гар урлал

Уян хатан байдлын онолын асуудлын төрлүүд. Уян хатан байдлын онолын үндсэн тэгшитгэлүүд. Уян хатан байдлын онолын асуудлын төрөл Уян хатан байдлын сонгодог онолын судлах зүйл юу вэ

Оросын улсын их сургууль

тэдгээрийг газрын тос, хий. И.М.Губкина

Техникийн механикийн тэнхим

ХИЙСЭН МЭДЭЭ

"Уян хатан байдлын онол"

Гүйцэтгэсэн: Поляков А.А.

Шалгасан: Евдокимов А.П.

Москва 2011 он

уян хатан байдлын онолын тэгшитгэл

1. Танилцуулга

Биеийн нэг цэг дэх стресс-тарталтын төлөв байдлын онол

2.1 Стрессийн онол

2 Деформацийн онол

3 Уян биетүүдийн хүчдэл ба хэв гажилтын хоорондын хамаарал

Уян хатан байдлын онолын үндсэн тэгшитгэлүүд. Уян хатан байдлын онолын асуудлын төрлүүд

1 Уян хатан байдлын онолын үндсэн тэгшитгэлүүд

2 Уян хатан байдлын онолын асуудлын төрөл

4 Шилжилтийн уян хатан байдлын онолын тэгшитгэл (Доголон тэгшитгэл)

Уян хатан байдлын онолын вариацын зарчим

1 Боломжит шилжилтийн зарчим (Лагранжийн зарчим)

2 Боломжит төлөв байдлын зарчим (Кастиллано зарчим)

3 Лагранж ба Кастильаногийн зарчмууд дээр үндэслэн олж авсан нарийн шийдэл ба шийдлүүдийн хоорондын хамаарал

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

1. Танилцуулга

Хүчдэл ба хэв гажилтын онолыг О.Коши бүтээсэн. Эдгээрийг 1822 онд Парисын Шинжлэх Ухааны Академид ирүүлсэн бүтээл, хураангуй нь 1823 онд хэвлэгдсэн, дараачийн хэд хэдэн өгүүлэлд тусгасан болно. О.Коши элементар тетраэдрийн тэнцвэрийн гурван тэгшитгэл гаргаж, шүргэгч хүчдлийн хосолсон хуулийг баталж, үндсэн тэнхлэг ба үндсэн хүчдэлийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлж, дифференциал тэнцвэрийн тэгшитгэлийг гаргаж авсан (ихэвчлэн тэдгээр нь хүч чадлын явцад үүсдэггүй). материал). Тэрээр мөн радиус векторуудын төгсгөлүүд байрладаг, чиглэлүүд нь талбай руу чиглэсэн нормуудын чиглэлтэй давхцаж, утга нь квадрат язгууртай урвуу пропорциональ байдаг хэвийн хүчдэлийн гадаргууг (Коши квадрат) танилцуулав. Энэ талбайн хэвийн хүчдэлийн үнэмлэхүй утгыг авсан бөгөөд энэ гадаргуу нь эхэнд төвлөрсөн хоёрдугаар эрэмбийн гадаргуу болох нь батлагдсан. Хэвийн хүчдэлийн гадаргууг үндсэн тэнхлэгт хувиргах боломж нь цэг бүрт харилцан хамааралтай гурван перпендикуляр талбай байгааг харуулж байна.

Үүнтэй төстэй зүсэлтийн хүчдэлийн гадаргууг Оросын механик Г.В. Колосов 1933 онд

Орон зай дахь хүчдэлийн төлөвийн геометрийн тайлбарыг хүчдэлийн эллипсоид хэлбэрээр Г.Лам, Б.Клапейрон нар 1828 онд Парисын Шинжлэх Ухааны Академид хүргүүлж, 1833 онд хэвлүүлсэн дурсамж номондоо өгчээ.

Үндсэн тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх нэг цуврал тавцангийн хавтгай дээрх хүчдэлийн төлөвийн геометрийн дүрслэлийг хүчдэлийн тойрог хэлбэрээр К.Кульман 1866 онд номондоо санал болгосон.

Стресс төлөвийн ерөнхий тохиолдлын хувьд хавтгай дээрх геометрийн маш тодорхой тайлбарыг 1882 онд О.Мор (дугуй Морын диаграм гэж нэрлэдэг) өгсөн байдаг. Үүнээс хэд хэдэн чухал дүгнэлтийг хийж болно. үндсэн хүчдэлийн туйл, тангенциал хүчдэл хамгийн их байх талбайн байрлал, эдгээр хамгийн их зүсэлтийн хүчдэлийн утгын тухай.

О.Коши омогуудын тодорхойлолтыг өгч, жижиг суналтын тодорхой тохиолдолд тэдгээрийн шилжилтээс хамаарлыг гаргаж авсан (эдгээр хамаарал нь дүрмээр бол материалын бат бэхийн явцад үүсдэггүй), үндсэн хүчдэл ба үндсэн хүчлийн тухай ойлголтыг тодорхойлсон. омог, мөн изотроп болон анизотроп уян биетийн хувьд стрессийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн деформацийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс хамаарлыг олж авсан. Материалын эсэргүүцлийн хувьд изотроп биетийн хүчдэлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн суналтын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хамаарлыг ихэвчлэн тогтоодог. Тэднийг ерөнхийлсөн Хукийн хууль гэж нэрлэдэг, гэхдээ мэдээжийн хэрэг, энэ нэр нь болзолт юм, учир нь Р.Хук стрессийн тухай ойлголтыг мэддэггүй байв.

Эдгээр хамааралуудад Коши эхлээд хоёр тогтмолыг нэвтрүүлж, хүчдэлийн омогоос хамаарлыг хэлбэрээр бичжээ.

м, ,

Гэсэн хэдий ч хожим О.Коши Л.Навьегийн үзэл баримтлалыг баталсан. Үүний дагуу уян харимхай биетүүд нь молекулуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийн хооронд хэв гажилтын үед молекулуудыг холбосон шулуун шугамын чиглэлд ажилладаг хүчнүүд үүсдэг бөгөөд молекулуудын хоорондох зайны өөрчлөлттэй пропорциональ байдаг. Дараа нь анизотроп биеийн ерөнхий тохиолдолд уян хатан тогтмолуудын тоо 15 байх ба изотроп биеийн хувьд нэг уян тогтмолыг олж авна. С.Пуассон энэ таамаглалыг баримталсан бөгөөд эхэндээ - Г.Лам, Б.Клапейрон нар. Үүн дээр үндэслэн Пуассон хөндлөн деформацийн коэффициент 1/4 болохыг олж мэдэв.

Д.Грин 1839 онд уян харимхай биетүүдийн молекулын бүтцийн таамаглалыг ашиглахгүйгээр омог ба хүчдэлийн хамаарлыг гаргажээ. Тэрээр уян харимхай потенциалын тухай ойлголтыг нэвтрүүлж, энерги хадгалах зарчимд үндэслэн тэдгээрийг олж авсан бөгөөд зургаан хүчдэлийн бүрэлдэхүүн хэсэг дээр зургаан омгийн бүрэлдэхүүн хэсгийн шугаман хамаарлыг ашиглахдаа 36 коэффициентийн 21 нь бие даасан, өөрөөр хэлбэл ерөнхий тохиолдолд анизотроп биет, уян хатан тогтмолуудын тоо 21. Изотроп биетийн хувьд уян хатан тогтмолуудын тоо хоёр болж буурдаг. Анизотроп биеийн уян тогтмолуудын тоо 15, изотроп биетийн хувьд 1 байдаг онолыг заримдаа "нарийн тогтмол" эсвэл "униконстант" гэж нэрлэдэг ба анизотроп биеийн уян тогтмолуудын тоо 21, изотропийн хувьд 2 - "олон тогтмол" .

Эдгээр онолыг дэмжигчдийн хоорондох маргаан нь физикчдийг туршилтын судалгаанд түлхэв.

Г.Вертхайм тэнхлэгийн хурцадмал байдалд шил, металл хоолойн дотоод эзэлхүүний хэмжилт дээр үндэслэн 1848 онд хөндлөн хэв гажилтын коэффициент 1/4-тэй тэнцүү биш болохыг тогтоожээ. Тэрээр өөр өөр материалын хувьд өөр өөр гэж үзсэн боловч олон материалын хувьд энэ нь 1/3-тай ойролцоо байв.

БАС БИ. 1853 онд Купфер металл бариулыг суналт ба мушгихаар туршихдаа зүсэлт ба суналтын модулиудын харьцаа нь 1/4-тэй тэнцэх хөндлөн суналттай тохирохгүй байгааг олж тогтоожээ.

1855 онд Ф.Нейманн тэгш өнцөгт хөндлөн огтлолын дээжийг гулзайлгах зорилгоор туршиж, цацрагийн хоёр нүүрний эргэлтийн өнцгийг хэмжсэн (хөндлөн огтлол нь трапец хэлбэрийн хэлбэрийг авдаг). Үүний үр дүнд тэрээр хөндлөн хэв гажилтын коэффициент 1/4-тэй тэнцүү биш гэдгийг харуулсан. Ф.Нейманы шавь Г.Кирхгоф 1859 онд нэг үзүүрээр нь битүүмжилж, нөгөө талдаа төвлөрсөн хүчээр ачигдсан дугуй гуулин бариулыг үе мөчний нугалах, мушгих туршилтын үндсэн дээр ийм дүгнэлтэд хүрсэн байна. бариулын эргэлтийн өнцгийн хэмжилт ба хэсгийн эргэлтийн өнцгийн .

Янз бүрийн зэрэглэлийн гангийн хөндлөн хэв гажилтын коэффициентүүдийн томоохон туршилтын судалгааг Г.Кирхгофын оюутнуудын нэг М.Ф. Окатов 1865 - 1866 онд Үр дүнг түүний докторын диссертацид өгсөн болно.Нэг талстаас зүсэгдсэн нимгэн призмийг мушгих, гулзайлгах туршилтууд, мөн адил тэгш шахалтын дор талстуудын шахагдах чадварыг шалгах туршилтыг В.Фойгт хийж, дараа нь олон тооны өгүүлэлдээ тайлбарласан болно. 1910 онд хэвлэгдсэн номонд нэгтгэсэн Тэд олон тогтмолын онолын зөвийг баталсан.

Анизотроп биетүүдэд зориулсан Хукийн хуулийн математик бүтцийг гүнзгийрүүлэн судлах ажлыг механик, инженер Ян Рычлевский 1984 онд өөрийн танилцуулсан уян харимхай төлөвийн үзэл баримтлалын үндсэн дээр хийжээ. Тодруулбал, тэрээр 21 уян тогтмол нь зургаан жинхэнэ хөшүүн модуль, 12 хөшүүн байдлын хуваарилагч, гурван өнцгийг илэрхийлдэг болохыг харуулсан.

2. Биеийн цэг дэх стресс-хүчдэлийн төлөвийн онол

1 Стрессийн онол

Уян биеийг ачаалах үед үүсдэг дотоод хүчний хүчин зүйлүүд нь биеийн тодорхой хэсгийн төлөв байдлыг тодорхойлдог боловч хөндлөн огтлолын аль цэг нь хамгийн их ачаалалтай байдаг, эсвэл тэдний хэлснээр аюултай цэг гэсэн асуултанд хариулдаггүй. Тиймээс тухайн цэг дэх биеийн төлөв байдлыг тодорхойлдог нэмэлт хэмжигдэхүүнийг харгалзан үзэх шаардлагатай.

Хэрэв гадны хүч үйлчлэх бие тэнцвэрт байдалд байвал түүний аль ч хэсэгт дотоод эсэргүүцлийн хүч үүсдэг. Энгийн талбайд үйлчилж буй дотоод хүчээр, энэ хэсгийн нормыг дараа нь утгыг илэрхийлнэ

бүрэн хүчдэл гэж нэрлэдэг.

Ерөнхий тохиолдолд нийт стресс нь энгийн талбайн чиглэлтэй давхцдаггүй тул координатын тэнхлэгийн дагуу түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй ажиллах нь илүү тохиромжтой.

Хэрэв гадаад нормаль нь аливаа координатын тэнхлэгтэй, жишээлбэл, X тэнхлэгтэй давхцаж байвал хүчдэлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд хэлбэрийг авах бөгөөд бүрэлдэхүүн хэсэг нь хэсэгтэй перпендикуляр болж хувирч, хэвийн хүчдэл гэж нэрлэгддэг ба бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь хэвтэх болно. огтлолын хавтгай ба зүсэлтийн хүчдэл гэж нэрлэдэг.

Хэвийн ба зүслэгийн хүчдэлийг хялбархан ялгахын тулд бусад тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг: - хэвийн хүчдэл, - зүсэлт.

Гадны хүчний үйлчлэлийн дор нүүр нь координатын хавтгайд параллель, ирмэг нь урттай, хязгааргүй жижиг параллелепипедийг биеэс ялгаж авцгаая. Ийм энгийн параллелепипедийн нүүр тус бүр дээр координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байрлах гурван хүчдэлийн бүрэлдэхүүн хэсэг байдаг. Нийтдээ бид зургаан нүүрэн дээр 18 стрессийн бүрэлдэхүүн хэсгийг авдаг.

Хэвийн стрессийг индекс нь харгалзах нүүрний хэвийн байдлыг илэрхийлдэг (өөрөөр хэлбэл утгыг авч болно) гэж тэмдэглэнэ. Шилжилтийн ачаалал нь дараах хэлбэртэй байна; энд эхний индекс нь өгөгдсөн шилжилтийн стресс үйлчилж буй талбайн хэвийн хэмжээтэй тохирч, хоёр дахь нь энэ хүчдэл чиглэсэн тэнхлэгийг параллель заана (Зураг 1).

Зураг 1. Хэвийн ба зүсэлтийн хүчдэл

Эдгээр хүчдэлийн хувьд дараах тэмдгийн дүрмийг баримтална. Хэвийн стресс нь хурцадмал байдалд эерэг гэж тооцогддог, эсвэл энэ нь түүний ажиллаж буй талбайн гаднах хэвийн чиглэлтэй давхцаж байгаа тохиолдолд тэнцүү байна. Хэрэв хэвийн хэмжээ нь түүнтэй параллель координатын тэнхлэгийн чиглэлтэй давхцаж байгаа талбай дээр энэ хүчдэлд харгалзах эерэг координатын тэнхлэг рүү чиглэсэн байвал тангенциал стрессийг эерэг гэж үзнэ.

Стрессийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь гурван координатын функцууд юм. Жишээлбэл, координаттай цэг дээрх хэвийн стрессийг тэмдэглэж болно

Харгалзан үзэж буй цэгээс хязгааргүй бага зайд байгаа цэг дээр эхний эрэмбийн хязгааргүй жижиг хүртэлх хүчдэлийг Тейлорын цувралд өргөтгөж болно.

Хавтгайтай параллель байрладаг платформуудын хувьд зөвхөн х-координат нь өөрчлөгддөг ба өсөлтүүд Иймээс хавтгайтай давхцаж буй параллелепипедийн нүүрэн дээр хэвийн хүчдэл байх болно. Тиймээс хүчдэлийн 18 бүрэлдэхүүн хэсгээс зөвхөн ес нь тодорхойгүй байна.

Уян хатан байдлын онолд зүсэлтийн хүчдэлийн хосолсон хууль батлагдсан бөгөөд үүний дагуу харилцан перпендикуляр хоёр талбайн дагуу эдгээр талбайн огтлолцлын шугамд перпендикуляр зүсэлтийн хүчдэлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд хоорондоо тэнцүү байна.

Тэгш байдал (2) нь биеийн аль нэг цэг дэх стрессийн төлөвийг тодорхойлдог есөн стрессийн бүрэлдэхүүн хэсгээс зөвхөн зургаа нь л үлддэг болохыг харуулж байна.

Стресс (3) нь тухайн цэг дэх биеийн стрессийн төлөв байдлыг тодорхойлдог төдийгүй өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог болохыг харуулж байна. Эдгээр стрессүүдийн хослол нь тэгш хэмтэй матрицыг үүсгэдэг бөгөөд үүнийг стресс тензор гэж нэрлэдэг.

(4)

Тензорыг скаляр утгаар үржүүлэхэд бүх бүрэлдэхүүн хэсэг нь анхны тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс хэд дахин их шинэ тензорыг олж авдаг.

2 Деформацийн онол

Гадны ачааллын нөлөөн дор уян харимхай бие нь хэлбэрээ өөрчилж, хэв гажилд ордог. Энэ тохиолдолд биеийн цэгүүд шинэ байр суурь эзэлдэг. Уян биетийн хэв гажилтыг тодорхойлохын тулд ачаалал өгөхөөс өмнө болон дараа биеийн цэгүүдийн байрлалыг харьцуулна.

Ачаалалгүй биеийн цэг болон ачаалсны дараа түүний шинэ байрлалыг авч үзье. Векторыг цэгийн шилжилтийн вектор гэж нэрлэдэг (Зураг 2).

Зураг 2. Цэг хөдөлж буй вектор

Хоёр төрлийн нүүлгэн шилжүүлэлт боломжтой: бүх биеийг бүхэлд нь хэв гажилтгүйгээр нүүлгэн шилжүүлэх - ийм шилжилтийг онолын механикаар туйлын хатуу биетийн шилжилт, биеийн хэв гажилттай холбоотой шилжилтийг судалдаг - ийм шилжилтийг онолоор судалдаг. уян хатан байдлын.

Координатын тэнхлэгүүд дээрх цэгийн шилжилтийн векторын проекцуудыг тус тусад нь тэмдэглэе. Эдгээр нь цэгүүдийн харгалзах координатуудын зөрүүтэй тэнцүү ба:

ба координатын функцууд нь:

Биеийн хэв гажилт нь түүний янз бүрийн цэгүүдийн шилжилтийн зөрүүгээс үүсдэг. Дурын цэгийн ойролцоо уян хатан биеэс таслагдсан ирмэг бүхий хязгааргүй жижиг параллелепипед нь түүний цэгүүдийн янз бүрийн шилжилтийн улмаас ирмэгийн урт нь өөрчлөгдөж, нүүрний хоорондох зөв өнцгийг гажуудуулахаар хэв гажсан байна.

Зураг 3.3-т энэ параллелепипедийн хоёр ирмэгийг харуулсан бөгөөд ирмэгийн урт нь тэнцүү, ирмэг нь

Деформацийн дараа цэгүүд байр сууриа эзэлнэ.Энэ тохиолдолд тухайн цэг нь зургийн хавтгайд байгаа бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь тэнцүү байх ба цэгээс хязгааргүй бага зайд тусгаарлагдсан цэг нь шилжилтийг хүлээн авна. бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь координатын өөрчлөлтийн улмаас цэгийн шилжилтийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс хязгааргүй бага утгаар ялгаатай байх болно

Зураг 3. Шугаман ба өнцгийн хэв гажилт

Координатын өөрчлөлтийн улмаас цэгийн шилжилтийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь цэгийн шилжилтийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс хязгааргүй бага утгаараа ялгаатай байх болно.

Деформацийн дараах тэнхлэг дээрх хавирганы проекцын урт:

Тэнхлэг дээрх хавирганы үнэмлэхүй суналтын проекц

Тэнхлэгийн дагуух харьцангуй суналт

(6)

тэнхлэгийн чиглэлд шугаман хэв гажилт гэнэ.

Үүний нэгэн адил тэнхлэгийн чиглэлийн дагуух шугаман хэв гажилт ба

(7)

Параллелепипедийн ирмэгүүдийн хоорондох өнцгийн өөрчлөлтийг авч үзье (Зураг 3). Хавтгай дахь хавирганы эргэлтийн өнцгийн тангенс

А хэв гажилтын жижиг байдлаас шалтгаалан шугаман хэв гажилт нь нэгдмэл байдалтай харьцуулахад бага учраас үл тоомсорлож болно, дараа нь

Үүний нэгэн адил та хавирганы эргэлтийн өнцгийг ижил хавтгайд тодорхойлж болно.

Тэгш өнцгийн гажуудлыг өнцгийн хэв гажилт гэж нэрлэдэг бөгөөд хавирганы эргэлтийн өнцгийн нийлбэрээр тодорхойлогддог ба:

(8)

Үүнтэй адилаар өөр хоёр координатын хавтгай дахь өнцгийн хэв гажилтыг тодорхойлно.

(9)

Томъёо (6)-(9) нь шилжилтийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн шугаман болон өнцгийн хэв гажилтын зургаан үндсэн хамаарлыг өгдөг. Эдгээр хамаарлыг Коши тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

(10)

Параллелепипедийн ирмэгийн урт тэг болох хандлагатай байгаа хязгаарт Коши хамаарал нь тухайн цэгийн ойролцоо шугаман болон өнцгийн хэв гажилтыг тодорхойлдог.

Эерэг шугаман хэв гажилт нь суналт, сөрөг нь богиносгоход тохирно. Харгалзах координатын тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлүүдийн хоорондох өнцөг буурч, сөрөг үед шилжих өнцгийг эерэг гэж үзнэ.

Стресс тензорын нэгэн адил өгөгдсөн цэг дэх биеийн хэв гажилтын төлөвийг деформацийн тензороор дүрсэлдэг.

(11)

Стресс тензорын нэгэн адил омог тензор нь есөн бүрэлдэхүүн хэсгийг агуулсан тэгш хэмтэй матриц бөгөөд тэдгээрийн зургаа нь өөр байдаг.

2.3 Уян биетүүдийн ачаалал ба суналтын хамаарал

Стресс ба омог хоорондын хамаарал нь физик шинж чанартай байдаг. Жижиг суналтаар хязгаарлагдах тул хүчдэл ба суналтын хоорондын хамаарлыг шугаман гэж үзэж болно.

Бариулыг хурцадмал байдалд туршихдаа (материалын механик туршилтыг дараагийн хэсэгт нарийвчлан авч үзэх болно) нэг чиглэлд хэвийн хүчдэл ба шугаман хэв гажилтын хооронд пропорциональ хамаарлыг тогтоодог бөгөөд үүнийг Хукийн хууль гэж нэрлэдэг.

энд уян хатан тогтмолыг уртааш уян хатан байдлын модуль гэнэ.

Туршилтын нэгэн адил урт ба хөндлөн чиглэлд шугаман хэв гажилтын хоорондын хамаарлыг тогтоов.

Энд - хөндлөн чиглэлд шугаман хэв гажилт, - хоёр дахь уян хатан тогтмол, Пуассоны харьцаа гэж нэрлэдэг.

Цэвэр зүслэгийн механик туршилтуудад энэ хүчдэлийн үйлчлэлийн хавтгай дахь зүсэлтийн ачаалал ба өнцгийн хэв гажилтын хооронд шууд пропорциональ хамаарлыг тогтоосон бөгөөд үүнийг Хукийн зүслэгийн хууль гэж нэрлэдэг:

Энд утга нь гурав дахь уян тогтмол байх ба зүсэлтийн модуль гэнэ. Гэсэн хэдий ч, энэ уян хатан тогтмол биш, учир нь эхний хоёртой холбоотой

Хүчдэл ба хүчдэлийн хоорондын хамаарлыг тогтоохын тулд бид биеэс хязгааргүй жижиг параллелепипедийг (Зураг 1) сонгож, зөвхөн хэвийн хүчдэлийн үйлдлийг авч үздэг. энэ нь жижиг байдлын дээд эрэмбийн хэв гажилтанд хүргэдэг.

Хавирганы суналтыг хүчдэлтэй зэрэгцүүлэн тодорхойлъё. Энэ стрессийн нөлөөн дор Гукийн хуулийн (3.12) дагуу хавирганы харьцангуй сунгалт үүснэ.

Стресс нь хавирганы перпендикуляр чиглэлд ижил төстэй суналт үүсгэдэг

ба хавирганы чиглэлд - (13) -ын дагуу богиноссон

эсвэл хэв гажилтын илэрхийллийг харгалзан

Үүний нэгэн адил стрессийн нөлөөн дор хавирганы харьцангуй богиноссон байдлыг тодорхойлно

Хүчний үйлчлэлээс хамааралгүй байх зарчимд үндэслэн хавирганы нийт харьцангуй сунгалтыг стресс бүрийн нөлөөллөөс үүсэх сунгалтын нийлбэрээр тодорхойлж болно.

Үүний нэгэн адил, бусад хоёр тэнхлэгийн чиглэлийн дагуу шугаман хэв гажилтыг тодорхойлж болно.

Хукийн шилжилтийн хуулийн (14) дагуу өнцгийн хэв гажилт ба зүсэлтийн хүчдэлийн хамаарлыг координатын хавтгайтай параллель гурван хавтгай тус бүрээр тусад нь илэрхийлж болно.

Ийнхүү изотроп уян биетийн деформаци ба стрессийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хоорондын шугаман хамаарлыг илэрхийлдэг зургаан томьёог олж авсан бөгөөд үүнийг ерөнхий Хукийн хууль гэж нэрлэдэг.

(16)

3. Уян хатан байдлын онолын үндсэн тэгшитгэл. Уян хатан байдлын онолын асуудлын төрлүүд

Уян хатан байдлын онолын гол ажил бол биеийг ачаалах, бэхлэх өгөгдсөн нөхцлүүдийн дагуу стресс-хүчдэлийн төлөвийг тодорхойлох явдал юм.

Стрессийн тензор (үүд) ба шилжилтийн векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүд есөн функц олдвол стресс-хэмжилтийн төлөвийг тодорхойлно.

3.1 Уян хатан байдлын онолын үндсэн тэгшитгэлүүд

Эдгээр есөн функцийг олохын тулд уян хатан байдлын онолын үндсэн тэгшитгэлийг бичих ёстой, эсвэл:

Дифференциал Коши

(17)

Коши хэв гажилтын шугаман хэсгийн тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүд хаана байна;

радиусын дагуу шилжилтийн деривативын тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүд.

Дифференциал тэнцвэрийн тэгшитгэл

стресс тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүд хаана байна; j тэнхлэг дээрх биеийн хүчний проекц юм.

Шугаман уян изотроп биеийн Хукийн хууль

Доголон тогтмолууд хаана байна; изотроп биеийн хувьд. Энд хэвийн ба зүслэгийн ачаалал; сунгах ба зүсэлтийн өнцөг тус тус.

Дээрх тэгшитгэлүүд нь Сент-Венантийн хамаарлыг хангах ёстой

Уян хатан байдлын онолд бүх үндсэн тэгшитгэлүүд хангагдсан тохиолдолд асуудал шийдэгдэнэ.

2 Уян хатан байдлын онолын асуудлын төрөл

Биеийн гадаргуу дээрх хилийн нөхцөл хангагдсан байх ёстой бөгөөд хилийн нөхцлийн төрлөөс хамааран уян хатан байдлын онолд гурван төрлийн асуудал байдаг.

Эхний төрөл. Биеийн гадаргуу дээр хүчийг өгдөг. Хилийн нөхцөл

Хоёр дахь төрөл. Биеийн гадаргуу дээр нүүлгэн шилжүүлэлтийг тодорхойлсон асуудлууд. Хилийн нөхцөл

Гурав дахь төрөл. Уян хатан байдлын онолын холимог асуудлууд. Биеийн гадаргуугийн нэг хэсэгт хүчийг өгч, шилжилтийг биеийн гадаргуугийн нэг хэсэгт өгдөг. Хилийн нөхцөл

Биеийн гадаргуу дээр хүч, шилжилтийг тодорхойлсон боловч биеийн доторх хүчдэл-хүчдэлийн төлөвийг олох шаардлагатай бөгөөд гадаргуу дээр тодорхойлогдоогүй асуудлуудыг шууд асуудал гэж нэрлэдэг. Гэсэн хэдий ч биеийн доторх ачаалал, хэв гажилт, шилжилт гэх мэтийг зааж өгсөн бол биеийн дотор заагаагүй зүйл, түүнчлэн биеийн гадаргуу дээрх шилжилт, хүчдэлийг тодорхойлох шаардлагатай (өөрөөр хэлбэл Стресс-стрессийн төлөв байдлыг үүсгэсэн шалтгаанууд)), дараа нь ийм асуудлуудыг урвуу гэж нэрлэдэг.

4 Шилжилтийн уян хатан байдлын онолын тэгшитгэл (Доголон тэгшитгэл)

Шилжилтийн уян хатан байдлын онолын тэгшитгэлийг тодорхойлохын тулд бид дараахь зүйлийг бичнэ: дифференциал тэнцвэрийн тэгшитгэл (18) Шугаман уян изотроп биеийн Хукийн хууль (19)

Хэрэв бид хэв гажилтыг шилжилт хөдөлгөөнөөр илэрхийлдэг болохыг харгалзан үзвэл (17) бид дараахь зүйлийг бичнэ.

Шилжилтийн өнцөг нь нүүлгэн шилжүүлэлттэй дараахь хамаарлаар хамааралтай болохыг санах нь зүйтэй (17):

(23)

(22) илэрхийлэлийг тэгшитгэлийн эхний тэгшитгэлд (19) орлуулснаар бид хэвийн стрессийг олж авна.

(24)

Энэ тохиолдолд u тэмдэглэгээ нь i-ийн нийлбэр гэсэн үг биш гэдгийг анхаарна уу.

(23) илэрхийлэлийг тэгшитгэлийн хоёр дахь тэгшитгэлд (19) орлуулснаар бид зүсэлтийн хүчдэлийг олж авна.

(25)

j = 1-ийн хувьд тэнцвэрийн тэгшитгэлийг (18) өргөтгөсөн хэлбэрээр бичье

(26)

Энгийн (24) ба тангенциал (25) хүчдэлийг тэгшитгэлийн (26) илэрхийлэлд орлуулж бид олж авна.

Энд λ нь дараах илэрхийллээр тодорхойлогддог доголон тогтмол юм.

Бид (28) илэрхийллийг (27) тэгшитгэлд орлуулж бичнэ.

Энд (22) илэрхийллээр эсвэл өргөтгөсөн хэлбэрээр тодорхойлогддог

Бид (29) илэрхийллийг G-д хувааж, ижил төстэй нөхцлүүдийг нэмээд эхний Доголон тэгшитгэлийг олж авна.

(30)

гэж тодорхойлсон Лаплас оператор (гармоник оператор) хаана байна

(31)

Үүний нэгэн адил та дараахь зүйлийг авах боломжтой.

(32)

(30) ба (32) тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

(33)

(33) эсвэл (30) ба (32) тэгшитгэлүүд нь доголон тэгшитгэл юм. Хэрэв биеийн хүч нь тэг эсвэл тогтмол байвал

(34)

үүнээс гадна, энэ тохиолдолд тэмдэглэгээ нь i дээр нийлбэр гэсэн үг биш юм. Энд

Шилжилтийг гармоник функцээр ингэж дүрслэх нь Доголон тэгшитгэлийг (33) адилтгал болгон хувиргадаг болохыг харуулж болно. Ихэнхдээ тэдгээрийг Попкович-Гродскийн нөхцөл гэж нэрлэдэг. Дөрвөн гармоник функц шаардлагагүй, учир нь φ0-ийг тэгтэй тэнцүүлж болно.

4. Уян хатан байдлын онолын вариацын зарчим.

1 Боломжит шилжилтийн зарчим (Лагранжийн зарчим)

Лагранжийн зарчим. Тэнцвэрт байгаа биетийн хувьд хязгааргүй бага шилжилтийн боломжит өсөлтүүд дээр гадаад ба дотоод хүчний ажил тэг байна.

Клапейроны теоремыг ашиглан уян харимхай биетийн шилжилтийг өөрчлөх замаар бид Лагранжийн зарчмыг олж авна.

Деформацийн биетүүдийн механикт бие махбодид тавигдах гадаад ба дотоод хязгаарлалтыг хангадаг ийм шилжилтийг хийх боломжтой.

Гадаад холболтууд нь бэхэлгээний нөхцөл, дотоод холболт нь тасралтгүй байх нөхцөл юм.

Дотоод хязгаарлалтыг хангахын тулд шилжилтийн өсөлт нь координатын тасралтгүй нэг утгатай функц байх шаардлагатай.

Энэ хэлбэрээр Лагранжийн зарчим нь аливаа хэв гажилттай биед хүчинтэй байна.

Уян биетүүдийн хувьд үүнийг олж авсан

(41)

Дараа нь (40) (41) -ийг харгалзан үзэж болно

(42)

Энд W нь тодорхой ачаалал, ба

Энд U нь биеийн бүх боломжит энергийн хэлбэлзэл юм.

Бид (43) илэрхийллийг (42) гэж орлуулж, хүч нь өөрчлөгддөггүй тул бид үүнийг бичнэ.

(44)

Тэгшитгэл (44) нь Лагранжийн вариацын тэгшитгэл юм.

Хэрэв хүчнүүд консерватив бол эхний хоёр интеграл нь хэв гажилтгүй төлөвөөс хэв гажилт руу шилжих үед гадны хүчний потенциалын өөрчлөлтийг илэрхийлнэ.

Гадны хүчний боломж

(45)

Үүнд - хэв гажилтгүй төлөвөөс хэв гажилтын төлөвт шилжих үеийн гадаад хүчний боломжит ажлыг гадны хүч өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна гэсэн таамаглалаар тооцоолно. Системийн нийт энерги

Дараа нь (44) - (46) илэрхийллийг харгалзан Лагранжийн зарчмыг бичнэ.

өөрөөр хэлбэл боломжит шилжилтүүд дээр тэнцвэрийн байрлал дахь системийн нийт энергийн хэлбэлзэл тэгтэй тэнцүү байна. Илэрхийлэл (47) нь зөвхөн консерватив хүчний үйлчлэлд хамаарах Лагранжийн вариацын тэгшитгэл юм.

Тогтвортой тэнцвэрийн байрлалд P нийт энерги хамгийн бага,

Лагранжийн зарчим бол хамгийн бага энергийн зарчим юм.

2 Боломжит төлөв байдлын зарчим (Кастиллано зарчим)

Бид гадаад ба дотоод хүчинд нийцсэн, өөрөөр хэлбэл тэнцвэрийн тэгшитгэлийг хангасан төлөвүүдийг боломжит төлөв гэж нэрлэх болно.

Тэгшитгэл (57) нь Кастильаногийн зарчмыг бичдэг. Биеийн стрессийн төлөв байдалд гарч болзошгүй өөрчлөлтүүдийн хувьд хэлбэлзэл нь гадаргуугийн боломжит хүч ба шилжилтийн бүтээгдэхүүнээс шилжилтийг өгсөн биеийн гадаргуугийн хэсэг дээрх интегралтай тэнцүү байна.

Лагранжийн зарчимд үндэслэн зарим функц эсвэл тэдгээрийн багцыг сонгох, мөн функцүүдийн багц хязгаарлагдмал тул бид системийн эрх чөлөөний зэрэглэлийг бага хэмжээгээр олж авдаг бөгөөд ингэснээр бүтцийн эрх чөлөөний зэргийг бууруулдаг. Өөрөөр хэлбэл, энергийн утгаараа шийдэл нь яг нэгээс илүү хатуу болж хувирдаг.

Хэрэв бид интеграл шинж чанаруудыг авбал ойролцоо шийдэл нь илүү хатуу интеграл болно.

Нугастай дам нурууг завсрын дунд хэсэгт хөндлөн хүчээр ачаалах асуудлыг шийдэх үед (Зураг 1) ойролцоо шийдэл нь тодорхой шийдэлтэй харьцуулахад хүчний дор бага шилжилтийг өгнө.

яг шийдэл

Кастильаногийн вариацын зарчмыг ашиглан ижил асуудлыг шийдвэрлэх үед тасралтгүй байдлын нөхцөл хангагдаагүй тул систем бодит байдлаас илүү их эрх чөлөөг олж авдаг.

Яг шийдэл нь эдгээр хоёр ойролцоо аргын (Лагранж, Кастильано) хооронд оршдог. Заримдаа олж авсан шийдлүүдийн хоорондох ялгаа бага байдаг.

5. Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

1. Александров А.В., Потапов В.Д. Уян ба уян хатан байдлын онолын үндэс. 400 хуудас. Дээд сургууль 1990 он.

2. Veretimus D.K. Уян хатан байдлын онолын үндэс I хэсэг Стрессийн онол "Уян уян хатан байдлын онолын үндэс" хичээлийн арга зүйн гарын авлага. 2005.-37 он.

Veretimus D.K. Уян хатан байдлын онолын үндэс II хэсэг Деформацийн онол. Хүчдэл ба хэв гажилтын төлөвийн хамаарал "Уян уян хатан байдлын онолын үндэс" хичээлийн арга зүйн гарын авлага, 2005.-53х.

Veretimus D.K. Уян хатан байдлын онолын үндэс III хэсэг Уян хатан байдлын онолын үндсэн тэгшитгэл Уян хатан байдлын онолын асуудлын төрөл "Уян уян хатан байдлын онолын үндэс" хичээлийн арга зүйн гарын авлага, 2005.-45х.

Ачааллын нөлөөн дор амарч байгаа эсвэл хөдөлж буй биед.

1. Уян хатан байдлын онолын асуудал

Энэхүү онолын даалгавар бол математикийн тэгшитгэлийг бичих явдал бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь дараахь асуултуудад хариулах боломжийг олгодог.

Мэдэгдэж буй газруудад тухайн биед өгөгдсөн утгын ачаалал өгвөл түүний хэв гажилт ямар байх вэ?
биеийн хурцадмал байдал ямар байх вэ?

Асуулт нь, бие нь нурж, эдгээр ачааллыг тэсвэрлэх болно, уян хатан байдлын онолтой нягт холбоотой, гэхдээ хатуухан хэлэхэд түүний чадварт хамаарахгүй.

Тулгуур дээрх ачаалалтай цацрагийн хэв гажилт, стрессийг тодорхойлохоос эхлээд нисэх онгоц, пуужин, шумбагч онгоцны их бие, танкийн хуяг дахь машины дугуй дахь ижил параметрүүдийг тооцоолох хүртэл олон жишээ бий. сум тавих, уулын нуруунд, өндөр барилгын хүрээ гэх мэт.

Инженерийн асуудлын хувьд уян хатан байдлын онол дээр суурилсан логикийн хувьд хялбаршуулсан онолын дагуу бүтэц дэх хүчдэл ба суналтыг тооцоолно. Эдгээр онолд дараахь зүйлс орно. материалын бат бэх, түүний даалгавар бол саваа ба дам нурууг тооцоолох, түүнчлэн хатуу биетүүдийн контактын харилцан үйлчлэлийн бүсэд үүсэх стрессийг үнэлэх; бүтцийн механик- баарны системийн дизайн (жишээлбэл, гүүр), ба бүрхүүлийн онол- хэв гажилт ба стрессийн шинжлэх ухааны бие даасан, сайн хөгжсөн салбар бөгөөд түүний сэдэв нь нимгэн ханатай бүрхүүлүүд - цилиндр, конус, бөмбөрцөг, нарийн төвөгтэй хэлбэрүүд юм.

2. Уян хатан байдлын онолын үндсэн ойлголтууд

Уян хатан байдлын онолын үндсэн ойлголтууд нь өгөгдсөн P цэгээр дамжуулан биед оюун ухаанаар зурж болох жижиг хавтгайд үйлчилдэг стресс, P цэгийн жижиг хөршийн хэв гажилт, P цэгийн өөрөө шилжилт хөдөлгөөн юм. нарийн, механик хүчдэлийн тензор, жижиг омог тензор, шилжилтийн векторыг танилцуулсан. чи би.Богино тэмдэглэгээ , Хаана индексүүд би, ж 1, 2, 3 утгыг авна уу (эсвэл x, y, z)хэлбэрээр матриц гэж ойлгох хэрэгтэй:

Тензорын богино тэмдэглэгээг мөн адил ойлгох хэрэгтэй.

Хэрэв хэв гажилтын улмаас M биеийн физик цэг P " орон зайд шинэ байр суурь эзэлсэн бол шилжилтийн вектор нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор юм. (у х, у у, у з),эсвэл товчхондоо чи би.Жижиг хэв гажилтын онолд бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн чи биба бага хэмжигдэхүүн гэж тооцогддог (хатуухан хэлэхэд, хязгааргүй бага). Тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг бас нэрлэдэг хүчдэлийн тензор Кошиэсвэл шугаман хүчдэлийн тензорба вектор чи бихолбогдох хамаарал:

Сүүлийн оруулгаас харахад , Иймээс деформацийн тензор нь тодорхойлолтоор тэгш хэмтэй байна.

Хэрэв гадны хүчний нөлөөн дор уян харимхай бие тэнцвэрт байдалд байгаа бол (өөрөөр хэлбэл түүний бүх цэгүүдийн хурд 0-тэй тэнцүү), үүнээс оюун ухаанаар тусгаарлагдах биеийн аль ч хэсэг нь тэнцвэрт байдалд байна. Хязгааргүй жижиг тэгш өнцөгт параллелепипедийг биеэс гаргаж авсан бөгөөд түүний нүүр нь декартын системийн координатын хавтгайтай параллель байна. Ирмэгийн хэмжээтэй параллелепипедийн тэнцвэрийн нөхцлөөс dx, dy, dz,Төлөвлөлт дэх хүчний тэнцвэрийн нөхцөлийг харгалзан үзээд бид дараахь зүйлийг олж авах боломжтой.

Үүний нэгэн адил параллелепипед дээр ажиллаж буй бүх хүчний үндсэн моментийн тэгтэй тэнцүү байдлыг илэрхийлсэн тэнцвэрийн тэгшитгэлийг олж авч, дараах хэлбэрт оруулав.

Энэ тэгш байдал нь стресс тензор нь тэгш хэмтэй тензор бөгөөд стресс тензорын үл мэдэгдэх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоо 6 хүртэл буурдаг гэсэн үг юм. Зөвхөн гурван тэнцвэрийн тэгшитгэл байдаг, өөрөөр хэлбэл. Статикийн тэгшитгэл нь асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалтгүй юм. Үүнээс гарах арга бол Хукийн хуулийн тэгшитгэлийг ашиглан дарамтыг деформациар илэрхийлж, дараа нь шилжилтээр дарамтыг илэрхийлэх явдал юм. чи биКоши томъёог ашиглан үр дүнг тэнцвэрийн тэгшитгэлд орлуулна. Энэ тохиолдолд үл мэдэгдэх гурван функцтэй холбоотой гурван дифференциал тэнцвэрийн тэгшитгэлийг олж авна u x u y u z,тэдгээр. үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тоотой тохирч байх болно. Эдгээр тэгшитгэлийг Навье-Коши тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

3. Хилийн нөхцөл

Уян хатан байдлын онолын асуудлын шийдэл нь уян хатан биеийн дотоод цэгүүд дэх үйл ажиллагааг тодорхойлдог хэсэгчилсэн дериватив дахь дифференциал тэгшитгэлийн системийг нэгтгэх явдал юм. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь биеийг хязгаарлаж буй гадаргуугийн нөхцлүүдээр нэмэгддэг. Эдгээр нөхцөлүүд нь гаднах гадаргуугийн хүч эсвэл биеийн гадаргуу дээрх цэгүүдийн шилжилтийн үүргийг тодорхойлдог. Үүнээс хамааран гурван төрлийн хилийн бодлогын аль нэгийг нь ихэвчлэн томъёолдог.

Эхний хилийн утгын асуудал- кинематик. Биеийн эзэлхүүн дээр шилжилтийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд олддог бөгөөд тэдгээр нь гадаргуу дээр тодорхой утгыг олж авдаг. Биеийн гадаргуу дээрх нөхцөлд гадаргуугийн тэгшитгэл ба түүн дээрх шилжилтийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн утгыг ийнхүү тогтооно.

Хоёр дахь хилийн утгын асуудал- статик. Энэ тохиолдолд биеийн гадаргуу дээр хөдөлгөөнд хязгаарлалт тавьдаггүй бөгөөд гадаргуугийн косинусыг гадаргуу руу чиглүүлдэг гадаргуугийн тэгшитгэлүүд ба гадаргуугийн ачааллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн утгыг тодорхойлдог.

Биеийн гадаргуу нь координатын хавтгайтай давхцаж байгаа тохиолдолд хилийн нөхцлүүдийг шууд стрессээр томъёолж болно. Дараа нь гадаргуугийн тэгшитгэлийг зааж, үүн дээр стрессийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн утгыг тохируулахад хангалттай.

Гурав дахь хилийн бодлогын асуудал- холимог. Энэ тохиолдолд биеийн гадаргуугийн нэг хэсэгт кинематик нөхцөл, нөгөө талд нь статик нөхцөлийг тогтооно.

Эдгээр гурван асуудал нь бүх төрлийн хилийн нөхцлүүдийг шавхдаггүй. Жишээлбэл, гадаргуугийн зарим хэсэгт шилжилтийн гурван бүрэлдэхүүн хэсэг эсвэл гадаргуугийн ачааллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг бүгдийг нь зааж өгөөгүй байж болно.

4. Мөн үзнэ үү

Эх сурвалжууд

Тимошенко С.П., Goodyear Ж.Уян хатан байдлын онол. М.: Наука, 1979. 560 х.

Уян хатан байдлын ОНОЛ- ачааллын нөлөөгөөр амарч буй буюу хөдөлж буй биеийн шилжилт, хэв гажилт, хүчдэлийг судалдаг тасралтгүй механикийн салбар. Энэхүү онолын зорилго нь математик тэгшитгэлийг гаргах явдал бөгөөд түүний шийдэл нь дараахь асуултуудад хариулах боломжийг олгодог: хэрэв мэдэгдэж буй газруудад өгөгдсөн утгын ачааллыг түүнд өгөхөд энэ биет ямар хэв гажилт үүсэх вэ? Биеийн хурцадмал байдал ямар байх вэ? Бие нь эдгээр ачааллыг тэсвэрлэх эсвэл нурах эсэх нь уян хатан байдлын онолтой нягт холбоотой боловч хатуухан хэлэхэд энэ онолын чадварт хамаарахгүй.

Боломжит жишээнүүдийн тоо хязгааргүй юм - тулгуур дээр хэвтэж, хүч ачаалалтай цацрагийн хэв гажилт, стрессийг тодорхойлохоос эхлээд нисэх онгоц, хөлөг онгоц, шумбагч онгоц, вагоны дугуйны бүтцэд ижил утгыг тооцоолох хүртэл. сум тусах үед хуягт, уулын нуруунд, уулын бэлээр өнгөрөхдөө, өндөр барилгын хүрээ гэх мэт. Энд захиалга хийх шаардлагатай: нимгэн ханатай элементүүдээс бүрдэх бүтцийг уян хатан байдлын онол дээр үндэслэн логикоор хялбаршуулсан онолын дагуу тооцоолно; Ийм онолд дараахь зүйлс орно: ачааллын үйлчлэлд материалын эсэргүүцлийн онол (алдарт "сопромат"), түүний даалгавар нь голчлон саваа, дам нурууг тооцоолох явдал юм; бүтцийн механик - баарны системийг тооцоолох (жишээлбэл, гүүр); Эцэст нь, бүрхүүлийн онол нь хэв гажилт, стрессийн талаархи бие даасан, маш өндөр хөгжсөн шинжлэх ухааны салбар бөгөөд түүний сэдэв нь хамгийн чухал бүтцийн элементүүд болох нимгэн ханатай бүрхүүлүүд - цилиндр, конус, бөмбөрцөг хэлбэртэй байдаг. , мөн илүү төвөгтэй хэлбэртэй байна. Тиймээс уян хатан байдлын онолд ихэвчлэн чухал хэмжээсүүд нь тийм ч их ялгаатай байдаггүй биетүүдийг авч үздэг. Тиймээс мэдэгдэж буй хүчнүүд ажилладаг өгөгдсөн хэлбэрийн уян биеийг авч үздэг.

Уян хатан байдлын онолын үндсэн ойлголтууд нь өгөгдсөн цэгээр дамжуулан бие махбодид оюун ухаанаар дамжуулж болох жижиг хэсгүүдэд нөлөөлдөг стрессүүд юм. М, цэгийн жижиг хөршийн хэв гажилт Ммөн цэгийг өөрөө хөдөлгөх М. Илүү нарийн, стресс тензорууд s ij, жижиг штамм тензор e ijболон шилжилтийн вектор чи би.

Богино тэмдэглэгээ s ij, индексүүд хаана байна би, j 1, 2, 3 утгыг дараах хэлбэрийн матриц гэж ойлгох хэрэгтэй.

Тензорын богино тэмдэглэгээ e ij.

Хэрэв биеийн физик цэг Мхэв гажилтын улмаас орон зайд шинэ байр суурь эзэллээ М´, тэгвэл шилжилтийн вектор нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор ( u x u y u z), эсвэл товчхондоо, чи би. Жижиг хэв гажилтын онолд бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн чи бимөн e бибага хэмжигдэхүүн гэж тооцогддог (хатуухан хэлэхэд, хязгааргүй бага). Электрон тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүд ijба вектор у ijДараах хэлбэртэй Коши томъёогоор холбогддог.

Эндээс харахад e xy=e yx, ерөнхийд нь хэлэхэд, e ij=e жи, тиймээс омог тензор нь тодорхойлолтоороо тэгш хэмтэй байна.

Хэрэв гадны хүчний нөлөөн дор уян харимхай бие тэнцвэрт байдалд байвал (өөрөөр хэлбэл түүний бүх цэгүүдийн хурд 0-тэй тэнцүү), үүнээс оюун ухаанаар тусгаарлагдах биеийн аль ч хэсэг нь тэнцвэрт байдалд байна. Жижиг (хатуухан хэлэхэд, хязгааргүй жижиг) тэгш өнцөгт параллелепипед нь их биеээс ялгарч, нүүр нь декартын системийн координатын хавтгайтай параллель байрладаг. Оксиз(Зураг 1).

Параллелепипедийн ирмэгийг урттай болго dx, dy, dzтус тус (энд ердийнх шиг dxдифференциал байдаг x, гэх мэт). Стрессийн онолын дагуу стресс тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь параллелепипедийн нүүрэн дээр ажилладаг бөгөөд эдгээрийг дараахь байдлаар тэмдэглэв.

ирмэг дээр OADG:s хх, с xy, с xz

ирмэг дээр OABC:s yx, с yy, с yz

ирмэг дээр DABE:s zx, с zy, с zz

ижил индекстэй бүрэлдэхүүн хэсгүүд (жишээлбэл, s хх) нүүрэнд перпендикуляр үйлчилдэг бол өөр өөр индекстэй хүмүүс талбайн хавтгайд үйлчилдэг.

Эсрэг талын нүүрэн дээр ижил нэртэй стресс тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн утгууд бага зэрэг ялгаатай байдаг нь тэдгээр нь координатын функцууд бөгөөд цэгээс цэг рүү өөрчлөгддөгтэй холбоотой (хамгийн энгийн тохиолдлуудаас бусад тохиолдолд үргэлж), өөрчлөлтийн жижиг хэмжээ нь параллелепипедийн жижиг хэмжээтэй холбоотой тул хэрэв зааг дээр байгаа гэж бид үзэж болно. OABCхүчдэл s yy, дараа нь ирмэг дээр байна GDEFхүчдэл s yy+ds yy, мөн жижиг утга ds yyяг жижиг учраас үүнийг Тейлорын цувралын өргөтгөлийг ашиглан тодорхойлж болно:

(энд стресс тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь хамаардаг тул хэсэгчилсэн деривативуудыг ашигладаг x, y, z).

Үүний нэгэн адил бүх нүүрэн дээрх стрессийг s-ээр илэрхийлж болно ijболон ds ij. Цаашилбал, стрессээс хүч рүү шилжихийн тулд та стрессийн хэмжээг түүний ажиллаж буй талбайн хэмжээгээр үржүүлэх хэрэгтэй (жишээлбэл, s yy+ds yy-ээр үржүүлнэ dx dz). Параллелепипед дээр ажиллаж буй бүх хүчийг тодорхойлох үед статикт хийдэг шиг биеийн тэнцвэрийн тэгшитгэлийг бичиж болно, харин үндсэн векторын бүх тэгшитгэлд зөвхөн деривативтай нөхцлүүд л үлдэх болно, учир нь стрессүүд өөрсдөө байдаг. бие биенээ цуцлах, хүчин зүйлүүд dx dy dzбагасч, үр дүнд нь

Үүний нэгэн адил параллелепипед дээр ажиллаж буй бүх хүчний үндсэн моментийн тэгтэй тэнцүү байдлыг илэрхийлсэн тэнцвэрийн тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд эдгээрийг дараах хэлбэрт оруулав.

Эдгээр тэгш байдал нь стресс тензор нь тэгш хэмтэй тензор гэсэн үг юм. Ийнхүү үл мэдэгдэх 6 бүрэлдэхүүн хэсгийн хувьд s ijгурван тэнцвэрийн тэгшитгэл байдаг, i.e. Статикийн тэгшитгэл нь асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалтгүй юм. Үүнээс гарах арга бол стрессийг илэрхийлэх явдал юм ijхэв гажилтаар дамжуулан e ijХукийн хуулийн тэгшитгэлийг ашиглан, дараа нь хэв гажилт e ijшилжилт хөдөлгөөнөөр илэрхийлнэ чи биКоши томъёог ашиглан үр дүнг тэнцвэрийн тэгшитгэлд орлуулна. Энэ тохиолдолд үл мэдэгдэх гурван функцтэй холбоотой гурван дифференциал тэнцвэрийн тэгшитгэлийг олж авна u x u y u z, өөрөөр хэлбэл үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тоотой тэнцүү байна. Эдгээр тэгшитгэлийг Доголон тэгшитгэл гэж нэрлэдэг

биеийн хүчийг (жин гэх мэт) тооцдоггүй

D нь Лаплас оператор, өөрөөр хэлбэл.

Одоо бид биеийн гадаргуу дээр хилийн нөхцлийг тогтоох хэрэгтэй;

Эдгээр нөхцлийн үндсэн төрлүүд нь дараах байдалтай байна.

1. Шилжилтийг биеийн гадаргуугийн мэдэгдэж буй хэсэг дээр өгсөн S 1, i.e. шилжилтийн вектор нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй мэдэгдэж буй вектортой тэнцүү байна ( f x; е y; е z ):

у х = е(xyz)

чи у= е(xyz)

у z= е(xyz)

(f x, f y, fzмэдэгдэж байгаа координатын функцууд)

2. Гадаргуугийн үлдсэн хэсэгт С 2-т гадаргуугийн хүчийг өгсөн. Энэ нь биеийн доторх стрессийн тархалт нь гадаргуугийн ойролцоох стрессийн утгууд ба хязгаарт - үндсэн хэсэг бүрийн гадаргуу дээр бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй мэдэгдэж буй гадаад ачааллын вектортой тэнцүү стресс векторыг үүсгэдэг гэсэн үг юм. ( F x ;Fy ; Фз) гадаргуугийн хүч. Математикийн хувьд үүнийг дараах байдлаар бичнэ: хэрэв цэг дээр АГадаргуугийн нэгж хэвийн вектор нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй байна n x, н ж, nzдараа нь энэ үед (үл мэдэгдэх) бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тэгшитгэлүүд s ij:e ij, дараа нь гурван үл мэдэгдэхийн хувьд бид зургаан тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл хэт тодорхойлогдсон системийг авна. Энэ систем нь зөвхөн нэмэлт нөхцөл хангасан тохиолдолд шийдэлтэй байх болно e ij. Эдгээр нөхцөл нь нийцтэй байдлын тэгшитгэл юм.

Эдгээр тэгшитгэлийг ихэвчлэн тасралтгүй байдлын нөхцөл гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь хэв гажилтын дараа биеийн тасралтгүй байдлыг хангадаг гэсэн үг юм. Энэ илэрхийлэл нь дүрсэлсэн боловч буруу байна: эдгээр нөхцөл байдал нь хэв гажилтын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг (эсвэл стресс) үл мэдэгдэх байдлаар авсан тохиолдолд тасралтгүй шилжилтийн талбар байгааг баталгаажуулдаг. Эдгээр нөхцлийг хангахгүй байх нь тасралтгүй байдлыг зөрчихөд хүргэдэггүй, харин асуудлыг шийдвэрлэх арга зам байхгүй болно.

Ийнхүү уян хатан байдлын онол нь ялгах тэгшитгэл ба хилийн нөхцлүүдийг өгдөг бөгөөд энэ нь хилийн утгын бодлого боловсруулах боломжийг олгодог бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь авч үзэж буй бие дэх хүчдэл, ачаалал, шилжилтийн тархалтын талаархи бүрэн мэдээллийг өгдөг. Ийм асуудлыг шийдвэрлэх аргууд нь маш нарийн төвөгтэй бөгөөд хүчирхэг компьютер ашиглан аналитик аргуудыг тоон аргуудтай хослуулснаар хамгийн сайн үр дүнд хүрдэг.

Владимир Кузнецов

УЯНМАЛТЫН ОНОЛЫН ҮНДЭС

УЯНМАЛТЫН ОНОЛЫН тэнхлэгийн симметрийн асуудал

УЯНМАЛТЫН ОНОЛЫН ҮНДЭС

Үндсэн заалтууд, таамаглалууд, тэмдэглэгээнүүд Энгийн параллелепипед ба элементар тетраэдрийн тэнцвэрийн тэгшитгэл. Налуу тавцангийн дагуух хэвийн ба зүсэлтийн хүчдэл

Нэг цэгийн үндсэн хүчдэл ба хамгийн их зүсэлтийн хүчдэлийг тодорхойлох. Октаэдр талбайн ачаалал Шилжилтийн тухай ойлголт. Деформаци ба шилжилтийн хоорондын хамаарал. Хамаатан садан

дурын чиглэлд шугаман хэв гажилт Деформацийн нийцлийн тэгшитгэл. Изотроп биетийн тухай Хукийн хууль Тэгш өнцөгт координат дахь хавтгайн бодлого Туйлын координат дахь хавтгайн бодлого

Уян хатан байдлын онолын асуудлын боломжит шийдлүүд. Шилжилт ба хүчдэлийн асуудлын шийдэл Температурын орон байгаа эсэх. Цилиндр координат дахь тэгшитгэлийн ЭНГИЙН тэнхлэгийн тэгшитгэлийн асуудал (үргэлжлэл) хэсгийн товч дүгнэлт.

Зузаан ханатай бөмбөрцөг хэлбэрийн савны хэв гажилт Хавтгай дээр үйлчлэх төвлөрсөн хүч

Уян хагас орон зайг ачаалах онцгой тохиолдлууд: тойргийн талбайн дээгүүр жигд ачаалал, "хагас бөмбөрцгийн дагуух тойргийн талбайд ачаалах", урвуу асуудал. Туйлын хатуу бөмбөгийг уян хатан хагас руу оруулах. зай. Бөмбөлөгний уян хатан нуралтын асуудал ЗУЗААН ХАМТАЙ ХООЛОЙ

Ерөнхий мэдээлэл. Хоолойн элементийн тэнцвэрийн тэгшитгэл Аль нэг хэлхээний даралтын дор үүсэх хүчдэлийн судалгаа. Уян хэв гажилтын бат бэхийн нөхцөл Нийлмэл хоолой дахь хүчдэл. Олон давхаргат хоолойн тооцооны тухай ойлголт Тооцооллын жишээ

ЯЛТАН, МЕМБРАН Үндсэн тодорхойлолт, таамаглал

Тэгш өнцөгт координат дахь хавтангийн муруй дунд гадаргуугийн дифференциал тэгшитгэл Хавтангийн цилиндр ба бөмбөрцөг гулзайлт

Дугуй хавтангийн тэнхлэгийн тэгш хэмтэй гулзайлтын гулзайлтын моментууд. Дугуй хавтангийн муруй дунд гадаргуугийн дифференциал тэгшитгэл Дугуй хавтан дахь хилийн нөхцөл. Хамгийн их ачаалал ба хазайлт. хүч чадлын нөхцөл. Хавтан дахь дулааны стресс

Мембран дахь хүчийг тодорхойлох. Гинжин хэлхээний хүч ба хурцадмал байдал. Дугуй диафрагмын хазайлт ба хүчдэлийг ойролцоогоор тодорхойлох Тооцооллын жишээ Тооцооллын жишээ (үргэлжлэл)

1.1 Үндсэн заалтууд, таамаглалууд, тэмдэгтүүд

Уян хатан байдлын онол нь уян харимхай биеийн стресс-дазалалын төлөвийг аналитик судлахад чиглэгддэг. Уян хатан байдлын онолын тусламжтайгаар эсэргүүцлийн таамаглалыг ашиглан олж авсан шийдлүүдийг шалгаж болно

материал, эдгээр шийдлийн хэрэглээний хязгаарыг тогтооно. Заримдаа уян хатан байдлын онолын хэсгүүдийг материалын эсэргүүцэлтэй адилаар тухайн хэсгийн тохирох эсэх асуудлыг авч үздэг боловч нэлээд төвөгтэй математикийн аппаратыг (хавтан, бүрхүүл, массивын тооцоо) ашигладаг. уян хатан байдлын онолын хувьд.

Энэ бүлэгт уян хатан байдлын математик шугаман онолын үндсэн ойлголтуудыг тоймлон харуулав. Физик үзэгдлийн тайлбарт математикийн хэрэглээ нь тэдгээрийн схемийг шаарддаг. Уян хатан байдлын математикийн онолд асуудлыг хамгийн бага таамаглалаар шийддэг бөгөөд энэ нь шийдэлд ашигладаг математик аргуудыг төвөгтэй болгодог. Уян хатан байдлын шугаман онол нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хүчдэл ба суналтын хооронд шугаман хамаарал байгаа гэж үздэг. Олон тооны материалын хувьд (резин, цутгамал төмрийн зарим сорт) ийм хамаарлыг бага зэрэг хэв гажилттай байсан ч хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй: уян хатан байдлын хүрээнд σ - ε диаграмм нь ачих, буулгах үед ижил хэлбэртэй байдаг. Аль ч тохиолдолд энэ нь муруй хэлбэртэй байна. Ийм материалыг судлахдаа уян хатан байдлын шугаман бус онолын хамаарлыг ашиглах шаардлагатай.

IN Уян хатан байдлын математик шугаман онол нь дараахь таамаглал дээр суурилдаг.

1. Орчуулагчийн тасралтгүй байдал (тасралтгүй байдал) дээр. Энэ тохиолдолд бодисын атомын бүтэц буюу оршихуйямар ч хоосон зайг тооцохгүй.

2. Хүчний үйлдэл хийхээс өмнө үүссэн биеийн анхны стресс (гажиг) төлөвийг харгалзан үздэггүй байгалийн төлөв байдал, өөрөөр хэлбэл биеийг ачаалах үед хэв гажилт үүсдэг гэж үздэг. ба түүний аль нэг цэг дээрх хүчдэл нь тэгтэй тэнцүү байна. Анхны хүчдэл байгаа тохиолдолд уян хатан байдлын шугаман онолын хамаарлыг зөвхөн үүссэн хүчдэлд (эхний ба нөлөөллийн нийлбэр) хэрэглэж чадвал энэ таамаглал хүчинтэй байх болно.

3. Нэг төрлийн байдлын тухайд, үүний үндсэн дээр биеийн бүтэц нь бүх цэгүүдэд ижил байна гэж үздэг. Металлын хувьд энэ таамаглал нь том алдаа гаргадаггүй ч бетоны хувьд бага хэмжээгээр авч үзэхэд ихээхэн алдаа гардаг.

4. Бөмбөрцөг изотропийн тухай, үүний үндсэн дээр гэж үздэгматериалын механик шинж чанар бүх чиглэлд ижил байна. Металл талстууд ийм шинж чанартай байдаггүй, гэхдээ олон тооны жижиг талстуудаас бүрдэх металлын хувьд энэ таамаглал үнэн гэж бид үзэж болно. Янз бүрийн чиглэлд механик шинж чанар бүхий материалын хувьд, жишээлбэл, ламинатан хуванцар зэрэгт ортотроп ба анизотроп материалын уян хатан байдлын онолыг боловсруулсан.

5. Тохиромжтой уян хатан байдлын тухай, үүний үндсэн дээр ачааллыг арилгасны дараа деформаци бүрэн алга болно гэж үздэг. Мэдэгдэж байгаагаар аливаа ачааллын дор бодит биед үлдэгдэл хэв гажилт үүсдэг. Тиймээс таамаглал

6. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн омог хоорондын шугаман хамаарал дээр бастресс.

7. Деформацийн жижиг байдлын талаар, үүний үндсэн дээр харьцангуй шугаман ба өнцгийн хэв гажилт нь нэгдмэл байдалтай харьцуулахад бага байна гэж үздэг. Резин зэрэг материал эсвэл ороомог пүрш зэрэг элементүүдийн хувьд их хэмжээний уян хатан хэв гажилтын онолыг боловсруулсан.

Уян хатан байдлын онолын асуудлыг шийдвэрлэхдээ шийдлийн өвөрмөц байдлын теоремыг ашигладаг. Хэрэв өгөгдсөн гадаад гадаргуу ба биеийн хүч тэнцвэрт байдалд байвал тэдгээр нь хүчдэл ба шилжилтийн нэг системд тохирно.Уусмалын өвөрмөц байдлын байрлал нь зөвхөн биеийн байгалийн төлөв байдлын таамаглал (өөрөөр хэлбэл хязгааргүй тооны шийдлүүд боломжтой) болон хэв гажилт ба гадны хүчний хоорондох шугаман хамаарлын таамаглал хүчинтэй байвал хүчинтэй байна.

Уян хатан байдлын онолын асуудлыг шийдвэрлэхдээ Сент-Венант зарчмыг ихэвчлэн ашигладаг. Хэрэв уян харимхай биеийн жижиг хэсэгт үйлчлэх гадны хүчийг ижил хэсэгт үйлчлэх хүчний статик эквивалент системээр (ижил үндсэн вектор, ижил гол моменттэй) сольсон бол энэ орлуулалт нь зөвхөн орон нутгийн хэв гажилтын өөрчлөлтийг бий болгоно. .

Гадны ачаалал өгч буй газраас хангалттай алслагдсан цэгүүдэд хүчдэл нь тэдгээрийн хэрэглээний аргаас бага зэрэг хамаардаг. Материалын эсэргүүцлийн явцад Сент-Венантийн зарчмын үндсэн дээр хүч эсвэл төвлөрсөн момент хэлбэрээр бүдүүвчээр илэрхийлсэн ачаалал нь үнэндээ хэвийн ба зүслэгийн ачаалал нь нэг талаараа эсвэл өөр хэлбэрээр тархсан байдаг. биеийн гадаргуугийн тодорхой хэсэг. Энэ тохиолдолд өөр өөр хүчдэлийн хуваарилалт нь ижил хүч эсвэл хос хүчтэй тохирч болно. Сент-Венантийн зарчимд үндэслэн биеийн гадаргуугийн хэсэг дэх хүчний өөрчлөлт нь эдгээр хүчийг хэрэглэх газраас хангалттай хол зайд байрлах цэгүүдийн хүчдэлд бараг ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй гэж үзэж болно. ачаалагдсан талбайн шугаман хэмжээсүүд).

Биед сонгогдсон судалж буй талбайн байрлалыг (1-р зураг) тэгш өнцөгт координатын x, y, z тэнхлэгүүдийн сонгосон систем дэх хэвийн N-ийн чиглэлийн косинусуудаар тодорхойлно.

Хэрэв P нь А цэг дээр сонгогдсон элементар талбайд үйлчилж буй дотоод хүчний үр дүн юм бол энэ цэг дэх хэвийн N-тэй талбайн дагуух нийт хүчдэл p N нь харьцааны хязгаар гэж тодорхойлогдоно.

дараах хэлбэр:

p N векторыг огторгуйд харилцан перпендикуляр гурван бүрэлдэхүүн хэсэг болгон задалж болно.

2. Бүрэлдэхүүн хэсгүүд рүү σ N , τ N s ба τ N t талбайн хэвийн чиглэлд (хэвийн хүчдэл) ба талбайн хавтгайд байрлах харилцан перпендикуляр хоёр тэнхлэг s ба t (Зураг 1б) (шүргэх). стресс). Зураг 1-ийн дагуу b

Хэрэв биеийн хэсэг эсвэл талбай нь координатын аль нэг хавтгайтай параллель байвал, жишээ нь y0z (Зураг 2) бол координатын гурав дахь тэнхлэг х нь энэ хэсэгт хэвийн байх ба хүчдэлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь σ x тэмдэглэгээтэй байна. , τ xy ба τ xz .

Хэвийн стресс нь суналтын үед эерэг, шахалтын үед сөрөг байдаг. Шилжилтийн стрессийн шинж тэмдгийг дараах дүрмийг ашиглан тодорхойлно. хэрэв талбайн дагуух эерэг (суналтын) хэвийн хүчдэл нь эерэг проекцийг өгдөг бол шүргэгч

ижил талбай дээрх стрессийг эерэг гэж үзнэ, хэрэв энэ нь мөн харгалзах тэнхлэгт эерэг төсөөлөл өгдөг; Хэрэв суналтын хэвийн хүчдэл сөрөг проекцийг өгдөг бол эерэг зүсэлтийн хүчдэл нь харгалзах тэнхлэгт сөрөг проекц өгөх ёстой.

Зураг дээр. Жишээлбэл, координатын хавтгайтай давхцаж буй энгийн параллелепипедийн нүүрэн дээр ажилладаг бүх стрессийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд эерэг байна.

Уян биетийн цэг дээрх хүчдэлийн төлөвийг тодорхойлохын тулд энэ цэгийг дайран өнгөрөх гурван харилцан перпендикуляр талбайн нийт хүчдэлийг p N мэдэх шаардлагатай. Нийт стресс бүрийг гурван бүрэлдэхүүн хэсэг болгон задалж болох тул есөн стрессийн бүрэлдэхүүн хэсэг мэдэгдэж байвал стрессийн төлөвийг тодорхойлно. Эдгээр бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг матриц хэлбэрээр бичиж болно

цэг дээрх стресс тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн матриц гэж нэрлэдэг.

Матрицын хэвтээ шугам бүр нь нэг хэсэгт үйлчилдэг гурван стресс бүрэлдэхүүнийг агуулдаг, учир нь эхний дүрсүүд (хэвийн нэр) тэдний хувьд ижил байдаг. Тензорын босоо багана бүр нь ижил тэнхлэгт параллель гурван хүчдэл агуулдаг, учир нь хоёр дахь тэмдгүүд (стресс үйлчлэх параллель тэнхлэгийн нэр) ижил байна.

1.2 Энгийн параллелепипедийн тэнцвэрийн тэгшитгэл

ба энгийн тетраэдр

Хүчдэлд орсон уян биеийн судлаж буй А цэгт (x, y, z координаттай) dx, dy, dz ирмэгийн хэмжээтэй энгийн параллелепипедийг харилцан перпендикуляр гурван хос хавтгайгаар хуваарилъя (Зураг 2). А цэгтэй (координатын хавтгайд хамгийн ойрхон) зэргэлдээх гурван харилцан перпендикуляр нүүр тус бүр дээр гурван стрессийн бүрэлдэхүүн хэсэг ажиллах болно - хэвийн ба хоёр тангенциал. Тэдгээр нь А цэгтэй зэргэлдээх нүүрний дагуу эерэг байна гэж бид таамаглаж байна.

А цэгийг дайран өнгөрөх нүүрнээс параллель нүүр рүү шилжих үед хүчдэлүүд өөрчлөгдөж, өсөлтийг хүлээн авдаг. Жишээлбэл, стрессийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь σ x \u003d f 1 (x, y, z), τ xy \u003d f 2 (x, y, z,), τ xz \u003d f 3 (x, y, z,) , дараа нь нэг нүүрээс нөгөөд шилжих үед зөвхөн нэг х координатын өсөлтөөс болж зэрэгцээ нүүрний дагуу,

Стрессийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд Зураг дээр үзүүлсэн шиг энгийн параллелепипедийн бүх нүүрэн дээрх хүчдэлийг тодорхойлох боломжтой. 3.

Энгийн параллелепипедийн нүүрэнд үзүүлсэн стрессээс гадна биеийн хүчнүүд түүнд нөлөөлдөг: жингийн хүч, инерцийн хүч. Эдгээр хүчний нэгж эзэлхүүн дэх проекцийг координатын тэнхлэгүүд дээр X, Y, Z гэж тэмдэглэе. Хэрэв бүх хэвийн, шүргэгч, эзэлхүүний хүчний х тэнхлэг дээрх проекцуудын нийлбэрийг тэгтэй тэнцүүлвэл,

энгийн параллелепипед дээр ажиллаж, дараа нь dxdydz үржвэрээр бууруулсны дараа бид тэгшитгэлийг олж авна.

y ба z тэнхлэг дээрх хүчний проекцын ижил төстэй тэгшитгэлийг эмхэтгэсний дараа бид Кошигийн олж авсан энгийн параллелепипедийн тэнцвэрийн гурван дифференциал тэгшитгэлийг бичнэ.

Параллелепипедийн хэмжээсийг тэг болгон багасгахад энэ нь цэг болж хувирах ба σ ба τ нь А цэгийг дайран өнгөрөх харилцан перпендикуляр гурван талбайн дагуух хүчдэлийн бүрэлдэхүүн хэсэг юм.

Хэрэв бид энгийн параллелепипед дээр ажиллаж байгаа бүх хүчний моментуудын нийлбэрийг тэгтэй тэнцүүлэх бол x c тэнхлэгтэй харьцуулахад x тэнхлэгтэй параллель ба түүний хүндийн төвийг дайран өнгөрдөг бол бид тэгшитгэлийг олж авна.

эсвэл тэгшитгэлийн хоёр ба дөрөв дэх гишүүн нь бусадтай харьцуулахад бага зэрэглэлийн өндөр эрэмбтэй байгааг харгалзан dxdydz-ээр бууруулсны дараа

τ yz - τ zy = 0 эсвэл τ yz = τ zy.

y c ба z c төв тэнхлэгүүдийн моментуудын ижил төстэй тэгшитгэлийг эмхэтгэснээр бид зүслэгийн хүчдэлийн хосолсон хуулийн гурван тэгшитгэлийг олж авна.

τ xy = τ yx, τ yx = τ xy , τ zx = τ xz . (1.3)

Энэхүү хуулийг дараах байдлаар боловсруулсан болно.харилцан перпендикуляр талбайнуудад үйлчилж, талбайн огтлолцлын шугамд перпендикуляр чиглэсэн тангенциал хүчдэлийн хэмжээ нь тэнцүү бөгөөд тэмдгийн хувьд ижил байна.

Тиймээс T σ тензорын матрицын есөн хүчдэлийн бүрэлдэхүүн хэсгээс зургаа нь хоорондоо хосоороо тэнцүү байх ба нэг цэг дээрх стрессийн төлөвийг тодорхойлохын тулд зөвхөн дараах зургаан хүчдэлийн бүрэлдэхүүнийг олоход хангалттай.

Гэхдээ тогтсон тэнцвэрийн нөхцөл нь бидэнд зөвхөн гурван тэгшитгэлийг (1.2) өгсөн бөгөөд үүнээс зургаан үл мэдэгдэхийг олох боломжгүй юм. Тиймээс нэг цэг дээрх стрессийн төлөвийг тодорхойлох шууд асуудал нь ерөнхий тохиолдолд статик тодорхойгүй байна. Энэхүү статик тодорхойгүй байдлыг илрүүлэхийн тулд нэмэлт геометрийн болон физикийн хамаарал шаардлагатай.

А цэг дээрх энгийн параллелепипедийг нүүрэн тал руу нь налуу хавтгайгаар тасалцгаая; Энэ хавтгайд хэвийн N нь l, m ба n чиглэлтэй косинустай байг.Үргэлжлүүлсэн геометрийн дүрс (Зураг 4) нь гурвалжин суурьтай пирамид - элементар тетраэдр юм. А цэг нь координатын гарал үүсэлтэй давхцаж, тетраэдрийн гурван харилцан перпендикуляр нүүр нь координатын хавтгайтай давхцаж байна гэж бид таамаглах болно.

Тетраэдрийн эдгээр нүүрэн дээр ажиллах стрессийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг авч үзэх болно

эерэг. Тэдгээрийг зурагт үзүүлэв. 4. BCD тетраэдрийн налуу гадаргуу дээр x, y, z тэнхлэгт үйлчлэх нийлбэр хүчдэлийн p N проекцуудыг -аар тэмдэглэ. BCD налуу нүүрний талбайг dF гэж тэмдэглэнэ. Дараа нь ABC-ийн нүүрний талбай нь dFp, нүүрний ACD - dFl, нүүр ADB - dFt байх болно.

Тетраэдрийн гадаргуу дээр үйлчлэх бүх хүчийг х тэнхлэгт тусгаж тэнцвэрийн тэгшитгэлийг байгуулъя; биеийн хүчний проекцийг проекцын тэгшитгэлд оруулаагүй тул

Гадаргуугийн хүчний төсөөлөлтэй харьцуулахад жижиг байдлын дээд эрэмбийн утга ямар байна вэ?

y ба z тэнхлэг дээрх тетраэдрон дээр үйлчлэх хүчний проекцын тэгшитгэлийг эмхэтгэснээр бид өөр хоёр ижил төстэй тэгшитгэлийг олж авна. Үүний үр дүнд бид энгийн тетраэдрийн гурван тэнцвэрийн тэгшитгэлтэй болно

Дурын хэлбэртэй орон зайн биеийг харилцан перпендикуляр хОу, yОz, хОz хавтгайн системээр (Зураг 5) хэд хэдэн энгийн параллелепипедүүдэд хуваая. Биеийн гадаргуу дээр, энгийн

тетраэдр, (гадаргуугийн муруйн хэсгүүд нь жижиг хэмжээтэй тул онгоцоор сольж болно). Энэ тохиолдолд p N нь гадаргуу дээрх ачааллыг илэрхийлэх ба тэгшитгэл (1.4) нь энэ ачааллыг биеийн σ ба τ хүчдэлтэй холбож, өөрөөр хэлбэл уян хатан байдлын онолын асуудлын хилийн нөхцлүүдийг илэрхийлнэ. Эдгээр тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон нөхцлүүдийг нэрлэнэ гадаргуугийн нөхцөл.

Уян хатан байдлын онолын хувьд гадны ачааллыг биеийн гадаргуутай давхцаж буй хэсгүүдэд зарим хуулийн дагуу үйлчилдэг хэвийн ба тангенциал стрессээр илэрхийлдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

1.3 Налуу дагуух хэвийн ба зүсэлтийн хүчдэл

сайт

Гурван нүүр нь координатын хавтгайтай параллель, N-ээс дөрөв дэх нүүр хүртэл косинусууд нь l, m, n-тэй тэнцүү байх өнцөг үүсгэх энгийн ABCD тетраэдрийг авч үзье (Зураг 6). . Бид координатын хавтгайд байрлах талбайнуудад үйлчилж буй хэвийн ба зүсэлтийн хүчдэлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг өгөгдсөн гэж үзээд BCD талбайн хүчдэлийг тодорхойлно. Бид тэгш өнцөгт координатын x 1, y 1 ба z 1 тэнхлэгүүдийн шинэ системийг сонгосон бөгөөд ингэснээр x 1 тэнхлэг нь ердийн N-тэй давхцдаг.

Стрессийн тензор () ба шилжилтийн векторын есөн функцийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд олдвол стресс-хэмжилтийн төлөвийг тодорхойлно.

Уян хатан байдлын онолын үндсэн тэгшитгэлүүд