Ustvarjanje

Poiščite površino romba s formulo prijavite se s. Štiri formule, s katerimi lahko izračunamo površino romba. Lastnosti romba. Formule ploščine trapeza

Matematika je šolski predmet, ki se ga učijo vsi, ne glede na razredni profil. Vendar pa ni vsem najljubša. Včasih nezasluženo. Ta veda učence nenehno postavlja pred izzive, ki omogočajo razvoj njihovih možganov. Matematika je odlična naloga pri ohranjanju otrokovih miselnih sposobnosti. Eden od njegovih razdelkov se s tem še posebej dobro spopada - geometrija.

Vsaka tema, ki se v njej preučuje, je vredna pozornosti in spoštovanja. Geometrija je način za razvoj prostorske domišljije. Primer je tema o območjih oblik, zlasti rombov. Te uganke lahko vodijo v slepo ulico, če ne razumete podrobnosti. Ker so možni različni pristopi k iskanju odgovora. Nekateri si lažje zapomnijo različne različice formul, ki so zapisane spodaj, drugi pa jih znajo pridobiti sami iz že naučenega gradiva. Vsekakor pa brezizhodnih situacij ni. Če malo razmislite, boste zagotovo našli rešitev.

Na to vprašanje je treba odgovoriti, da bi razumeli principe pridobivanja formul in potek sklepanja v problemih. Konec koncev, da bi razumeli, kako najti območje romba, morate jasno razumeti, kakšna je figura in kakšne so njene lastnosti.

Za udobje obravnave paralelograma, ki je štirikotnik s parno vzporednimi stranicami, ga bomo vzeli kot "starša". Ima dva "otroka": pravokotnik in romb. Oba sta paralelograma. Če nadaljujemo vzporednice, potem je to »priimek«. To pomeni, da lahko za iskanje območja romba uporabite že preučeno formulo za paralelogram.

A kot vsi otroci ima tudi romb nekaj svojega. Zaradi tega se nekoliko razlikuje od "starša" in omogoča, da se nanj gleda kot na ločeno figuro. Navsezadnje pravokotnik ni romb. Če se vrnem k vzporednicam – sta kot brat in sestra. Imata veliko skupnega, a sta si vseeno različna. Te razlike so njihove posebne lastnosti, ki jih je treba uporabiti. Čudno bi bilo vedeti zanje in jih ne uporabiti pri reševanju problemov.

Če nadaljujemo analogijo in se spomnimo še ene figure - kvadrata, potem bo to nadaljevanje romba in pravokotnika. Ta številka združuje vse lastnosti obeh.

Lastnosti romba

Pet jih je in so navedeni spodaj. Poleg tega nekateri od njih ponavljajo lastnosti paralelograma, nekateri pa so lastni samo zadevni sliki.

Romb je paralelogram, ki je dobil posebno obliko. Iz tega sledi, da sta njegovi stranici po parih vzporedni in enaki. Poleg tega v parih niso enaki, toda to je vse. Kot bi bilo za kvadrat.
Diagonali tega štirikotnika se sekata pod kotom 90º. To je priročno in močno poenostavi potek sklepanja pri reševanju problemov.
Druga lastnost diagonal: vsaka od njih je razdeljena s točko presečišča na enake segmente.
Kota te figure, ki ležita drug nasproti drugega, sta enaka.
In zadnja lastnost: diagonale romba sovpadajo s simetralami kotov.

Oznake, sprejete v obravnavanih formulah

Pri matematiki rešujete probleme z uporabo običajnih črkovnih izrazov, imenovanih formule. Tema o kvadratih ni izjema.

Če želite preiti na opombe, ki vam bodo povedale, kako najti območje romba, se morate dogovoriti o črkah, ki nadomestijo vse številske vrednosti elementov figure.

Zdaj je čas, da napišemo formule.

Podatki o problemu vključujejo samo diagonale romba

Pravilo pravi, da morate za iskanje neznane količine pomnožiti dolžine diagonal in nato produkt razdeliti na pol. Rezultat delitve je območje romba skozi diagonale.

Formula za ta primer bo videti takole:

Naj bo ta formula številka 1.

Naloga podaja stranico romba in njegovo višino

Če želite izračunati površino, boste morali najti zmnožek teh dveh količin. To je morda najpreprostejša formula. Poleg tega je znano tudi iz teme o ploščini paralelograma. Takšno formulo so tam že preučevali.

Matematični zapis:

Številka te formule je 2.

Znana stranica in ostri kot

V tem primeru morate kvadrirati velikost stranice romba. Nato poiščite sinus kota. In s tretjim dejanjem izračunajte zmnožek obeh dobljenih količin. Odgovor bo območje romba.

Dobesedni izraz:

Njegova serijska številka je 3.

Dani količini: polmer včrtanega kroga in ostri kot

Če želite izračunati površino romba, morate najti kvadrat polmera in ga pomnožiti s 4. Določite vrednost sinusa kota. Nato izdelek razdelite na drugo količino.

Formula ima naslednjo obliko:

Nosil bo številko 4.

Problem vključuje stranico in polmer včrtanega kroga

Če želite ugotoviti, kako najti površino romba, boste morali izračunati produkt teh količin in številke 2.

Formula za to težavo bo videti takole:

Njegova serijska številka je 5.

Primeri možnih nalog

Problem 1

Ena od diagonal romba je 8 cm, druga pa 14 cm, najti morate površino figure in dolžino njene stranice.

rešitev

Če želite najti prvo količino, boste potrebovali formulo 1, v kateri je D 1 = 8, D 2 = 14. Nato se površina izračuna na naslednji način: (8 * 14) / 2 = 56 (cm 2).

Diagonale delijo romb na 4 trikotnike. Vsak od njih bo zagotovo pravokoten. To je treba uporabiti za določitev vrednosti druge neznanke. Stranica romba bo postala hipotenuza trikotnika, noge pa bodo polovice diagonal.

Potem je a 2 = (D 1 /2) 2 + (D 2 /2) 2. Po zamenjavi vseh vrednosti dobimo: a 2 = (8 / 2) 2 + (14 / 2) 2 = 16 + 49 = 65. Toda to je kvadrat stranice. To pomeni, da moramo vzeti kvadratni koren iz 65. Potem bo dolžina stranice približno 8,06 cm.

Odgovor: ploščina je 56 cm2, stranica pa 8,06 cm.

Problem 2

Stranica romba ima vrednost 5,5 dm, njegova višina pa 3,5 dm. Poiščite območje figure.

rešitev

Da bi našli odgovor, boste potrebovali formulo 2. V njej je a = 5,5, H = 3,5. Nato z zamenjavo črk v formuli s številkami ugotovimo, da je želena vrednost 5,5 * 3,5 = 19,25 (dm 2).

Odgovor: Ploščina romba je 19,25 dm2.

Problem 3

Ostri kot določenega romba je 60°, njegova manjša diagonala pa 12 cm, izračunati morate njegovo ploščino.

rešitev

Da bi dobili rezultat, boste potrebovali formulo številka 3. V njej namesto A bo 60 in vrednost A neznano.

Če želite najti stran romba, se morate spomniti sinusnega izreka. V pravokotnem trikotniku A bo hipotenuza, krajši krak je enak polovici diagonale, kot pa je razdeljen na pol (znano iz lastnosti, kjer je omenjena simetrala).

Potem stran A bo enak zmnožku kraka in sinusa kota.

Krak je treba izračunati kot D/2 = 12/2 = 6 (cm). Sinus (A/2) bo enak njegovi vrednosti za kot 30º, to je 1/2.

Po izvedbi preprostih izračunov dobimo naslednjo vrednost za stranico romba: a = 3 (cm).

Zdaj je ploščina produkt 3 2 in sinusa 60º, to je 9 * (√3)/2 = (9√3)/2 (cm 2).

Odgovor: zahtevana vrednost je (9√3)/2 cm 2.

Rezultati: vse je mogoče

Tukaj smo pogledali nekaj možnosti, kako najti območje romba. Če v problemu ni neposredno jasno, katero formulo uporabiti, potem morate malo razmisliti in poskusiti povezati predhodno preučene teme. V drugih temah bo zagotovo namig, ki bo pomagal povezati znane količine s tistimi v formulah. In problem bo rešen. Glavna stvar je vedeti, da je vse, kar ste se prej naučili, mogoče in treba uporabiti.

Poleg predlaganih nalog so možne tudi obratne težave, pri uporabi območja figure morate izračunati vrednost nekega elementa romba. Nato morate uporabiti enačbo, ki je najbližja pogoju. In nato transformirajte formulo, pri čemer pustite neznano količino na levi strani enakosti.

Romb je posebna figura v geometriji. Zahvaljujoč njegovim posebnim lastnostim ni mogoče uporabiti ene, ampak več formul za izračun površine romba. Katere so te lastnosti in katere so najpogostejše formule za iskanje območja te figure? Ugotovimo.

Kateri geometrijski lik imenujemo romb?

Preden ugotovite, kakšna je površina romba, je vredno ugotoviti, za kakšno figuro gre.

Od časa evklidske geometrije je romb simetričen štirikotnik, katerega vse štiri stranice so enako dolge in v parih vzporedne.

Izvor pojma

Ime te figure je v večino sodobnih jezikov prišlo iz grščine s posredovanjem latinščine. "Prednik" besede "romb" je bil grški samostalnik ῥόμβος (tamburin). Čeprav si jih prebivalci dvajsetega stoletja, navajeni okroglih tamburin, težko predstavljajo v kakršni koli drugi obliki, med Heleni ta glasbila tradicionalno niso bila okrogla, ampak v obliki diamanta.

V večini sodobnih jezikov se ta matematični izraz uporablja kot v latinščini: rombus. Vendar se v angleščini rombom včasih reče diamant (diamant ali diamant). Ta figura je dobila ta vzdevek zaradi svoje posebne oblike, ki spominja na dragi kamen. Praviloma se podoben izraz ne uporablja za vse rombove, ampak samo za tiste, pri katerih je kot presečišča njegovih dveh strani enak šestdeset ali petinštirideset stopinj.

Ta številka je bila prvič omenjena v delih grškega matematika, ki je živel v prvem stoletju nove dobe - Heron iz Aleksandrije.

Kakšne lastnosti ima ta geometrijski lik?

Če želite najti območje romba, morate najprej vedeti, katere značilnosti ima ta geometrijska figura.

Pod katerimi pogoji je paralelogram romb?

Kot veste, je vsak romb paralelogram, ni pa vsak paralelogram romb. Da bi natančno ugotovili, da je predstavljena figura res romb in ne preprost paralelogram, mora ustrezati eni od treh glavnih značilnosti, ki razlikujejo romb. Ali vse tri hkrati.

Diagonali paralelograma se sekata pod kotom devetdeset stopinj.
Diagonale delijo kote na dvoje in delujejo kot njihove simetrale.
Ne le vzporedne, tudi sosednje stranice imajo enako dolžino. Mimogrede, to je ena glavnih razlik med rombom in paralelogramom, saj ima druga figura samo vzporedne stranice, ki so enake po dolžini, ne pa tudi sosednjih.

Pod katerimi pogoji je romb kvadrat?

Glede na svoje lastnosti lahko v nekaterih primerih romb hkrati postane kvadrat. Za jasno potrditev te trditve preprosto zavrtite kvadrat v katero koli smer za petinštirideset stopinj. Nastala številka bo romb, katerega vsak kot je enak devetdeset stopinj.

Da bi potrdili, da je kvadrat romb, lahko primerjate značilnosti teh figur: v obeh primerih so vse strani enake, diagonale pa so simetrale in se sekajo pod kotom devetdeset stopinj.

Kako ugotoviti območje romba s pomočjo njegovih diagonal

V sodobnem svetu lahko na internetu najdete skoraj vse materiale za izvedbo potrebnih izračunov. Tako obstaja veliko virov, opremljenih s programi za samodejno izračunavanje površine določene figure. Poleg tega, če (kot v primeru romba) obstaja več formul za to, potem je mogoče izbrati, katera je najprimernejša za uporabo. Vendar pa morate najprej znati sami izračunati površino romba brez pomoči računalnika in krmariti po formulah. Za romb jih je veliko, najbolj znani pa so štirje.

Eden najpreprostejših in najpogostejših načinov, kako ugotoviti območje te figure, je, če imate informacije o dolžini njenih diagonal. Če ima težava te podatke, lahko za iskanje površine uporabite naslednjo formulo: S = KM x LN/2 (KM in LN sta diagonali romba KLMN).

Zanesljivost te formule lahko preverite v praksi. Recimo, da ima romb KLMN dolžino ene svoje diagonale KM - 10 cm, druge LN pa 8 cm. Nato te podatke nadomestimo v zgornjo formulo in dobimo naslednji rezultat: S = 10 x 8/ 2 = 40 cm 2.

Formula za izračun površine paralelograma

Obstaja še ena formula. Kot je navedeno zgoraj v definiciji romba, to ni le štirikotnik, ampak tudi paralelogram in ima vse značilnosti te figure. V tem primeru je za iskanje njegove ploščine zelo priporočljivo uporabiti formulo, ki se uporablja za paralelogram: S = KL x Z. V tem primeru je KL dolžina stranice paralelograma (romba), Z pa je dolžina višine, narisana na to stran.

Pri nekaterih nalogah dolžina stranice ni podana, pozna pa se obseg romba. Ker je bila formula za iskanje navedena zgoraj, jo lahko uporabite, da ugotovite dolžino stranice. Torej, obseg figure je 10 cm, dolžino stranice lahko najdete tako, da obrnete formulo oboda in delite 10 s 4. Rezultat bo 2,5 cm - to je želena dolžina stranice romba.

Zdaj je vredno poskusiti to številko nadomestiti s formulo, saj vemo, da je dolžina višine, narisane na stran, enaka tudi 2,5 cm. Zdaj pa poskusimo te vrednosti vnesti v zgornjo formulo za površino a paralelogram. Izkazalo se je, da je površina romba S = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm 2.

Drugi načini za izračun površine romba

Tisti, ki so že obvladali sinuse in kosinuse, lahko uporabijo formule, ki jih vsebujejo, da bi našli območje romba. Klasičen primer je naslednja formula: S = KM 2 x Sin KLM. V tem primeru je površina slike enaka produktu obeh strani romba, pomnoženega s sinusom kota med njima. In ker so vse stranice v rombu enake, je eno stran lažje takoj kvadrirati, kot je prikazano v formuli.

To shemo preverjamo v praksi in ne samo za romb, ampak za kvadrat, ki ima, kot veste, vse prave kote, kar pomeni, da so enaki devetdeset stopinj. Recimo, da je ena od stranic 15 cm, znano je tudi, da je sinus kota 90° enak ena. Potem je po formuli S = 15 x 15 x Sin 90° = 255x1 = 255 cm 2.

Poleg zgoraj navedenega se v nekaterih primerih uporablja še ena formula, ki uporablja sinus za določitev površine romba: S = 4 x R 2 / Sin KLM. V tej izvedbi se uporablja polmer kroga, vpisanega v romb. Dvignemo ga na potenco kvadrata in pomnožimo s štiri. In celoten rezultat je deljen s sinusom kota, ki je najbližje vpisani sliki.

Kot primer, za enostavnost izračunov, ponovno vzemimo kvadrat (sinus njegovega kota bo vedno enak ena). Polmer kroga, vpisanega v njem, je 4,4 cm, nato pa se površina romba izračuna na naslednji način: S = 4 x 4,4 2 / Sin 90 ° = 77,44 cm 2

Zgornje formule za iskanje polmera romba še zdaleč niso edine te vrste, vendar jih je najlažje razumeti in izvesti izračune.

je paralelogram, v katerem so vse stranice enake, potem zanj veljajo vse iste formule kot za paralelogram, vključno s formulo za iskanje ploščine skozi produkt višine in stranic.

Območje romba lahko najdete tako, da poznate tudi njegove diagonale. Diagonale delijo romb na štiri popolnoma enake pravokotne trikotnike. Če jih razvrstimo tako, da dobimo pravokotnik, bosta njegova dolžina in širina enaki eni celi diagonali in polovici druge diagonale. Zato območje romba najdemo tako, da pomnožimo diagonale romba, zmanjšane za dva (kot območje nastalega pravokotnika).

Če imate na voljo samo kot in stranico, potem lahko diagonalo uporabite kot pomočnika in jo narišete nasproti znanega kota. Nato bo romb razdelil na dva skladna trikotnika, katerih ploščini se bosta sešteli, da bi dobili ploščino romba. Površina vsakega od trikotnikov bo enaka polovici produkta kvadrata stranice in sinusa znanega kota, kot je površina enakokrakega trikotnika. Ker obstajata dva taka trikotnika, se koeficienti zmanjšajo, tako da ostane samo stranica na drugo potenco in sinus:

Če v romb vpišete krog, se njegov polmer nanaša na stranico pod kotom 90°, kar pomeni, da bo dvakratni polmer enak višini romba. Če nadomestimo višino h=2r v prejšnji formuli, dobimo površino S=ha=2ra

Če skupaj s polmerom včrtanega kroga ni podana stran, ampak kot, potem morate najprej najti stran tako, da narišete višino tako, da dobite pravokotni trikotnik z danim kotom. Potem lahko stran a najdemo iz trigonometričnih relacij z uporabo formule . Če nadomestimo ta izraz v isto standardno formulo za območje romba, dobimo

Romb (iz starogrškega ῥόμβος in iz latinskega rombusa "tamburin") je paralelogram, za katerega je značilna prisotnost stranic enake dolžine. Ko sta kota 90 stopinj (ali pravi kot), se tak geometrijski lik imenuje kvadrat. Romb je geometrijski lik, vrsta štirikotnika. Lahko je tako kvadrat kot paralelogram.

Izvor tega izraza

Pogovorimo se malo o zgodovini te figure, ki nam bo pomagala odkriti malo skrivnostnih skrivnosti starodavnega sveta. Nam znana beseda, ki jo pogosto najdemo v šolski literaturi, "romb", izvira iz starogrške besede "tambourine". V stari Grčiji so ta glasbila izdelovali v obliki diamanta ali kvadrata (v nasprotju s sodobnimi napravami). Zagotovo ste opazili, da ima barva karte - diamanti - rombično obliko. Oblikovanje te obleke sega v čase, ko se okrogli diamanti niso uporabljali v vsakdanjem življenju. Posledično je romb najstarejša zgodovinska figura, ki jo je človeštvo izumilo že dolgo pred pojavom kolesa.

Prvič so takšno besedo kot "romb" uporabile tako znane osebnosti, kot sta Heron in aleksandrijski papež.

Lastnosti romba

Ker sta si stranici romba nasproti in sta v parih vzporedni, je romb nedvomno paralelogram (AB || CD, AD || BC).
Rombske diagonale se sekajo pravokotno (AC ⊥ BD), zato so pravokotne. Zato presečišče razpolavlja diagonali.
Simetrale rombskih kotov so diagonale romba (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD itd.).
Iz identitete paralelogramov sledi, da je vsota vseh kvadratov diagonal romba število kvadrata stranice, ki se pomnoži s 4.

Znaki diamanta

Romb je paralelogram, če izpolnjuje naslednje pogoje:

Vse stranice paralelograma so enake.
Diagonali romba sekata pod pravim kotom, to pomeni, da sta med seboj pravokotni (AC⊥BD). To dokazuje pravilo treh strani (stranici sta enaki in pod kotom 90 stopinj).
Diagonale paralelograma enakomerno delijo kote, ker sta stranici enaki.

Območje romba

Površina romba je enaka številu, ki je polovica produkta vseh njegovih diagonal.
Ker je romb neke vrste paralelogram, je ploščina romba (S) zmnožek stranice paralelograma in njegove višine (h).
Poleg tega je mogoče površino romba izračunati s formulo, ki je produkt kvadrata stranice romba in sinusa kota. Sinus kota je alfa - kot med stranicama prvotnega romba.
Formula, ki je zmnožek dvakratnega kota alfa in polmera včrtanega kroga (r), velja za povsem sprejemljivo za pravilno rešitev.

Kaj je Rhombus? Romb je paralelogram, v katerem so vse stranice enake.

ROMB, lik na ravnini, štirikotnik z enakimi stranicami. Romb je poseben primer PARALELELOGRAMA, pri katerem sta bodisi dve sosednji stranici enaki bodisi se diagonali sekata pod pravim kotom ali pa diagonala razpolovi kot. Romb s pravimi koti se imenuje kvadrat.

Klasična formula za površino romba je izračun vrednosti skozi višino. Ploščina romba je enaka zmnožku stranice in na to stran narisane višine.

1. Območje romba je enako zmnožku stranice in višine, narisane na to stran:

\[ S = a \cdot h \]

2. Če je stran romba znana (vse stranice romba so enake) in kot med stranicama, potem lahko območje najdete z naslednjo formulo:

\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]

3. Območje romba je prav tako enako polovičnemu produktu diagonal, to je:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Če sta znana polmer r kroga, vpisanega v romb, in stran romba a, se njegova površina izračuna po formuli:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Lastnosti romba

Na zgornji sliki je \(ABCD\) romb, \(AC = DB = CD = AD\) . Ker je romb paralelogram, ima vse lastnosti paralelograma, obstajajo pa tudi lastnosti, ki so lastne samo rombu.

Krog lahko vstavite v katerikoli romb. Središče kroga, včrtanega v romb, je presečišče njegovih diagonal. Polmer kroga enaka polovici višine romba:

\[ r = \frac( AH )(2) \]