Meşteşuguri

Formula de progresie aritmetică an. Progresia aritmetică: ce este? Termeni și denumiri

Atenţie!
Există și alte
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care nu sunt „foarte ...”
Și pentru cei care sunt „foarte egali ...”)

O progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai puțin) decât cel anterior cu aceeași cantitate.

Acest subiect este adesea dificil și de neînțeles. Indici pentru litere, al n-lea termen al progresiei, diferența în progresie - toate acestea sunt cumva confuze, da ... Să ne dăm seama de semnificația progresiei aritmetice și totul va funcționa imediat.)

Conceptul de progresie aritmetică.

Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Îndoială? Degeaba.) Vedeți singuri.

Voi scrie o serie neterminată de numere:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Puteți extinde acest rând? Ce cifre vor merge în continuare, după cele cinci? Toată lumea ... uh-uh ..., pe scurt, toată lumea își va da seama că numerele 6, 7, 8, 9 etc. vor merge mai departe.

Să complicăm sarcina. Ofer o serie de numere neterminate:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Veți putea prinde modelul, extinde seria și numele al șaptelea numărul rândului?

Dacă ți-ai dat seama că acest număr este 20 - te felicit! Nu numai că te-ai simțit punctele cheie ale progresiei aritmetice, dar le-am folosit cu succes și în afaceri! Dacă nu v-ați dat seama, citiți mai departe.

Acum să traducem punctele cheie de la senzație la matematică.)

Primul punct cheie.

Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să trasăm grafice și tot ce ... Și apoi extindem seria, găsim numărul seriei ...

E bine. Doar progresiile sunt prima cunoștință cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Rânduri” și funcționează cu serii de numere și expresii. Obisnuieste-te.)

Al doilea punct cheie.

Într-o progresie aritmetică, orice număr este diferit de cel anterior cu aceeași sumă.

În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, acesta este mai mare decât precedentul pe rând. În al doilea - trei. Orice număr mai mare decât cel anterior cu trei. De fapt, acest moment ne oferă posibilitatea de a prinde modelul și de a calcula numerele ulterioare.

Al treilea punct cheie.

Acest moment nu este izbitor, da ... Dar este foarte, foarte important. Iată-l: fiecare număr din progresie stă la locul său. Există primul număr, este al șaptelea, există al patruzeci și cinci etc. Dacă sunt confuzi la întâmplare, modelul va dispărea. De asemenea, va dispărea și progresia aritmetică. Vor fi doar un rând de numere.

Asta e toată ideea.

Desigur, noi termeni și denumiri apar în noul subiect. Trebuie să le cunoști. În caz contrar, nu veți înțelege sarcina. De exemplu, trebuie să decideți ceva de genul:

Scrieți primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Inspiră?) Scrisori, niște indexuri ... Și, apropo, sarcina - nu ar putea fi mai ușoară. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și desemnărilor. Acum vom stăpâni această afacere și vom reveni la sarcină.

Termeni și denumiri.

Progresia aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel anterior cu aceeași sumă.

Această cantitate se numește ... Să ne ocupăm de acest concept mai detaliat.

Diferența progresiei aritmetice.

Diferența progresiei aritmetice este cantitatea cu care orice număr al progresiei Mai mult cea anterioară.

Un punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Matematic, aceasta înseamnă că se obține fiecare număr din progresie adăugând diferența progresiei aritmetice față de numărul anterior.

Pentru calcul, să spunem al doilea numărul seriei, este necesar să primul numarul adăuga tocmai această diferență a progresiei aritmetice. Pentru calcul a cincea- diferența este necesară adăuga La Al patrulea, bine etc.

Diferența progresiei aritmetice poate pozitiv, atunci fiecare număr al rândului va ieși cu adevărat mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Aici se obține fiecare număr adăugând număr pozitiv, +5 la precedent.

Diferența poate fi negativ, apoi fiecare număr din rând se va dovedi mai puțin decât precedentul. O astfel de progresie se numește (nu o să-ți vină să crezi!) in scadere.

De exemplu:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aici se obține și fiecare număr adăugând la numărul anterior, dar deja negativ, -5.

Apropo, atunci când se lucrează cu o progresie, este foarte util să se determine imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Ajută foarte mult să navigați în soluție, să vă detectați greșelile și să le remediați înainte de a fi prea târziu.

Diferența progresiei aritmetice notată, de regulă, prin scrisoare d.

Cum se găsește d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr din serie anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)

Definim, de exemplu, d pentru creșterea progresiei aritmetice:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Luăm orice număr din rândul pe care îl dorim, de exemplu, 11. Se scade din el numărul anterior, acestea. opt:

Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.

Poți lua exact orice număr de progresie, de cand pentru o progresie specifică d -întotdeauna la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu puteți lua doar primul număr. Doar pentru că chiar la primul număr nu există nici unul anterior.)

Apropo, știind asta d = 3, este foarte ușor să găsiți al șaptelea număr al acestei progresii. Adăugați 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Adăugați trei la numărul șase, obținem al șaptelea număr - douăzeci.

Noi definim d pentru o progresie aritmetică descrescătoare:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Vă reamintesc că, indiferent de semne, să determinați d este necesar din orice număr ia-o pe cea anterioară. Alegem orice număr al progresiei, de exemplu -7. Precedentul este -2. Atunci:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Diferența progresiei aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, oricare ar fi.

Alți termeni și denumiri.

Fiecare număr din serie se numește un membru al unei progresii aritmetice.

Fiecare membru al progresiei are propriul număr. Numerele sunt strict în ordine, fără trucuri. Prima, a doua, a treia, a patra etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul termen, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, ei bine, înțelegi ...) Te rog să înțelegi clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotarea numerelor- strict în ordine!

Cum se înregistrează o progresie generală? Nici o problemă! Fiecare număr din rând este scris ca o literă. De regulă, litera este utilizată pentru a desemna o progresie aritmetică A... Numărul de membru este indicat printr-un index în colțul din dreapta jos. Scriem membri separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1 este primul număr, a 3- al treilea etc. Nimic complicat. Puteți scrie pe scurt această serie astfel: (a n).

Progresele sunt finit și nesfârșit.

Ultimul progresia are un număr limitat de membri. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar - un număr finit.

Fără sfârşit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)

Puteți scrie progresia finală printr-o serie ca aceasta, toți membrii și un punct la sfârșit:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Sau cam așa, dacă sunt mulți membri:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

Într-o scurtă intrare, va trebui să indicați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:

(a n), n = 20

O progresie nesfârșită poate fi recunoscută prin elipsa de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.

Acum puteți rezolva sarcini. Sarcinile sunt simple, doar pentru a înțelege semnificația progresiei aritmetice.

Exemple de sarcini privind progresia aritmetică.

Să analizăm detaliat sarcina, care este dată mai sus:

1. Scrieți primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Traducem sarcina într-un limbaj de înțeles. Se dă o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Se cunoaște diferența de progresie: d = -2,5. Este necesar să se găsească primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea membru al acestei progresii.

Pentru claritate, voi nota o serie în funcție de starea problemei. Primii șase termeni, unde al doilea termen este cinci:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6, ....

a 3 = a 2 + d

Înlocuiți în expresie a 2 = 5și d = -2,5... Nu uitați de minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Al treilea termen este mai mic decât al doilea. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel anterior de negativ valoare, atunci numărul în sine se va dovedi a fi mai mic decât cel anterior. Progresia scade. Bine, să luăm în considerare.) Considerăm al patrulea membru al seriei noastre:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Deci, termenii de la al treilea la al șaselea sunt calculați. Rezultatul este o astfel de serie:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Rămâne să găsim primul termen a 1 conform binecunoscutei secunde. Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) De aici, diferența progresiei aritmetice d nu trebuie să adăugați la a 2, A la pachet:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Cam despre asta e. Răspuns la sarcină:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Pe parcurs, voi observa că am rezolvat această sarcină recurent cale. Acest cuvânt înfricoșător înseamnă doar căutarea unui membru al progresiei. după numărul anterior (adiacent). Vom lua în considerare alte moduri de lucru cu progresia mai târziu.

O concluzie importantă poate fi extrasă din această sarcină simplă.

Tine minte:

Dacă cunoaștem cel puțin un termen și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice membru al acestei progresii.

Tine minte? Această concluzie simplă vă permite să rezolvați majoritatea sarcinilor cursului școlar pe această temă. Toate sarcinile se învârt în jurul a trei parametri principali: membru al progresiei aritmetice, diferența de progresie, numărul de membru al progresiei. Tot.

Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar prin chiar progresia- totul se învârte în jurul a trei parametri.

Să aruncăm o privire la câteva dintre sarcinile populare pe acest subiect ca exemplu.

2. Notați progresia aritmetică finală ca o serie dacă n = 5, d = 0,4 și a 1 = 3,6.

Totul este simplu aici. Totul a fost deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt numărați, numărați și notați membrii unei progresii aritmetice. Este recomandabil să nu pierdeți cuvintele în starea sarcinii: „final” și „ n = 5". Să nu se numere până când nu este complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Rămâne să scrieți răspunsul:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

O altă sarcină:

3. Determinați dacă numărul 7 este un membru al progresiei aritmetice (a n), dacă a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm ... Cine știe? Cum se determină ceva?

Cum-cum ... Da, notează progresia sub forma unei serii și vezi dacă va fi un șapte acolo sau nu! Consideram:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Acum se vede clar că suntem doar un șapte strecurat prinîntre 6,5 și 7,7! Cei șapte nu au intrat în seria noastră de numere și, prin urmare, cei șapte nu vor fi membri ai progresului dat.

Raspunsul este nu.

Iată o sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:

4. Se scriu mai mulți membri consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15; NS; nouă; 6; ...

Aici se scrie un rând fără sfârșit și început. Fără numere de membri, fără diferență d... E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegem semnificația progresiei aritmetice. Ne uităm și ne gândim la ceea ce este posibil a ști din această serie? Care sunt cei trei parametri principali?

Numere de membri? Nu există un singur număr aici.

Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consecutiv"în stare. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără goluri. Sunt doi în acest rând vecin numere cunoscute? Da este! Acestea sunt 9 și 6. Deci putem calcula diferența progresiei aritmetice! Scădem din cele șase anterior număr, adică nouă:

Au rămas simple fleacuri. Care este numărul anterior pentru X? Cincisprezece. Aceasta înseamnă că x poate fi găsit cu ușurință printr-o simplă adăugare. Adăugați diferența progresiei aritmetice la 15:

Asta e tot. Răspuns: x = 12

Rezolvăm noi înșine următoarele probleme. Notă: aceste probleme nu se referă la formule. Pur pentru a înțelege semnificația unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de numere-litere, privim și gândim.

5. Găsiți primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.

6. Se știe că numărul 5.5 este un membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui membru.

7. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 4; a 5 = 15,1. Găsiți un 3.

8. Scris mai mulți membri consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15,6; NS; 3.4; ...

Găsiți termenul în progresia indicată de litera x.

9. Trenul a început să se deplaseze din gară, mărindu-și constant viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului în cinci minute? Dă-ți răspunsul în km / h.

10. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.

Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; nouă; 0,3; 4.

Totul a funcționat? Minunat! Puteți stăpâni progresia aritmetică la un nivel superior în următoarele lecții.

Nu totul a funcționat? Nici o problemă. În secțiunea specială 555, toate aceste sarcini sunt împărțite în bucăți.) Și, desigur, este descrisă o simplă tehnică practică care evidențiază imediat soluția acestor sarcini în mod clar, clar, ca în palma ta!

Apropo, în puzzle-ul despre tren există două probleme cu care oamenii se împiedică adesea. Unul este pur în progresie, iar al doilea este obișnuit pentru orice probleme din matematică și din fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la unul la altul. În acesta se arată cum ar trebui rezolvate aceste probleme.

În această lecție, am examinat semnificația elementară a progresiei aritmetice și parametrii săi principali. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul va fi decis.

Soluția degetului funcționează bine pentru bucăți de rând foarte scurte, ca în exemplele din această lecție. Dacă rândul este mai lung, calculele devin mai complicate. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare, înlocuiți "cinci minute" pe "treizeci și cinci de minute" problema va deveni mult mai furioasă.)

Și există, de asemenea, sarcini simple în esență, dar incredibile în ceea ce privește calculele, de exemplu:

Vi se oferă o progresie aritmetică (a n). Găsiți un 121 dacă a 1 = 3 și d = 1/6.

Și ce, vom adăuga de multe, de multe ori până la 1/6?! Poți să te sinucizi!?

Puteți.) Dacă nu cunoașteți o formulă simplă, conform căreia astfel de sarcini pot fi rezolvate într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și această problemă este rezolvată acolo. Intr-un minut.)

Dacă vă place acest site ...

Apropo, am câteva site-uri mai interesante pentru dvs.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și aflați nivelul dvs. Testare de validare instantanee. Învățare - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Matematica are propria frumusețe, la fel ca pictura și poezia.

Om de știință rus, mecanic N.E. Jukovski

Problemele legate de conceptul de progresie aritmetică sunt probleme foarte frecvente la examenele de admitere la matematică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, este necesar să cunoaștem bine proprietățile progresiei aritmetice și să avem anumite abilități în aplicarea lor.

Mai întâi amintim principalele proprietăți ale progresiei aritmetice și prezentăm cele mai importante formule, legat de acest concept.

Definiție. Secvență numerică, în care fiecare termen ulterior diferă de cel anterior prin același număr, numită progresie aritmetică. Mai mult, numărulnumită diferența de progresie.

Pentru o progresie aritmetică, următoarele formule sunt valabile

, (1)

Unde . Formula (1) se numește formula pentru termenul general al unei progresii aritmetice, iar formula (2) este proprietatea principală a unei progresii aritmetice: fiecare termen al progresiei coincide cu media aritmetică a termenilor săi învecinați și.

Rețineți că tocmai datorită acestei proprietăți progresia considerată este numită „aritmetică”.

Formulele de mai sus (1) și (2) sunt generalizate după cum urmează:

(3)

Pentru a calcula suma primul membrii progresiei aritmeticede obicei se aplică formula

(5) unde și.

Ținând cont de formula (1), atunci formula (5) implică

Dacă denotăm, atunci

Unde . Deoarece, atunci formulele (7) și (8) sunt o generalizare a formulelor corespunzătoare (5) și (6).

În special , formula (5) implică, ce

Proprietatea progresiei aritmetice, formulată prin intermediul teoremei următoare, este printre cele puțin cunoscute de majoritatea studenților.

Teorema. Daca atunci

Dovadă. Daca atunci

Teorema este dovedită.

De exemplu , folosind teorema, se poate arăta că

Să trecem la examinarea exemplelor tipice de rezolvare a problemelor pe tema „Progresia aritmetică”.

Exemplul 1. Să și. Găsi .

Soluţie. Aplicând formula (6), obținem. De când și, atunci sau.

Exemplul 2. Să fie de trei ori mai mult și, când împărțim la în coeficient, obținem 2 și restul 8. Determinați și.

Soluţie. Condiția exemplului implică sistemul de ecuații

Deoarece ,, și, apoi din sistemul de ecuații (10) obținem

Soluția la acest sistem de ecuații este și.

Exemplul 3. Găsiți dacă și.

Soluţie. Conform formulei (5), avem sau. Cu toate acestea, folosind proprietatea (9), obținem.

De atunci și, apoi de la egalitate urmează ecuația sau.

Exemplul 4. Găsiți dacă.

Soluţie.Prin formula (5), avem

Cu toate acestea, folosind teorema, se poate scrie

Din aceasta și din formula (11) obținem.

Exemplul 5. Dat:. Găsi .

Soluţie. De atunci. Cu toate acestea, prin urmare.

Exemplul 6. Să, și. Găsi .

Soluţie. Folosind formula (9), obținem. Prin urmare, dacă, atunci sau.

De când și, atunci aici avem sistemul de ecuații

Rezolvând ceea ce, obținem și.

Rădăcina naturală a ecuației este un.

Exemplul 7. Găsiți dacă și.

Soluţie. Deoarece prin formula (3) avem asta, atunci din starea problemei rezultă sistemul de ecuații

Dacă înlocuiți expresiaîn a doua ecuație a sistemului, atunci primim sau.

Rădăcinile ecuației pătratice suntși .

Să luăm în considerare două cazuri.

1. Să, atunci. De atunci și atunci.

În acest caz, conform formulei (6), avem

2. Dacă, atunci, și

Răspuns: și.

Exemplul 8. Se știe că și. Găsi .

Soluţie. Luând în considerare formula (5) și starea exemplului, notăm și.

De aici urmează sistemul de ecuații

Dacă înmulțim prima ecuație a sistemului cu 2 și apoi o adăugăm la a doua ecuație, obținem

Conform formulei (9), avem... În acest sens, din (12) rezultă sau.

De atunci și atunci.

Răspuns: .

Exemplul 9. Găsiți dacă și.

Soluţie. Deoarece, și prin condiție, atunci sau.

Din formula (5) se știe, ce . De atunci.

Prin urmare, aici avem un sistem de ecuații liniare

De aici ajungem și. Ținând cont de formula (8), scriem.

Exemplul 10. Rezolvați ecuația.

Soluţie. Din ecuația dată rezultă că. Să presupunem că ,, și. În acest caz .

Conform formulei (1), puteți scrie sau.

Deoarece, atunci ecuația (13) are o singură rădăcină adecvată.

Exemplul 11. Găsiți valoarea maximă cu condiția ca și.

Soluţie. Deoarece, atunci progresia aritmetică considerată este în scădere. În acest sens, expresia capătă valoarea maximă atunci când este numărul termenului pozitiv minim al progresiei.

Folosim formula (1) și faptul, la fel de. Atunci primim asta sau.

De atunci, atunci ... Cu toate acestea, în această inegalitatecel mai mare număr natural, prin urmare.

Dacă valorile și sunt substituite în formula (6), atunci obținem.

Răspuns: .

Exemplul 12. Determinați suma tuturor numerelor naturale din două cifre care, împărțite la 6, dau un rest de 5.

Soluţie. Să notăm prin mulțimea tuturor numerelor naturale din două cifre, adică ... Apoi, construim un subset format din acele elemente (numere) ale mulțimii care, atunci când sunt împărțite la 6, dau restul 5.

Nu este dificil de stabilit, ce . Evident , că elementele setuluiformează o progresie aritmetică, în care și.

Pentru a stabili cardinalitatea (numărul elementelor) unui set, presupunem că. Din și, apoi din formula (1) rezultă sau. Ținând cont de formula (5), obținem.

Exemplele de mai sus de rezolvare a problemelor în niciun caz nu pot pretinde a fi exhaustive. Acest articol este scris pe baza unei analize a metodelor moderne de rezolvare a problemelor tipice pe un subiect dat. Pentru un studiu mai aprofundat al metodelor de rezolvare a problemelor asociate cu progresia aritmetică, este recomandabil să consultați lista literaturii recomandate.

1. Colectarea problemelor în matematică pentru solicitanții la colegiile tehnice / Ed. M.I. Skanavi. - M.: Pace și educație, 2013 .-- 608 p.

2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. - M.: Lenand / URSS, 2014 .-- 216 p.

3. Medynsky M.M. Curs complet de matematică elementară în probleme și exerciții. Cartea 2: Secvențe numerice și progresii. - M.: Edithus, 2015 .-- 208 p.

Mai aveți întrebări?

Pentru a obține ajutor de la un tutore - înregistrați-vă.

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Cineva este precaut cu privire la cuvântul „progresie”, ca un termen foarte complex din ramurile matematicii superioare. Între timp, cea mai simplă progresie aritmetică este opera contorului de taxi (unde rămân încă). Și a înțelege esența (și în matematică nu este nimic mai important decât „înțelegerea esenței”) secvenței aritmetice nu este atât de dificil, după ce am analizat mai multe concepte elementare.

Secvența numerelor matematice

Se obișnuiește să numim o serie de numere printr-o succesiune numerică, fiecare dintre ele având propriul său număr.

a 1 - primul membru al secvenței;

și 2 este al doilea membru al secvenței;

și 7 este al șaptelea membru al secvenței;

și n este al nouălea membru al secvenței;

Cu toate acestea, nu ne interesează niciun set arbitrar de numere și numere. Ne vom concentra atenția asupra secvenței numerice, în care valoarea celui de-al n-lea termen este asociată cu numărul său ordinal printr-o dependență care poate fi clar formulată matematic. Cu alte cuvinte: valoarea numerică a celui de-al n-lea este o funcție a lui n.

a - valoarea unui membru al unei secvențe numerice;

n este numărul său de serie;

f (n) este o funcție în care ordinalul din secvența numerică n este un argument.

Definiție

Se obișnuiește să numim o progresie aritmetică o secvență numerică în care fiecare termen ulterior este mai mare (mai puțin) decât cel anterior cu același număr. Formula pentru al nouălea membru al unei secvențe aritmetice este după cum urmează:

a n - valoarea membrului curent al progresiei aritmetice;

a n + 1 - formula pentru următorul număr;

d - diferență (un anumit număr).

Este ușor să se determine că, dacă diferența este pozitivă (d> 0), atunci fiecare termen ulterior al seriei luate în considerare va fi mai mare decât precedentul și o astfel de progresie aritmetică va crește.

În graficul de mai jos, este ușor de văzut de ce secvența numerică este numită „ascendentă”.

În cazurile în care diferența este negativă (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Valoarea membrului specificat

Uneori este necesar să se determine valoarea oricărui membru arbitrar a n al unei progresii aritmetice. Puteți face acest lucru calculând secvențial valorile tuturor membrilor progresiei aritmetice, începând de la primul până la cel dorit. Cu toate acestea, această cale nu este întotdeauna acceptabilă dacă, de exemplu, este necesar să se găsească semnificația membrului cinci-mi-opt sau opt-milion. Calculul tradițional va dura mult timp. Cu toate acestea, o progresie aritmetică specifică poate fi investigată folosind formule specifice. Există, de asemenea, o formulă pentru al nouălea termen: valoarea oricărui membru al unei progresii aritmetice poate fi definită ca suma primului termen al progresiei cu diferența de progresie, înmulțită cu numărul termenului căutat, scăzut cu unu.

Formula este universală atât pentru progresia crescătoare, cât și pentru cea descrescătoare.

Un exemplu de calcul al valorii unui membru dat

Să rezolvăm următoarea problemă a găsirii valorii celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice.

Condiție: există o progresie aritmetică cu parametri:

Primul termen din secvență este 3;

Diferența în seria numerică este de 1,2.

Atribuire: trebuie să găsiți valoarea a 214 membri

Soluție: pentru a determina valoarea unui termen dat, folosim formula:

a (n) = a1 + d (n-1)

Înlocuind datele din enunțul problemei în expresie, avem:

a (214) = a1 + d (n-1)

a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Răspuns: Al 214-lea termen din secvență este 258,6.

Avantajele acestei metode de calcul sunt evidente - întreaga soluție nu necesită mai mult de 2 linii.

Suma unui număr dat de membri

Foarte des, într-o serie aritmetică dată, este necesar să se determine suma valorilor unui anumit segment al acesteia. Acest lucru nu necesită, de asemenea, calcularea valorilor fiecărui termen și apoi însumarea. Această metodă este aplicabilă dacă numărul de termeni care trebuie găsiți este mic. În alte cazuri, este mai convenabil să utilizați următoarea formulă.

Suma membrilor progresiei aritmetice de la 1 la n este egală cu suma primului și celui de-al nouălea membru, înmulțit cu numărul membrului n și împărțit la doi. Dacă în formulă valoarea celui de-al nouălea termen este înlocuită cu expresia din paragraful anterior al articolului, obținem:

Exemplu de calcul

De exemplu, să rezolvăm o problemă cu următoarele condiții:

Primul termen din secvență este zero;

Diferența este de 0,5.

În problemă, trebuie să determinați suma membrilor seriei de la 56 la 101.

Soluţie. Să folosim formula pentru determinarea sumei progresiei:

s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

În primul rând, determinăm suma valorilor a 101 membri ai progresiei, înlocuind datele condițiilor problemei noastre în formula:

s 101 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2 525

Evident, pentru a afla suma membrilor progresiei de la 56 la 101, este necesar să se scadă S 55 din S 101.

s 55 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742,5

Astfel, suma progresiei aritmetice pentru acest exemplu:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Un exemplu de aplicare practică a progresiei aritmetice

La sfârșitul articolului, să revenim la exemplul secvenței aritmetice date în primul paragraf - un taximetru (contor de taxi). Să luăm în considerare un exemplu.

Urcarea într-un taxi (care include 3 km de cursă) costă 50 de ruble. Fiecare kilometru ulterior este plătit cu o rată de 22 de ruble / km. Distanta de parcurs 30 km. Calculați costul călătoriei.

1. Să aruncăm primii 3 km, al căror preț este inclus în prețul de aterizare.

30 - 3 = 27 km.

2. Calculul ulterior nu este altceva decât o analiză a unei serii de numere aritmetice.

Număr membru - numărul de kilometri parcurși (minus primii trei).

Valoarea membrului este suma.

Primul termen din această problemă va fi egal cu 1 = 50 p.

Diferența de progresie d = 22 p.

numărul care ne interesează este valoarea celui de-al 27-lea termen al progresiei aritmetice - citirea contorului la sfârșitul celui de-al 27-lea kilometru este 27,999 ... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Calculele datelor calendaristice pentru o perioadă lungă de timp în mod arbitrar se bazează pe formule care descriu anumite secvențe numerice. În astronomie, lungimea orbitei este dependentă geometric de distanța corpului ceresc față de luminar. În plus, diferite serii numerice sunt utilizate cu succes în statistici și alte ramuri aplicate ale matematicii.

Un alt tip de secvență numerică este geometric

Progresia geometrică este caracterizată de rate mari de schimbare, în comparație cu aritmetica. Nu întâmplător, în politică, sociologie, medicină, ei spun adesea că procesul se dezvoltă exponențial pentru a arăta rata ridicată de răspândire a unui fenomen, de exemplu, o boală în timpul unei epidemii.

Al N-lea termen al seriei numerice geometrice diferă de cel anterior prin faptul că este înmulțit cu un număr constant - numitorul, de exemplu, primul termen este 1, numitorul este respectiv 2, apoi:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - valoarea membrului curent al progresiei geometrice;

b n + 1 - formula termenului următor al progresiei geometrice;

q este numitorul unei progresii geometrice (număr constant).

Dacă graficul progresiei aritmetice este o linie dreaptă, atunci cea geometrică pictează o imagine ușor diferită:

Ca și în cazul aritmeticii, o progresie geometrică are o formulă pentru valoarea unui termen arbitrar. Orice al n-lea termen al progresiei geometrice este egal cu produsul primului termen de numitorul progresiei la puterea lui n, redus cu unul:

Exemplu. Avem o progresie geometrică cu primul termen egal cu 3 și numitorul progresiei egal cu 1,5. Găsiți al 5-lea termen al progresiei

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15.1875

Suma unui număr dat de membri este calculată în același mod folosind o formulă specială. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este egală cu diferența dintre produsul celui de-al n-lea termen al progresiei și numitorul său și primul termen al progresiei, împărțit la numitorul redus cu unul:

Dacă b n este înlocuit folosind formula considerată mai sus, valoarea sumei primilor n termeni din seria numerică considerată va lua forma:

Exemplu. Progresia geometrică începe cu primul termen egal cu 1. Numitorul este setat egal cu 3. Aflați suma primilor opt termeni.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Deci, să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi câte doriți (în cazul nostru, ele). Indiferent câte numere scriem, putem spune întotdeauna care dintre ele este primul, care este al doilea și așa mai departe până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de secvență numerică:

Secvență numerică
De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr din secvență. Cu alte cuvinte, nu există numere de trei secunde în secvență. Al doilea număr (cum ar fi numărul -th) este întotdeauna unul.
Numărul cu numărul este numit al treilea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență o anumită literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru:.

În cazul nostru:

Să presupunem că avem o secvență numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu:

etc.
Această secvență numerică se numește progresie aritmetică.
Termenul „progresie” a fost introdus de autorul roman Boethius în secolul al VI-lea și a fost înțeles într-un sens mai larg ca o secvență numerică nesfârșită. Numele de „aritmetică” a fost preluat din teoria proporțiilor continue, care a fost ocupată de grecii antici.

Aceasta este o secvență numerică, al cărei membru este egal cu cel precedent, adăugat la același număr. Acest număr se numește diferența progresiei aritmetice și se notează cu.

Încercați să determinați ce secvențe numerice sunt progresia aritmetică și care nu:

A)
b)
c)
d)

Ați înțeles? Să comparăm răspunsurile noastre:
Este un progresie aritmetică - b, c.
Nu este progresie aritmetică - a, d.

Să revenim la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al treilea membru. Exista Două modul de a-l găsi.

1. Metoda

Putem adăuga la valoarea anterioară a numărului progresiei până când ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu mai avem mult de rezumat - doar trei valori:

Deci, al treilea membru al progresiei aritmetice descrise este egal cu.

2. Metoda

Ce se întâmplă dacă ar trebui să găsim valoarea celui de-al treilea termen în progresie? Suma ne-ar dura mai mult de o oră și nu este un fapt faptul că nu ne-am înșela atunci când adăugăm numere.
Desigur, matematicienii au venit cu un mod în care nu este nevoie să adăugați diferența progresiei aritmetice la valoarea anterioară. Aruncați o privire mai atentă asupra imaginii desenate ... Sigur ați observat deja un anumit model, și anume:

De exemplu, să vedem cum se adaugă valoarea celui de-al treilea membru al acestei progresii aritmetice:

Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți în mod independent valoarea unui membru al unei evoluții aritmetice date în acest mod.

Calculat? Comparați notele cu răspunsul:

Vă rugăm să rețineți că ați obținut exact același număr ca și în metoda anterioară, când am adăugat succesiv membrii progresiei aritmetice la valoarea anterioară.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - o vom aduce în formă generală și vom obține:

Ecuația progresiei aritmetice.

Progresiunile aritmetice sunt ascendente și uneori descrescătoare.

Ascendent- progresii în care fiecare valoare ulterioară a membrilor este mai mare decât cea precedentă.
De exemplu:

In scadere- progresii în care fiecare valoare ulterioară a membrilor este mai mică decât cea precedentă.
De exemplu:

Formula derivată este utilizată în calcularea termenilor atât în termeni crescători, cât și în descreștere ai unei progresii aritmetice.
Să verificăm în practică.
Ni se dă o progresie aritmetică constând din următoarele numere: Să verificăm care va fi numărul al treilea al acestei progresii aritmetice dacă folosim formula noastră pentru a o calcula:

De atunci:

Astfel, ne-am asigurat că formula funcționează atât în progresie aritmetică descrescătoare, cât și în creștere.
Încercați să găsiți singur al treilea și al treilea termen al acestei progresii aritmetice.

Să comparăm rezultatele obținute:

Proprietatea de progresie aritmetică

Să complicăm sarcina - vom obține proprietatea progresiei aritmetice.
Să presupunem că ni se dă următoarea condiție:
- progresie aritmetică, găsiți valoarea.
Ușor, spui și începi să numeri după formula pe care o știi deja:

Să, a, apoi:

Absolut corect. Se pare că mai întâi găsim, apoi îl adăugăm la primul număr și obținem ceea ce căutăm. Dacă progresia este reprezentată de valori mici, atunci nu este nimic complicat, dar dacă ni se dau numere în această condiție? Recunoașteți-o, există șansa de a face o greșeală în calcule.
Acum gândiți-vă, este posibil să rezolvați această problemă într-o singură acțiune folosind vreo formulă? Desigur, da, și ea este cea pe care o vom încerca să ne retragem acum.

Să denotăm termenul cerut al progresiei aritmetice ca, știm formula pentru găsirea acestuia - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, atunci:

membrul anterior al progresiei este:
următorul membru al progresiei este:

Să rezumăm membrii anteriori și următori ai progresiei:

Se pare că suma membrilor anteriori și ai următori ai progresiei este valoarea dublată a membrului progresiei situat între ei. Cu alte cuvinte, pentru a găsi valoarea unui membru al progresiei cu valori anterioare și consecutive cunoscute, este necesar să le adunăm și să le împărțim la.

Așa este, avem același număr. Să reparăm materialul. Calculați singur valoarea pentru progresie, pentru că nu este deloc dificil.

Bine făcut! Știi aproape totul despre progresie! Mai rămâne o singură formulă de învățat, care, potrivit legendei, a fost ușor dedusă pentru el de unul dintre cei mai mari matematicieni din toate timpurile, „regele matematicienilor” - Karl Gauss ...

Când Karl Gauss avea 9 ani, un profesor angajat în verificarea muncii elevilor din alte clase a cerut următoarea sarcină în lecție: „Calculați suma tuturor numerelor naturale de la (până la alte surse până la) inclusiv”. Imaginați-vă surpriza profesorului când unul dintre elevii săi (era Karl Gauss) a dat răspunsul corect la problemă într-un minut, în timp ce majoritatea colegilor de clasă ai temerarului, după calcule îndelungate, au primit rezultatul greșit ...

Tânărul Karl Gauss a observat un anumit tipar pe care îl poți observa cu ușurință.
Să presupunem că avem o progresie aritmetică formată din membrii -th: Trebuie să găsim suma membrilor dari ai progresiei aritmetice. Desigur, putem însuma manual toate valorile, dar dacă în sarcină este necesar să găsim suma membrilor săi, așa cum a căutat Gauss?

Să desenăm o progresie dată. Priviți cu atenție numerele evidențiate și încercați să efectuați diverse operații matematice cu ele.

Ai încercat? Ce ai observat? Dreapta! Sumele lor sunt egale

Acum spune-mi, câte astfel de perechi există în progresia dată? Desigur, exact jumătate din toate numerele, adică.
Pe baza faptului că suma a doi membri ai progresiei aritmetice este egală și perechi egale similare, obținem că suma totală este:
.
Astfel, formula pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi următoarea:

În unele probleme, nu cunoaștem al treilea termen, dar cunoaștem diferența în progresie. Încercați să înlocuiți formula cu suma, formula celui de-al treilea termen.
Ce-ai făcut?

Bine făcut! Acum să revenim la problema care i-a fost dată lui Karl Gauss: calculați-vă care este suma numerelor începând de la -th și suma numerelor începând de la -th.

Cât ai obținut?
Gauss a constatat că suma membrilor este egală și suma membrilor. Așa ați decis?

De fapt, formula pentru suma membrilor unei progresii aritmetice a fost dovedită de către vechiul om de știință grec Diophantus în secolul al III-lea și, în acest timp, oamenii înțelepți foloseau la maximum proprietățile unei progresii aritmetice.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul Antic și cel mai ambițios șantier din acea vreme - construcția piramidei ... Imaginea arată o parte a acesteia.

Unde este progresul pe care-l spui aici? Uită-te atent și găsește un model în numărul de blocuri de nisip din fiecare rând al peretelui piramidei.

Nu este o progresie aritmetică? Calculați câte blocuri sunt necesare pentru a construi un perete dacă cărămizi de bloc sunt plasate în bază. Sper că nu veți conta numărându-vă degetul pe monitor, vă amintiți ultima formulă și tot ce am spus despre progresia aritmetică?

În acest caz, progresia arată astfel :.
Diferența progresiei aritmetice.
Numărul de membri ai progresiei aritmetice.
Să substituim datele noastre în ultimele formule (vom număra numărul de blocuri în 2 moduri).

Metoda 1.

Metoda 2.

Și acum puteți calcula pe monitor: comparați valorile obținute cu numărul de blocuri care se află în piramida noastră. A venit împreună? Bravo, ați stăpânit suma termenilor progresiei aritmetice.
Desigur, nu puteți construi o piramidă din blocuri de la bază, dar din? Încercați să calculați câte cărămizi de nisip sunt necesare pentru a construi un perete cu această condiție.
Ai reușit?
Răspunsul corect este blocurile:

A face exerciții fizice

Sarcini:

Masha se formează până în vară. În fiecare zi, crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori se va ghemui Masha în săptămâni, dacă la primul antrenament a făcut ghemuit.
Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
Când depozitați jurnalele, lemnarii le stivuiesc în așa fel încât fiecare strat superior să conțină un jurnal mai puțin decât cel anterior. Câte bușteni sunt într-o singură zidărie, dacă buștenii servesc drept bază pentru zidărie.

Răspunsuri:

Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
(săptămâni = zile).
Răspuns: După două săptămâni, Masha ar trebui să se ghemuit o dată pe zi.
Primul număr impar, ultimul număr.
Diferența progresiei aritmetice.
Numărul de numere impare este de jumătate, cu toate acestea, vom verifica acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al treilea termen al unei progresii aritmetice:
Numerele conțin numere impare.
Înlocuiți datele disponibile în formula:
Răspuns: Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală cu.
Să ne amintim de problema piramidei. Pentru cazul nostru, a, deoarece fiecare strat superior este redus cu un jurnal, atunci doar într-o grămadă de straturi, adică.
Să înlocuim datele în formula:
Răspuns: Există bușteni în zidărie.

Să rezumăm

- o secvență numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Poate fi crescător și descrescător.
Formula de găsire-al membru al progresiei aritmetice este scris prin formula -, unde este numărul de numere din progresie.
Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde este numărul de numere din progresie.
Suma membrilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:

, unde este numărul de valori.

PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MEDIU

Secvență numerică

Să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi câte doriți. Dar puteți spune oricând care este primul, care este al doilea și așa mai departe, adică le putem număra. Acesta este un exemplu de secvență numerică.

Secvență numerică este un set de numere, cărora li se poate atribui un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și singurul. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.

Numărul cu numărul este numit al treilea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență o anumită literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru:.

Este foarte convenabil dacă al treilea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula

setează secvența:

Și formula este următoarea secvență:

De exemplu, o progresie aritmetică este o secvență (primul termen aici este egal și diferența). Sau (, diferență).

Formula termenului al nouălea

Numim recurentă o formulă în care pentru a afla cel de-al treilea membru, trebuie să știți cel anterior sau mai multe anterioare:

Pentru a găsi, de exemplu, al treilea termen al progresiei folosind o astfel de formulă, va trebui să calculăm nouă nouă. De exemplu, să Atunci:

Ei bine, care este formula acum?

În fiecare linie la care adăugăm, înmulțită cu un anumit număr. Pentru ce? Foarte simplu: acesta este numărul de membru actual minus:

Mult mai convenabil acum, nu? Verificăm:

Decideți-vă:

Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al treilea termen și găsiți cel de-al sută termen.

Soluţie:

Primul termen este egal. Care este diferența? Și iată ce:

(este pentru că se numește diferența, care este egală cu diferența membrilor succesivi ai progresiei).

Deci formula este:

Apoi al saselea termen este:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la?

Potrivit legendei, marele matematician Karl Gauss, fiind un băiat de 9 ani, a calculat această sumă în câteva minute. El a observat că suma primului și ultimului număr este egală, suma celui de-al doilea și ultimul, dar unul este la fel, suma celui de-al treilea și al treilea de la sfârșit este aceeași și așa mai departe. Câte astfel de perechi vor exista? Așa este, exact jumătate din numărul tuturor, adică. Asa de,

Formula generală pentru suma primilor membri ai oricărei progresii aritmetice ar fi:

Exemplu:
Găsiți suma tuturor multiplilor din două cifre.

Soluţie:

Primul astfel de număr este. Fiecare următor este obținut prin adăugarea la numărul anterior. Astfel, numerele care ne interesează formează o progresie aritmetică cu primul termen și diferența.

Formula a treia termen pentru această progresie este:

Câți membri sunt în progresie dacă toți trebuie să aibă două cifre?

Foarte usor: .

Ultimul termen din progresie va fi egal. Apoi suma:

Răspuns: .

Acum decideți singur:

În fiecare zi, sportivul aleargă mai mult de m decât ziua precedentă. Câți kilometri va alerga în săptămâni dacă a alergat km m în prima zi?
Un biciclist circulă în fiecare zi cu mai mulți kilometri decât cel precedent. În prima zi, a condus km. De câte zile are nevoie pentru a parcurge km? Câți kilometri va parcurge în ultima zi a călătoriei?
Prețul unui frigider într-un magazin scade cu aceeași sumă în fiecare an. Determinați cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, pus în vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.

Răspunsuri:

Cel mai important lucru aici este să recunoaștem progresia aritmetică și să-i determinăm parametrii. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor membri ai acestei progresii:
.
Răspuns:
Este dat aici :, este necesar să găsim.
Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă sumă ca în problema anterioară:
.
Înlocuiți valorile:
Rădăcina, evident, nu se potrivește, așa că răspunsul este.
Să calculăm distanța parcursă pentru ultima zi folosind formula a treia dată:
(km).
Răspuns:
Dat:. Găsi: .
Nu ar putea fi mai ușor:
(freca).
Răspuns:

PROGRESIA ARITMETICĂ. SCURT DESPRE PRINCIPAL

Aceasta este o secvență numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.

Progresia aritmetică poate fi ascendentă () și descrescătoare ().

De exemplu:

Formula pentru a găsi al n-lea termen al unei progresii aritmetice

scris cu formula, unde este numărul de numere din progresie.

Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice

Vă permite să găsiți cu ușurință un membru al progresiei dacă sunt cunoscuți membrii săi vecini - unde este numărul de numere din progresie.

Suma membrilor unei progresii aritmetice

Există două moduri de a găsi suma:

Unde este numărul de valori.

ARTICOLELE DE 2/3 RESTANTE SUNT DISPONIBILE NUMAI STUDENȚILOR TUI CLIENTI!

Deveniți un student YouClever,

Pregătiți-vă pentru UTILIZARE sau UTILIZARE în matematică la prețul de „o ceașcă de cafea pe lună”,

Și, de asemenea, obțineți acces nelimitat la manualul „YouClever”, la programul de formare „100gia” (reshebnik), la un test nelimitat USE și OGE, 6000 de probleme cu analiza soluțiilor și la alte servicii YouClever și 100gia.

Suma unei progresii aritmetice.

Suma unei progresii aritmetice este un lucru simplu. Atât în sens, cât și în formulă. Dar există tot felul de sarcini pe această temă. De la elementar la destul de solid.

În primul rând, să ne dăm seama de semnificația și formula sumei. Și apoi o vom remedia. Pentru plăcerea dvs.) Sensul sumei este simplu, ca un zumzet. Pentru a găsi suma unei progresii aritmetice, trebuie doar să adăugați cu atenție toți membrii acesteia. Dacă acești termeni sunt puțini, puteți adăuga fără formule. Dar dacă există o mulțime, sau o mulțime ... adăugarea este enervantă.) În acest caz, formula salvează.

Formula sumă arată simplă:

Să ne dăm seama ce litere sunt incluse în formulă. Acest lucru va clarifica foarte mult.

S n - suma progresiei aritmetice. Rezultatul adaosului dintre toate membri cu primul pe ultimul. Este important. Adăugați exact toate membri la rând, fără goluri și sărituri. Și anume, începând cu primul.În sarcini precum găsirea sumei celui de-al treilea și al optulea termen, sau suma celui de-al cincilea până la al douăzecilea termen, aplicarea directă a formulei va fi dezamăgitoare.)

a 1 - primul membru al progresiei. Totul este clar aici, este simplu primul numărul rândului.

a n- ultimul membru al progresiei. Ultimul număr al rândului. Nu este un nume foarte familiar, dar, atunci când este aplicat la suma, este chiar foarte potrivit. Atunci vei vedea singur.

n - numărul ultimului membru. Este important să înțelegem că în formulă acest număr coincide cu numărul de membri adăugați.

Să definim conceptul ultimul membru a n... Întrebare de completare: care membru va fi ultimul dacă este dat fără sfârşit progresie aritmetică?)

Pentru un răspuns încrezător, trebuie să înțelegeți semnificația elementară a progresiei aritmetice și ... citiți cu atenție sarcina!)

În sarcina de a găsi suma unei progresii aritmetice, ultimul termen apare întotdeauna (direct sau indirect), care ar trebui să fie limitată.În caz contrar, suma finală, specifică pur și simplu nu există. Pentru soluție, nu este important care este progresia setată: finită sau infinită. Nu contează cum este setat: printr-un număr de numere sau prin formula celui de-al n-lea termen.

Cel mai important lucru este să înțelegem că formula funcționează de la primul termen al progresiei până la numărul c. n. De fapt, numele complet al formulei arată astfel: suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice. Numărul acestor primii membri, adică n, este determinat exclusiv de sarcină. În sarcină, toate aceste informații valoroase sunt adesea criptate, da ... Dar nimic, în exemplele de mai jos vom dezvălui aceste secrete.)

Exemple de sarcini pentru suma unei progresii aritmetice.

În primul rând, câteva informații utile:

Principala dificultate în sarcini pentru suma unei progresii aritmetice constă în definirea corectă a elementelor formulei.

Autorii sarcinilor criptează aceste elemente cu o imaginație fără margini.) Principalul lucru aici este să nu vă fie frică. Înțelegând esența elementelor, este suficient să le descifrăm pur și simplu. Să aruncăm o privire mai atentă la câteva exemple. Să începem cu o misiune bazată pe un GIA real.

1. O progresie aritmetică este specificată de condiția: a n = 2n-3.5. Găsiți suma primilor 10 membri ai săi.

Bună misiune. Ușor.) Ce trebuie să știm pentru a determina suma după formulă? Primul termen a 1, ultimul termen a n, da numărul ultimului membru n.

De unde să obțineți numărul ultimului membru n? Da în același loc, în stare! Se spune: găsiți suma primii 10 membri. Ei bine, ce număr va fi ultimul, al zecelea membru?) Nu vei crede, numărul său este al zecelea!) Deci, în loc de a nîn formula pe care o vom substitui a 10și în loc de n- zece. Din nou, numărul ultimului membru este același cu numărul membrilor.

Rămâne de determinat a 1și a 10... Acest lucru se calculează cu ușurință prin formula celui de-al n-lea termen, care este dată în enunțul problemei. Nu sunteți sigur cum să faceți acest lucru? Vizitați lecția anterioară, fără ea - nimic.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10= 210 - 3,5 = 16,5

S n = S 10.

Am aflat semnificația tuturor elementelor formulei pentru suma unei progresii aritmetice. Rămâne să le înlocuiți și să numărați:

Cam despre asta e. Răspuns: 75.

O altă sarcină bazată pe GIA. Un pic mai complicat:

2. Vi se oferă o progresie aritmetică (a n), a cărei diferență este de 3,7; a 1 = 2,3. Găsiți suma primilor săi 15 membri.

Scriem imediat formula pentru suma:

Această formulă ne permite să găsim valoarea oricărui membru după numărul său. Căutăm o înlocuire simplă:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Rămâne să înlocuiți toate elementele din formulă cu suma progresiei aritmetice și să calculați răspunsul:

Răspuns: 423.

Apropo, dacă în formulă suma în loc de a n doar înlocuiește formula cu al nouălea termen, obținem:

Oferim altele similare, obținem o nouă formulă pentru suma membrilor unei progresii aritmetice:

După cum puteți vedea, al nouălea termen nu este necesar aici. a n... În unele sarcini, această formulă ajută foarte mult, da ... Vă puteți aminti această formulă. Sau îl puteți afișa pur și simplu la momentul potrivit, ca aici. La urma urmei, formula pentru sumă și formula pentru al nouălea termen trebuie amintite în toate modurile.)

Acum sarcina este sub forma unei scurte criptări):

3. Găsiți suma tuturor numerelor pozitive din două cifre care sunt multipli de trei.

Cum! Nici primul membru, nici ultimul, nici progresia deloc ... Cum să trăiești!?

Trebuie să vă gândiți cu capul și să scoateți toate elementele din suma progresiei aritmetice din afecțiune. Știm ce sunt numerele din două cifre. Acestea sunt formate din două cifre.) Ce număr din două cifre va fi primul? 10, presupun.) ultimul lucru numărul din două cifre? 99, desigur! Cei din trei cifre îl vor urma ...

Multipli de trei ... Hm ... Acestea sunt numere care sunt divizibile cu trei în total, aici! Zece nu este divizibil cu trei, 11 nu este divizibil ... 12 ... este divizibil! Deci, ceva se profilează. Este deja posibil să scrieți o serie după condiția problemei:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Va fi această serie o progresie aritmetică? Desigur! Fiecare membru diferă de cel anterior strict de trei. Dacă adăugăm 2 sau 4 la termen, să zicem, rezultatul, adică noul număr nu va mai fi împărțit în întregime la 3. Pentru grămadă, puteți determina imediat diferența progresiei aritmetice: d = 3. Asta o să ne mai folosească!)

Deci, puteți scrie în siguranță câțiva parametri ai progresiei:

Care va fi numărul n ultimul membru? Oricine crede că 99 greșește fatal ... Numere - merg mereu la rând, iar membrii noștri sar peste primii trei. Nu se potrivesc.

Există două moduri de a o rezolva. O modalitate este pentru cei foarte muncitori. Puteți picta progresia, întreaga serie de numere și puteți număra numărul de membri cu degetul.) A doua cale este pentru cei care gândesc. Trebuie să ne amintim formula pentru al nouălea termen. Dacă aplicăm formula problemei noastre, obținem că 99 este al treizecilea termen al progresiei. Acestea. n = 30.

Ne uităm la formula pentru suma unei progresii aritmetice:

Privim și suntem fericiți.) Am scos din starea problemei tot ce este necesar pentru a calcula suma:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Rămășițe aritmetice elementare. Înlocuim numerele în formulă și numărăm:

Răspuns: 1665

Un alt tip de puzzle-uri populare:

4. Se dă o progresie aritmetică:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Găsiți suma membrilor de la douăzeci și treizeci și patru.

Ne uităm la formula sumei și ... ne supărăm.) Formula, permiteți-mi să vă reamintesc, calculează suma din prima membru. Și în problemă trebuie să calculați suma din al XX-lea ... Formula nu va funcționa.

Puteți, desigur, să pictați întreaga progresie la rând și să adăugați membri de la 20 la 34. Dar ... este oarecum prost și durează mult, nu?)

Există o soluție mai elegantă. Să ne împărțim rândul în două părți. Prima parte va fi de la primul membru până la al XIX-lea. A doua parte - de la douăzeci la treizeci și patru. Este clar că dacă calculăm suma membrilor primei părți S 1-19, da adăugăm cu suma termenilor din partea a doua S 20-34, obținem suma progresiei de la primul termen la al treizeci și al patrulea S 1-34... Asa:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Acest lucru arată că pentru a găsi suma S 20-34 poate fi o simplă scădere

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Ambele sume din partea dreaptă sunt luate în considerare din prima membru, adică formula sumei standard le este destul de aplicabilă. Noțiuni de bază?

Scoatem parametrii progresiei din declarația de problemă:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Pentru a calcula sumele primilor 19 și primilor 34 de membri, vom avea nevoie de membrii 19 și 34. Le numărăm conform formulei celui de-al nouălea termen, ca în problema 2:

a 19= -21,5 + (19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 + (34-1) 1,5 = 28

Nu a mai ramas nimic. Scoateți 19 membri din totalul de 34 de membri:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Răspuns: 262,5

O notă importantă! Există un truc foarte util în rezolvarea acestei probleme. În loc de decontare directă de ce ai nevoie (S 20-34), am numărat ceea ce, s-ar părea, nu este necesar - S 1-19.Și apoi s-au hotărât și S 20-34, eliminând inutilul din rezultatul complet. Un astfel de „truc cu urechile” salvează deseori sarcinile rele.)

În această lecție, am examinat problemele, pentru a căror soluție este suficient să înțelegem semnificația sumei unei progresii aritmetice. Ei bine, trebuie să cunoașteți câteva formule.)

Sfaturi practice:

Atunci când rezolvăm orice problemă pentru suma unei progresii aritmetice, recomand imediat să scriem două formule principale din acest subiect.

Formula celui de-al n-lea termen:

Aceste formule vă vor spune imediat ce trebuie să căutați, în ce direcție să gândiți pentru a rezolva problema. Ajută.

Și acum sarcini pentru o soluție independentă.

5. Găsiți suma tuturor numerelor din două cifre care nu sunt divizibile cu trei.

Super?) Sfatul este ascuns în nota de la sarcina 4. Ei bine, sarcina 3 vă va ajuta.

6. Progresia aritmetică este specificată de condiția: a 1 = -5,5; a n + 1 = a n +0,5. Găsiți suma primilor 24 de membri.

Neobișnuit?) Aceasta este o formulă recurentă. Puteți citi despre aceasta în lecția anterioară. Nu ignorați linkul, astfel de sarcini se găsesc adesea în GIA.

7. Vasya a economisit bani pentru sărbătoare. Până la 4550 de ruble! Și am decis să îi ofer celei mai iubite persoane (eu însumi) câteva zile de fericire). Să trăiești frumos, fără să-ți refuzi nimic. Cheltuiți 500 de ruble în prima zi și cheltuiți cu 50 de ruble mai mult în fiecare zi următoare decât în cea precedentă! Până la epuizarea ofertei de bani. Câte zile de fericire a primit Vasya?

Dificil?) O formulă suplimentară din problema 2 vă va ajuta.

Răspunsuri (în dezordine): 7, 3240, 6.