პითაგორას თეორემა და მისი საპირისპირო. მათემატიკის გაკვეთილის პროექტი „პითაგორას თეორემის შებრუნებული თეორემა“. პრაქტიკული ამოცანების ამოხსნა პითაგორას თეორემის გამოყენებით

გაკვეთილის მიზნები:

ზოგადი განათლება:

• შეამოწმოს მოსწავლეთა თეორიული ცოდნა (მართკუთხა სამკუთხედის თვისებები, პითაგორას თეორემა), ამოცანების ამოხსნაში მათი გამოყენების უნარი;
• პრობლემური სიტუაციის შექმნით, მიიყვანეთ მოსწავლეები შებრუნებული პითაგორას თეორემის „აღმოჩენამდე“.

განვითარებადი:

• თეორიული ცოდნის პრაქტიკაში გამოყენების უნარ-ჩვევების განვითარება;
• დაკვირვების შედეგად დასკვნების ჩამოყალიბების უნარის გამომუშავება;
• მეხსიერების განვითარება, ყურადღება, დაკვირვება:
• სწავლის მოტივაციის განვითარება აღმოჩენებიდან ემოციური კმაყოფილების გზით, მათემატიკური ცნებების განვითარების ისტორიის ელემენტების დანერგვით.

საგანმანათლებლო:

• პითაგორას ცხოვრებისეული საქმიანობის შესწავლით საგნისადმი მდგრადი ინტერესის გამომუშავება;
• ურთიერთდახმარების ხელშეწყობა და თანაკლასელების ცოდნის ობიექტური შეფასება ურთიერთშემოწმების გზით.

გაკვეთილის ფორმატი: კლასი-გაკვეთილი.

Გაკვეთილის გეგმა:

• ორგანიზების დრო.
• საშინაო დავალების შემოწმება. ცოდნის განახლება.
• პრაქტიკული ამოცანების ამოხსნა პითაგორას თეორემის გამოყენებით.
• Ახალი თემა.
• ცოდნის პირველადი კონსოლიდაცია.
• Საშინაო დავალება.
• გაკვეთილის შეჯამება.
• დამოუკიდებელი სამუშაო (ინდივიდუალური ბარათების გამოყენება პითაგორას აფორიზმების გამოცნობით).

გაკვეთილების დროს.

ორგანიზების დრო.

საშინაო დავალების შემოწმება. ცოდნის განახლება.

მასწავლებელი:რა დავალება შეასრულეთ სახლში?

სტუდენტები:მართკუთხა სამკუთხედის ორი მოცემული გვერდის გამოყენებით იპოვეთ მესამე გვერდი და წარმოადგინეთ პასუხები ცხრილის სახით. გაიმეორეთ რომბისა და მართკუთხედის თვისებები. გაიმეორეთ რასაც ჰქვია პირობა და რა არის თეორემის დასკვნა. მოამზადეთ მოხსენებები პითაგორას ცხოვრებისა და მოღვაწეობის შესახებ. მოიტანეთ თოკი 12 კვანძით.

მასწავლებელი:შეამოწმეთ თქვენი საშინაო დავალების პასუხები ცხრილის გამოყენებით

(მონაცემები მონიშნულია შავად, პასუხები წითლად).

მასწავლებელი: განცხადებები იწერება დაფაზე. თუ ეთანხმებით, ჩაწერეთ "+" ფურცლებზე შესაბამისი კითხვის ნომრის გვერდით, თუ არ ეთანხმებით, ჩაწერეთ "-".

განცხადებები წინასწარ იწერება დაფაზე.

1. ჰიპოტენუზა უფრო გრძელია ვიდრე ფეხი.
2. მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეების ჯამი არის 180 0.
3. მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი ფეხებით ადა ვგამოითვლება ფორმულით S=ab/2.
4. პითაგორას თეორემა მართალია ყველა ტოლფერდა სამკუთხედისთვის.
5. მართკუთხა სამკუთხედში 30 0 კუთხის მოპირდაპირე ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს.
6. ფეხების კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს.
7. ფეხის კვადრატი უდრის სხვაობას ჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის კვადრატებს შორის.
8. სამკუთხედის გვერდი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის ჯამს.

სამუშაო შემოწმებულია ურთიერთდამოწმების გამოყენებით. განიხილება განცხადებები, რომლებმაც დაპირისპირება გამოიწვია.

თეორიული კითხვების გასაღები.

მოსწავლეები აფასებენ ერთმანეთს შემდეგი სისტემით:

8 სწორი პასუხი "5";
6-7 სწორი პასუხი „4“;
4-5 სწორი პასუხი „3“;
4-ზე ნაკლები სწორი პასუხი "2".

მასწავლებელი:რაზე ვისაუბრეთ ბოლო გაკვეთილზე?

Სტუდენტი:პითაგორასა და მისი თეორემის შესახებ.

მასწავლებელი:ჩამოთვალეთ პითაგორას თეორემა. (რამდენიმე მოსწავლემ წაიკითხა ფორმულირება, ამ დროს 2-3 მოსწავლე ამტკიცებს დაფაზე, 6 მოსწავლე პირველ მერხებზე ფურცლებზე).

მათემატიკური ფორმულები იწერება ბარათებზე მაგნიტურ დაფაზე. შეარჩიეთ ისინი, რომლებიც ასახავს პითაგორას თეორემის მნიშვნელობას, სადაც ა და ვ - ფეხები, თან - ჰიპოტენუზა.

1) c 2 = a 2 + b 2	2) c = a + b	3) a 2 = 2-დან – 2-ში
4) 2 = a 2-ით - 2-ში	5) 2-ში = c 2 – a 2	6) a 2 = c 2 + c 2

სანამ სტუდენტები, რომლებიც ამტკიცებენ თეორემას დაფაზე და მინდორზე, მზად არ არიან, სიტყვა ეძლევათ მათ, ვინც მოამზადა მოხსენებები პითაგორას ცხოვრებისა და მოღვაწეობის შესახებ.

მინდორში მომუშავე სკოლის მოსწავლეები აძლევენ ფურცლებს და უსმენენ მათ, ვინც საბჭოში მუშაობდა.

პრაქტიკული ამოცანების ამოხსნა პითაგორას თეორემის გამოყენებით.

მასწავლებელი:შემოგთავაზებთ პრაქტიკულ ამოცანებს შესწავლილი თეორემის გამოყენებით. ჯერ ვეწვევით ტყეს, ქარიშხლის შემდეგ, შემდეგ გარეუბნებში.

პრობლემა 1. ქარიშხლის შემდეგ ნაძვი გატყდა. დარჩენილი ნაწილის სიმაღლეა 4,2მ მანძილი ძირიდან დავარდნილ ზევით 5,6მ იპოვეთ ნაძვის სიმაღლე ქარიშხლამდე.

პრობლემა 2. სახლის სიმაღლეა 4,4მ.სახლის ირგვლივ გაზონის სიგანე 1,4მ.კიბე რამდენ ხანში უნდა გაკეთდეს ისე, რომ გაზონს ხელი არ შეუშალოს და სახლის სახურავამდე მიაღწიოს?

Ახალი თემა.

მასწავლებელი:(მუსიკა ჟღერს)თვალები დახუჭე, რამდენიმე წუთით ისტორიაში ჩავძირებით. ჩვენ თქვენთან ვართ ძველ ეგვიპტეში. აქ გემთმშენებლობებში ეგვიპტელები აშენებენ თავიანთ ცნობილ გემებს. მაგრამ ამზომველები ზომავენ მიწის ნაკვეთებს, რომელთა საზღვრები ნილოსის წყალდიდობის შემდეგ ჩამოირეცხა. მშენებლები აშენებენ გრანდიოზულ პირამიდებს, რომლებიც დღესაც გვაოცებენ თავიანთი ბრწყინვალებით. ყველა ამ აქტივობაში ეგვიპტელებს სწორი კუთხის გამოყენება სჭირდებოდათ. მათ იცოდნენ როგორ აეშენებინათ ისინი თოკის გამოყენებით 12 კვანძით ერთმანეთისგან თანაბარ მანძილზე. სცადეთ, ძველი ეგვიპტელების მსგავსად აზროვნებით, ააგოთ მართკუთხა სამკუთხედები თქვენი თოკებით. (ამ პრობლემის გადასაჭრელად ბიჭები მუშაობენ 4-კაციან ჯგუფში. ცოტა ხნის შემდეგ ვიღაც გვიჩვენებს სამკუთხედის კონსტრუქციას ტაბლეტზე დაფის მახლობლად).

შედეგად მიღებული სამკუთხედის გვერდები არის 3, 4 და 5. თუ ამ კვანძებს შორის კიდევ ერთ კვანძს დააკავშირებთ, მაშინ მისი გვერდები გახდება 6, 8 და 10. თუ თითო ორია - 9, 12 და 15. ყველა ეს სამკუთხედი არის მართკუთხა იმიტომ

5 2 = 3 2 + 4 2, 10 2 = 6 2 + 8 2, 15 2 = 9 2 + 12 2 და ა.შ.

რა თვისება უნდა ჰქონდეს სამკუთხედს, რომ იყოს მართკუთხა? (მოსწავლეები თავად ცდილობენ ჩამოაყალიბონ შებრუნებული პითაგორას თეორემა; ბოლოს, ვიღაც ახერხებს).

რით განსხვავდება ეს თეორემა პითაგორას თეორემისგან?

Სტუდენტი:მდგომარეობა და დასკვნა შეიცვალა ადგილი.

მასწავლებელი:სახლში თქვენ გაიმეორეთ რა ჰქვია ასეთ თეორემებს. რა შევხვდით ახლა?

Სტუდენტი: შებრუნებული პითაგორას თეორემით.

მასწავლებელი: ჩავწეროთ გაკვეთილის თემა ჩვენს რვეულში. გახსენით სახელმძღვანელოები 127-ე გვერდზე, კიდევ ერთხელ წაიკითხეთ ეს განცხადება, ჩაწერეთ რვეულში და გააანალიზეთ მტკიცებულება.

(სახელმძღვანელოსთან რამდენიმე წუთიანი დამოუკიდებელი მუშაობის შემდეგ, სურვილის შემთხვევაში, დაფაზე ერთი ადამიანი ამტკიცებს თეორემას).

1. რა ჰქვია სამკუთხედს 3, 4 და 5 გვერდებით? რატომ?
2. რომელ სამკუთხედებს უწოდებენ პითაგორას სამკუთხედებს?
3. რა სამკუთხედებით იმუშავეთ საშინაო დავალებისას? რაც შეეხება ფიჭვის ხესთან და კიბესთან დაკავშირებულ პრობლემებს?

ცოდნის პირველადი კონსოლიდაცია

.

ეს თეორემა დაგეხმარებათ ამოცანების გადაჭრაში, რომლებშიც თქვენ უნდა გაარკვიოთ არის თუ არა სამკუთხედები მართკუთხა.

Დავალებები:

1) გაარკვიეთ არის თუ არა სამკუთხედი მართკუთხა, თუ მისი გვერდები ტოლია:

ა) 12,37 და 35; ბ) 21, 29 და 24.

2) გამოთვალეთ 6, 8 და 10 სმ გვერდის მქონე სამკუთხედის სიმაღლეები.

Საშინაო დავალება

.

გვერდი 127: შებრუნებული პითაგორას თეორემა. No498(a,b,c) No497.

გაკვეთილის შეჯამება.

რა ახალი ისწავლეთ გაკვეთილზე?

როგორ გამოიყენეს პითაგორას საპირისპირო თეორემა ეგვიპტეში?

რა პრობლემების გადასაჭრელად გამოიყენება?

რა სამკუთხედები შეხვდით?

რა გახსოვს და მოგწონს ყველაზე მეტად?

დამოუკიდებელი სამუშაო (განხორციელებული ინდივიდუალური ბარათების გამოყენებით).

მასწავლებელი:სახლში თქვენ გაიმეორეთ რომბისა და მართკუთხედის თვისებები. ჩამოთვალეთ ისინი (იმართება საუბარი კლასთან). ბოლო გაკვეთილზე ვისაუბრეთ იმაზე, თუ როგორ იყო პითაგორა მრავალმხრივი პიროვნება. სწავლობდა მედიცინას, მუსიკას და ასტრონომიას, ასევე იყო სპორტსმენი და მონაწილეობდა ოლიმპიურ თამაშებში. პითაგორა ასევე ფილოსოფოსი იყო. მისი მრავალი აფორიზმი დღესაც აქტუალურია ჩვენთვის. ახლა თქვენ დამოუკიდებელ სამუშაოს შეასრულებთ. თითოეულ დავალებაზე მოცემულია პასუხის რამდენიმე ვარიანტი, რომელთა გვერდით იწერება პითაგორას აფორიზმების ფრაგმენტები. თქვენი ამოცანაა ამოხსნათ ყველა დავალება, შეადგინოთ განცხადება მიღებული ფრაგმენტებიდან და ჩაწეროთ იგი.

სასკოლო სასწავლო გეგმის თემების გადახედვა ვიდეოგაკვეთილების გამოყენებით არის მასალის შესწავლისა და ათვისების მოსახერხებელი გზა. ვიდეო ხელს უწყობს სტუდენტების ყურადღების ფოკუსირებას ძირითად თეორიულ ცნებებზე და არ გამოტოვოთ მნიშვნელოვანი დეტალები. საჭიროების შემთხვევაში, მოსწავლეებს ყოველთვის შეუძლიათ კვლავ მოუსმინონ ვიდეო გაკვეთილს ან დაუბრუნდნენ რამდენიმე თემას.

მე-8 კლასის ეს ვიდეო გაკვეთილი დაეხმარება მოსწავლეებს გეომეტრიის ახალი თემის შესწავლაში.

წინა თემაში შევისწავლეთ პითაგორას თეორემა და გავაანალიზეთ მისი დადასტურება.

ასევე არსებობს თეორემა, რომელიც ცნობილია როგორც შებრუნებული პითაგორას თეორემა. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ მას.

თეორემა. სამკუთხედი მართკუთხაა, თუ მას აქვს შემდეგი ტოლობა: სამკუთხედის კვადრატის ერთი გვერდის მნიშვნელობა იგივეა, რაც დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატის ჯამი.

მტკიცებულება. ვთქვათ, მოგვცეს სამკუთხედი ABC, რომელშიც მოქმედებს ტოლობა AB 2 = CA 2 + CB 2. აუცილებელია იმის დამტკიცება, რომ კუთხე C უდრის 90 გრადუსს. განვიხილოთ სამკუთხედი A 1 B 1 C 1, რომელშიც კუთხე C 1 უდრის 90 გრადუსს, გვერდი C 1 A 1 უდრის CA და გვერდი B 1 C 1 უდრის BC.

პითაგორას თეორემის გამოყენებით ვწერთ გვერდების თანაფარდობას სამკუთხედში A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. გამონათქვამის თანაბარი გვერდებით ჩანაცვლებით, მივიღებთ A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .

თეორემის პირობებიდან ვიცით, რომ AB 2 = CA 2 + CB 2. მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ A 1 B 1 2 = AB 2, საიდანაც გამოდის, რომ A 1 B 1 = AB.

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ სამკუთხედებში ABC და A 1 B 1 C 1 სამი გვერდი ტოლია: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. ასე რომ, ეს სამკუთხედები ტოლია. სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ კუთხე C უდრის C 1 კუთხეს და, შესაბამისად, უდრის 90 გრადუსს. ჩვენ დავადგინეთ, რომ ABC სამკუთხედი მართკუთხაა და მისი კუთხე C არის 90 გრადუსი. ჩვენ დავამტკიცეთ ეს თეორემა.

შემდეგი, ავტორი მოჰყავს მაგალითს. დავუშვათ, რომ მოგვცეს თვითნებური სამკუთხედი. ცნობილია მისი გვერდების ზომები: 5, 4 და 3 ერთეული. მოდით შევამოწმოთ განცხადება პითაგორას თეორემის შებრუნებული თეორემიდან: 5 2 = 3 2 + 4 2. განცხადება მართალია, რაც ნიშნავს, რომ ეს სამკუთხედი მართკუთხაა.

შემდეგ მაგალითებში, სამკუთხედები ასევე მართკუთხა სამკუთხედები იქნება, თუ მათი გვერდები ტოლია:

5, 12, 13 ერთეული; ტოლობა 13 2 = 5 2 + 12 2 მართალია;

8, 15, 17 ერთეული; ტოლობა 17 2 = 8 2 + 15 2 მართალია;

7, 24, 25 ერთეული; ტოლობა 25 2 = 7 2 + 24 2 მართალია.

ცნობილია პითაგორას სამკუთხედის კონცეფცია. ეს არის მართკუთხა სამკუთხედი, რომლის გვერდები მთელი რიცხვების ტოლია. თუ პითაგორას სამკუთხედის ფეხები აღინიშნება a და c-ით, ხოლო ჰიპოტენუზა b-ით, მაშინ ამ სამკუთხედის გვერდების მნიშვნელობები შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

სადაც m, n, k არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი და m-ის მნიშვნელობა მეტია n-ის მნიშვნელობაზე.

საინტერესო ფაქტი: სამკუთხედს 5, 4 და 3 გვერდებით ასევე უწოდებენ ეგვიპტურ სამკუთხედს; ასეთი სამკუთხედი ცნობილი იყო ძველ ეგვიპტეში.

ამ ვიდეო გაკვეთილზე ვისწავლეთ პითაგორას თეორემის საპირისპირო თეორემა. ჩვენ დეტალურად განვიხილეთ მტკიცებულებები. მოსწავლეებმა ასევე გაიგეს, რომელ სამკუთხედებს უწოდებენ პითაგორას სამკუთხედებს.

მოსწავლეებს შეუძლიათ მარტივად გაეცნონ თემას „პითაგორას შებრუნებული თეორემა“ ამ ვიდეო გაკვეთილის დახმარებით.

ვან დერ ვაერდენის აზრით, ძალიან სავარაუდოა, რომ თანაფარდობა ზოგადი ფორმით ცნობილი იყო ბაბილონში დაახლოებით ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მე-18 საუკუნეში. ე.

დაახლოებით 400 წ. ჩვენს წელთაღრიცხვამდე, პროკლეს მიხედვით, პლატონმა მისცა მეთოდი პითაგორას სამეულების პოვნის, ალგებრისა და გეომეტრიის შერწყმის. დაახლოებით 300 წ. ე. პითაგორას თეორემის უძველესი აქსიომატური მტკიცებულება გამოჩნდა ევკლიდეს ელემენტებში.

ფორმულირებები

ძირითადი ფორმულირება შეიცავს ალგებრულ მოქმედებებს - მართკუთხა სამკუთხედში, რომლის სიგრძე ტოლია a (\displaystyle a)და b (\displaystyle b)და ჰიპოტენუზის სიგრძე არის c (\displaystyle c), დაკმაყოფილებულია შემდეგი მიმართება:

.

ასევე შესაძლებელია ეკვივალენტური გეომეტრიული ფორმულირება, ფიგურის ფართობის კონცეფციის გამოყენებით: მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობი უდრის მასზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამს. ფეხები. თეორემა ამ ფორმით არის ჩამოყალიბებული ევკლიდეს ელემენტებში.

პითაგორას თეორემას შეპირისპირება- განცხადება ნებისმიერი სამკუთხედის მართკუთხედობის შესახებ, რომლის გვერდების სიგრძეები დაკავშირებულია მიმართებით. a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). შედეგად, დადებითი რიცხვის ყოველ სამმაგზე a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)და c (\displaystyle c), ისეთივე როგორც a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), არის მართკუთხა სამკუთხედი ფეხებით a (\displaystyle a)და b (\displaystyle b)და ჰიპოტენუზა c (\displaystyle c).

მტკიცებულება

სამეცნიერო ლიტერატურაში დაფიქსირებულია პითაგორას თეორემის მინიმუმ 400 მტკიცებულება, რაც აიხსნება როგორც გეომეტრიისთვის მისი ფუნდამენტური მნიშვნელობით, ასევე შედეგის ელემენტარული ბუნებით. მტკიცებულებების ძირითადი მიმართულებებია: სამკუთხედის ელემენტებს შორის მიმართებების ალგებრული გამოყენება (მაგალითად, მსგავსების პოპულარული მეთოდი), ფართობების მეთოდი, ასევე არსებობს სხვადასხვა ეგზოტიკური მტკიცებულებები (მაგალითად, დიფერენციალური განტოლებების გამოყენებით).

მსგავსი სამკუთხედების მეშვეობით

ევკლიდეს კლასიკური მტკიცებულება მიზნად ისახავს მართკუთხედებს შორის ფართობების თანასწორობის დადგენას, რომლებიც წარმოიქმნება ჰიპოტენუზის ზემოთ კვადრატის გაკვეთით მართი კუთხის სიმაღლით კვადრატებთან ფეხების ზემოთ.

დასამტკიცებლად გამოყენებული კონსტრუქცია ასეთია: მართკუთხა სამკუთხედისთვის მართი კუთხით C (\displaystyle C), კვადრატები ფეხებზე და და კვადრატები ჰიპოტენუზაზე A B I K (\displaystyle ABIK)სიმაღლე შენდება CHდა სხივი, რომელიც აგრძელებს მას s (\displaystyle s)ჰიპოტენუზის ზემოთ კვადრატის გაყოფა ორ მართკუთხედად და . მტკიცებულება მიზნად ისახავს მართკუთხედის ფართობების ტოლობის დადგენას A H J K (\displaystyle AHJK)კვადრატით ფეხზე A C (\displaystyle AC); ანალოგიურად დადგენილია მეორე მართკუთხედის ფართობების ტოლობა, რომელიც წარმოადგენს კვადრატს ჰიპოტენუზის ზემოთ და მართკუთხედის მეორე ფეხის ზემოთ.

მართკუთხედის ფართობების ტოლობა A H J K (\displaystyle AHJK)და A C E D (\displaystyle ACED)დგინდება სამკუთხედების კონგრუენციის გზით △ A C K ​​(\displaystyle \სამკუთხედი ACK)და △ A B D (\displaystyle \სამკუთხედი ABD), რომელთაგან თითოეულის ფართობი უდრის კვადრატების ფართობის ნახევარს A H J K (\displaystyle AHJK)და A C E D (\displaystyle ACED)შესაბამისად, შემდეგ თვისებასთან დაკავშირებით: სამკუთხედის ფართობი უდრის მართკუთხედის ფართობის ნახევარს, თუ ფიგურებს აქვთ საერთო გვერდი, ხოლო სამკუთხედის სიმაღლე საერთო გვერდამდე არის მეორე მხარე. მართკუთხედი. სამკუთხედების კონგრუენტულობა გამომდინარეობს ორი გვერდის (კვადრატების გვერდების) და მათ შორის კუთხის ტოლობიდან (შედგება მართი კუთხისა და კუთხისგან. A (\displaystyle A).

ამრიგად, მტკიცებულება ადგენს, რომ კვადრატის ფართობი ჰიპოტენუზის ზემოთ, რომელიც შედგება მართკუთხედებისგან A H J K (\displaystyle AHJK)და B H J I (\displaystyle BHJI), უდრის ფეხებზე კვადრატების ფართობების ჯამს.

ლეონარდო და ვინჩის მტკიცებულება

ფართობის მეთოდი ასევე შეიცავს ლეონარდო და ვინჩის მიერ ნაპოვნი მტკიცებულებას. მიეცით მართკუთხა სამკუთხედი △ A B C (\displaystyle \სამკუთხედი ABC)სწორი კუთხით C (\displaystyle C)და კვადრატები A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)და A B H J (\displaystyle ABHJ)(იხილეთ სურათი). ამ მტკიცებულებაში გვერდით HJ (\displaystyle HJ)ამ უკანასკნელის გარე მხარეს აგებულია სამკუთხედი, თანმიმდევრული △ A B C (\displaystyle \სამკუთხედი ABC)უფრო მეტიც, აისახება როგორც ჰიპოტენუზასთან, ასევე მის სიმაღლესთან შედარებით (ანუ, J I = B C (\displaystyle JI=BC)და H I = A C (\displaystyle HI=AC)). პირდაპირ C I (\displaystyle CI)ყოფს ჰიპოტენუზაზე აგებულ კვადრატს ორ თანაბარ ნაწილად, რადგან სამკუთხედები △ A B C (\displaystyle \სამკუთხედი ABC)და △ J H I (\displaystyle \სამკუთხედი JHI)მშენებლობაში თანაბარი. მტკიცებულება ადგენს ოთხკუთხედთა თანხვედრას C A J I (\displaystyle CAJI)და D A B G (\displaystyle DABG), რომელთაგან თითოეულის ფართობი აღმოჩნდება, რომ ერთის მხრივ, ტოლია ფეხებზე კვადრატების ფართობის ნახევარის ჯამი და თავდაპირველი სამკუთხედის ფართობი, მეორე მხრივ, ნახევარი. კვადრატის ფართობი ჰიპოტენუზაზე პლუს თავდაპირველი სამკუთხედის ფართობი. საერთო ჯამში, ფეხებზე კვადრატების ფართობის ნახევარი უდრის კვადრატის ფართობის ნახევარს ჰიპოტენუზაზე, რაც უდრის პითაგორას თეორემის გეომეტრიულ ფორმულირებას.

დადასტურება უსასრულო მეთოდით

არსებობს რამდენიმე მტკიცებულება დიფერენციალური განტოლებების ტექნიკის გამოყენებით. კერძოდ, ჰარდის მიენიჭა მტკიცებულება ფეხების უსასრულოდ მცირე მატებით a (\displaystyle a)და b (\displaystyle b)და ჰიპოტენუზა c (\displaystyle c)და თავდაპირველ მართკუთხედთან მსგავსების შენარჩუნება, ანუ შემდეგი დიფერენციალური ურთიერთობების შესრულების უზრუნველყოფა:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

ცვლადების გამიჯვნის მეთოდის გამოყენებით მათგან გამოდის დიფერენციალური განტოლება c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), რომლის ინტეგრაცია იძლევა მიმართებას c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). საწყისი პირობების გამოყენება a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)განსაზღვრავს მუდმივას, როგორც 0, რაც იწვევს თეორემის განცხადებას.

საბოლოო ფორმულაში კვადრატული დამოკიდებულება ჩნდება სამკუთხედის გვერდებსა და ნამატებს შორის წრფივი პროპორციულობის გამო, ხოლო ჯამი დაკავშირებულია სხვადასხვა ფეხის ნამატის დამოუკიდებელ წვლილებთან.

ვარიაციები და განზოგადებები

მსგავსი გეომეტრიული ფორმები სამ მხარეს

პითაგორას თეორემის მნიშვნელოვანი გეომეტრიული განზოგადება მისცა ევკლიდემ ელემენტებში, გვერდებზე კვადრატების ფართობებიდან გადაადგილება თვითნებური მსგავსი გეომეტრიული ფიგურების არეებზე: ფეხებზე აგებული ასეთი ფიგურების ფართობების ჯამი ტოლი იქნება. ჰიპოტენუზაზე აგებული მსგავსი ფიგურის ფართობი.

ამ განზოგადების მთავარი იდეა ისაა, რომ ასეთი გეომეტრიული ფიგურის ფართობი პროპორციულია მისი ნებისმიერი წრფივი განზომილების კვადრატთან და, კერძოდ, ნებისმიერი მხარის სიგრძის კვადრატთან. ამიტომ, მსგავსი ფიგურებისთვის ფართობებით A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)და C (\displaystyle C), სიგრძის ფეხებზე აგებული a (\displaystyle a)და b (\displaystyle b)და ჰიპოტენუზა c (\displaystyle c)შესაბამისად, შემდეგი კავშირი მოქმედებს:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\მარჯვენა ისარი \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

ვინაიდან პითაგორას თეორემის მიხედვით a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), შემდეგ შესრულებულია.

გარდა ამისა, თუ შესაძლებელია პითაგორას თეორემის გამოძახების გარეშე დავამტკიცოთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებზე სამი მსგავსი გეომეტრიული ფიგურის ფართობი აკმაყოფილებს მიმართებას. A + B = C (\displaystyle A+B=C), შემდეგ ევკლიდეს განზოგადების მტკიცებულების საპირისპირო გამოყენებით, შეიძლება გამოვიტანოთ პითაგორას თეორემის მტკიცებულება. მაგალითად, თუ ჰიპოტენუზაზე ავაშენებთ მართკუთხა სამკუთხედს, რომელიც შეესაბამება საწყისს ფართობით. C (\displaystyle C), ხოლო გვერდებზე - ორი მსგავსი მართკუთხა სამკუთხედი ფართობებით A (\displaystyle A)და B (\displaystyle B), შემდეგ აღმოჩნდება, რომ გვერდებზე სამკუთხედები წარმოიქმნება საწყისი სამკუთხედის სიმაღლეზე გაყოფის შედეგად, ანუ სამკუთხედის ორი პატარა ფართობის ჯამი უდრის მესამეს ფართობს, რითაც A + B = C (\displaystyle A+B=C)და მსგავსი ფიგურების მიმართების გამოყენებით, გამოდის პითაგორას თეორემა.

კოსინუსების თეორემა

პითაგორას თეორემა არის უფრო ზოგადი კოსინუსების თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც აკავშირებს გვერდების სიგრძეებს თვითნებურ სამკუთხედში:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

სად არის კუთხე გვერდებს შორის a (\displaystyle a)და b (\displaystyle b). თუ კუთხე არის 90°, მაშინ cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0)და ფორმულა ამარტივებს ჩვეულებრივ პითაგორას თეორემას.

თავისუფალი სამკუთხედი

არსებობს პითაგორას თეორემის განზოგადება თვითნებურ სამკუთხედზე, რომელიც მოქმედებს მხოლოდ გვერდების სიგრძის თანაფარდობაზე, ითვლება, რომ იგი პირველად დაადგინა საბიანმა ასტრონომმა ტაბიტ იბნ ქურამ. მასში, გვერდებით თვითნებური სამკუთხედისთვის, მასში ჯდება ტოლფერდა სამკუთხედი გვერდით ფუძით. c (\displaystyle c), წვერო ემთხვევა თავდაპირველი სამკუთხედის წვეროს, გვერდის მოპირდაპირე მხარეს c (\displaystyle c)და კუთხეები ფუძეზე ტოლი კუთხის θ (\displaystyle \theta), საპირისპირო მხარე c (\displaystyle c). შედეგად, წარმოიქმნება ორი სამკუთხედი, ორიგინალის მსგავსი: პირველი - გვერდებით a (\displaystyle a), მისგან ყველაზე შორი გვერდი, ჩაწერილი ტოლფერდა სამკუთხედისა და r (\displaystyle r)- გვერდითი ნაწილები c (\displaystyle c); მეორე - სიმეტრიულად მას გვერდიდან b (\displaystyle b)გვერდით s (\displaystyle s)- მხარის შესაბამისი ნაწილი c (\displaystyle c). შედეგად, შემდეგი კავშირი დაკმაყოფილებულია:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

პითაგორას თეორემაში გადაგვარება ზე θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). ურთიერთობა ჩამოყალიბებული სამკუთხედების მსგავსების შედეგია:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (ბ))=(\frac (b)(s))\,\მარჯვენა ისარი \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

პაპუსის თეორემა ფართობებზე

არაევკლიდური გეომეტრია

პითაგორას თეორემა მომდინარეობს ევკლიდეს გეომეტრიის აქსიომებიდან და არ მოქმედებს არაევკლიდეს გეომეტრიაზე - პითაგორას თეორემის ასრულება ევკლიდური პარალელურობის პოსტულატის ტოლფასია.

არაევკლიდეს გეომეტრიაში მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის ურთიერთობა აუცილებლად იქნება პითაგორას თეორემისგან განსხვავებული ფორმით. მაგალითად, სფერულ გეომეტრიაში, მართკუთხა სამკუთხედის სამივე გვერდი, რომელიც ზღუდავს ერთეული სფეროს ოქტანტს, აქვს სიგრძე. π / 2 (\displaystyle \pi /2), რომელიც ეწინააღმდეგება პითაგორას თეორემას.

უფრო მეტიც, პითაგორას თეორემა მოქმედებს ჰიპერბოლურ და ელიფსურ გეომეტრიაში, თუ მოთხოვნა, რომ სამკუთხედი იყოს მართკუთხა, შეიცვლება იმ პირობით, რომ სამკუთხედის ორი კუთხის ჯამი უნდა იყოს მესამეს ტოლი.

სფერული გეომეტრია

რადიუსის მქონე სფეროზე ნებისმიერი მართკუთხა სამკუთხედისთვის R (\displaystyle R)(მაგალითად, თუ კუთხე სამკუთხედში მართია) გვერდებით a , b , c (\displaystyle a,b,c)მხარეებს შორის ურთიერთობა ასეთია:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (ა)(R))\მარჯვნივ)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\მარჯვნივ)).

ეს თანასწორობა შეიძლება გამოვიდეს როგორც სფერული კოსინუსების თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც მოქმედებს ყველა სფერული სამკუთხედისთვის:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( გ)(R))\მარჯვნივ)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \გამა). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \ოპერატორის სახელი (ch) c=\ოპერატორის სახელი (ch) a\cdot \ოპერატორის სახელი (ch) b),

სად ch (\displaystyle \ოპერატორის სახელი (ch))- ჰიპერბოლური-კოსინუსი. ეს ფორმულა არის ჰიპერბოლური კოსინუსების თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც მოქმედებს ყველა სამკუთხედისთვის:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \ოპერატორის სახელი (ch) c=\ოპერატორის სახელი (ch) a\cdot \ოპერატორის სახელი (ch) b-\ოპერატორის სახელი (შ) a\cdot \ოპერატორის სახელი (შ) b\cdot \cos \გამა),

სად γ (\displaystyle \გამა)- კუთხე, რომლის წვერო გვერდის საპირისპიროა c (\displaystyle c).

ტეილორის სერიის გამოყენება ჰიპერბოლური კოსინუსისთვის ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \ოპერატორის სახელი (ch) x\დაახლოებით 1+x^(2)/2)) შეიძლება აჩვენოს, რომ თუ ჰიპერბოლური სამკუთხედი მცირდება (ანუ როდის a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)და c (\displaystyle c)მიდრეკილია ნულისკენ), შემდეგ მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპერბოლური მიმართებები უახლოვდება კლასიკური პითაგორას თეორემის მიმართებას.

განაცხადი

მანძილი ორგანზომილებიან მართკუთხა სისტემებში

პითაგორას თეორემის ყველაზე მნიშვნელოვანი გამოყენება არის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ორ წერტილს შორის მანძილის განსაზღვრა: მანძილი s (\displaystyle s)წერტილებს შორის კოორდინატებით (a, b) (\displaystyle (a,b))და (c, d) (\displaystyle (c,d))უდრის:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

რთული რიცხვებისთვის პითაგორას თეორემა იძლევა კომპლექსური რიცხვის მოდულის პოვნის ბუნებრივ ფორმულას - ამისთვის z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)სიგრძის ტოლია

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო: ჩამოაყალიბეთ და დაადასტურეთ პითაგორას თეორემა და პითაგორას თეორემის შებრუნებული თეორემა. აჩვენეთ მათი ისტორიული და პრაქტიკული მნიშვნელობა.

განმავითარებელი: მოსწავლეთა ყურადღების, მეხსიერების, ლოგიკური აზროვნების, მსჯელობის, შედარებისა და დასკვნების გამოტანის უნარის განვითარება.

საგანმანათლებლო: საგნისადმი ინტერესისა და სიყვარულის გამომუშავება, სიზუსტე, ამხანაგებისა და მასწავლებლების მოსმენის უნარი.

აღჭურვილობა: პითაგორას პორტრეტი, პლაკატები ამოცანებით კონსოლიდაციისთვის, სახელმძღვანელო "გეომეტრია" 7-9 კლასებისთვის (I.F. Sharygin).

Გაკვეთილის გეგმა:

I. საორგანიზაციო მომენტი – 1 წთ.

II. საშინაო დავალების შემოწმება – 7 წთ.

III. მასწავლებლის შესავალი სიტყვა, ისტორიული ფონი – 4-5 წთ.

IV. პითაგორას თეორემის ფორმულირება და დამტკიცება – 7 წთ.

V. თეორემის ფორმულირება და დამტკიცება პითაგორას თეორემის საპირისპირო - 5 წთ.

ახალი მასალის კონსოლიდაცია:

ა) პერორალური – 5-6 წთ.
ბ) წერილობითი – 7-10 წთ.

VII. საშინაო დავალება – 1 წთ.

VIII. გაკვეთილის შეჯამება – 3 წთ.

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი.

II. საშინაო დავალების შემოწმება.

პუნქტი 7.1, No3 (დაფაზე დასრულებული ნახაზის მიხედვით).

მდგომარეობა: მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე ყოფს ჰიპოტენუზას 1 და 2 სიგრძის სეგმენტებად. იპოვეთ ამ სამკუთხედის ფეხები.

BC = a; CA = b; BA = c; BD = a 1; DA = b 1; CD = h C

დამატებითი შეკითხვა: დაწერეთ თანაფარდობები მართკუთხა სამკუთხედში.

განყოფილება 7.1, No5. მართკუთხა სამკუთხედი დავჭრათ სამ მსგავს სამკუთხედად.

ახსენი.

ASN ~ ABC ~ SVN

(მოსწავლეთა ყურადღება მიაქციეთ მსგავსი სამკუთხედების შესაბამისი წვეროების ჩაწერის სისწორეს)

III. მასწავლებლის შესავალი სიტყვა, ისტორიული ფონი.

ჭეშმარიტება მარადიული დარჩება, როგორც კი სუსტი ადამიანი აღიარებს მას!

ახლა კი პითაგორას თეორემა მართალია, როგორც მის შორეულ ეპოქაში.

შემთხვევითი არ არის, რომ გაკვეთილი გერმანელი მწერლის ჩამისოს სიტყვებით დავიწყე. ჩვენი დღევანდელი გაკვეთილი ეძღვნება პითაგორას თეორემას. ჩამოვწეროთ გაკვეთილის თემა.

თქვენს წინაშე არის დიდი პითაგორას პორტრეტი. დაიბადა 576 წელს ძვ.წ. მან 80 წელი იცოცხლა და 496 წელს გარდაიცვალა ძვ.წ. ცნობილია როგორც ძველი ბერძენი ფილოსოფოსი და მასწავლებელი. ის იყო ვაჭარი მნესარხუსის ვაჟი, რომელიც მას ხშირად მიჰყავდა სამოგზაუროდ, რის წყალობითაც ბიჭს გაუჩნდა ცნობისმოყვარეობა და ახლის შესწავლის სურვილი. პითაგორა არის მეტსახელი, რომელიც მას მჭევრმეტყველების გამო მიენიჭა („პითაგორა“ ნიშნავს „დარწმუნებას სიტყვით“). თვითონ არაფერი დაუწერია. ყველა მისი აზრი მისმა სტუდენტებმა ჩაიწერეს. პირველი ლექციის შედეგად პითაგორამ შეიძინა 2000 სტუდენტი, რომლებმაც ცოლებთან და შვილებთან ერთად შექმნეს უზარმაზარი სკოლა და შექმნეს სახელმწიფო სახელწოდებით "დიდი საბერძნეთი", რომელიც ეფუძნებოდა პითაგორას კანონებსა და წესებს. როგორც საღვთო მცნებები. მან პირველმა უწოდა თავის მსჯელობას ცხოვრების მნიშვნელობის შესახებ ფილოსოფია (ფილოსოფია). მიდრეკილი იყო მისტიფიკაციისა და დემონსტრაციული ქცევისკენ. ერთ დღეს პითაგორა მიწისქვეშ დაიმალა და ყველაფერი რაც ხდებოდა დედისგან შეიტყო. შემდეგ, ჩონჩხივით გამხმარმა, საჯარო შეხვედრაზე განაცხადა, რომ იყო ჰადესში და აჩვენა საოცარი ცოდნა მიწიერი მოვლენების შესახებ. ამისთვის შეხებულმა მცხოვრებლებმა ის ღმერთად აღიარეს. პითაგორა არასოდეს ტიროდა და საერთოდ მიუწვდომელი იყო ვნებებისა და მღელვარებისთვის. მას სჯეროდა, რომ ის წარმოიშვა თესლიდან, რომელიც ადამიანზე უკეთესი იყო. პითაგორას მთელი ცხოვრება არის ლეგენდა, რომელიც ჩვენს დრომდე მოვიდა და მოგვითხრობს უძველესი სამყაროს უნიჭიერესი ადამიანის შესახებ.

IV. პითაგორას თეორემის ფორმულირება და დადასტურება.

თქვენ იცით პითაგორას თეორემის ფორმულირება თქვენი ალგებრის კურსიდან. გავიხსენოთ იგი.

მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს.

თუმცა, ეს თეორემა ცნობილი იყო პითაგორამდე მრავალი წლით ადრე. პითაგორამდე 1500 წლით ადრე, ძველმა ეგვიპტელებმა იცოდნენ, რომ სამკუთხედი 3, 4 და 5 გვერდებით არის მართკუთხა და გამოიყენეს ეს თვისება მართი კუთხის ასაგებად მიწის ნაკვეთების დაგეგმვისა და შენობების მშენებლობისას. უძველეს ჩინურ მათემატიკურ და ასტრონომიულ ნაშრომში, რომელიც ჩვენამდე მოვიდა, "ჟიუ-ბი", რომელიც დაიწერა პითაგორამდე 600 წლით ადრე, მართკუთხა სამკუთხედთან დაკავშირებულ სხვა წინადადებებთან ერთად, შეიცავს პითაგორას თეორემა. ეს თეორემა ჯერ კიდევ ადრე იყო ცნობილი ინდუსებისთვის. ამრიგად, პითაგორამ ვერ აღმოაჩინა მართკუთხა სამკუთხედის ეს თვისება, მან ალბათ პირველი იყო, ვინც განაზოგადა და დაამტკიცა იგი, გადაიტანა იგი პრაქტიკის სფეროდან მეცნიერების სფეროში.

უძველესი დროიდან მათემატიკოსები სულ უფრო მეტ მტკიცებულებას პოულობენ პითაგორას თეორემის შესახებ. მათგან ერთნახევარზე მეტია ცნობილი. გავიხსენოთ ჩვენთვის ალგებრის კურსიდან ცნობილი პითაგორას თეორემის ალგებრული მტკიცებულება. („მათემატიკა. ალგებრა. ფუნქციები. მონაცემთა ანალიზი“ გ.ვ. დოროფეევი, მ., „დროფა“, 2000 წ.).

მოიწვიე სტუდენტები დაიმახსოვრონ ნახატის მტკიცებულება და დაწერონ დაფაზე.

(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

ძველი ინდუსები, რომლებსაც ეს მსჯელობა მიეკუთვნება, ჩვეულებრივ არ წერდნენ მას, არამედ ახლდნენ ნახატს მხოლოდ ერთი სიტყვით: „შეხედე“.

მოდით განვიხილოთ თანამედროვე პრეზენტაციაში პითაგორას კუთვნილი ერთ-ერთი მტკიცებულება. გაკვეთილის დასაწყისში გავიხსენეთ თეორემა მართკუთხა სამკუთხედის მიმართებების შესახებ:

h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c

მოდით დავამატოთ ბოლო ორი თანასწორობა ტერმინების მიხედვით:

b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2; a 2 + b 2 = c 2

მიუხედავად ამ მტკიცებულების აშკარა სიმარტივისა, ის შორს არის უმარტივესისაგან. ყოველივე ამის შემდეგ, ამისათვის საჭირო იყო სიმაღლის დახატვა მართკუთხა სამკუთხედში და მსგავსი სამკუთხედების განხილვა. გთხოვთ, ჩაწერეთ ეს მტკიცებულება თქვენს ნოუთბუქში.

V. თეორემის ფორმულირება და დადასტურება ეწინააღმდეგება პითაგორას თეორემას.

რომელ თეორემას ჰქვია ამ თეორემის საპირისპირო? (...თუ პირობა და დასკვნა შებრუნებულია.)

ახლა შევეცადოთ ჩამოვაყალიბოთ თეორემა პითაგორას თეორემის საპირისპიროდ.

თუ სამკუთხედში a, b და c გვერდებით დაკმაყოფილებულია ტოლობა c 2 = a 2 + b 2, მაშინ ეს სამკუთხედი მართკუთხაა, ხოლო მართი კუთხე არის c გვერდის საპირისპირო.

(საპირისპირო თეორემის დადასტურება პოსტერზე)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

დაამტკიცე:

ABC - მართკუთხა,

მტკიცებულება:

განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი A 1 B 1 C 1,

სადაც C 1 = 90°, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.

შემდეგ, პითაგორას თეორემით, B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2.

ანუ B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC სამ მხარეს ABC არის მართკუთხა

C = 90°, რაც დასამტკიცებელია.

VI. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია (ზეპირად).

1. პლაკატის საფუძველზე მზა ნახატებით.

ნახ. 1: იპოვეთ AD, თუ ВD = 8, ВДА = 30°.

ნახ.2: იპოვეთ CD, თუ BE = 5, BAE = 45°.

ნახ.3: იპოვეთ BD, თუ BC = 17, AD = 16.

2. სამკუთხედია მართკუთხა, თუ მისი გვერდები გამოსახულია რიცხვებით:

5 2 + 6 2 ? 7 2 (არა)	9 2 + 12 2 = 15 2 (დიახ)	15 2 + 20 2 = 25 2 (დიახ)

რა ჰქვია რიცხვების სამეულს ბოლო ორ შემთხვევაში? (პითაგორა).

VI. ამოცანების გადაჭრა (წერილობით).

No 9. ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდი უდრის a. იპოვეთ ამ სამკუთხედის სიმაღლე, შემოხაზული წრის რადიუსი და შემოხაზული წრის რადიუსი.

No 14. დაამტკიცეთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში შემოხაზული წრის რადიუსი უდრის ჰიპოტენუზას მიყვანილ მედიანას და უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს.

VII. Საშინაო დავალება.

პარაგრაფი 7.1, გვ.175-177, განიხილავს თეორემა 7.4 (განზოგადებული პითაგორას თეორემა), No1 (ზეპირი), No2, No4.

VIII. გაკვეთილის შეჯამება.

რა ახალი ისწავლეთ დღეს კლასში? …………

პითაგორა უპირველეს ყოვლისა ფილოსოფოსი იყო. ახლა მინდა წაგიკითხოთ მისი რამდენიმე გამონათქვამი, რომელიც დღესაც აქტუალურია ჩვენთვის და თქვენთვის.

• ნუ აწიე მტვერი ცხოვრების გზაზე.
• გააკეთე მხოლოდ ის, რაც მოგვიანებით არ გაგაბრაზებს და არ გაიძულებს მოინანიო.
• არასოდეს გააკეთო ის, რაც არ იცი, მაგრამ ისწავლე ყველაფერი, რაც უნდა იცოდე და შემდეგ მშვიდ ცხოვრებას გაატარებ.
• ნუ დახუჭავთ თვალებს, როცა დაძინება გსურთ, ისე, რომ არ დაალაგოთ გასული დღის ყველა ქმედება.
• ისწავლეთ ცხოვრება მარტივად და ფუფუნების გარეშე.

პითაგორას თეორემა ამბობს:

მართკუთხა სამკუთხედში კიდურების კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს:

a 2 + b 2 = c 2,

• ადა ბ- ფეხები ქმნიან სწორ კუთხეს.
• თან- სამკუთხედის ჰიპოტენუზა.

პითაგორას თეორემის ფორმულები

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

პითაგორას თეორემის დადასტურება

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:

S = \frac(1)(2)ab

თვითნებური სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად, ფართობის ფორმულა არის:

• გვ- ნახევრად პერიმეტრი. p=\frac(1)(2)(a+b+c),
• რ– ჩაწერილი წრის რადიუსი. მართკუთხედისთვის r=\frac(1)(2)(a+b-c).

შემდეგ ჩვენ ვატოლებთ ორივე ფორმულის მარჯვენა მხარეს სამკუთხედის ფართობისთვის:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \მარჯვნივ)

2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

დაპირისპირება პითაგორას თეორემა:

თუ სამკუთხედის ერთი გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს, მაშინ სამკუთხედი მართკუთხაა. ანუ დადებითი რიცხვების ნებისმიერი სამმაგი ა, ბდა გ, ისეთივე როგორც

a 2 + b 2 = c 2,

არის მართკუთხა სამკუთხედი ფეხებით ადა ბდა ჰიპოტენუზა გ.

პითაგორას თეორემა- ევკლიდეს გეომეტრიის ერთ-ერთი ფუნდამენტური თეორემა, რომელიც ადგენს მიმართებას მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის. ეს დაამტკიცა სწავლულმა მათემატიკოსმა და ფილოსოფოსმა პითაგორამ.

თეორემის მნიშვნელობასაქმე იმაშია, რომ მისი გამოყენება შესაძლებელია სხვა თეორემების დასამტკიცებლად და ამოცანების გადასაჭრელად.

დამატებითი მასალა: