614 diagonale ale unui trapez dreptunghiular. Diagonalele trapezului. Proprietățile unei linii paralele cu bazele unui trapez

Din nou triunghiul pitagoric :))) Dacă o bucată din diagonala mare de la baza mare până la punctul de intersecție este desemnată x, atunci din asemănarea evidentă a triunghiurilor unghiulare cu aceleași unghiuri rezultă că x / 64 = 36 / x, deci x = 48; 48/64 = 3/4, deci TOATE triunghiurile unghiulare formate din baze, diagonale și o latură perpendiculară pe bază sunt similare cu un triunghi cu laturile 3,4,5. Singura excepție este triunghiul format din bucăți de diagonale și o latură oblică, dar nu ne interesează :). (Pentru a clarifica, asemănarea în cauză este doar ALTE funcții trigonometrice ale unghiurilor :) știm deja tangenta unghiului dintre diagonala mare și baza mare, este 3/4, ceea ce înseamnă că sinusul este 3/5 , iar cosinusul este 4/5 :)) Puteți scrie imediat

Răspunsuri. Baza inferioară 80 va fi 60, iar partea superioară va fi 45. (36 * 5/4 = 45, 64 * 5/4 = 80, 100 * 3/5 = 60)

Sarcini similare:

1. Baza prismei este un triunghi, a cărui latură are 2 cm, iar celelalte două sunt de 3 cm. Marginea laterală este de 4 cm și face un unghi de 45 cu planul de bază. Găsiți marginea unui egal -cub de dimensiuni.

2. Baza prismei înclinate este un triunghi echilateral cu latura a; una dintre fețele laterale este perpendiculară pe planul bazei și este un romb cu diagonala mai mică egală cu c. Găsiți volumul prismei.

3. Într-o prismă înclinată, baza este un triunghi unghiular, a cărui hipotenuză este egală cu c, un unghi acut este 30, marginea laterală este egală cu k și face un unghi de 60 cu planul de bază. volumul prismei.

1. Găsiți latura pătratului dacă diagonala acestuia este de 10 cm

2. Într-un trapezoid isoscel, unghiul obtuz este cu 135 de grade mai mic decât baza este de 4 cm, iar înălțimea este de 2 cm, găsiți aria trapezului?

3. Înălțimea trapezului este de 3 ori mai mare decât una dintre baze, dar jumătate din dimensiunea celeilalte. Găsiți baza trapezului și înălțimea dacă aria trapezului este de 168 cm pătrat?

4. În triunghiul ABC, unghiul A = unghiul B = 75 de grade. Găsiți BC dacă aria triunghiului este de 36 cm pătrat.

1. În trapezul ABCD cu laturile AB și CD, diagonalele se intersectează în punctul O

a) Comparați ariile triunghiurilor ABD și ACD

b) Comparați ariile triunghiurilor ABO și CDO

c) Dovediți că OA * OB = OC * OD

2. Baza unui triunghi isoscel se referă la latura laterală ca 4: 3, iar înălțimea trasă la bază este de 30 cm. Găsiți segmentele în care această înălțime este împărțită de bisectoarea unghiului de la bază.

3. Linia AM-tangentă la un cerc, AB-coardă a acestui cerc. Demonstrați că unghiul MAB este măsurat cu jumătate din arcul AB, situat în interiorul unghiului MAB.

1. Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor trapezoidale este egal cu jumătate din diferența de bază
2. Triunghiurile formate de bazele trapezului și de segmentele diagonalelor până la punctul de intersecție sunt similare
3. Triunghiuri formate din segmente ale diagonalelor unui trapez, ale căror laturi se află pe laturile laterale ale trapezului - egale (au aceeași zonă)
4. Dacă extindeți laturile laterale ale trapezului către baza mai mică, atunci acestea se intersectează la un punct cu linia dreaptă care leagă punctele medii ale bazelor
5. Segmentul care leagă bazele trapezului și trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului este împărțit la acest punct într-o proporție egală cu raportul dintre lungimile bazelor trapezului
6. Un segment paralel cu bazele trapezului și trasat prin punctul de intersecție al diagonalelor este împărțit la acest punct în jumătate, iar lungimea sa este egală cu 2ab / (a ​​+ b), unde a și b sunt bazele a trapezului

Proprietățile segmentului de linie care leagă punctele medii ale diagonalelor trapezoidale

Conectăm punctele medii ale diagonalelor trapezului ABCD, ca urmare a căruia avem un segment LM.
Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor trapezoidale, se află pe linia mediană a trapezului.

Acest segment paralel cu baza trapezului.

Lungimea segmentului care leagă punctele de mijloc ale diagonalelor trapezului este egală cu diferența de jumătate a bazelor sale.

LM = (AD - BC) / 2
sau
LM = (a-b) / 2

Proprietățile triunghiurilor formate de diagonalele unui trapez

Triunghiuri care sunt formate din bazele trapezului și punctul de intersecție al diagonalelor trapezului - Sunt asemănătoare.
Triunghiurile BOC și AOD sunt similare. Deoarece unghiurile BOC și AOD sunt verticale, acestea sunt egale.
Unghiurile OCB și OAD sunt transversale interne cu linii paralele AD și BC (bazele trapezului sunt paralele între ele) și linia secantă AC, prin urmare, sunt egale.
Unghiurile OBC și ODA sunt egale din același motiv (încrucișare internă).

Deoarece toate cele trei unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu unghiurile corespunzătoare ale celuilalt triunghi, aceste triunghiuri sunt similare.

Ce rezultă din aceasta?

Pentru a rezolva probleme în geometrie, asemănarea triunghiurilor este utilizată după cum urmează. Dacă cunoaștem valorile lungimilor a două elemente corespunzătoare ale triunghiurilor similare, atunci găsim coeficientul de similaritate (împărțim unul la altul). De unde lungimile tuturor celorlalte elemente se raportează între ele cu exact aceeași valoare.

Proprietățile triunghiurilor situate pe lateral și diagonalele unui trapez

Luați în considerare două triunghiuri situate pe laturile laterale ale trapezului AB și CD. Acestea sunt triunghiurile AOB și COD. În ciuda faptului că dimensiunile laturilor individuale ale acestor triunghiuri pot fi complet diferite, dar ariile triunghiurilor formate de laturi și punctul de intersecție al diagonalelor trapezului sunt, adică triunghiurile au dimensiuni egale.

Dacă extindeți laturile trapezului către baza mai mică, atunci punctul de intersecție al laturilor va fi se potrivesc cu o linie dreaptă care trece prin punctele medii ale bazelor.

Astfel, orice trapez poate fi extins la un triunghi. Unde:

• Triunghiurile formate din bazele unui trapez cu un vârf comun la intersecția laturilor laterale extinse sunt similare
• Linia dreaptă care leagă punctele medii ale bazelor trapezului este, în același timp, mediana triunghiului construit

Proprietățile liniei care leagă bazele trapezoidale

Dacă desenați un segment, ale cărui capete se află pe bazele trapezului, care se află la punctul de intersecție a diagonalelor trapezului (KN), atunci raportul segmentelor sale constitutive de la partea bazei la punctul de intersecție a diagonalelor (KO / ON) va fi egal cu raportul bazelor trapezului(BC / AD).

KO / ON = BC / AD

Această proprietate rezultă din similitudinea triunghiurilor corespunzătoare (vezi mai sus).

Proprietățile unei linii paralele cu bazele unui trapez

Dacă desenați un segment paralel cu bazele trapezului și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului, atunci acesta va avea următoarele proprietăți:

• Distanță presetată (KM) împarte punctul de intersecție al diagonalelor trapezoidale în jumătate
• Lungimea segmentului trecerea prin punctul de intersecție a diagonalelor trapezului și paralelă cu bazele este egală cu KM = 2ab / (a ​​+ b)

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez

a, b- baza trapezului

c, d- laturile laterale ale trapezului

d1 d2- diagonale trapezoidale

α β - unghiuri cu baza mai mare a trapezului

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez prin bazele, laturile și unghiurile de la bază

Primul grup de formule (1-3) reflectă una dintre proprietățile principale ale diagonalelor trapezoidale:

1. Suma pătratelor diagonalelor unui trapez este egală cu suma pătratelor laturilor plus dublul produsului bazelor sale. Această proprietate a diagonalelor unui trapez poate fi dovedită ca o teoremă separată

2 ... Această formulă se obține prin conversia formulei anterioare. Pătratul celei de-a doua diagonale este aruncat prin semnul egal, după care rădăcina pătrată este extrasă din laturile stânga și dreapta ale expresiei.

3 ... Această formulă pentru găsirea lungimii unei diagonale trapezoidale este similară celei anterioare, cu diferența că o altă diagonală este lăsată pe partea stângă a expresiei

Următorul grup de formule (4-5) are o semnificație similară și exprimă un raport similar.

Grupul de formule (6-7) vă permite să găsiți diagonala trapezului dacă sunt cunoscute baza mai mare a trapezului, o parte și unghiul de la bază.

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez în termeni de înălțime

Notă... Această lecție oferă o soluție la problemele de geometrie referitoare la trapezoide. Dacă nu ați găsit o soluție la o problemă de geometrie de tipul care vă interesează - puneți o întrebare pe forum.

Sarcină.
Diagonalele trapezului ABCD (AD | | BC) se intersectează în punctul O. Aflați lungimea bazei BC a trapezului dacă baza este AD = 24 cm, lungimea AO = 9cm, lungimea OC = 6 cm.

Soluţie.
Soluția acestei probleme în termeni de ideologie este absolut identică cu problemele anterioare.

Triunghiurile AOD și BOC sunt similare în trei colțuri - AOD și BOC sunt verticale, iar celelalte unghiuri sunt egale în perechi, deoarece sunt formate prin intersecția unei linii drepte și a două linii paralele.

Deoarece triunghiurile sunt similare, toate dimensiunile lor geometrice sunt legate între ele, ca dimensiuni geometrice ale segmentelor AO și OC cunoscute de noi din enunțul problemei. Acesta este

AO / OC = AD / BC
9/6 = 24 / BC
BC = 24 * 6/9 = 16

Răspuns: 16 cm

Sarcină.
În trapezul ABCD, se știe că AD = 24, BC = 8, AC = 13, BD = 5√17. Găsiți zona trapezului.

Soluție.
Pentru a găsi înălțimea trapezului de la vârfurile bazei mai mici B și C, coborâm două înălțimi la baza mai mare. Deoarece trapezul este inegal, denotăm lungimea AM = a, lungimea KD = b ( nu trebuie confundat cu notația din formulă găsirea zonei trapezului). Deoarece bazele trapezului sunt paralele și am omis două înălțimi perpendiculare pe baza mai mare, atunci MBCK este un dreptunghi.

Mijloace
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Triunghiurile DBM și ACK sunt dreptunghiulare, astfel încât unghiurile lor drepte sunt formate de înălțimile trapezului. Să notăm înălțimea trapezului cu h. Apoi prin teorema lui Pitagora

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
și
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Luăm în considerare faptul că a = 16 - b, apoi în prima ecuație
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Să substituim valoarea pătratului înălțimii în a doua ecuație obținută de teorema lui Pitagora. Primim:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
- (64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Deci KD = 12
Unde
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Găsiți zona trapezului prin înălțimea și jumătatea sumei bazelor
, unde a b este baza trapezului, h este înălțimea trapezului
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 cm 2

Răspuns: aria trapezului este de 80 cm 2.

Dacă diagonalele unui trapez isoscel sunt perpendiculare, următorul material teoretic va fi util în rezolvarea problemei.

1. Dacă într-un trapez isoscel diagonalele sunt perpendiculare, înălțimea trapezului este egală cu jumătate din suma bazelor.

Trageți linia CF, paralelă cu BD, prin punctul C și extindeți linia AD până la intersecția cu CF.

Cadrangul BCFD - paralelogram (BC∥ DF ca bază a trapezului, BD∥ CF prin construcție). Prin urmare, CF = BD, DF = BC și AF = AD + BC.

Triunghiul ACF este dreptunghiular (dacă o linie este perpendiculară pe una din cele două linii paralele, atunci este perpendiculară și pe cealaltă linie). Deoarece diagonalele unui trapez isoscel sunt egale și CF = BD, atunci CF = AC, adică triunghiul ACF este isoscel cu baza AF. Prin urmare, înălțimea CN este, de asemenea, mediana. Și întrucât mediana unui triunghi unghiular trasat către ipotenuză este egală cu jumătatea sa, atunci

care în general poate fi scris ca

unde h este înălțimea trapezului, a și b sunt baza acestuia.

2. Dacă într-un trapez isoscel diagonalele sunt perpendiculare, atunci înălțimea sa este egală cu linia mediană.

Deoarece linia de mijloc a trapezului m este egală cu jumătatea sumelor bazelor, atunci

3. Dacă într-un trapez isoscel diagonalele sunt perpendiculare, atunci aria trapezului este egală cu pătratul înălțimii trapezului (sau cu pătratul jumătății sumelor bazelor sau cu pătratul liniei medii ).

Deoarece aria trapezului se găsește prin formulă

iar înălțimea, jumătatea sumelor bazelor și linia de mijloc a unui trapez isoscel cu diagonale perpendiculare sunt egale între ele:

4. Dacă într-un trapez isoscel diagonalele sunt perpendiculare, atunci pătratul diagonalei sale este egal cu jumătatea pătratului din suma bazelor, precum și de două ori pătratul înălțimii și de două ori pătratul liniei medii.

Deoarece aria unui patrulater convex poate fi găsită prin diagonalele sale și unghiul dintre ele prin formula