pospešiti ustni račun, ne duševne aritmetike", da se naučite, kako hitro in pravilno zložite, odbijemo, množite, razdelite, postavite številke v kvadrat in celo izločite korenine. Za 30 dni se boste naučili, kako uporabljati preproste tehnike za poenostavitev aritmetičnih operacij. V vsaki lekciji, novih tehnikah, razumljivih primerih in koristnih nalogah.
Na spletu.
S pomočjo našega kalkulatorja lahko izračunate postavitev števila do stopnje:
7. razred
Vaja je začela mimo šolarjev samo v sedmem razredu.
Vaja je operacija, ki je tesno povezana z množenjem, ta operacija je posledica večkratnega množenja poljubne številke na sebi. Ponudil bom formulo: A1 * A2 * ... * AN \u003d AN.
Na primer, a \u003d 2, N \u003d 3: 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.
Primeri za reševanje:
Predstavitev
Predstavitev v obsegu, izračunano na sedmem grederji. Predstavitev lahko pojasni nekaj nerazumljivih trenutkov, vendar verjetno ne bo takih trenutkov zaradi našega članka.
Izid
Pregledali smo le vrh ledene gore, da bi bolje razumeli matematiko - Prijavite se za naš tečaj: Pospešiti ustni račun ni duševno aritmetiko.
Od tečaja ne boste pravzaprav prepoznali na desetine tehnik za poenostavljeno in hitro razmnoževanje, dodajanje, množenje, delitve, izračunavanje obresti, temveč jih delamo tudi v posebnih nalogah in izobraževalnih igrah! Ustni račun zahteva tudi veliko pozornosti in koncentracij, ki se aktivno usposobijo pri reševanju zanimivih nalog.
Matematični izrazi (formule) skrajšana multiplikacija (Kvadratne količine in razlike, količine kocke in razlike, razlika na kvadratov, znesek in razlika kocke) so izjemno zamenjana na številnih področjih natančnih znanosti. Ti 7 znakovnih posnetkov se ne nadomestijo s poenostavitvijo izrazov, reševanja enačb, z množenjem polinomov, zmanjšanjem frakcij, reševanja integralov in mnogih drugih stvari. Zato bo zelo koristno ugotoviti, kako so pridobljeni, za katere so potrebni, in kar je najpomembnejše, kako jih zapomniti in nato uporabiti. Nato se prijavite formule skrajšane razmnoženosti V praksi bo najtežje videti, kaj je H.in kaj je u. Očitno ni omejitev za a. in b.ne, kar pomeni, da je lahko kakršne koli številske ali črke izraze.
In tako tukaj:
Najprej x 2. - U 2. \u003d (x - y) (x + y) . Za izračun kvadratna razlika Dva izraza morata razmnožiti razliko med temi izrazi na svojih zneskov.
Drugič (x + y) 2 \u003d x 2. + 2h + v 2 . Najti kvadratnega zneska Na kvadrat prvega izraza je treba dodati dva izraza, da dodate dvojni produkt prvega izraza na drugi plus kvadrat drugega izraza.
Tretjič (x - y) 2 \u003d x 2. - 2h + v 2. Izračunati kvadratna razlikadva izraza sta potrebna od kvadrata prvega izraza, da odvzame dvojni produkt prvega izraza na drugi plus kvadrat drugega izraza.
Četrtič (x + y) 3 \u003d x 3. + 3x 2 y + 3h 2 + 3. Izračunati kockana Kubo prvega izraza je treba dodati dva izraza, da dodamo potrojila delo kvadrat prvega izraza na drugi plus tripled produkt prvega izraza na kvadratu plus kocka drugega izraza.
Peto (x - y) 3 \u003d x 3. - 3x 2 y + 3h 2 - 3.. Izračunati cube razlikadva izraza je potrebna od prve ekspresijske kocke, da se s trebutim delom prvega izraza na drugi plus trold produkt prvega izraza na drugi minus kocki drugega izraza.
Šest x 3. + 3. \u003d (x + y) (x 2) - HU + U 2) Izračunati količino kockdva izraza morata pomnožiti zneske prvega in drugega izraza na nepopolnem kvadratu razlike teh izrazov.
Sedmi x 3. - 3. \u003d (x - y) (x 2) + HU + U 2) Za izračun kubične razlikedva izraza morata razmnožiti razliko med prvim in drugim izrazom na nepopolnem kvadratu vsote teh izrazov.
Ni težko zapomniti, da se vse formule uporabljajo za delo izračunov in v nasprotni smeri (desno na levo).
Pred približno 4 tisoč leti o obstoju teh vzorcev. Prebivalci starodavnega Babilona in Egipta so se pogosto uporabljali. Toda v teh epojah so izrazili verbalno ali geometrično in med izračuni niso uporabili črk.
Razumeli bomo dokaz kvadratnega summa(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2.
Najprej to matematični vzorec Dokazala se je za starodavni grški znanstveni evklic, ki je delal v Aleksandriji v III Century BC, je uporabil geometrični način za Evof formulo, saj znanstveniki starodavne Ellala niso uporabili pisem za določitev številk. Bili so univerzalno uporabljeni ne "A 2", ampak "kvadrat na segmentu", ne "AB", ampak "pravokotnik, sklenjen med segmenti A in B".
V prejšnji lekciji smo se ukvarjali z razgradnjo multiplikatorjev. Obvladani sta bili dva načina: oblikovanje skupnega dejavnika za oklepaje in združevanje. V tej lekciji - naslednji močan način: formule skrajšane razmnoženosti. V kratkem zapisu - FSU.
Formule okrajšanega množenja (kvadrat vsote in razlike, kocka zneskov in razlika, razlika na kvadratov, vsota in razlika kocke) so izjemno potrebni v vseh delih matematike. Uporabljajo se pri poenostavitvi izrazov, reševanju enačb, množenja polinomov, zmanjšanje frakcij, reševanje integralov itd. itd. Skratka, obstaja vsak razlog za njihovo obravnavo. Da bi razumeli, kako so sprejeti, zakaj so potrebni, kako jih zapomniti in kako se uporabljati.
Razumemo?)
Od kod prihajajo skrajšane multiplikacijske formule?
Enakost 6 in 7 niso napisana zelo znana. Kot nasprotno. To je posebej.) Vsaka enakost deluje tako od leve proti desni in desno na levo. V takem zapisu je jasno, kje prihaja FSU.
Odvzete se iz množenja.) Na primer:
(A + B) 2 \u003d (A + B) (A + B) \u003d A 2 + AB + BA + B 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2
To je vse, brez znanstvenih trikov. Samo spremenite oklepaje in jih dajte. Zato se izkaže vse formule skrajšane množenja. Skrajšano Množenje je zato, ker v formulah sami ni razmnoževanja oklepajev in podobno. Zmanjšanje.) Takoj glede na rezultat.
FSU mora vedeti s srcem. Brez prvih treh, ne morete sanjati o trojke, brez počitka - približno četrto s pet.)
Zakaj potrebujejo formule skrajšane množenja?
Obstajata dva razloga, naučiti se, tudi da bi dobili te formule. Prvi - končni odgovor na stroju močno zmanjšuje število napak. Toda to ni glavni razlog. Toda drugi ...
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Dostopajte se lahko pri reševanju primerov in izvedite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Naučite se - z obrestmi!)
Seznanite se lahko z značilnostmi in derivati.
Formule ali skrajšana untiplikacijska pravila se uporabljajo v aritmetičnih, ali pa - v algebri, za hitrejši proces izračuna velikih algebrskih izrazov. Formule sami so pridobljeni iz pravil, ki obstajajo v algebri, da množijo več polinomov.
Uporaba teh formul zagotavlja dokaj operativno rešitev različnih matematičnih nalog, prav tako pa pomaga poenostaviti izraze. Pravila algebrskih transformacij vam omogočajo, da izvedete nekatere manipulacije z izrazi, po katerih je mogoče v levem delu enakosti v levem delu enakosti pridobiti izraz na desni strani ali za pretvorbo desnega dela enakosti (za pridobitev izraz, ki stoji na levi strani po znaku enakosti).
To je priročno vedeti formule, ki se uporabljajo za skrajšane množenje, kot tudi, da se pogosto uporabljajo pri reševanju problemov in enačb. Spodaj so osnovne formule, vključene na ta seznam in njihovo ime.
Kvadratnega zneska
Da bi izračunali kvadrat zneska, je treba najti znesek, ki ga sestavljajo kvadrat prvega izraza, je podvojil izdelek prvega mandata na drugi in kvadrat drugega. V obliki izražanja je to pravilo napisano na naslednji način: (A + C) ² \u003d A² + 2as + C².
Kvadratna razlika
Za izračun kvadratnosti razlike je treba izračunati znesek, ki je sestavljen iz kvadrata prve številke dvakrat na prvo številko na drugo (vzeto z nasprotnim znakom) in kvadrat druge številke. V obliki izražanja je to pravilo naslednje: (a - c) ² \u003d a² - 2as + c².
Kvadratne razlike
Formula za razliko med dvema številkama, postavljena na kvadrat, je enaka količini vsote teh številk na njihovi razliki. V obliki izražanja je to pravilo naslednje: a² - C² \u003d (A + C) · (A - C).
Kocka
Da bi izračunali kocko vsote obeh komponent, je treba izračunati znesek, ki ga sestavlja kocka prvega izraza, potrojila delo kvadrat prvega mandata in drugega, potrojila proizvod prvega mandata in drugi na trgu, kot tudi kocka drugega mandata. V obliki izražanja je to pravilo naslednje: (A + C) ³ \u003d A³ + 3A² + 3AS² + C³.
Količino kock
Po formuli je enaka količini zneska pogojev sestavnih delov na njihovem nepopolnem kvadratu razlike. V obliki izražanja je to pravilo naslednje: A³ + C³ \u003d (A + C) · (A² - AC + C²).
Primer. Treba je izračunati volumen oblike, ki se oblikuje z dodajanjem dveh kockov. Znano je tudi le vrednote svojih strank.
Če so vrednosti strank majhne, \u200b\u200bnato izvedejo izračune preprosto.
Če je dolžina strank izražena v obsežnih številkah, potem je v tem primeru lažje uporabljati "količino kocke" formule, ki bo bistveno poenostavila izračune.
Cube razlika
Izraz za kubično razliko, kot je ta: kot vsota tretje stopnje prvega izraza, potrojila negativno delo kvadrat prvega člana na drugi, potrojila delo prvega člana na kvadrat druge in negativne kocka drugega mandata. V obliki matematičnega izraza je razlika kocke, kot je ta: (A - C) ³ \u003d A³ - 3A² + 3AS² - C³.
Kubične razlike
Fubeska razlika formula se razlikuje od količine kock le en znak. Tako je razlika kocke je formula, ki je enaka proizvodu razlike podatkov med nepopolno kvadratno vsoto. Razlika kockov je naslednja: A 3 - od 3 \u003d (A-C) (in 2 + AC + C2).
Primer. Treba je izračunati volumen slike, ki bo ostal po odštevanju prostornine modre kocke rumene osnutka rumene barve, ki je tudi kocka. Znana je le obseg strani majhne in velike kocke.
Če so vrednosti strank majhne, \u200b\u200bso izračuni precej preprosti. In če so dolžine strank izražene v pomembnih številkah, je treba uporabiti formulo z naslovom "Razlike kock" (ali "kocka razlike"), ki bo bistveno poenostavila izračune.
Tri napake, od katerih je vsaka enaka x. (DisplayStyle X.) To aritmetično operacijo se imenuje "Erekcija na kocki", njegov rezultat je označen x 3 (DisplayStyle X ^ (3)):
X 3 \u003d X ⋅ X ⋅ X (DisplayStyle X ^ (3) \u003d X CDOT X CDOT X)Za izgradnjo obratovanja kocke je ekstrakcija kubične korena. Geometrijsko ime tretje stopnje " cubic."Je posledica dejstva, da so starinski matematiki šteli za kocke kot kubične številke, posebne vrste številk (glej spodaj), od seznama številk X (DisplayStyle X) enaka prostornini kocke z dolžino rebra X (DisplayStyle X).
Zaporedje CUBE.
, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…Najprej količina kock N (displaystyle n) Pozitivne naravne številke se izračunajo s formulo:
Σ i \u003d 1 NI 3 \u003d 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + N 3 \u003d (N (N + 1) 2) 2 (disststyle sum _ (i \u003d 1) ^ (n) i ^ (3) \u003d 1 ^ (3) + 2 ^ (3) + 3 ^ (3) + LDots + N ^ (3) \u003d levo (((Frac (N (N + 1)) (2)) Desno) ^ (2))Umik s formulo
Količino kockov se lahko prikaže z množenjem tabele in vsoto vsote aritmetičnega napredovanja. Glede na ilustracijo metode, dve množični tabeli 5 × 5, izvedite utemeljitev za tabele n × n.
|
|
Količina številk v K-OH (K \u003d 1,2, ...) Izbrana površina prve tabele:
K 2 + 2 K Σ l \u003d 1 K - 1 L \u003d K 2 + 2 kk (K - 1) 2 \u003d K 3 (Displaystyle K ^ (2) + 2k SUM _ (L \u003d 1) ^ (K- 1) L \u003d K ^ (2) + 2k (Frac (K (K - 1)) (2)) \u003d K ^ (3))In vsota številk v K-OH (K \u003d 1,2, ...) Izbrano območje druge tabele, ki je aritmetični napredek:
k σ l \u003d 1 n l \u003d k (n + 1) 2 (displaystyle k) _ (l \u003d 1) ^ (n) l \u003d k (frac (n (n (n + 1)) (2))Če povzemo vsa izbrana področja prve mize, dobimo enako številko, saj seštevamo na vseh izbranih področjih druge tabele:
Σ K \u003d 1 NK 3 \u003d Σ K \u003d 1 NKN (N + 1) 2 \u003d N (N + 1) 2 σ K \u003d 1 NK \u003d (N (N + 1) 2) 2 (DisplayStyle SUM _ (K \u003d 1) ^ (N) K ^ (3) \u003d SUM _ (K \u003d 1) ^ (N) K (FRAC (N (N + 1)) (2)) \u003d (Frac (N (N + 1)) (2)) SUM _ (K \u003d 1) ^ (N) K \u003d levo (((FRAC (N (N (N + 1)) (2)) Desno) ^ (2))Nekatere lastnosti
- V decimalni evidenci lahko kocka konča na katero koli številko (za razliko od trga)
- V decimalni rekordi sta lahko dve zadnji kocki 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 19, 21, 23, 29, 29, 21, 23, 29, 32 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 52, 53, 51, 52, 59, 61, 51, 52, 53, 61, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Odvisnost predzadnje številke kocke iz slednjega je lahko predstavljena kot naslednja tabela:
Kuba kot kodrasti številke
"Kubična številka" Q n \u003d n 3 (displaystyle q_ (n) \u003d n ^ (3)) Zgodovinsko gledano je bilo štelo za različne številke prostorskih številk. Lahko je predstavljena kot razlika na trgih zaporednih trikotnih števil. T n (displaystyle t_ (n)):
Q n \u003d (t n) 2 - (t n - 1) 2, n ⩾ 2 (displaystyle q_ (n) \u003d (t_ (n)) ^ (2) - (t_ (n - 1)) ^ (2), n geqslant 2) Q 1 + Q 2 + q 3 + ⋯ + q n \u003d (t n) 2 (disststyle q_ (1) + q_ (2) + q_ (3) + pit + q_ (n) \u003d (t_ (n)) ^ (2))Razlika med dvema sosednjima kubičnima številkama je centrirana šesterokotna številka.
Izraz kubične številke skozi tetraedral Π N (3) (DisplayStyle PI _ (N) ^ ((3)).
