Príklady vierohodných a nemožných udalostí. Sami si vymyslite dve spoľahlivé, náhodné a nemožné udalosti. Pár informácií z kombinatoriky
Udalosť je výsledkom testu. čo je udalosť? Z urny sa náhodne vyberie jedna loptička. Vybratie lopty z urny je skúška. Vzhľad lopty určitej farby je udalosťou. Udalosť sa v teórii pravdepodobnosti chápe ako niečo, o čom možno po určitom časovom okamihu povedať len jednu z dvoch vecí. Áno, stalo sa. Nie, nestalo sa. Možný výsledok experimentu sa nazýva elementárna udalosť a mnohé takéto výsledky sa nazývajú jednoducho udalosť.
Nepredvídateľné udalosti sa nazývajú náhodné udalosti. Udalosť sa nazýva náhodná, ak sa za rovnakých podmienok môže alebo nemusí stať. Keď sa hodí kockou, padne šestka. Mám žreb do lotérie. Po zverejnení výsledkov žrebovania sa udalosť, ktorá ma zaujíma - výhra tisíc rubľov, stane alebo nestane. Príklad.
Dve udalosti, ktoré sa za týchto podmienok môžu vyskytnúť súčasne, sa nazývajú spoločné a tie, ktoré sa nemôžu vyskytnúť súčasne, sa nazývajú nezlučiteľné. Hodí sa minca. Vzhľad „erbu“ vylučuje vzhľad nápisu. Udalosti „objavil sa erb“ a „objavil sa nápis“ sú nezlučiteľné. Príklad.
Udalosť, ktorá sa vždy stane, sa nazýva vierohodná. Udalosť, ktorá sa nemôže stať, sa nazýva nemožná. Napríklad nech sa vyberie loptička z urny, v ktorej sú len čierne gule. Potom je výskyt čiernej gule určitou udalosťou; vzhľad bielej gule je nemožná udalosť. Príklady. Budúci rok sneh nenapadne. Keď sa hodí kockou, padne sedmička. Toto sú nemožné udalosti. Budúci rok napadne sneh. Pri hode kockou padne číslo menšie ako sedem. Východ slnka každý deň. Toto sú spoľahlivé udalosti.
Riešenie problémov Pre každú z opísaných udalostí určite, čo je: nemožné, isté alebo náhodné. 1. Z 25 žiakov v triede oslavujú narodeniny dvaja a) 30. januára; b) 30. februára. 2. Náhodne sa otvorí učebnica literatúry a druhé slovo sa nachádza na ľavej strane. Toto slovo sa začína: a) na písmeno „K“; b) s písmenom "b".
3. Dnes v Soči barometer ukazuje normálny atmosférický tlak. V tomto prípade: a) voda v hrnci zovrela pri teplote 80 °C; b) keď teplota klesla na -5 °C, voda v mláke zamrzla. 4. Hoďte dvoma kockami: a) prvá kocka má 3 body a druhá - 5 bodov; b) súčet bodov padnutých na dvoch kockách je rovný 1; c) súčet bodov padnutých na dvoch kockách je 13; d) za obe kosti boli dosiahnuté 3 body; e) súčet bodov na dvoch kockách je menší ako 15. Riešenie úloh
5. Otvorili ste knihu na ktorejkoľvek strane a prečítali ste si prvé podstatné meno, ktoré vás napadne. Ukázalo sa, že: a) v pravopise vybraného slova je samohláska; b) pravopis vybraného slova obsahuje písmeno „O“; c) v pravopise zvoleného slova nie sú žiadne samohlásky; d) v pravopise vybraného slova je mäkký znak. Riešenie problémov
Teória pravdepodobnosti, ako každý odbor matematiky, pracuje s určitým rozsahom pojmov. Väčšina konceptov teórie pravdepodobnosti má definíciu, ale niektoré sa berú ako primárne, nie definované, ako v geometrii bod, priamka, rovina. Primárnym konceptom teórie pravdepodobnosti je udalosť. Udalosťou sa rozumie niečo, o čom možno po určitom časovom okamihu povedať len jednu z dvoch vecí:
- · Áno, stalo sa.
- · Nie, nestalo sa tak.
Mám napríklad žreb do lotérie. Po zverejnení výsledkov žrebovania ma zaujíma udalosť, že výhra tisíc rubľov sa buď stane, alebo nestane. Akákoľvek udalosť nastane ako výsledok testu (alebo skúsenosti). Test (alebo skúsenosť) sa vzťahuje na podmienky, ktoré vedú k udalosti. Napríklad hod mincou je skúška a objavenie sa „erbu“ na nej je udalosťou. Udalosť sa zvyčajne označuje veľkými latinskými písmenami: A, B, C,…. Udalosti v hmotnom svete možno rozdeliť do troch kategórií – spoľahlivé, nemožné a náhodné.
Dôveryhodná udalosť je udalosť, o ktorej je vopred známe, že nastane. Označuje sa písmenom W. Je teda spoľahlivé získať najviac šesť bodov pri hode obyčajnou kockou, vzhľad bielej gule pri vybratí z urny obsahujúcej iba biele gule atď.
Nemožná udalosť je udalosť, o ktorej je vopred známe, že sa nestane. Označuje sa písmenom E. Príkladmi nemožných udalostí je odstránenie viac ako štyroch es z bežného balíčka kariet, objavenie sa červenej gule z urny obsahujúcej iba biele a čierne gule atď.
Náhodná udalosť je udalosť, ktorá môže, ale nemusí nastať ako výsledok testu. Udalosti A a B sa nazývajú nekompatibilné, ak nástup jedného z nich vylučuje možnosť nástupu druhého. Takže výskyt akéhokoľvek možného počtu bodov pri hode kockou (udalosť A) je nezlučiteľný s výskytom iného čísla (udalosť B). Párny počet bodov nie je v súlade s nepárnym počtom. Naopak, strata párnych bodov (udalosť A) a počet bodov, ktorý je násobkom troch (udalosť B), nebude v rozpore, pretože strata šiestich bodov znamená výskyt udalostí A aj udalostí B. aby výskyt jedného z nich nevylučoval výskyt druhého. Môžete vykonávať operácie s udalosťami. Spojenie dvoch udalostí C = AUB je udalosť C, ktorá nastane vtedy a len vtedy, ak nastane aspoň jedna z týchto udalostí A a B. Priesečník dvoch udalostí D = A ?? B sa nazýva udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, keď udalosti A aj B.
Udalosti (javy), ktoré pozorujeme, môžeme rozdeliť do týchto troch typov: spoľahlivé, nemožné a náhodné.
Dôveryhodný sa nazýva udalosť, ktorá nevyhnutne nastane, ak sa implementuje určitý súbor podmienok S. Ak napríklad nádoba obsahuje vodu pri normálnom atmosférickom tlaku a teplote 20 °, potom udalosť „voda v nádobe je v kvapalnom stave “ je spoľahlivý. V tomto príklade sú nastavený atmosférický tlak a teplota vody súborom podmienok S.
nemožné sa nazýva udalosť, ktorá nenastane, ak je splnená množina podmienok S. Napríklad udalosť „voda v nádobe je v pevnom stave“ určite nenastane, ak bude splnená množina podmienok z predchádzajúceho príkladu.
Náhodný je udalosť, ktorá, keď je splnená množina podmienok S, môže nastať alebo nie. Napríklad, ak sa hodí minca, môže spadnúť tak, že na vrchu bude buď erb, alebo nápis. Preto udalosť „keď bola minca hodená, „erb“ vypadol - náhodne. Každá náhodná udalosť, najmä pád „erbu“, je dôsledkom pôsobenia mnohých náhodných príčin (v našom príklade: sila, ktorou je minca hodená, tvar mince a mnohé ďalšie ). Nie je možné vziať do úvahy vplyv všetkých týchto dôvodov na výsledok, pretože ich počet je veľmi veľký a zákony ich konania nie sú známe. Teória pravdepodobnosti si preto nekladie za úlohu predpovedať, či sa jedna udalosť stane alebo nie – jednoducho to nedokáže.
Iná situácia je, ak sa uvažuje o náhodných udalostiach, ktoré možno pozorovať mnohokrát za rovnakých podmienok S, teda ak hovoríme o hromadných homogénnych náhodných udalostiach. Ukazuje sa, že dostatočne veľký počet homogénnych náhodných udalostí, bez ohľadu na ich špecifickú povahu, dodržiava určité zákony, konkrétne pravdepodobnostné zákony. Stanovením týchto zákonitostí sa zaoberá teória pravdepodobnosti.
Predmetom teórie pravdepodobnosti je teda štúdium pravdepodobnostných zákonitostí hromadných homogénnych náhodných udalostí.
Metódy teórie pravdepodobnosti sú široko používané v rôznych odvetviach prírodných vied a techniky. Teória pravdepodobnosti slúži aj na podloženie matematických a aplikovaných štatistík.
Typy náhodných udalostí... Udalosti sú tzv nekonzistentné ak výskyt jednej z nich vylučuje výskyt iných udalostí v tom istom pokuse.
Príklad. Hodí sa minca. Vzhľad „erbu“ vylučuje vzhľad nápisu. Udalosti „objavil sa erb“ a „objavil sa nápis“ sú nezlučiteľné.
Tvorí sa niekoľko udalostí celá skupina ak sa aspoň jeden z nich objaví ako výsledok testu. Najmä, ak udalosti, ktoré tvoria úplnú skupinu, sú párovo nekonzistentné, potom sa ako výsledok testu objaví jedna a iba jedna z týchto udalostí. Tento konkrétny prípad nás najviac zaujíma, pretože sa používa nižšie.
Príklad 2. Kúpia sa dva lístky hotovostnej lotérie. Určite sa stane jedna z nasledujúcich udalostí: „výhra padla na prvý tiket a nepadla na druhý“, „výhra nepadla na prvý tiket a padla na druhý“, „výhra padla na oboch tiketoch“, „na oboch tiketoch výhra nevypadla.“ Tieto udalosti tvoria kompletnú skupinu párovo nekompatibilných udalostí.
Príklad 3. Strelec vystrelil na terč. Jedna z nasledujúcich dvoch udalostí sa určite stane: hit, miss. Tieto dve nezlučiteľné udalosti tvoria ucelenú skupinu.
Udalosti sú tzv rovnako možné ak existuje dôvod domnievať sa, že žiadna z nich nie je možnejšia ako druhá.
Príklad 4. Vzhľad „erbu“ a objavenie sa nápisu pri hode mincou sú rovnako možné udalosti. V skutočnosti sa predpokladá, že minca je vyrobená z homogénneho materiálu, má pravidelný valcový tvar a prítomnosť razby neovplyvňuje vypadnutie jednej alebo druhej strany mince.
Vlastné sa označuje veľkými písmenami latinskej abecedy: A, B, C, .. A 1, A 2 ..
Jediné dve možné entity, ktoré tvoria ucelenú skupinu, sa nazývajú opačné. Ak jeden z dvoch protikladov. udalosti sú označené A, potom ostatné sú označené A '.
Príklad 5. Zasiahnutie a chýbanie pri streľbe na cieľ - opačné pole. takže ja.
Účel lekcie:
- Zaviesť koncept spoľahlivých, nemožných a náhodných udalostí.
- Formovať vedomosti a zručnosti na určenie typu udalostí.
- Rozvíjať: výpočtovú zručnosť; Pozornosť; schopnosť analyzovať, zdôvodňovať, vyvodzovať závery; zručnosti skupinovej práce.
Počas vyučovania
1) Organizačný moment.
Interaktívne cvičenie: deti musia vyriešiť príklady a rozlúštiť slová, podľa výsledkov sa rozdelia do skupín (spoľahlivé, nemožné a náhodné) a určia tému hodiny.
1 karta.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 karta
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 karta
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Aktualizácia naučených vedomostí.
Hra tlieskanie: párne číslo - tlieskanie, nepárne - vstať.
Úloha: z daného radu čísel 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... určte párne a nepárne.
3) Naučiť sa novú tému.
Na stoloch máte kocky. Poďme sa na ne pozrieť bližšie. Čo vidíš?
Kde sa používajú kocky? ako?
Skupinová práca.
Uskutočnenie experimentu.
Aké predpovede môžete urobiť pri hode kockou?
Prvá predpoveď: jedno z čísel 1,2,3,4,5 alebo 6 vypadne.
Udalosť, ktorá nevyhnutne nastane v tomto zážitku, sa nazýva spoľahlivý.
Druhá predpoveď: číslo 7 vypadne.
Myslíte si, že predpovedaná udalosť príde alebo nie?
To je nemožné!
Udalosť, ktorá nemôže nastať v danom zážitku, sa nazýva nemožné.
Tretia predpoveď: číslo 1 vypadne.
Príde táto udalosť?
Udalosť, ktorá v danom zážitku môže alebo nemusí nastať, sa nazýva náhodný.
4) Konsolidácia študovaného materiálu.
I. Určite typ udalosti
-Zajtra bude snežiť na červeno.
Zajtra husté sneženie.
Zajtra, aj keď je júl, bude snežiť.
Zajtra, aj keď je júl, sneh nebude.
Zajtra bude snežiť a bude fujavica.
II. Pridajte do tejto vety slovo, aby sa udalosť stala nemožnou.
Kolja dostal A v histórii.
Sasha v teste nesplnila ani jednu úlohu.
Oksana Mikhailovna (učiteľka dejepisu) vysvetlí novú tému.
III. Uveďte príklady nemožných, náhodných a spoľahlivých udalostí.
IV. Pracujte podľa učebnice (v skupinách).
Opíšte udalosti opísané v úlohách nižšie ako pravdepodobné, nemožné alebo náhodné.
č. 959. Peťa počala prirodzené číslo. Udalosť je nasledovná:
a) vymyslí sa párne číslo;
b) je počaté nepárne číslo;
c) ide o číslo, ktoré nie je párne ani nepárne;
d) je vymyslené číslo, ktoré je párne alebo nepárne.
Č. 960. Otvorili ste tento tutoriál na ľubovoľnej stránke a vybrali ste prvé podstatné meno, ktoré ste narazili. Udalosť je nasledovná:
a) v pravopise vybraného slova je samohláska;
b) v pravopise zvoleného slova je písmeno „o“;
c) v pravopise zvoleného slova nie sú žiadne samohlásky;
d) v pravopise vybraného slova je mäkký znak.
Riešenie č. 961, č. 964.
Diskusia k riešeným úlohám.
5) Reflexia.
1. S akými udalosťami ste sa stretli na lekcii?
2. Označte, ktorá z nasledujúcich udalostí je spoľahlivá, ktorá je nemožná a ktorá je náhodná:
a) nebudú letné prázdniny;
b) sendvič spadne maslom;
c) školský rok sa jedného dňa skončí.
6) domáca úloha:
Vymyslite dve spoľahlivé, náhodné a nemožné udalosti.
Nakreslite kresbu k jednému z nich.
5. ročník Úvod do pravdepodobnosti (4 hodiny)
(rozvoj 4 lekcií na túto tému)
Učebné ciele : - zaviesť definíciu náhodnej, spoľahlivej a nemožnej udalosti;
Viesť prvé myšlienky o riešení kombinatorických úloh: pomocou stromu možností a pomocou pravidla násobenia.
Vzdelávací účel: rozvoj svetonázoru žiakov.
Rozvojový cieľ : rozvoj priestorovej predstavivosti, zlepšenie zručnosti práce s pravítkom.
Spoľahlivé, nemožné a náhodné udalosti (2 hod.)
Kombinatorické úlohy (2 hod.)
Spoľahlivé, nemožné a náhodné udalosti.
Prvá hodina
Vybavenie lekcie: kocka, minca, backgammon.
Náš život tvoria z veľkej časti nehody. Existuje taká veda "Teória pravdepodobnosti". Pomocou jej jazyka sa dajú opísať mnohé javy a situácie.
Dokonca aj primitívny vodca pochopil, že tucet lovcov má „pravdepodobnosť“ zasiahnuť bizóna kopijou viac ako jeden. Preto vtedy lovili kolektívne.
Takí starí generáli ako Alexander Veľký alebo Dmitrij Donskoy, ktorí sa pripravovali na bitku, sa spoliehali nielen na odvahu a zručnosť bojovníkov, ale aj na náhodu.
Mnoho ľudí miluje matematiku pre večné pravdy dvakrát dva sú vždy štyri, súčet párnych čísel je párny, plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho priľahlých strán atď. V akomkoľvek probléme, ktorý vyriešite, dostane každý tá istá odpoveď - len netreba robiť chyby pri riešení.
Skutočný život nie je taký jednoduchý a priamočiary. Dôsledky mnohých javov nemožno predvídať vopred. Nedá sa napríklad s istotou povedať, na ktorú stranu padne vyhodená minca, kedy na budúci rok napadne prvý sneh alebo koľko ľudí v meste bude chcieť volať v najbližšiu hodinu. Takéto nepredvídateľné javy sa nazývajú náhodný .
Prípad má však aj svoje zákonitosti, ktoré sa začínajú prejavovať opakovaným opakovaním náhodných javov. Ak hodíte mincou 1000-krát, potom vám „hlavy“ vypadnú približne v polovici času, čo sa nedá povedať o dvoch alebo dokonca desiatich hodoch. „Približne“ neznamená polovicu. Spravidla to tak môže a nemusí byť. Zákon neuvádza vôbec nič isté, ale dáva určitú mieru istoty, že k nejakej náhodnej udalosti dôjde. Takéto vzory študuje špeciálna časť matematiky - Teória pravdepodobnosti . S jeho pomocou je možné s väčšou mierou istoty (ale stále nie isto) predpovedať ako dátum prvého sneženia, tak aj počet telefonátov.
Teória pravdepodobnosti je neoddeliteľne spojená s naším každodenným životom. To nám dáva skvelú príležitosť empiricky stanoviť mnohé pravdepodobnostné zákony, pričom sa mnohokrát opakujú náhodné experimenty. Materiálmi pre tieto experimenty budú najčastejšie obyčajná minca, kocka, súprava domino, backgammon, ruleta alebo dokonca balíček kariet. Každá z týchto položiek nejako súvisí s hrami. Prípad sa tu totiž objavuje v najfrekventovanejšej podobe. A prvé pravdepodobnostné problémy súviseli s posudzovaním šancí hráčov na víťazstvo.
Moderná teória pravdepodobnosti sa vzdialila od hazardných hier, no jej rekvizity sú stále tým najjednoduchším a najspoľahlivejším zdrojom náhody. Po cvičení s ruletou a kockami sa naučíte vypočítať pravdepodobnosť náhodných udalostí v reálnych životných situáciách, čo vám umožní posúdiť vaše šance na úspech, testovať hypotézy a robiť optimálne rozhodnutia nielen v hrách a lotériách. .
Pri riešení pravdepodobnostných úloh buďte veľmi opatrní, snažte sa zdôvodniť každý váš krok, pretože žiadna iná oblasť matematiky neobsahuje toľko paradoxov. Ako teória pravdepodobnosti. A možno hlavným vysvetlením je jej spojenie so skutočným svetom, v ktorom žijeme.
Mnoho hier používa kocku s rôznym počtom bodiek na každej strane od 1 do 6. Hráč hodí kockou, pozrie sa, koľko bodiek vypadlo (na vrchnej strane) a vykoná zodpovedajúci počet ťahov. : 1,2,3 , 4,5 alebo 6. Hádzanie kockou možno považovať za zážitok, experiment, test a získaný výsledok je udalosťou. Ľudia majú zvyčajne veľký záujem uhádnuť začiatok udalosti a predpovedať jej výsledok. Aké predpovede môžu urobiť, keď hodia kockou? Prvá predpoveď: vypadne jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6. Myslíte si, že predpovedaná udalosť príde alebo nie? Samozrejme, určite to príde. Udalosť, ktorá nevyhnutne nastane v tomto zážitku, sa nazýva spoľahlivá udalosť.
Druhá predpoveď : vypadne číslo 7. Myslíte si, že predpovedaná udalosť príde alebo nie? Samozrejme, že nebude, je to jednoducho nemožné. Udalosť, ktorá nemôže nastať v danom zážitku, sa nazýva nemožné podujatie.
Tretia predpoveď : vypadne číslo 1. Čo myslíte, príde predpovedaná udalosť alebo nie? Nie sme schopní odpovedať na túto otázku s úplnou istotou, pretože predpovedaná udalosť môže, ale nemusí nastať. Udalosť, ktorá v danom zážitku môže alebo nemusí nastať, sa nazýva náhodná udalosť.
Cvičenie : Opíšte udalosti uvedené v úlohách nižšie. Aké spoľahlivé, nemožné alebo náhodné.
Hodíme si mincou. Objavil sa erb. (náhodné)
Poľovník zastrelil vlka a trafil ho. (náhodné)
Školák chodí každý večer na prechádzku. V pondelok na prechádzke stretol troch známych. (náhodné)
V duchu vykonajte nasledujúci experiment: otočte pohár vody hore dnom. Ak sa tento experiment nevykoná vo vesmíre, ale doma alebo v triede, voda sa vyleje. (spoľahlivý)
Boli vystrelené tri výstrely na cieľ." Bolo päť zásahov „(nemožné)
Hodíme kameň hore. Kameň zostáva visieť vo vzduchu. (nemožné)
Náhodne preusporiadame písmená slova „antagonizmus“. Ukáže sa slovo „anachroizmus“. (nemožné)
№959. Peťa počala prirodzené číslo. Udalosť je nasledovná:
a) vymyslí sa párne číslo; (náhodné) b) je počaté nepárne číslo; (náhodné)
c) ide o číslo, ktoré nie je párne ani nepárne; (nemožné)
d) je vymyslené číslo, ktoré je párne alebo nepárne. (spoľahlivý)
№ 961. Petya a Tolya porovnávajú svoje narodeniny. Udalosť je nasledovná:
a) ich dátum narodenia sa nezhoduje; (náhodné) b) ich narodeniny sú rovnaké; (náhodné)
d) narodeniny oboch pripadajú na sviatky - Nový rok (1. januára) a Deň nezávislosti Ruska (12. júna). (náhodné)
№ 962. Pri hraní backgammonu sa používajú dve kocky. Počet ťahov, ktoré účastník hry vykoná, sa určí sčítaním čísel na dvoch padnutých okrajoch kocky, a ak vypadne „dvojka“ (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6), potom sa počet ťahov zdvojnásobí. Hodíte kockou a zistíte, koľko ťahov musíte urobiť. Udalosť je nasledovná:
a) musíte urobiť jeden pohyb; b) musíte urobiť 7 ťahov;
c) musíte urobiť 24 ťahov; d) musíte urobiť 13 ťahov.
a) - nemožné (1 ťah možno vykonať, ak vypadne kombinácia 1 + 0, ale na kocke nie je číslo 0).
b) - náhodné (ak vypadne 1 + 6 alebo 2 + 5).
c) - náhodné (ak je kombinácia 6 +6).
d) - nemožné (neexistujú žiadne kombinácie čísel od 1 do 6, ktorých súčet je 13; toto číslo nemožno získať, aj keď sa objaví „dvojka“, pretože je nepárne).
Skontrolujte sa. (matematický diktát)
1) Označte, ktoré z nasledujúcich udalostí nie sú možné, ktoré sú spoľahlivé a ktoré sú náhodné:
Futbalový zápas "Spartak" - "Dynamo" sa skončí remízou. (náhodné)
Vyhráte účasťou vo výhernej lotérii (overené)
O polnoci napadne sneh a o 24 hodín bude svietiť slnko. (nemožné)
Zajtra bude test z matematiky. (náhodné)
Budete zvolený za prezidenta Spojených štátov amerických. (nemožné)
Budete zvolený za prezidenta Ruska. (náhodné)
2) Kúpili ste si v obchode televízor, na ktorý dáva výrobca dvojročnú záruku. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, ktoré sú náhodné, ktoré sú spoľahlivé:
Televízor sa nepokazí ani rok. (náhodné)
Televízor sa za dva roky nepokazí. (náhodné)
Do dvoch rokov nebudete musieť platiť za opravu televízora. (spoľahlivý)
Televízor sa pokazí v treťom roku. (náhodné)
3) Autobus, ktorý prepraví 15 cestujúcich, bude musieť urobiť 10 zastávok. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, ktoré sú náhodné, ktoré sú spoľahlivé:
Všetci cestujúci vystúpia z autobusu na rôznych zastávkach. (nemožné)
Všetci cestujúci vystúpia na jednej zastávke. (náhodné)
Na každej zastávke aspoň niekto vystúpi. (náhodné)
Bude tam zastávka, kde nikto nevystúpi. (náhodné)
Na všetkých zastávkach bude odchádzať párny počet cestujúcich. (nemožné)
Na všetkých zastávkach bude odchádzať nepárny počet cestujúcich. (nemožné)
Domáca úloha : 53 №960, 963, 965 (sami si vymyslite dve spoľahlivé, náhodné a nemožné udalosti).
Druhá lekcia.
Kontrola domácej úlohy. (ústne)
a) Vysvetlite, čo je to určitá, náhodná a nemožná udalosť.
b) Uveďte, ktorá z nasledujúcich udalostí je spoľahlivá, ktorá je nemožná, ktorá je náhodná:
Letné prázdniny nebudú. (nemožné)
Sendvič spadne maslom. (náhodné)
Školský rok sa raz skončí. (spoľahlivý)
Zajtra sa ma opýtajú v triede. (náhodné)
Dnes stretnem čiernu mačku. (náhodné)
№ 960. Otvorili ste tento návod na ľubovoľnej stránke a vybrali ste prvé podstatné meno, ktoré sa objaví. Udalosť je nasledovná:
a) v pravopise vybraného slova je samohláska. ((spoľahlivý)
b) v pravopise vybraného slova je písmeno „o“. (náhodné)
c) v pravopise vybraného slova nie sú žiadne samohlásky. (nemožné)
d) v pravopise vybraného slova je mäkký znak. (náhodné)
№ 963. Opäť hráte backgammon. Opíšte nasledujúcu udalosť:
a) hráč nesmie urobiť viac ako dva ťahy. (nemožné - pri kombinácii najmenších čísel 1 + 1 urobí hráč 4 ťahy; kombinácia 1 + 2 dáva 3 ťahy; všetky ostatné kombinácie dávajú viac ako 3 ťahy)
b) hráč musí urobiť viac ako dva ťahy. (spoľahlivé - akákoľvek kombinácia dáva 3 alebo viac ťahov)
c) hráč nesmie urobiť viac ako 24 ťahov. (spoľahlivé - kombinácia najvyšších čísel 6 + 6 dáva 24 ťahov a všetky ostatné - menej ako 24 ťahov)
d) hráč musí vykonať dvojciferný počet ťahov. (náhodné - napríklad kombinácia 2 + 3 dáva jednociferný počet ťahov: 5 a pád dvoch štvoriek - dvojciferný počet ťahov)
2. Riešenie problémov.
№ 964. Vrecko obsahuje 10 loptičiek: 3 modré, 3 biele a 4 červené. Opíšte nasledujúcu udalosť:
a) z vrecka boli vybraté 4 loptičky a všetky sú modré; (nemožné)
b) z vrecka boli vybraté 4 loptičky a všetky sú červené; (náhodné)
c) z vrecka boli vybraté 4 loptičky a ukázalo sa, že všetky majú inú farbu; (nemožné)
d) Z vrecka boli vybraté 4 loptičky a medzi nimi nebola žiadna čierna guľa. (spoľahlivý)
Cieľ 1 Krabička obsahuje 10 červených, 1 zelené a 2 modré perá. Z krabice sa náhodne vyberú dve položky. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, ktoré sú náhodné, ktoré sú spoľahlivé:
a) sú vybraté dve červené rukoväte (náhodné)
b) vyberú sa dve zelené rukoväte; (nemožné)
c) sú vybraté dve modré rukoväte; (náhodné)
d) sú vyňaté rukoväte dvoch rôznych farieb; (náhodné)
e) sú odstránené dve rukoväte; (spoľahlivý)
f) vyberú sa dve ceruzky. (nemožné)
Cieľ 2 Macko Pú, prasiatko a všetci - všetci - všetci si sadnú za okrúhly stôl, aby oslávili svoje narodeniny. Koľko zo všetkých – všetkých – zo všetkých udalostí „Medvedík Pú a prasiatko budú sedieť vedľa seba“ je spoľahlivých a koľko náhodných?
(ak sú všetky - všetky - všetky iba 1, potom je udalosť spoľahlivá, ak je viac ako 1, potom je náhodná).
Cieľ 3 Spomedzi 100 tiketov charitatívnej lotérie vyhráva 20 Koľko tiketov si musíš kúpiť, aby sa podujatie „nevyhral nič“ znemožnilo?
Úloha 4. V triede je 10 chlapcov a 20 dievčat. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú pre takúto triedu nemožné, ktoré sú náhodné, ktoré sú spoľahlivé
V triede sú dvaja ľudia, ktorí sa narodili v rôznych mesiacoch. (náhodné)
V triede sú dvaja ľudia, ktorí sa narodili v tom istom mesiaci. (spoľahlivý)
V triede sú dvaja chlapci, ktorí sa narodili v tom istom mesiaci. (náhodné)
V triede sú dve dievčatá, ktoré sa narodili v tom istom mesiaci. (spoľahlivý)
Všetci chlapci sa narodili v rôznych mesiacoch. (spoľahlivý)
Všetky dievčatá sa narodili v rôznych mesiacoch. (náhodné)
V tom istom mesiaci sa narodil chlapec a dievča. (náhodné)
Je tam chlapec a dievča, ktorí sa narodili v rôznych mesiacoch. (náhodné)
Úloha 5. Krabička obsahuje 3 červené, 3 žlté, 3 zelené loptičky. Náhodne vyberieme 4 guľôčky. Zvážte udalosť „Medzi vytiahnutými loptičkami budú loptičky presne M farieb“. Pre každé M od 1 do 4 určite, ktorá udalosť je nemožná, spoľahlivá alebo náhodná, a vyplňte tabuľku:
Samostatná práca.
jamožnosť
a) narodeninové číslo vášho priateľa je menšie ako 32;
c) zajtra bude test z matematiky;
d) Budúci rok v nedeľu napadne v Moskve prvý sneh.
Hoď kockou. Opíšte udalosť:
a) kocka, ktorá spadne, bude stáť na okraji;
b) jedno z čísel vypadne: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
c) číslo 6 sa vypustí;
d) vypadne násobok 7.
Krabička obsahuje 3 červené, 3 žlté a 3 zelené loptičky. Opíšte udalosť:
a) všetky odstránené gule rovnakej farby;
b) všetky odstránené gule rôznych farieb;
c) medzi vytiahnutými loptičkami sú loptičky rôznych farieb;
c) medzi vytiahnutými loptičkami je červená, žltá a zelená loptička.
IImožnosť
Opíšte príslušnú udalosť ako istú, nemožnú alebo náhodnú:
a) sendvič, ktorý spadol zo stola, spadne maslom na zem;
b) v Moskve o polnoci bude snežiť a o 24 hodín bude svietiť slnko;
c) vyhráte účasťou vo výhernej lotérii;
d) budúci rok v máji zaznie prvé jarné hrmenie.
Všetky dvojciferné čísla sú napísané na kartičkách. Náhodne sa vyberie jedna karta. Opíšte udalosť:
a) na karte bola nula;
b) karta má číslo, ktoré je násobkom 5;
c) karta má číslo, ktoré je násobkom 100;
d) karta má číslo väčšie ako 9 a menšie ako 100.
Krabička obsahuje 10 červených, 1 zelené a 2 modré perá. Z krabice sa náhodne vyberú dve položky. Opíšte udalosť:
a) sú vybraté dve modré rukoväte;
b) sú vybraté dve červené rukoväte;
c) vyberú sa dve zelené rukoväte;
d) zelené a čierne rukoväte sú odstránené.
Domáca úloha: 1). Vymyslite dve spoľahlivé, náhodné a nemožné udalosti.
2). Úloha . Krabička obsahuje 3 červené, 3 žlté, 3 zelené loptičky. Náhodne vyberte N loptičiek. Zoberme si udalosť „medzi vytiahnutými loptičkami budú gule presne troch farieb“. Pre každé N od 1 do 9 určite, ktorá udalosť je nemožná, istá alebo náhodná, a vyplňte tabuľku:
Kombinatorické problémy.
Prvá hodina
Kontrola domácej úlohy. (ústne)
a) kontrolujeme problémy, na ktoré žiaci prišli.
b) dodatočná úloha.
Čítam úryvok z knihy V. Levshina „Tri dni v trpaslíkovi“.
„Najskôr za zvukov hladkého valčíka čísla vytvorili skupinu: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. Potom si mladí korčuliari začali vymieňať miesta a vytvárali stále nové a nové skupiny: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10 atď.
Toto pokračovalo, kým sa korčuliari nevrátili do svojej pôvodnej polohy."
Koľkokrát si vymenili miesta?
Dnes sa v lekcii naučíme, ako takéto problémy vyriešiť. Volajú sa kombinatorický.
3. Učenie sa nového materiálu.
Cieľ 1 Koľko dvojciferných čísel možno vytvoriť z číslic 1, 2, 3?
Riešenie: 11, 12, 13
31, 32, 33. Spolu je 9 čísel.
Pri riešení tohto problému sme vykonali zoznam všetkých možných možností, alebo, ako sa v týchto prípadoch zvyčajne hovorí. Všetky možné kombinácie. Preto sa takéto úlohy nazývajú kombinatorický. Možné (alebo nemožné) možnosti v živote musíte počítať pomerne často, preto je užitočné zoznámiť sa s kombinatorickými problémami.
№ 967. Viaceré krajiny sa rozhodli pre svoju štátnu vlajku použiť symboly v podobe troch vodorovných pruhov rovnakej šírky v rôznych farbách – biela, modrá, červená. Koľko krajín môže používať takéto symboly za predpokladu, že každá krajina má svoju vlajku?
Riešenie. Predpokladajme, že prvý prúžok je biely. Potom môže byť druhý pruh modrý alebo červený a tretí pruh červený alebo modrý. Ukázalo sa, že dve možnosti: biela, modrá, červená alebo biela, červená, modrá.
Teraz nech je prvý prúžok modrý, potom opäť dostaneme dve možnosti: biela, červená, modrá alebo modrá, červená, biela.
Nech je prvý prúžok červený, potom sú ešte dve možnosti: červená, biela, modrá alebo červená, modrá, biela.
Celkovo je k dispozícii 6 možností. Túto vlajku môže používať 6 krajín.
Pri riešení tohto problému sme teda hľadali spôsob, ako vymenovať možné možnosti. V mnohých prípadoch sa ukazuje ako užitočná technika na zostrojenie obrázku – enumeračná schéma. To je po prvé jasné a po druhé nám to umožňuje vziať do úvahy všetko, nič nevynechať.
Táto schéma sa tiež nazýva strom možných možností.
Predná strana
Druhý pruh
Tretí pruh
Výsledná kombinácia
№ 968. Koľko dvojciferných čísel možno vytvoriť z číslic 1, 2, 4, 6, 8?
Riešenie. Pre nás zaujímavé dvojciferné čísla môže byť na prvom mieste ktorákoľvek z daných číslic, okrem 0. Ak dáme na prvé miesto číslo 2, tak na druhom mieste môže byť ktorákoľvek z daných číslic. Bude päť dvojciferných čísel: 2., 22, 24, 26, 28. Podobne bude päť dvojciferných čísel s prvou číslicou 4, päť dvojciferných čísel s prvou číslicou 6 a päť dvojciferných čísel. -ciferné čísla s prvou číslicou 8.
Odpoveď: Celkovo bude 20 čísel.
Zostavme si strom možných možností riešenia tohto problému.
Dvojčísla
Prvá číslica
Druhá číslica
Prijaté čísla
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Vybudovaním stromu možností vyriešte nasledujúce problémy.
№ 971. Vedenie krajiny sa rozhodlo urobiť svoju štátnu vlajku takto: na jednofarebnom obdĺžnikovom pozadí v jednom z rohov je umiestnený kruh inej farby. Bolo rozhodnuté vybrať si z troch farieb: červená, žltá, zelená. Koľko variantov takejto vlajky
existuje? Obrázok ukazuje niektoré z možných možností.
Odpoveď: 24 možností.
№ 973. a) Koľko trojciferných čísel možno vytvoriť z číslic 1, 3, 5? (27 čísel)
b) Koľko trojciferných čísel možno vytvoriť z číslic 1, 3, 5 za predpokladu, že sa čísla nemajú opakovať? (6 čísel)
№ 979. Moderní päťbojári sa dva dni zúčastňujú súťaží v piatich športoch: parkúrové skákanie, šerm, plávanie, streľba a beh.
a) Koľko možností je pre poradie typov súťaže? (120 možností)
b) Koľko možností je pre poradie absolvovania typov súťaže, ak je známe, že by mal prebiehať posledný typ? (24 možností)
c) Koľko možností je pre poradie absolvovania typov súťaže, ak je známe, že posledný typ by mal byť beh a prvý - parkúr? (6 možností)
№ 981. Dve urny obsahujú päť loptičiek, každá v piatich rôznych farbách: biela, modrá, červená, žltá, zelená. Z každej urny sa súčasne odoberie jedna loptička.
a) Koľko rôznych kombinácií vytiahnutých loptičiek existuje (kombinácie ako „biela – červená“ a „červená – biela“ sa považujú za rovnaké)?
(15 kombinácií)
b) Koľko je kombinácií, v ktorých sú odstránené guľôčky rovnakej farby?
(5 kombinácií)
c) koľko je kombinácií, v ktorých sú odstránené guľôčky rôznych farieb?
(15 - 5 = 10 kombinácií)
Domáca úloha: 54, číslo 969, 972, aby sme sami prišli s kombinatorickým problémom.
№ 969. Niekoľko krajín sa rozhodlo pre svoju štátnu vlajku použiť symboly v podobe troch zvislých pruhov rovnakej šírky v rôznych farbách: zelená, čierna, žltá. Koľko krajín môže používať takéto symboly za predpokladu, že každá krajina má svoju vlajku?
№ 972. a) Koľko dvojciferných čísel možno zostaviť z čísel 1, 3, 5, 7, 9?
b) Koľko dvojciferných čísel možno zostaviť z čísel 1, 3, 5, 7, 9 za predpokladu, že sa čísla nemajú opakovať?
Druhá lekcia
Kontrola domácej úlohy. a) č. 969 a č. 972a) a č. 972b) - postavte na doske strom možných možností.
b) slovne skontrolovať zostavené úlohy.
Riešenie problémov.
Takže predtým sme sa vy a ja naučili, ako riešiť kombinatorické problémy pomocou stromu možností. Je to dobrý spôsob? Pravdepodobne áno, ale veľmi ťažkopádne. Skúsme vyriešiť domáci problém č.972 inak. Kto uhádne, ako sa to dá?
odpoveď: ku každej z piatich farieb tričiek sú 4 farby nohavičiek. Celkom: 4 * 5 = 20 možností.
№ 980. Urny majú päť loptičiek, každá v piatich rôznych farbách: biela, modrá, červená, žltá, zelená. Z každej urny sa súčasne odoberie jedna loptička. Opíšte nasledujúcu udalosť ako istú, náhodnú alebo nemožnú:
a) odstránené gule rôznych farieb; (náhodné)
b) vytiahnuté loptičky rovnakej farby; (náhodné)
c) vytiahnu sa čierne a biele loptičky; (nemožné)
d) boli vybraté dve loptičky, obe natreté jednou z nasledujúcich farieb: biela, modrá, červená, žltá, zelená. (spoľahlivý)
№ 982. Skupina turistov plánuje uskutočniť túru po trase Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. Z Antonova do Borisova môžete splavovať rieku alebo sa prejsť. Z Borisova do Vlasova môžete ísť pešo alebo na bicykli. Z Vlasova do Gribova sa môžete kúpať popri rieke, jazdiť na bicykli alebo sa prejsť. Koľko možností turistiky si môžu turisti vybrať? Koľko možností turistiky si môžu turisti vybrať, ak musia aspoň na jednom z úsekov použiť bicykle?
(12 možností trasy, z toho 8 na bicykloch)
Samostatná práca.
možnosť 1
a) Koľko trojciferných čísel možno poskladať z číslic: 0, 1, 3, 5, 7?
b) Koľko trojciferných čísel možno zostaviť z číslic: 0, 1, 3, 5, 7 za predpokladu, že sa čísla nemajú opakovať?
Athos, Porthos a Aramis majú len meč, dýku a pištoľ.
a) Koľkými spôsobmi môžu byť mušketieri vyzbrojení?
b) Koľko možností zbraní je, ak by mal Aramis ovládať meč?
c) Koľko možností je pre zbrane, ak by Aramis vlastnil meč a Porthos pištoľ?
Niekam k vrane Boh poslal kúsok syra, ako aj syr feta, klobásu, biely a čierny chlieb. Vrana sedela na smreku, chystala sa na raňajky, ale premýšľala: na koľko spôsobov môžete z týchto produktov pripraviť sendviče?
Možnosť 2
a) Koľko trojciferných čísel možno poskladať z číslic: 0, 2, 4, 6, 8?
b) Koľko trojciferných čísel možno zostaviť z číslic: 0, 2, 4, 6, 8 za predpokladu, že sa číslice nemajú opakovať?
Gróf Monte Cristo sa rozhodol obdarovať princeznú Gaide náušnicami, náhrdelníkom a náramkom. Každý šperk musí obsahovať jeden druh drahokamu: diamanty, rubíny alebo granáty.
a) Koľko možností je kombinácia drahokamových šperkov?
b) Koľko možností šperkov je, ak majú byť náušnice diamantové?
c) Koľko možností šperkov je, ak náušnice majú byť diamantové a náramok granátový?
Na raňajky si môžete vybrať žemľu, sendvič alebo perník s kávou alebo kefírom. Koľko možností na raňajky si dokážete poskladať?
Domáca úloha : č. 974, 975. (zostavením stromu variantov a použitím pravidla násobenia)
№ 974 . a) Koľko trojciferných čísel možno zostaviť z číslic 0, 2, 4?
b) Koľko trojciferných čísel možno zostaviť z číslic 0, 2, 4 za predpokladu, že sa čísla nemajú opakovať?
№ 975 . a) Koľko trojciferných čísel možno zostaviť z číslic 1,3, 5,7?
b) Koľko trojciferných čísel možno vytvoriť z uvedených číslic 1.3, 5.7. Že by sa čísla nemali opakovať?
Čísla problémov sú prevzaté z tutoriálu
"Matematika-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.
