ხელოსნობა

რა არის გამრავლების სწორი სახელი? გამრავლება და მისი თვისებები. მრავალნიშნა რიცხვის გამრავლება მრავალნიშნა რიცხვზე

რუსული ენის განმარტებითი ლექსიკონი. დ.ნ. უშაკოვი

გამრავლება

გამრავლება, მ.ს. არა, იხ.

მოქმედება ზმნაზე. გამრავლება - გამრავლება და მდგომარეობა vb-ით. გამრავლება - გამრავლება. სამის ორზე გამრავლება. შემოსავლის გამრავლება.

არითმეტიკული ოპერაცია, მოცემული რიცხვის ტერმინის სახით იმდენჯერ გამეორება, რამდენჯერაც არის ერთეული სხვა მოცემულ რიცხვში (მათ.). გამრავლების ცხრილი. მთელი რიცხვების გამრავლება.

რუსული ენის განმარტებითი ლექსიკონი. ს.ი.ოჟეგოვი, ნ.იუ.შვედოვა.

გამრავლება

მათემატიკური ოპერაცია, რომლის საშუალებითაც ორი რიცხვიდან (ან სიდიდეებიდან) მიიღება ახალი რიცხვი (ან რაოდენობა), რომელიც (მთლიანი რიცხვებისთვის) შეიცავს პირველ რიცხვს ჯამის სახით იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის მეორეში ერთეული. გამრავლების ცხრილი. დავალება ზე

რუსული ენის ახალი განმარტებითი და წარმოებული ლექსიკონი, T.F. Efremova.

ენციკლოპედიური ლექსიკონი, 1998 წ

გამრავლება

არითმეტიკული ოპერაცია. მითითებულია წერტილით "." ან ნიშანი "?" (პირდაპირი თვალსაზრისით, გამრავლების ნიშნები გამოტოვებულია). დადებითი მთელი რიცხვების (ბუნებრივი რიცხვების) გამრავლება არის მოქმედება, რომელიც საშუალებას აძლევს ორ რიცხვს a (გამრავლება) და b (გამრავლება) იპოვონ მესამე რიცხვი ab (ნამრავლი) ტოლი b წევრთა ჯამისა, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს; a და b ასევე ფაქტორებს უწოდებენ. წილადი რიცხვების a/b და c/d გამრავლება განისაზღვრება ტოლობით ორი რაციონალური რიცხვის გამრავლება იძლევა რიცხვს, abs. რომლის მნიშვნელობა უდრის ფაქტორების აბსოლუტური მნიშვნელობების ნამრავლს და რომელსაც აქვს პლუს ნიშანი (+), თუ ორივე ფაქტორს აქვს იგივე ნიშნები, ან მინუს (-), თუ მათ აქვთ განსხვავებული ნიშნები. ირაციონალური რიცხვების გამრავლება განისაზღვრება მათი რაციონალური მიახლოებით. გამრავლება რთული რიცხვები, მონაცემები ფორმაში? = a + bi და? \u003d c + di, განისაზღვრება ტოლობით ?? = ac - bd + (a + bc)i.

გამრავლება

ფორმირების ოპერაცია ორი მოცემული ობიექტიდან a და b, რომელსაც ეწოდება ფაქტორები, მესამე ობიექტი c, რომელსაც ეწოდება პროდუქტი. W. აღინიშნება X ნიშნით (შეიყვანა ინგლისელმა მათემატიკოსმა W. Outred-მა 163 წელს.

ან ∙ (შეიყვანა გერმანელმა მეცნიერმა გ. ლაიბნიცმა 1698 წ.); ასოების აღნიშვნაში ეს ნიშნები გამოტოვებულია და `b ან a ∙ b-ის ნაცვლად ჩაწერეთ ab. უ.-ს აქვს განსხვავებული სპეციფიკური მნიშვნელობა და, შესაბამისად, განსხვავებული სპეციფიკური განმარტებები, ფაქტორებისა და პროდუქტის კონკრეტული ტიპის მიხედვით. დადებითი მთელი რიცხვების მუდმივი, განსაზღვრებით, არის მოქმედება, რომელიც ეხება a და ba მესამე რიცხვს c, ტოლია b წევრთა ჯამისა, რომელთაგან თითოეული უდრის a, ასე რომ ab = a + a + .. + a (b ტერმინები). რიცხვს a ეწოდება მულტიპლიკატორი, b არის მამრავლი. წილადი რიცხვები ═ და ═ განისაზღვრება ტოლობით ═ (იხ. წილადი). რაციონალური რიცხვების განტოლება იძლევა რიცხვს, რომლის აბსოლუტური მნიშვნელობა უდრის ფაქტორების აბსოლუტური სიდიდეების ნამრავლს, რომელსაც აქვს პლუს ნიშანი (+), თუ ორივე ფაქტორს აქვს ერთი და იგივე ნიშანი, და მინუს ნიშანი (√), თუ მათ აქვთ სხვადასხვა ნიშნები. ირაციონალური რიცხვების კოეფიციენტი განისაზღვრება მათი რაციონალური მიახლოებების კოეფიციენტით. a = a + bi და b = c + di სახით მოცემული რთული რიცხვების განტოლება განისაზღვრება ab = ac √ bd + (ad + bc) i ტოლობით. როდესაც ტრიგონომეტრიული ფორმით დაწერილი კომპლექსური რიცხვები:

a = r1 (cosj1 + isinj1),

b = r2 (cosj2 + isin j

მათი მოდულები მრავლდება და მათი არგუმენტები ემატება:

ab = r1r2 (cos (j1 + j2) + i sin ((j1 + j2)).

U. ნომრები უნიკალურია და აქვს შემდეგი თვისებები:

1) ab = ba (კომუტატიურობა, შემცვლელი კანონი);

2) a (bc) = (ab) c (ასოციაციურობა, ასოციაციური კანონი);

a (b + c) = ab + ac (განაწილება, გამანაწილებელი კანონი). ამ შემთხვევაში, ყოველთვის ×0 = 0; a×1 = a. ეს თვისებები საფუძვლად უდევს მრავალმნიშვნელოვანი რიცხვების ჩვეულ ტექნიკას.

ვექტორების კონცეფციის შემდგომი განზოგადება უკავშირდება სიბრტყეზე ვექტორების კრებულზე რიცხვების ოპერატორებად განხილვის შესაძლებლობას. მაგალითად, კომპლექსური რიცხვი r (cosj + i sin j) შეესაბამება ყველა ვექტორის გაჭიმვის ოპერატორს r-ჯერ და მათ ბრუნავს j კუთხით საწყისის გარშემო. ამ შემთხვევაში, რთული რიცხვების განტოლება შეესაბამება შესაბამისი ოპერატორების განტოლებას, ანუ განტოლების შედეგი არის ოპერატორი, რომელიც მიღებულია ამ ორი ოპერატორის თანმიმდევრული გამოყენებით. U. ოპერატორების ეს განმარტება ასევე შეიძლება გადავიდეს სხვა ტიპის ოპერატორებზეც, რომლებიც აღარ შეიძლება იყოს გამოხატული რიცხვების გამოყენებით (მაგალითად, წრფივი გარდაქმნები). ეს იწვევს U. მატრიცების, კვატერნიონების ოპერაციებს, რომლებიც განიხილება, როგორც ბრუნვის და გაფართოების ოპერატორები სამგანზომილებიან სივრცეში, ინტეგრალური ოპერატორების ბირთვები და ა.შ. ასეთი განზოგადებით, U.-ს ზოგიერთი ზემოაღნიშნული თვისება შესაძლოა შეუსრულებელი აღმოჩნდეს, ყველაზე ხშირად კომუტატიურობის თვისება (არაკომუტაციური ალგებრა). მოქმედების უ. ზოგადი თვისებების შესწავლა შედის ზოგადი ალგებრის ამოცანებში, კერძოდ ჯგუფებისა და რგოლების თეორიაში.

ვიკიპედია

გამრავლება

გამრავლება- ორი არგუმენტის ერთ-ერთი ძირითადი ორობითი მათემატიკური ოპერაცია (არითმეტიკული ოპერაციები). მაგალითად, ნატურალური რიცხვებისთვის: $c=a \cdot b = \underbrace( a+a+\cdots+a )_(b)= a_1 + a_2 + \ldots + a_b = (\displaystyle\sum_(i=1) ^b a_i)$

ზოგადად, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ: Π( ა, ბ) = გ. ანუ ელემენტების თითოეული წყვილი ( ა, ბ) ასოცირდება ელემენტთან გ = ა ⋅ ბპროდუქტს ეძახიან ადა ბ.

წერილობით, ჩვეულებრივ, მითითებულია ერთ-ერთი "გამრავლების ნიშნის" გამოყენებით - " ⋅ , × , * ", მაგალითად: ა ⋅ ბ = გ. გამრავლება ასევე შეიძლება განისაზღვროს რაციონალური, რეალური, რთული რიცხვებისთვის და სხვა მათემატიკური, ფიზიკური და აბსტრაქტული სიდიდეებისთვის.

გამრავლებას აქვს რამდენიმე მნიშვნელოვანი თვისება:

კომუტატიულობა: ა ⋅ ბ = ბ ⋅ ა; ასოციაციურობა: ( ა ⋅ ბ) ⋅ გ = ა ⋅ (ბ ⋅ გ); განაწილება: x ⋅ (ა + ბ) = (x ⋅ ა) + (x ⋅ ბ), ∀ა, ბ ∈ ა; ნულზე გამრავლებით (ნულოვანი ელემენტი) მივიღებთ ნულის ტოლ რიცხვს: x⋅ 0 = 0; ერთზე გამრავლება (ნეიტრალური ელემენტი) იძლევა ორიგინალის ტოლ რიცხვს: x ⋅ 1 = x.

ნახატზე ნაჩვენებია ვაშლების გამრავლებით დათვლის მაგალითი, 3 ჯგუფი 5 ვაშლისაგან, შედეგად მიიღება 15 ვაშლი: 5 ⋅ 3 = 15.

რეალური რიცხვების სიმრავლეზე, გამრავლების ფუნქციის დიაპაზონი გრაფიკულად ჰგავს ზედაპირს, რომელიც გადის საწყისზე და ორივე მხრიდან არის მოსახვევი პარაბოლის სახით.

ლიტერატურაში სიტყვა გამრავლების გამოყენების მაგალითები.

ის ადარებს მათ მუშაობას ასევე დუღილს, თესლის თესვას და გამრავლებამდოგვის თესლი.

შემდეგ იყვნენ ისეთებიც, ვინც საერთოდ ვერ ბედავდნენ ჩარევას, რადგან მათი ცნობიერება იკვლევდა მეორადი და მესამეული ეფექტების მოვლენებს. გამრავლებადა ჩახლართულ სისტემაში ყველა მიმართულებით.

გამრავლებაცოდვები და ცოდვილი ზღურბლის დაწევა ანტიქრისტეს შედეგად, რომელმაც შეაღწია ადამიანების გონებაში მატერიალისტურ-ათეისტური დოქტრინისა და ცრუ წინასწარმეტყველის სახით მარქს-ლენინის კომუნისტური პარტიის სახით.

გასული საუკუნის განმავლობაში კიდევ ერთი იყო გამრავლებაცოდვები და ცოდვის ზღურბლის დაწევა ანტიქრისტეს შედეგად, რომელმაც მატერიალისტურ-ათეისტური დოქტრინისა და ცრუ წინასწარმეტყველის სახით შეაღწია ადამიანების გონებაში მარქს-ლენინის კომუნისტური პარტიის სახით.

ეს არის მერკანტილიზმის დოქტრინის კრიტიკა, რომელიც გამოავლინა გამრავლებაქვეყანაში არსებული ფულის რაოდენობა მოსახლეობის კეთილდღეობის ზრდით.

ჯარების მოქმედებების აღწერამდე, მოულოდნელი გზით გამრავლებავინც, ასე ვთქვათ, მძარცველთა ჯგუფიდან მოვიდა საცხენოსნო წვეულებაზე, ზედმეტი არ იქნებოდა მკითხველისთვის მისი კერძო ხელმძღვანელების გაცნობა.

ერთხელ ქუჩაში გავიგე რთული სიმღერა, რომელიც რითმებს მაგიდის დასაწყისში გამრავლება: ერთხელ მარტო - ჩამოვიდა ბატონი.

მისი ქმედებები და ხრიკები უაზროა, ისინი მოწმობენ ჩიჩიკოვის, მისი, ბიფურკაციას გამრავლებაიმიტაციების სარკისებურ თამაშში, რომელშიც უკვე არაა ორიგინალი, არამედ მხოლოდ ასლების კლოუნი.

სულ მცირე სამჯერ შემდეგ მან თქვა ეს და მომავალ მთხრობელს თავისუფალი დატოვა დეტალების რედაქტირება: -- ჰაიზენბერგის წესი გამრავლებათავიდან არ გამოვვარდი და ერთ დილას ინტენსიური ფიქრის შემდეგ ნათლისღება მქონდა: გამახსენდა ალგებრული თეორია, რომელიც სტუდენტობისას ვსწავლობდი.

მისი კვლევები აჩვენებს, რომ დედამიწა სულ უფრო და უფრო ჰეტეროგენული ხდებოდა, როგორც გამრავლებაფენები, რომლებიც ქმნიან მის ქერქს, უფრო მეტიც, რომ იგი სულ უფრო და უფრო ჰეტეროგენული ხდებოდა ამ ფენების შემადგენლობასთან მიმართებაში, რომელთაგან ეს უკანასკნელი, ძველი ფენების ფრაგმენტებისგან წარმოქმნილი, უკიდურესად რთული გახდა მათში შემავალი მასალების შერევით და და ბოლოს, რომ ეს ჰეტეროგენულობა საგრძნობლად გაუმჯობესდა დედამიწის ცხელი ბირთვიდან მის ზედაპირამდე მოქმედებით, რის გამოც არა მხოლოდ პლუტონური მთების უზარმაზარი მრავალფეროვნება მოხდა, არამედ დეპონირებული ფენების დახრილობაც სხვადასხვა კუთხით, რღვევების, ლითონის ძარღვების და გაუთავებელი დარღვევებისა და გადახრების ფორმირება გეოლოგები ასევე ამბობენ, რომ დედამიწის ზედაპირზე სიმაღლეების ზომები შეიცვალა, რომ მთის სისტემები ყველაზე ნაკლებად მაღალია და რომ ანდები და ჰიმალაები უახლესი სიმაღლეებია, ამავდროულად, დიდი ალბათობით, შესაბამისი ცვლილებები მოხდა ოკეანის ფსკერზე.

თუ ძნელი გასაკეთებელია გამრავლებაფორტეპიანოს აწევისას დაძაბულობით, მაშ, როგორ არის შესაძლებელი ოტელოს დახვეწილი ფსიქოლოგიით კომპლექსურ როლში ყველაზე დახვეწილი შინაგანი გრძნობების დაუფლება!

ჩვენ ვართ კვლევის, ანალიზისა და გაზომვის სპეციალისტები, ჩვენ ვართ ყველა ანბანის, ცხრილის მცველები და მუდმივი შემმოწმებლები გამრავლებადა მეთოდები, ჩვენ ვართ სულიერი ზომების და წონების ბრენდები.

ის არ კითხულობდა წიგნებს, ჩვენს კაპიტან ტროტას, და მალულად გრძნობდა სინანულს თავისი გაზრდილი შვილის გამო, რომელსაც მალე დახვდებოდა ფიქალი, დაფა და ღრუბელი, ქაღალდი, სახაზავი და მაგიდა. გამრავლებადა რომელსაც გარდაუვალი ანთოლოგიები უკვე ელოდნენ.

ახალმა მენეჯერმა - ძლიერმა, მარილიანმა კაცმა - სწრაფად მიიყვანა უჟიკი სუფთა წყალში, აღმოაჩინა, რომ მას არც კი დაეუფლა მაგიდები. გამრავლებადა ჭექა-ქუხილით გააძევა სკოლიდან.

ეს ოპერაციები შეიძლება შეიცავდეს დამატებას, გამოკლებას და გამრავლებაფუნქციები, ფუნქციების შედარება, მსგავსი მოქმედებები ფუნქციასა და რიცხვზე, ფუნქციების მაქსიმუმის პოვნა, განუსაზღვრელი ინტეგრალის გამოთვლა, ორი ფუნქციის წარმოებულის განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა, ფუნქციის აბსცისის გასწვრივ გადატანა და ა.შ.

გამრავლებაარის არითმეტიკული ოპერაცია, რომელშიც პირველი რიცხვი მეორდება ტერმინის სახით იმდენჯერ, რამდენჯერაც მიუთითებს მეორე რიცხვი.

რიცხვს, რომელიც მეორდება ჯამის სახით, ეწოდება გამრავლებადი(მრავლდება), რიცხვი, რომელიც გვიჩვენებს რამდენჯერ უნდა გაიმეოროთ ტერმინი, ეწოდება მულტიპლიკატორი. გამრავლების შედეგად მიღებული რიცხვი ეწოდება მუშაობა.

მაგალითად, ნატურალური რიცხვი 2-ის ნატურალურ რიცხვზე 5-ზე გამრავლება ნიშნავს ხუთი წევრის ჯამის პოვნას, რომელთაგან თითოეული უდრის 2-ს:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

ამ მაგალითში ჩვენ ვპოულობთ ჯამს მარტივი მიმატებით. მაგრამ როდესაც იდენტური ტერმინების რაოდენობა დიდია, ყველა ტერმინის მიმატებით ჯამის პოვნა ძალიან დამღლელი ხდება.

გამრავლების დასაწერად გამოიყენეთ ნიშანი × (ირიბი ჯვარი) ან · (წერტილი). იგი მოთავსებულია გამრავლებასა და მულტიპლიკატორს შორის, გამრავლების ნიშნის მარცხნივ იწერება მამრავლი, ხოლო მარჯვნივ - მამრავლი. მაგალითად, ჩანაწერი 2 5 ნიშნავს, რომ რიცხვი 2 მრავლდება რიცხვზე 5. გამრავლების ჩანაწერის მარჯვნივ დააყენეთ ნიშანი = (ტოლი), რის შემდეგაც იწერება გამრავლების შედეგი. ამრიგად, გამრავლების სრული აღნიშვნა ასე გამოიყურება:

ეს ჩანაწერი შემდეგნაირად იკითხება: ორი და ხუთის ნამრავლი უდრის ათს, ან ორჯერ ხუთი უდრის ათს.

ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ გამრავლება არის მხოლოდ მსგავსი ტერმინების დამატების სტენოგრამა.

გამრავლების შემოწმება

გამრავლების შესამოწმებლად შეგიძლიათ პროდუქტი გაყოთ ფაქტორზე. თუ გაყოფის შედეგი გამრავლების ტოლი რიცხვია, მაშინ გამრავლება სწორია.

განვიხილოთ გამოთქმა:

სადაც 4 არის გამრავლება, 3 არის მამრავლი და 12 არის ნამრავლი. ახლა შევამოწმოთ გამრავლება ნამრავლის ფაქტორზე გაყოფით.

მთელი რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფისას გამოიყენება რამდენიმე წესი. ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილავთ თითოეულ მათგანს.

მთელი რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფისას ყურადღება მიაქციეთ რიცხვების ნიშნებს. მათზე იქნება დამოკიდებული რომელი წესი გამოიყენონ. ასევე, აუცილებელია გამრავლებისა და გაყოფის რამდენიმე კანონის შესწავლა. ამ წესების შესწავლა დაგეხმარებათ თავიდან აიცილოთ უხერხული შეცდომები მომავალში.

გაკვეთილის შინაარსი

გამრავლების კანონები

გაკვეთილზე განვიხილეთ მათემატიკის ზოგიერთი კანონი. მაგრამ ჩვენ არ განვიხილავთ ყველა კანონს. მათემატიკაში ბევრი კანონია და გონივრული იქნება მათი თანმიმდევრობით შესწავლა საჭიროებისამებრ.

ჯერ გავიხსენოთ რისგან შედგება გამრავლება. გამრავლება შედგება სამი პარამეტრისგან: მრავლდება, მულტიპლიკატორიდა მუშაობს. მაგალითად, გამონათქვამში 3 × 2 = 6, რიცხვი 3 არის მამრავლი, რიცხვი 2 არის მამრავლი და რიცხვი 6 არის ნამრავლი.

მრავლობითიგვიჩვენებს, თუ რას ვიმატებთ. ჩვენს მაგალითში ჩვენ გავზრდით რიცხვს 3.

ფაქტორიგვიჩვენებს რამდენჯერ გჭირდებათ გამრავლების გაზრდა. ჩვენს მაგალითში მამრავლი არის რიცხვი 2. ეს მულტიპლიკატორი გვიჩვენებს რამდენჯერ უნდა გაზარდოთ მამრავლი 3. ანუ გამრავლების ოპერაციის დროს რიცხვი 3 გაორმაგდება.

მუშაობაეს რეალურად გამრავლების ოპერაციის შედეგია. ჩვენს მაგალითში ნამრავლი არის რიცხვი 6. ეს ნამრავლი არის 3-ის 2-ზე გამრავლების შედეგი.

გამოთქმა 3 × 2 ასევე შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი სამეულის ჯამი. მამრავლი 2 ამ შემთხვევაში აჩვენებს რამდენჯერ უნდა გაიმეოროთ ნომერი 3:

ამრიგად, თუ ნომერი 3 ზედიზედ ორჯერ განმეორდება, რიცხვი 6 მიიღება.

გამრავლების კომუტაციური კანონი

მამრავლსა და მამრავლს ერთი საერთო სიტყვა ეწოდება - ფაქტორები. გამრავლების კომუტაციური კანონი ასე გამოიყურება:

ფაქტორების ადგილების პერმუტაციიდან პროდუქტი არ იცვლება.

მოდით შევამოწმოთ ეს ასეა თუ არა. გაამრავლეთ მაგალითად 3 5-ზე. აქ 3 და 5 არის ფაქტორები.

3 x 5 = 15

ახლა მოდით გავცვალოთ ფაქტორები:

5 x 3 = 15

ორივე შემთხვევაში, ჩვენ ვიღებთ პასუხს 15, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია დავაყენოთ ტოლობის ნიშანი გამონათქვამებს შორის 3 × 5 და 5 × 3, რადგან ისინი უდრის იგივე მნიშვნელობას:

3 x 5 = 5 x 3

15 = 15

და ცვლადების დახმარებით, გამრავლების კომუტაციური კანონი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

a × b = b × a

სადაც ადა ბ- ფაქტორები

გამრავლების ასოციაციური კანონი

ეს კანონი ამბობს, რომ თუ გამოხატულება შედგება რამდენიმე ფაქტორისგან, მაშინ პროდუქტი არ იქნება დამოკიდებული ოპერაციების თანმიმდევრობაზე.

მაგალითად, გამოხატულება 3 × 2 × 4 შედგება რამდენიმე ფაქტორისგან. მის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გაამრავლოთ 3 და 2, შემდეგ გაამრავლოთ მიღებული ნამრავლი დარჩენილი რიცხვით 4. ასე გამოიყურება:

3 x 2 x 4 = (3 x 2) x 4 = 6 x 4 = 24

ეს იყო პირველი გამოსავალი. მეორე ვარიანტია გავამრავლოთ 2 და 4, შემდეგ გავამრავლოთ მიღებული ნამრავლი დარჩენილი რიცხვით 3. ასე გამოიყურება:

3 x 2 x 4 = 3 x (2 x 4) = 3 x 8 = 24

ორივე შემთხვევაში ვიღებთ პასუხს 24. მაშასადამე, გამონათქვამებს (3 × 2) × 4 და 3 × (2 × 4) შორის შეგვიძლია დავაყენოთ ტოლობის ნიშანი, რადგან ისინი ტოლია იგივე მნიშვნელობის:

(3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)

ხოლო ცვლადების დახმარებით გამრავლების ასოციაციური კანონი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

სადაც ნაცვლად ა, ბ,გშეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი.

გამრავლების განაწილების კანონი

გამრავლების განაწილების კანონი საშუალებას გაძლევთ გაამრავლოთ ჯამი რიცხვზე. ამისათვის ამ ჯამის თითოეული წევრი მრავლდება ამ რიცხვზე, შემდეგ ემატება შედეგები.

მაგალითად, ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა (2 + 3) × 5

ფრჩხილებში გამოხატული არის ჯამი. ეს თანხა უნდა გავამრავლოთ რიცხვზე 5. ამისათვის ამ ჯამის თითოეული წევრი, ანუ რიცხვები 2 და 3, უნდა გავამრავლოთ 5-ზე, შემდეგ დავამატოთ შედეგები:

(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

ასე რომ, გამოხატვის (2 + 3) × 5 მნიშვნელობა არის 25.

ცვლადების დახმარებით გამრავლების გამანაწილებელი კანონი იწერება შემდეგნაირად:

(a + b) × c = a × c + b × c

სადაც ნაცვლად ა, ბ, გშეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი.

ნულზე გამრავლების კანონი

ეს კანონი ამბობს, რომ თუ რომელიმე გამრავლებაში არის ერთი ნული მაინც, მაშინ პასუხი იქნება ნული.

ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია.

მაგალითად, გამოხატულება 0 × 2 არის ნული

ამ შემთხვევაში, რიცხვი 2 არის მულტიპლიკატორი და გვიჩვენებს რამდენჯერ გჭირდებათ გამრავლების გაზრდა. ანუ რამდენჯერ გავზარდოთ ნული. სიტყვასიტყვით, ეს გამოთქმა ასე იკითხება: "ნულის გაორმაგება" . მაგრამ როგორ შეგიძლიათ გააორმაგოთ ნული, თუ ის ნულის ტოლია? პასუხი არის არა.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ "არაფერი" გაორმაგდა, ან თუნდაც მილიონჯერ, ის მაინც "არაფერი" იქნება.

და თუ გამოსახულებაში 0 × 2 გავცვლით ფაქტორებს, ისევ მივიღებთ ნულს. ჩვენ ვიცით ეს წინა გადაადგილების კანონიდან:

ნულზე გამრავლების კანონის გამოყენების მაგალითები:

5 x 5 x 5 x 0 = 0

2 x 5 x 0 x 9 x 1 = 0

ბოლო ორ მაგალითში რამდენიმე ფაქტორია. მათში ნულის დანახვისას, პასუხში მაშინვე ვსვამთ ნულს, ნულზე გამრავლების კანონის გამოყენებით.

ჩვენ განვიხილეთ გამრავლების ძირითადი კანონები. შემდეგი, განიხილეთ მთელი რიცხვების გამრავლება.

მთელი რიცხვის გამრავლება

მაგალითი 1იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −5 × 2

ეს არის რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნით. −5 არის უარყოფითი და 2 დადებითი. ასეთ შემთხვევებში უნდა იქნას გამოყენებული შემდეგი წესი:

სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გასამრავლებლად საჭიროა მათი მოდულების გამრავლება და მიღებულ პასუხამდე დადეთ მინუსი.

−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

ჩვეულებრივ იწერება მოკლედ: −5 × 2 = −10

ნებისმიერი გამრავლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რიცხვების ჯამის სახით. მაგალითად, განიხილეთ გამოთქმა 2 × 3. ის უდრის 6-ს.

ამ გამოსახულებაში მამრავლი არის რიცხვი 3. ეს მამრავლი გვიჩვენებს რამდენჯერ გჭირდებათ ამ ორის გაზრდა. მაგრამ გამოხატულება 2 × 3 ასევე შეიძლება გავიგოთ, როგორც სამი ორის ჯამი:

იგივე ხდება გამოსახულებაში −5 × 2. ეს გამოხატულება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ჯამის სახით

ხოლო გამოხატულება (−5) + (−5) უდრის −10-ს. ჩვენ ეს ვიცით. ეს არის უარყოფითი რიცხვების დამატება. შეგახსენებთ, რომ უარყოფითი რიცხვების დამატების შედეგი არის უარყოფითი რიცხვი.

მაგალითი 2იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 12 × (−5)

ეს არის რიცხვების გამრავლება სხვადასხვა ნიშნით. 12 დადებითი რიცხვია, (−5) უარყოფითი. კვლავ ვიყენებთ წინა წესს. ვამრავლებთ რიცხვების მოდულებს და მიღებულ პასუხამდე ვსვამთ მინუსს:

12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

როგორც წესი, გამოსავალი იწერება მოკლედ:

12 × (−5) = −60

მაგალითი 3იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 10 × (−4) × 2

ეს გამოთქმა რამდენიმე ფაქტორისგან შედგება. ჯერ გავამრავლოთ 10 და (−4), შემდეგ მიღებული რიცხვი გავამრავლოთ 2-ზე. გზად გამოიყენეთ ადრე შესწავლილი წესები:

პირველი მოქმედება:

10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

მეორე მოქმედება:

−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

ასე რომ, 10 × (−4) × 2 გამოხატვის მნიშვნელობა არის −80

მოკლედ დავწეროთ გამოსავალი:

10 × (−4) × 2 = -40 × 2 = -80

მაგალითი 4იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (−4) × (−2)

ეს არის უარყოფითი რიცხვების გამრავლება. ასეთ შემთხვევებში უნდა მოქმედებდეს შემდეგი წესი:

უარყოფითი რიცხვების გასამრავლებლად საჭიროა მათი მოდულების გამრავლება და მიღებული პასუხის წინ პლუსი.

(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

გარდა ამისა, ტრადიციულად, ჩვენ არ ვწერთ, ასე რომ, ჩვენ უბრალოდ ვწერთ პასუხს 8.

მოდით დავწეროთ ამონახსნი უფრო მოკლე (−4) × (−2) = 8

ჩნდება კითხვა, უარყოფითი რიცხვების გამრავლებისას რატომ ჩნდება მოულოდნელად დადებითი რიცხვი. შევეცადოთ დავამტკიცოთ, რომ (−4) × (−2) უდრის 8-ს და სხვა არაფერი.

პირველ რიგში, ჩვენ ვწერთ შემდეგ გამონათქვამს:

ჩავსვათ იგი ფრჩხილებში:

(4×(−2) )

ამ გამოსახულებას დავუმატოთ ჩვენი გამონათქვამი (−4) × (−2). ისიც ფრჩხილებში ჩავსვათ:

(4 × (−2) ) + ((−4) × (−2) )

ამ ყველაფერს ვატოლებთ ნულს:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0

ახლა გართობა იწყება. დასკვნა ის არის, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ამ გამოხატვის მარცხენა მხარე და შედეგად მივიღოთ 0.

ასე რომ, პირველი ნამრავლი (4 × (−2)) არის −8. მოდით ჩავწეროთ რიცხვი −8 ჩვენს გამოსახულებაში ნამრავლის ნაცვლად (4 × (−2))

−8 + ((−4) × (−2)) = 0

ახლა, მეორე პროდუქტის ნაცვლად, დროებით ვაყენებთ ელიფსისს

ახლა მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ გამოთქმას -8 + ... = 0. რა რიცხვმა უნდა ჩაანაცვლოს ელიფსისი, რომ თანასწორობა დაფიქსირდეს? პასუხი თავისთავად გვთავაზობს. ელიფსის ნაცვლად უნდა იყოს დადებითი რიცხვი 8 და სხვა არა. მხოლოდ ამ გზით შენარჩუნდება თანასწორობა. რადგან −8 + 8 უდრის 0-ს.

ვუბრუნდებით გამოთქმას −8 + ((−4) × (−2)) = 0 და ნამრავლის ნაცვლად ((−4) × (−2)) ვწერთ რიცხვს 8.

მაგალითი 5იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −2 × (6 + 4)

ჩვენ ვიყენებთ გამრავლების კანონს, ანუ ვამრავლებთ რიცხვს −2 ჯამის თითოეულ წევრზე (6 + 4)

−2 × (6 + 4) = −2 × 6 + (−2) × 4

ახლა გავაკეთოთ გამრავლება და დავამატოთ შედეგები. გზაში გამოიყენეთ ადრე ნასწავლი წესები. მოდულებით ჩანაწერი შეიძლება გამოტოვოთ ისე, რომ არ მოხდეს გამოთქმა

პირველი მოქმედება:

−2 × 6 = −12

მეორე მოქმედება:

−2 × 4 = −8

მესამე მოქმედება:

−12 + (−8) = −20

ასე რომ, −2 × (6 + 4) გამოხატვის მნიშვნელობა არის −20

მოკლედ დავწეროთ გამოსავალი:

−2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

მაგალითი 6იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (−2) × (−3) × (−4)

გამოხატულება შედგება რამდენიმე ფაქტორისგან. ჯერ ვამრავლებთ რიცხვებს -2 და -3 და მიღებული ნამრავლი მრავლდება დარჩენილი რიცხვით -4. ჩვენ გამოვტოვებთ ჩანაწერს მოდულებით, რათა არ მოხდეს გამოთქმის არევა

პირველი მოქმედება:

(−2) × (−3) = 6

მეორე მოქმედება:

6 × (−4) = −(6 × 4) = −24

ასე რომ, (−2) × (−3) × (−4) გამოხატვის მნიშვნელობა არის −24

მოკლედ დავწეროთ გამოსავალი:

(−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

სამმართველოს კანონები

მთელი რიცხვების გაყოფამდე აუცილებელია გაყოფის ორი კანონის შესწავლა.

პირველ რიგში გავიხსენოთ რისგან შედგება დაყოფა. განყოფილება შედგება სამი პარამეტრისგან: გაყოფადი, გამყოფიდა კერძო. მაგალითად, გამონათქვამში 8: 2 = 4, 8 არის დივიდენდი, 2 არის გამყოფი, 4 არის კოეფიციენტი.

Დივიდენდიზუსტად აჩვენებს რას ვიზიარებთ. ჩვენს მაგალითში ჩვენ ვყოფთ რიცხვს 8.

Გამყოფიგვიჩვენებს რამდენ ნაწილად უნდა გაიყოს დივიდენდი. ჩვენს მაგალითში გამყოფი არის რიცხვი 2. ეს გამყოფი გვიჩვენებს რამდენ ნაწილად უნდა გაიყოს დივიდენდი 8. ანუ გაყოფის ოპერაციის დროს რიცხვი 8 დაიყოფა ორ ნაწილად.

კერძოარის გაყოფის ოპერაციის რეალური შედეგი. ჩვენს მაგალითში კოეფიციენტი არის 4. ეს კოეფიციენტი არის 8-ის 2-ზე გაყოფის შედეგი.

ნულზე გაყოფა არ შეიძლება

ნებისმიერი რიცხვი არ შეიძლება გაიყოს ნულზე.

ეს იმიტომ ხდება, რომ გაყოფა არის გამრავლების ინვერსია. ეს ფრაზა შეიძლება სიტყვასიტყვით იქნას მიღებული. მაგალითად, თუ 2 × 5 = 10, მაშინ 10:5 = 2.

ჩანს, რომ მეორე გამონათქვამი დაწერილია საპირისპირო თანმიმდევრობით. თუ, მაგალითად, გვაქვს ორი ვაშლი და გვინდა ხუთჯერ გავზარდოთ, მაშინ ვწერთ 2 × 5 = 10. ვიღებთ ათ ვაშლს. შემდეგ, თუ გვინდა ამ ათი ვაშლის ორამდე შემცირება, ჩვენ ვწერთ 10: 5 = 2

თქვენ შეგიძლიათ იგივე გააკეთოთ სხვა გამონათქვამებთან ერთად. თუ, მაგალითად, 2 × 6 = 12, მაშინ შეგვიძლია დავუბრუნდეთ საწყის რიცხვს 2. ამისათვის საკმარისია გამოთქმა 2 × 6 = 12 ჩავწეროთ საპირისპირო თანმიმდევრობით, 12 გავყოთ 6-ზე.

ახლა განვიხილოთ გამონათქვამი 5 × 0. გამრავლების კანონებიდან ვიცით, რომ ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია. ასე რომ, გამოხატულება 5 × 0 ასევე ნულია

თუ ამ გამოთქმას საპირისპირო მიმდევრობით დავწერთ, მივიღებთ:

პასუხი მაშინვე იპყრობს თვალს არის 5, რაც არის ნულის ნულზე გაყოფის შედეგი. შეუძლებელია.

სხვა მსგავსი გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს საპირისპირო თანმიმდევრობით, მაგალითად 2 × 0 = 0

პირველ შემთხვევაში ნულის ნულზე გაყოფით მივიღეთ 5, ხოლო მეორე შემთხვევაში 2. ანუ ყოველ ჯერზე ნულის ნულზე გაყოფისას შეიძლება მივიღოთ სხვადასხვა მნიშვნელობები და ეს მიუღებელია.

მეორე ახსნა არის ის, რომ დივიდენდის გამყოფზე გაყოფა ნიშნავს რიცხვის პოვნას, რომელიც გამყოფზე გამრავლებისას მისცემს დივიდენდს.

მაგალითად, გამოთქმა 8: 2 ნიშნავს იპოვო რიცხვი, რომელიც 2-ზე გამრავლებისას მისცემს 8-ს.

აქ ელიფსის ნაცვლად უნდა იყოს რიცხვი, რომელიც 2-ზე გამრავლებისას მისცემს პასუხს 8. ამ რიცხვის საპოვნელად საკმარისია ეს გამოთქმა საპირისპირო თანმიმდევრობით დაწეროთ:

მივიღეთ რიცხვი 4. ელიფსის ნაცვლად დავწეროთ:

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა 5: 0. ამ შემთხვევაში, 5 არის დივიდენდი, 0 არის გამყოფი. 5-ის 0-ზე გაყოფა ნიშნავს იპოვო რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას მისცემს 5-ს.

აქ ელიფსის ნაცვლად უნდა იყოს რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას მისცემს პასუხს 5. მაგრამ არ არსებობს რიცხვი, რომელიც ნულზე გამრავლებისას იძლევა 5-ს.

გამოთქმა … × 0 = 5 ეწინააღმდეგება ნულზე გამრავლების კანონს, რომელიც ამბობს, რომ ნამრავლი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია.

ასე რომ, აზრი არ აქვს გამოთქმის … × 0 = 5 ჩაწერას საპირისპირო თანმიმდევრობით, 5-ის 0-ზე გაყოფით. ამიტომ ამბობენ, რომ ნულზე გაყოფა არ შეიძლება.

ცვლადების დახმარებით ეს კანონი შემდეგნაირად იწერება:

ზე ბ ≠ 0

ნომერი აშეიძლება დაიყოს რიცხვზე ბ, იმ პირობით, რომ ბარ არის ნულის ტოლი.

კერძო საკუთრება

ეს კანონი ამბობს, რომ თუ დივიდენდი და გამყოფი გამრავლდება ან იყოფა ერთ რიცხვზე, მაშინ კოეფიციენტი არ შეიცვლება.

მაგალითად, განიხილეთ გამოთქმა 12: 4. ამ გამოხატვის მნიშვნელობა არის 3

შევეცადოთ გავამრავლოთ დივიდენდი და გამყოფი ერთსა და იმავე რიცხვზე, მაგალითად, რიცხვზე 4. თუ დავაჯერებთ კოეფიციენტის თვისებას, პასუხში კვლავ უნდა მივიღოთ რიცხვი 3.

(12×4) : (4×4)

(12 × 4) : (4 × 4) = 48: 16 = 3

მიიღო პასუხი 3.

ახლა ვცადოთ არა გავამრავლოთ, არამედ დივიდენდი და გამყოფი გავყოთ რიცხვზე 4-ზე

(12: 4 ) : (4: 4 )

(12: 4 ) : (4: 4 ) = 3: 1 = 3

მიიღო პასუხი 3.

ჩვენ ვხედავთ, რომ თუ დივიდენდი და გამყოფი გამრავლდება ან იყოფა ერთ რიცხვზე, მაშინ კოეფიციენტი არ იცვლება.

მთელი რიცხვების დაყოფა

მაგალითი 1იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 12: (−2)

ეს არის რიცხვების დაყოფა სხვადასხვა ნიშნით. 12 დადებითი რიცხვია, (−2) უარყოფითი. ამ მაგალითის გადასაჭრელად გჭირდებათ გაყავით დივიდენდის მოდული გამყოფის მოდულზე და მიღებულ პასუხამდე ჩადეთ მინუსი.

12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6

ჩვეულებრივ უფრო მოკლედ იწერება:

12: (−2) = −6

მაგალითი 2იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა −24: 6

ეს არის რიცხვების დაყოფა სხვადასხვა ნიშნით. −24 არის უარყოფითი, 6 დადებითი. Კიდევ ერთხელ გავყოთ დივიდენდის მოდული გამყოფის მოდულზე და მივიღოთ მინუსი მიღებულ პასუხამდე.

−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4

მოკლედ დავწეროთ გამოსავალი:

მაგალითი 3იპოვეთ −45 გამოხატვის მნიშვნელობა: (−5)

ეს არის უარყოფითი რიცხვების დაყოფა. ამ მაგალითის გადასაჭრელად გჭირდებათ გაყავით დივიდენდის მოდული გამყოფის მოდულზე და მიღებული პასუხის წინ დადეთ პლუს ნიშანი.

−45: (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9

მოკლედ დავწეროთ გამოსავალი:

−45: (−5) = 9

მაგალითი 4იპოვეთ −36 გამოხატვის მნიშვნელობა: (−4) : (−3)

შესაბამისად, თუ გამონათქვამი შეიცავს მხოლოდ გამრავლებას ან გაყოფას, მაშინ ყველა მოქმედება უნდა შესრულდეს მარცხნიდან მარჯვნივ იმ თანმიმდევრობით, რა სახითაც გამოჩნდება.

−36 გავყოთ (−4-ზე) და მიღებული რიცხვი გავყოთ −3-ზე

პირველი მოქმედება:

−36: (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9

მეორე მოქმედება:

9: (−3) = −(|9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3

მოკლედ დავწეროთ გამოსავალი:

−36: (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3

მოგეწონა გაკვეთილი?
შემოუერთდით ჩვენს ახალ Vkontakte ჯგუფს და დაიწყეთ ახალი გაკვეთილების შეტყობინებების მიღება

MULTIPLY მნიშვნელობა

თ.ფ. ეფრემოვა ახალი ლექსიკონიᲠუსული ენა. განმარტებითი- წარმოებული

გამრავლება

მნიშვნელობა:

გამრავლება ეარა

შდრ.

1) მოქმედების პროცესი ღირებულების მიხედვით. ზმნა: გამრავლება (1), გამრავლება.

მნიშვნელობა:

არითმეტიკული ოპერაცია. მითითებულია წერტილით "." ან ნიშანი "?" (პირდაპირი თვალსაზრისით, გამრავლების ნიშნები გამოტოვებულია). დადებითი მთელი რიცხვების (ბუნებრივი რიცხვების) გამრავლება არის მოქმედება, რომელიც საშუალებას აძლევს ორ რიცხვს a (გამრავლება) და b (გამრავლება) იპოვონ მესამე რიცხვი ab (ნამრავლი) ტოლი b წევრთა ჯამისა, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს; a და b ასევე ფაქტორებს უწოდებენ. წილადი რიცხვების a/b და c/d გამრავლება განისაზღვრება ტოლობით ორი რაციონალური რიცხვის გამრავლება იძლევა რიცხვს, abs. რომლის მნიშვნელობა უდრის ფაქტორების აბსოლუტური მნიშვნელობების ნამრავლს და რომელსაც აქვს პლუს ნიშანი (+), თუ ორივე ფაქტორს აქვს იგივე ნიშნები, ან მინუს (-), თუ მათ აქვთ განსხვავებული ნიშნები. ირაციონალური რიცხვების გამრავლება განისაზღვრება მათი რაციონალური მიახლოებით. ფორმაში მოცემული რთული რიცხვების გამრავლება? = a + bi და? \u003d c + di, განისაზღვრება ტოლობით ?? = ac - bd + (a + bc)i.

რუსული ენის მცირე აკადემიური ლექსიკონი

გამრავლება

მნიშვნელობა:

ᲛᲔ ᲕᲐᲠ, შდრ.

მოქმედება ზმნაზე.გამრავლება - გამრავლება (2 მნიშვნელობით); მოქმედება და მდგომარეობა ღირებულებით. vb.გამრავლება - გამრავლება.

ოჯახის გამრავლებასთან ერთად მეთვალყურეობა გართულდა.პომიალოვსკი, დანილუშკა.

- ჩვენ გვჭირდება ადამიანური სიამოვნების გამრავლება და ადამიანის ტანჯვის შემსუბუქება.მზე. ივანოვი, ლურჯი ქვიშები.

გაყოფის შებრუნება არის მათემატიკური ოპერაცია, რომლითაც ორი რიცხვიდან (ან რაოდენობით) მიიღება ახალი რიცხვი (ან რაოდენობა), რომელიც (მთლიანი რიცხვებისთვის) შეიცავს პირველი რიცხვის ჯამს იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის მეორეში ერთეული.

გამრავლების ცხრილი.

ერთი მთელი რიცხვის მეორეზე გამრავლება ნიშნავს ერთი რიცხვის იმდენჯერ გამეორებას, რამდენჯერაც მეორე შეიცავს ერთეულებს. რიცხვის გამეორება ნიშნავს მისი ჯამის რამდენჯერმე აღებას და ჯამის განსაზღვრას.

გამრავლების განმარტება

მთელი რიცხვების გამრავლება არის ისეთი ოპერაცია, რომლის დროსაც თქვენ უნდა აიღოთ ერთი რიცხვი ტერმინებად იმდენჯერ, რამდენჯერაც მეორე შეიცავს ერთეულებს და იპოვოთ ამ ტერმინების ჯამი.

7-ის 3-ზე გამრავლება ნიშნავს 7 რიცხვის ჯამის სამჯერ აღებას და ჯამის პოვნას. სასურველი თანხა 21 ლარი.

გამრავლება არის თანაბარი წევრების შეკრება.

გამრავლების მონაცემები ეწოდება მულტიპლიკატორი და მულტიპლიკატორიდა სასურველი - მუშაობა.

შემოთავაზებულ მაგალითში მონაცემები იქნება მულტიპლიკატორი 7, მულტიპლიკატორი 3 და სასურველი პროდუქტი 21.

მრავლობითი. მრავლობითი არის რიცხვი, რომელიც მრავლდება ან მეორდება ჯამით. მულტიპლიკატორი გამოხატავს თანაბარ წევრთა სიდიდეს.

ფაქტორი. მამრავლი გვიჩვენებს რამდენჯერ მეორდება მამრავლი ტერმინით. მულტიპლიკატორი გვიჩვენებს თანაბარ წევრთა რაოდენობას.

მუშაობა. ნამრავლი არის რიცხვი, რომელიც წარმოიქმნება გამრავლების შედეგად. ეს არის თანაბარი პირობების ჯამი.

მულტიპლიკატორი და მამრავლი ერთად ეწოდება მწარმოებლები.

მთელი რიცხვების გამრავლებისას ერთი რიცხვი იმდენჯერ იზრდება, რამდენჯერაც მეორე შეიცავს ერთეულებს.

გამრავლების ნიშანი. გამრავლების ოპერაცია აღინიშნება ნიშნით × (ირიბი ჯვარი) ან. (წერტილი). გამრავლების ნიშანი მოთავსებულია მამრავლსა და მულტიპლიკატორს შორის.

სამჯერ გაიმეორეთ რიცხვი 7 ჯამის სახით და იპოვეთ ჯამი 7-ჯერ 3. დაწერის ნაცვლად

მოკლედ დაწერეთ გამრავლების ნიშნის გამოყენებით:

7 × 3 ან 7 3

გამრავლება არის ტოლი წევრების შემოკლებული დამატება.

Ნიშანი ( × ) შემოიღო Oughtred (1631) და ნიშანი. კრისტიან ვოლფი (1752).

მონაცემებსა და სასურველ რიცხვს შორის ურთიერთობა გამოიხატება გამრავლებით

წერილობით:

7 × 3 = 21 ან 7 3 = 21

სიტყვიერად:

შვიდჯერ სამი არის 21.

21-იანი პროდუქტის გასაკეთებლად, თქვენ უნდა გაიმეოროთ 7 სამჯერ

3-ის კოეფიციენტის გასაკეთებლად, თქვენ უნდა გაიმეოროთ ერთეული სამჯერ

აქედან გამომდინარე გვაქვს გამრავლების კიდევ ერთი განმარტება: გამრავლება არის ოპერაცია, რომლის დროსაც ნამრავლი შედგება გამრავლებისგან ზუსტად ისე, როგორც მამრავლი შედგება ერთიანისგან.

ნაწარმოების მთავარი საკუთრება

პროდუქტი არ იცვლება მწარმოებლების შეკვეთის ცვლილებით.

მტკიცებულება. 7-ის 3-ზე გამრავლება ნიშნავს 7-ის სამჯერ გამეორებას. თუ შევცვლით 7-ს 7 ერთეულის ჯამით და ვერტიკალურად დავაწყობთ მათ, გვაქვს:

ამგვარად, ორი რიცხვის გამრავლებისას, ორი მწარმოებლიდან რომელიმე შეიძლება მივიჩნიოთ მულტიპლიკატორად. ამის საფუძველზე მწარმოებლებს უწოდებენ ფაქტორებიან უბრალოდ მულტიპლიკატორები.

გამრავლების ყველაზე გავრცელებული ტექნიკაა თანაბარი პუნქტების დამატება; მაგრამ თუ მწარმოებლები დიდია, ეს ხრიკი იწვევს ხანგრძლივ გამოთვლებს, ამიტომ თავად გამოთვლა სხვაგვარად არის მოწყობილი.

ერთნიშნა რიცხვების გამრავლება. პითაგორას მაგიდა

ორი ერთნიშნა რიცხვის გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაიმეოროთ ერთი რიცხვი ტერმინებთან იმდენჯერ, რამდენჯერაც მეორე შეიცავს ერთეულებს და იპოვოთ მათი ჯამი. ვინაიდან მთელი რიცხვების გამრავლება მცირდება ერთნიშნა რიცხვების გამრავლებამდე, ისინი ქმნიან ყველა ერთნიშნა რიცხვის ნამრავლების ცხრილს წყვილებში. წყვილებში ერთნიშნა რიცხვების ყველა ნამრავლის ასეთ ცხრილს ეწოდება გამრავლების ცხრილი.

მისი გამოგონება მიეწერება ბერძენ ფილოსოფოს პითაგორას, რომლის სახელიც მას ეწოდა. პითაგორას მაგიდა. (პითაგორა დაიბადა დაახლოებით 569 წ. ძვ.წ.).

ამ ცხრილის შესაქმნელად, თქვენ უნდა დაწეროთ პირველი 9 რიცხვი ჰორიზონტალურ რიგში:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

შემდეგ, ამ სტრიქონის ქვეშ, თქვენ უნდა მოაწეროთ ხელი რიცხვების სერიას, რომელიც გამოხატავს ამ რიცხვების ნამრავლს 2-ით. რიცხვების ეს სერია გამოვა, როდესაც პირველ სტრიქონში თითოეულ რიცხვს საკუთარ თავს დავამატებთ. რიცხვების მეორე სტრიქონიდან თანმიმდევრულად მივდივართ 3-ზე, 4-ზე და ა.შ. ყოველი მომდევნო სტრიქონი მიიღება წინადან მასზე პირველი სტრიქონის რიცხვების მიმატებით.

გავაგრძელოთ ამის გაკეთება მე-9 სტრიქონამდე, მივიღებთ პითაგორას ცხრილს შემდეგი ფორმით

იმისათვის, რომ იპოვოთ ორი ერთნიშნა რიცხვის ნამრავლი ამ ცხრილიდან, თქვენ უნდა იპოვოთ ერთი მწარმოებელი პირველ ჰორიზონტალურ რიგში, მეორე კი პირველ ვერტიკალურ სვეტში; მაშინ სასურველი პროდუქტი იქნება შესაბამისი სვეტისა და მწკრივის კვეთაზე. ამრიგად, პროდუქტი 6 × 7 = 42 არის მე -6 რიგისა და მე -7 სვეტის კვეთაზე. ნულის ნამრავლი რიცხვზე და რიცხვზე ნულზე ყოველთვის იძლევა ნულს.

ვინაიდან რიცხვის ნამრავლი 1-ით იძლევა თავად რიცხვს და ფაქტორების თანმიმდევრობის შეცვლა არ ცვლის ნამრავლს, მაშინ ორი ერთნიშნა რიცხვის ყველა განსხვავებული ნამრავლი, რომელსაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ, მოცემულია შემდეგ ცხრილში:

ამ ცხრილში არ შეიცავს ერთნიშნა რიცხვების ნამრავლები მიიღება მონაცემებიდან, თუ მათში შეცვლილია მხოლოდ მულტიპლიკატორის რიგი; ასე რომ, 9 x 4 = 4 x 9 = 36.

მრავალნიშნა რიცხვის გამრავლება ერთნიშნა რიცხვზე

8094 რიცხვის 3-ზე გამრავლება მითითებულია მულტიპლიკატორის ქვეშ ხელმოწერით, მარცხნივ გამრავლების ნიშნის დაყენებით და ნამრავლის გამოსაყოფად ხაზის დახაზვით.

8094 მრავალნიშნა რიცხვის 3-ზე გამრავლება ნიშნავს სამი ტოლი წევრის ჯამის პოვნას

ამიტომ, გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაიმეოროთ მრავალნიშნა რიცხვის ყველა ბრძანება სამჯერ, ანუ გავამრავლოთ 3 ერთეულზე, ათეულზე, ასეულზე და ა.შ. შეკრება იწყება ერთიდან, შესაბამისად, გამრავლებაც უნდა დაიწყოს ერთიდან და შემდეგ. წასვლა მარჯვენა ხელიმარცხნივ უმაღლესი რიგის ერთეულებში.

ამ შემთხვევაში, გამოთვლების კურსი გამოხატულია სიტყვიერად:

გამრავლებას ვიწყებთ ერთეულებით: 3 × 4 არის 12, ჩვენ ვაწერთ ხელს მე-2 ერთეულების ქვეშ და ვაკეთებთ ერთეულს (1 ათეულს) შემდეგი რიგის ნამრავლზე ფაქტორზე (ან დაიმახსოვრეთ იგი თქვენს გონებაში).

ათეულების გამრავლება: 3 × 9 არის 27, დიახ 1 გონებაში არის 28; ჩვენ ვაწერთ ხელს ათეულების 8 და 2 ქვეშ.

ასობით გამრავლება: ნული გამრავლებული 3-ზე იძლევა ნულს, დიახ 2 გონებაში იქნება 2, ჩვენ ვაწერთ ასობით 2-ს.

ათასობითს გამრავლება: 3 × 8 = 24, ჩვენ ვაწერთ ხელს მთლიანად 24, რადგან არ გვაქვს შემდეგი ბრძანებები.

ეს ქმედება წერილობით იქნება გამოხატული:

წინა მაგალითიდან გამოვიყვანთ შემდეგ წესს. მრავალნიშნა რიცხვის ერთნიშნა რიცხვზე გასამრავლებლად საჭიროა:

ხელი მოაწერეთ მულტიპლიკატორს მულტიპლიკაციის ერთეულების ქვეშ, დააყენეთ გამრავლების ნიშანი მარცხნივ და დახაზეთ ხაზი.

გამრავლება იწყება მარტივი ერთეულებით, შემდეგ გადაადგილდებიან მარჯვენა ხელიდან მარცხნივ, თანმიმდევრულად ამრავლებენ ათეულებს, ასეულებს, ათასებს და ა.შ.

თუ გამრავლებისას ნამრავლი გამოიხატება როგორც ერთნიშნა რიცხვი, მაშინ ის ხელმოწერილია გამრავლებული რიცხვის ქვეშ.

თუ ნამრავლი გამოიხატება ორნიშნა რიცხვით, მაშინ ერთეულის ციფრი ხელმოწერილია იმავე სვეტის ქვეშ, ხოლო ათეულების რიცხვი ემატება შემდეგი რიგის ნამრავლს ფაქტორზე.

გამრავლება გრძელდება მანამ, სანამ არ მიიღება სრული პროდუქტი.

რიცხვების გამრავლება 10-ზე, 100-ზე, 1000-ზე...

რიცხვების 10-ზე გამრავლება ნიშნავს მარტივი ერთეულების ათეულებად გადაქცევას, ათეულების ასეულებად და ა.შ., ანუ ყველა ციფრის რიგის გაზრდას ერთით. ეს მიიღწევა მარცხნივ ერთი ნულის დამატებით. 100-ზე გამრავლება ნიშნავს მულტიპლიკატორის ყველა ბრძანების გაზრდას ორი ერთეულით, ანუ ერთეულების ასეულებად, ათეულებად ათასებად და ა.შ.

ეს მიიღწევა რიცხვისთვის ორი ნულის მიწერით.

აქედან დავასკვნით:

მთელი რიცხვის გასამრავლებლად 10-ზე, 100-ზე, 1000-ზე და საერთოდ 1-ზე ნულებით, თქვენ უნდა მიაკუთვნოთ იმდენი ნული მარჯვნივ, რამდენიც არის მულტიპლიკატორში.

6035 რიცხვის 1000-ზე გამრავლება გამოიხატება წერილობით:

როდესაც მულტიპლიკატორი არის რიცხვი, რომელიც მთავრდება ნულებით, მულტიპლიკანდში მხოლოდ მნიშვნელოვანი ციფრებია ხელმოწერილი, ხოლო მულტიპლიკატორის ნულები მიეწერება მარჯვნივ.

2039 300-ზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა აიღოთ რიცხვი 2029 300-ჯერ. 300 ტერმინის აღება იგივეა, რაც სამჯერ 100 ტერმინი ან 100-ჯერ სამ ტერმინი. ამისთვის ვამრავლებთ რიცხვს 3-ზე, შემდეგ კი 100-ზე, ან ჯერ ვამრავლებთ 3-ზე და შემდეგ მივაწერთ ორ ნულს მარჯვნივ.

გაანგარიშების კურსი წერილობით იქნება გამოხატული:

წესი. ერთი რიცხვის მეორეზე გასამრავლებლად, რომელიც წარმოდგენილია ციფრით ნულებით, ჯერ უნდა გაამრავლოთ ნამრავლი მნიშვნელოვანი ციფრით გამოხატულ რიცხვზე და შემდეგ მიანიჭოთ იმდენი ნული, რამდენიც არის ფაქტორში.

მრავალნიშნა რიცხვის გამრავლება მრავალნიშნა რიცხვზე

მრავალნიშნა რიცხვი 3029 გასამრავლებლად მრავალნიშნა რიცხვზე 429, ან 3029 * 429 ნამრავლის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაიმეოროთ 3029 წევრი 429 ჯერ და იპოვოთ ჯამი. 3029 წევრის 429-ჯერ გამეორება ნიშნავს მისი ტერმინების გამეორებას ჯერ 9, შემდეგ 20 და ბოლოს 400-ჯერ. მაშასადამე, 3029 429-ზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ 3029 ჯერ 9-ზე, შემდეგ 20-ზე და ბოლოს 400-ზე და იპოვოთ ამ სამი ნამრავლის ჯამი.

სამი ნამუშევარი

დაურეკა კერძო სამუშაოები.

3029 × 429 სრული ნამრავლი უდრის სამი კოეფიციენტის ჯამს:

3029 x 429 = 3029 x 9 + 3029 x 20 + 3029 x 400.

მოდით ვიპოვოთ ამ სამი ნაწილობრივი პროდუქტის მნიშვნელობები.

3029-ის 9-ზე გამრავლებით ვპოულობთ:

3029 × 9 27261 პირველი კერძო ნამუშევარი

3029-ის 20-ზე გამრავლებით ვხვდებით:

3029 × 20 60580 მეორე კერძო სამუშაო

3026-ის 400-ზე გამრავლებით ვხვდებით:

3029 × 400 1211600 მესამე კერძო სამუშაო

ამ ნაწილობრივი პროდუქტების დამატებით, მივიღებთ პროდუქტს 3029 × 429:

ძნელი არ არის იმის დანახვა, რომ ყველა ეს ნაწილობრივი ნამრავლი არის 3029 რიცხვის ნამრავლი და ერთნიშნა რიცხვები 9, 2, 4 და ერთი ნული მიეკუთვნება მეორე ნამრავლს, რომელიც მოდის ათეულზე გამრავლებიდან, ხოლო ორი ნული ათეულზე. მესამე.

გამრავლებისას გამოტოვებულია ნაწილობრივი პროდუქტებისთვის მიკუთვნებული ნულები და გამოთვლის პროცესი წერილობით არის გამოხატული:

ამ შემთხვევაში 2-ზე გამრავლებისას (მამრავლის ათეულების ციფრი) აწერენ 8-ს ათეულების ქვეშ, ან მარცხნივ უკან იხევენ ერთი ციფრით; როდესაც მრავლდება ასობით ციფრი 4-ზე, მოაწერეთ 6 მესამე სვეტში ან უკან დაიხიეთ 2 ციფრით. ზოგადად, ყოველი პირადი ნამუშევარი იწყება ხელმოწერას მარჯვენა ხელიდან მარცხნივ იმ რიგის მიხედვით, რომელსაც მიეკუთვნება მულტიპლიკატორის ციფრი.

ვეძებთ 3247-ის პროდუქტს 209-ით, გვაქვს:

აქ ვიწყებთ მეორე ნაწილობრივი ნამრავლის ხელმოწერას მესამე სვეტის ქვეშ, რადგან ის გამოხატავს 3247 ნამრავლს 2-ით, მულტიპლიკატორის მესამე ციფრზე.

ჩვენ აქ გამოვტოვეთ მხოლოდ ორი ნული, რომელიც უნდა გამოჩენილიყო მეორე ნაწილობრივ ნამრავლში, რადგან ის გამოხატავს რიცხვის ნამრავლს 2 ასეულებით ან 200-ით.

რაც ითქვა, ჩვენ გამოვყავით წესი. მრავალნიშნა რიცხვის მრავალნიშნა რიცხვზე გასამრავლებლად,

თქვენ უნდა მოაწეროთ მულტიპლიკატორი მულტიპლიკატორის ქვეშ ისე, რომ ერთი და იგივე რიგის რიცხვები იყოს იმავე ვერტიკალურ სვეტში, განათავსოთ გამრავლების ნიშანი მარცხნივ და დახაზოთ ხაზი.

გამრავლება იწყება მარტივი ერთეულებით, შემდეგ ისინი გადადიან მარჯვენა ხელიდან მარცხნივ, ამრავლებენ თანმიმდევრულ მამრავლს ათეულების, ასეულების და ა.შ ციფრზე და ქმნიან იმდენ ნაწილობრივ ნამრავლს, რამდენიც მნიშვნელოვანი ციფრია მამრავლში.

თითოეული კერძო პროდუქტის ერთეულები ხელმოწერილია იმ სვეტის ქვეშ, რომელსაც ეკუთვნის მულტიპლიკატორის ციფრი.

ამ გზით ნაპოვნი ყველა კერძო ნამუშევარი ემატება ერთმანეთში და ჯამში იღებს პროდუქტს.

მრავალნიშნა რიცხვის გასამრავლებლად ფაქტორზე, რომელიც მთავრდება ნულებით, თქვენ უნდა გააუქმოთ ნულები ფაქტორში, გაამრავლოთ დარჩენილი რიცხვით და შემდეგ დაამატოთ იმდენი ნული ნამრავლს, რამდენიც არის ფაქტორში.

მაგალითი. იპოვეთ 342-ის ნამრავლი 2700-ზე.

თუ გამრავლება და მამრავლი ორივე მთავრდება ნულით, ისინი უგულებელყოფენ გამრავლების დროს და შემდეგ ნამრავლს ემატება იმდენი ნული, რამდენიც არის ორივე მწარმოებელში.

მაგალითი. 2700-ის ნამრავლის გამოთვლით 35000-ზე, ვამრავლებთ 27-ს 35-ზე

ხუთი ნულის მინიჭებით 945-ს, მივიღებთ სასურველ პროდუქტს:

2700 × 35000 = 94500000.

პროდუქტის ციფრების რაოდენობა. პროდუქტის 3728 × 496 ციფრების რაოდენობა შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად. ეს ნამრავლი არის 3728 × 100-ზე მეტი და 3728 × 1000-ზე ნაკლები. პირველი ნამრავლის 6-ის ციფრების რაოდენობა უდრის 3728 მამრავლში და 496 მამრავლში ერთიანობის გარეშე. მეორე ნამრავლის 7-ის ციფრების რაოდენობა ტოლია მულტიპლიკანდში და მულტიპლიკატორში ციფრების რაოდენობას. მოცემულ ნამრავლს 3728 × 496 არ შეიძლება ჰქონდეს 6 ციფრზე ნაკლები (პროდუქტის ციფრთა რაოდენობაა 3728 × 100 და 7-ზე მეტი (პროდუქტის ციფრთა რაოდენობაა 3728 × 1000).

საიდან დავასკვნათ: ნებისმიერი ნამრავლის ციფრების რიცხვი ან ტოლია რიცხვების რაოდენობას მულტიპლიკანდში და ფაქტორში, ან ტოლია ამ რიცხვის ერთობის გარეშე..

ჩვენი პროდუქტი შეიძლება შეიცავდეს 7 ან 6 ციფრს.