Oglašavanje na portalu

Fermatova velika teorema. Hajde da razotkrijemo! Fermatova posljednja teorema dokazana? Kako zvuči teorema farme

Pierre Fermat, čitajući „Aritmetiku“ Diofanta Aleksandrijskog i razmišljajući o njenim zadacima, imao je običaj da rezultate svojih razmišljanja zapisuje na marginama knjige u obliku kratkih napomena. Protiv osmog Diofantovog problema na marginama knjige, Fermat je napisao: „ Naprotiv, nemoguće je razložiti ni kocku na dvije kocke, ni bikvadrat na dva bikvadrata, i, općenito, nijedan stepen veći od kvadrata za dva stepena sa istim eksponentom. Otkrio sam zaista divan dokaz za to, ali ova polja su mu preuska.» / E.T.Bell "Kreatori matematike". M., 1979, str.69/. Predstavljam vam elementarni dokaz teoreme farme, koji može razumjeti svaki srednjoškolac koji voli matematiku.

Uporedimo Fermatov komentar na Diofantov problem sa modernom formulacijom Fermatove velike teoreme, koja ima oblik jednačine.
« Jednačina

x n + y n = z n(gdje je n cijeli broj veći od dva)

nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima»

Komentar je u logičkoj vezi sa zadatkom, analogno logičkoj vezi predikata sa subjektom. Ono što potvrđuje Diofantov problem, naprotiv, potvrđuje Fermaov komentar.

Fermatov komentar može se protumačiti na sljedeći način: ako kvadratna jednadžba sa tri nepoznate ima beskonačan skup rješenja na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva, onda je, naprotiv, jednačina sa tri nepoznanice za stepen veći od kvadrata

Nema čak ni nagoveštaja njegove veze sa Diofantovim problemom u jednačini. Njegov iskaz zahtijeva dokaz, ali pod njim ne postoji uslov iz kojeg slijedi da nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Meni poznate varijante dokaza jednadžbe svode se na sljedeći algoritam.

  1. Kao zaključak uzima se jednadžba Fermatove teoreme, čija se valjanost provjerava uz pomoć dokaza.
  2. Ista jednačina se zove original jednačina iz koje se mora polaziti njegov dokaz.

Kao rezultat toga, formirana je tautologija: “ Ako jednadžba nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima, onda nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima". Dokaz tautologije je namjerno netačan i lišen svakog smisla. Ali to se dokazuje kontradiktornom metodom.

  • Pretpostavka je suprotna od pretpostavke jednačine koju želite dokazati. Ne bi trebalo da bude u suprotnosti sa originalnom jednačinom, ali joj je u suprotnosti. Nema smisla dokazivati ​​ono što je prihvaćeno bez dokaza, a prihvatati bez dokaza ono što se traži da se dokaže.
  • Na osnovu prihvaćene pretpostavke izvode se apsolutno ispravne matematičke operacije i radnje kako bi se dokazalo da je u suprotnosti sa izvornom jednačinom i da je lažna.

Stoga je već 370 godina dokaz jednačine Fermatove posljednje teoreme ostao neostvariv san specijalista i amatera matematike.

Uzeo sam jednačinu kao zaključak teoreme, a osmi Diofantov problem i njegovu jednačinu kao uslov teoreme.


“Ako jednačina x 2 + y 2 = z 2 (1) ima beskonačan skup rješenja na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva, tada, obrnuto, jednačina x n + y n = z n , gdje n> 2 (2) nema rješenja na skupu pozitivnih cijelih brojeva."

Dokaz.

A) Svi znaju da jednačina (1) ima beskonačan skup rješenja na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva. Dokažimo da niti jedna trojka Pitagorinih brojeva koja je rješenje jednačine (1) nije rješenje jednačine (2).

Na osnovu zakona reverzibilnosti jednakosti, strane jednačine (1) se zamjenjuju. Pitagorini brojevi (z, x, y) mogu se tumačiti kao dužine stranica pravokutnog trokuta i kvadrata (x 2, y 2, z 2) može se tumačiti kao površina kvadrata izgrađenih na njegovoj hipotenuzi i kracima.

Kvadrati kvadrata jednadžbe (1) množe se sa proizvoljnom visinom h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

Jednačina (3) se može tumačiti kao jednakost zapremine paralelepipeda sa zbirom zapremina dva paralelepipeda.

Neka visina tri paralelepipeda h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Zapremina kocke se rastavlja na dva volumena dva paralelepipeda. Ostavite volumen kocke nepromijenjen, a visinu prvog paralelepipeda smanjite na x i smanjiti visinu drugog paralelepipeda na y ... Zapremina kocke je veća od zbira zapremina dve kocke:

z 3> x 3 + y 3 (5)

Na skupu trojki Pitagorinih brojeva ( x, y, z ) at n = 3 ne može postojati rješenje jednačine (2). Dakle, na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva, nemoguće je rastaviti kocku na dvije kocke.

Neka u jednačini (3) bude visina tri paralelepipeda h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Zapremina paralelepipeda se razlaže na zbir zapremina dva paralelepipeda.
Ostavite lijevu stranu jednačine (6) nepromijenjenom. Na njegovoj desnoj strani je visina z 2 smanjiti na X u prvom mandatu pa do u 2 u drugom mandatu.

Jednačina (6) se pretvorila u nejednačinu:

Zapremina paralelepipeda se rastavlja na dva volumena dva paralelepipeda.

Ostavite lijevu stranu jednačine (8) nepromijenjenom.
Na desnoj strani visina z n-2 smanjiti na x n-2 u prvom mandatu i smanjiti na y n-2 u drugom mandatu. Jednačina (8) se pretvara u nejednačinu:

z n> x n + y n (9)

Na skupu trojki Pitagorinih brojeva ne može postojati jedno rješenje jednačine (2).

Dakle, na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva za sve n> 2 jednačina (2) nema rješenja.

Dobio "postinno čudesni dokaz", ali samo za trojke Pitagorini brojevi... Ovo je nedostatak dokaza i razlog zašto je P. Fermat odbio od njega.

B) Dokažimo da jednačina (2) nema rješenja na skupu trojki nepitagorinih brojeva, što je neuspjeh porodice proizvoljno uzete trojke pitagorinih brojeva z = 13, x = 12, y = 5 i porodica proizvoljne trojke pozitivnih cijelih brojeva z = 21, x = 19, y = 16

Obe trojke brojeva su članovi njihovih porodica:

(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) (10)
(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) (11)

Broj članova porodice (10) i (11) jednak je polovini umnoška 13 sa 12 i 21 sa 20, odnosno 78 i 210.

Svaki član porodice (10) sadrži z = 13 i varijable X i at 13> x> 0 , 13> y> 0 1

Svaki član porodice (11) sadrži z = 21 i varijable X i at koji uzimaju vrijednosti cijelih brojeva 21> x> 0 , 21> y> 0 ... Varijable se postepeno smanjuju za 1 .

Trojke brojeva u nizu (10) i (11) mogu se predstaviti kao niz nejednakosti trećeg stepena:

13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

i u obliku nejednakosti četvrtog stepena:

13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Ispravnost svake nejednakosti potvrđuje se elevacijom brojeva na treći i četvrti stepen.

Kocka većeg broja ne može se rastaviti na dvije kocke manjih brojeva. To je ili manje ili više od zbira kubova dva manja broja.

Bikvadrat većeg broja ne može se razložiti na dva bikvadrata manjih brojeva. To je ili manje ili više od zbira bikvadrata manjih brojeva.

Sa povećanjem eksponenta, sve nejednakosti, osim lijeve krajnje nejednakosti, imaju isto značenje:

Nejednačine, sve imaju isto značenje: stepen većeg broja je veći od zbira potencija manjih od dva broja sa istim eksponentom:

13 n> 12 n + 12 n; 13 n> 12 n + 11 n;...; 13 n> 7 n + 4 n;...; 13 n> 1 n + 1 n (12)
21 n> 20 n + 20 n; 21 n> 20 n + 19 n;...; ;…; 21 n> 1 n + 1 n (13)

Krajnji lijevi član nizova (12) (13) je najslabija nejednakost. Njegova ispravnost određuje ispravnost svih narednih nejednakosti niza (12) za n> 8 i niz (13) za n> 14 .

Među njima ne može postojati niti jedna jednakost. Proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva (21,19,16) nije rješenje jednačine (2) Fermatove velike teoreme. Ako proizvoljno uzeta trojka pozitivnih cijelih brojeva nije rješenje jednačine, onda jednačina nema rješenja na skupu pozitivnih cijelih brojeva, što smo morali dokazati.

SA) Fermatov komentar Diofantovog problema kaže da je nemoguće razložiti “ generalno, nijedan stepen veći od kvadrata, za dva stepena sa istim eksponentom».

Poljupci stepen veći od kvadrata zaista je nemoguće razložiti na dva stepena sa istim eksponentom. Neprikladno stepen veći od kvadrata može se razložiti na dva stepena sa istim eksponentom.

Bilo koja proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva (z, x, y) može pripadati porodici čiji se svaki član sastoji od konstantnog broja z i dva broja manja od z ... Svaki član porodice može se predstaviti u obliku nejednakosti, a sve dobijene nejednakosti se mogu predstaviti kao niz nejednakosti:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n (14)

Niz nejednačina (14) počinje nejednačinama u kojima je lijeva strana manja od desne, a završava se nejednačinama u kojima je desna strana manja od lijeve. Sa povećanjem eksponenta n> 2 broj nejednačina na desnoj strani niza (14) raste. Sa eksponentom n = k sve nejednačine na lijevoj strani niza mijenjaju svoje značenje i poprimaju značenje nejednačina na desnoj strani nejednačina u nizu (14). Kao rezultat povećanja eksponenta za sve nejednakosti, ispada da je lijeva strana veća od desne strane:

z k> (z-1) k + (z-1) k; z k> (z-1) k + (z-2) k;...; z k> 2 k + 1 k; z k> 1 k + 1 k (15)

Uz daljnje povećanje eksponenta n> k nijedna od nejednakosti ne mijenja svoj smisao i ne pretvara se u jednakost. Na osnovu toga, može se tvrditi da je bilo koja proizvoljno uzeta trojka pozitivnih cijelih brojeva (z, x, y) at n> 2 , z> x , z> y

U proizvoljnoj trojki pozitivnih cijelih brojeva z može biti proizvoljno veliki prirodan broj. Za sve prirodne brojeve koji nisu veći od z , Fermatova posljednja teorema je dokazana.

D) Bez obzira koliko je veliki broj z , u prirodnom nizu brojeva ispred njega postoji veliki, ali konačan skup cijelih brojeva, a nakon njega - beskonačan skup cijelih brojeva.

Dokažimo da je cijeli beskonačan skup prirodnih brojeva veći od z , formiraju trojke brojeva koje nisu rješenja jednadžbe Velike Fermaove teoreme, na primjer, proizvoljno uzetu trojku pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x, y) , pri čemu z + 1> x i z + 1> y za sve vrijednosti eksponenta n> 2 nije rješenje jednadžbe Velike Fermaove teoreme.

Proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x, y) može pripadati porodici trojki brojeva, čiji se svaki član sastoji od konstantnog broja z + 1 i dva broja X i at uzimajući različite vrijednosti manje od z + 1 ... Članovi porodice mogu se predstaviti u obliku nejednakosti u kojima je konstantna lijeva strana manja ili veća od desne strane. Nejednakosti se mogu rasporediti na uredan način kao niz nejednakosti:

Uz daljnje povećanje eksponenta n> k do beskonačnosti, nijedna od nejednakosti u nizu (17) ne mijenja značenje i ne prelazi u jednakost. U nizu (16), nejednakost je formirana od proizvoljne trojke pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x, y) , može biti na svojoj desnoj strani u obliku (z + 1) n> x n + y n ili biti u njegovom lijevom dijelu u obliku (z + 1) n< x n + y n .

U svakom slučaju, trojka pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x, y) at n> 2 , z + 1> x , z + 1> y u nizu (16) je nejednakost i ne može predstavljati jednakost, tj. ne može predstavljati rješenje jednačine Velike Fermaove teoreme.

Lako je i jednostavno razumjeti porijeklo niza nejednakosti snaga (16), u kojem su posljednja nejednakost na lijevoj strani i prva nejednakost na desnoj strani nejednakosti suprotnog značenja. Naprotiv, školarcima, srednjoškolcima i srednjoškolcima nije lako i nije lako da shvate kako se niz nejednačina (17) formira od niza nejednakosti (16), u kojem sve nejednakosti imaju isto značenje .

U nizu (16), povećanje cjelobrojnog stepena nejednakosti za 1 jedinicu pretvara posljednju nejednakost na lijevoj strani u prvu nejednakost suprotnog značenja na desnoj strani. Dakle, broj nejednačina na devetoj strani niza opada, dok se broj nejednačina na desnoj strani povećava. Između posljednje i prve nejednakosti moći suprotnog značenja, nužno postoji jednakost moći. Njegov stepen ne može biti ceo broj, jer postoje samo neceli brojevi između dva uzastopna prirodna broja. Jednakost stepena necjelobrojnog stepena, prema hipotezi teoreme, ne može se smatrati rješenjem jednačine (1).

Ako u nizu (16) nastavimo povećavati stepen za 1 jedinicu, onda će se posljednja nejednakost njegove lijeve strane pretvoriti u prvu nejednakost suprotnog značenja desne strane. Kao rezultat toga, ne ostaje nijedna nejednakost s lijeve strane, a ostaju samo nejednakosti na desnoj strani, koje predstavljaju niz rastućih nejednakosti snaga (17). Dalje povećanje njihovog cijelog stepena za 1 jedinicu samo pojačava njegove nejednakosti moći i kategorički isključuje mogućnost pojave jednakosti u cijelom stepenu.

Dakle, generalno, nijedna cjelobrojna potencija prirodnog broja (z + 1) niza nejednakosti stepena (17) ne može se razložiti na dva cjelobrojna stepena s istim eksponentom. Dakle, jednadžba (1) nema rješenja na beskonačnom skupu prirodnih brojeva, što je bilo potrebno dokazati.

Prema tome, Fermatova posljednja teorema je dokazana u svoj svojoj univerzalnosti:

  • u dijelu A) za sve trojke (z, x, y) Pitagorini brojevi (Fermatovo otkriće je zaista divan dokaz),
  • u odjeljku B) za sve članove porodice bilo koje trojke (z, x, y) Pitagorini brojevi,
  • u dijelu C) za sve trojke brojeva (z, x, y) , ne veliki brojevi z
  • u dijelu D) za sve trojke brojeva (z, x, y) prirodni niz brojeva.

Promjene su napravljene 09.05.2010.

Koje se teoreme mogu, a koje ne mogu dokazati kontradikcijom

U objašnjavajućem rječniku matematičkih pojmova, data je definicija dokaza suprotne teoreme, suprotnog inverznom teoremu.

„Dokaz kontradikcijom je metoda dokazivanja teoreme (propozicije), koja se sastoji u dokazivanju ne same teoreme, već njenog ekvivalenta (ekvivalenta), suprotnog inverznoj (inverznoj suprotnoj) teoremi. Dokaz kontradikcijom se koristi kad god je direktnu teoremu teško dokazati, a suprotno je lakše dokazati. Prilikom dokazivanja kontradikcijom zaključak teoreme zamjenjuje se njegovom negacijom, a rasuđivanjem se dolazi do negacije uvjeta, tj. na kontradikciju, na suprotnost (suprotno od onoga što je dato; ovo svođenje na apsurd dokazuje teoremu."

Dokaz kontradikcijom je vrlo čest u matematici. Dokaz kontradikcijom se zasniva na zakonu isključenog trećeg, a to je onaj od dva iskaza (tvrdnje) A i A (negacija A) jedan od njih je istinit, a drugi netačan."/ Objašnjavajući rečnik matematičkih pojmova: Vodič za nastavnike / O. V. Manturov [i drugi]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Obrazovanje, 1965.- 539 str.: ilustr.-C.112 /.

Ne bi bilo bolje otvoreno izjaviti da metoda dokazivanja kontradikcijom nije matematička metoda, iako se koristi u matematici, da je logička metoda i da pripada logici. Da li je prihvatljivo reći da se dokaz kontradikcijom "koristi kad god je direktnu teoremu teško dokazati", a zapravo se koristi ako i samo ako za njega nema zamjene?

Karakterizacija međusobnih odnosa direktnih i inverznih teorema zaslužuje posebnu pažnju. „Obratna teorema za datu teoremu (ili za datu teoremu) je teorema u kojoj je uvjet zaključak, a zaključak uvjet date teoreme. Ova teorema u odnosu na obrnutu teoremu naziva se direktna teorema (originalna). U isto vrijeme, suprotna teorema obrnutoj teoremi će biti data teorema; stoga se direktna i konverzna teorema nazivaju međusobno inverzne. Ako je direktna (data) teorema tačna, onda obrnuta teorema nije uvijek tačna. Na primjer, ako je četverokut romb, tada su njegove dijagonale međusobno okomite (direktna teorema). Ako su u četverokutu dijagonale međusobno okomite, onda je četverokut romb - to nije tačno, odnosno obrnuti teorem nije istinit."/ Objašnjavajući rečnik matematičkih pojmova: Vodič za nastavnike / O. V. Manturov [i drugi]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Obrazovanje, 1965.- 539 str.: ilustr.-C.261 /.

Ova karakteristika relacije između direktne i inverzne teoreme ne uzima u obzir činjenicu da se uslov direktne teoreme uzima kao dat, bez dokaza, tako da nije zagarantovana njegova ispravnost. Uslov obrnute teoreme se ne uzima kao dat, jer je to zaključak dokazane direktne teoreme. O njegovoj ispravnosti svjedoči i dokaz direktne teoreme. Ova suštinska logička razlika između uslova direktne i inverzne teoreme pokazuje se kao odlučujuća u pitanju koje se teoreme mogu, a koje ne mogu dokazati logičkom metodom kontradiktorno.

Pretpostavimo da postoji direktna teorema na umu, koja se može dokazati uobičajenom matematičkom metodom, ali je teško. Formulirajmo ga u općem obliku u kratkom obliku na sljedeći način: od A trebalo bi E ... Simbol A dati uslov teoreme, prihvaćen bez dokaza, bitan. Simbol E značenje zaključka teoreme, koji je potrebno dokazati.

Direktnu teoremu ćemo dokazati kontradikcijom, logicno metoda. Logička metoda se koristi za dokazivanje teoreme koja ima nije matematički stanje, i logicno stanje. Može se dobiti ako je matematički uslov teoreme od A trebalo bi E , dopuniti suprotnim uslovom od A to ne slijedi E .

Kao rezultat, dobili smo logički kontradiktorni uslov nove teoreme, koji sadrži dva dijela: od A trebalo bi E i od A to ne slijedi E ... Rezultirajući uslov nove teoreme odgovara logičkom zakonu isključene sredine i odgovara dokazu teoreme kontradiktornom metodom.

Prema zakonu, jedan dio kontradiktornog stanja je netačan, drugi dio je istinit, a treći je isključen. Dokaz kontradikcijom ima svoj zadatak i cilj je da utvrdi koji je tačno dio dva dijela uvjeta teoreme netačan. Čim se utvrdi lažni dio uvjeta, utvrdit će se da je drugi dio pravi, a treći je isključen.

Prema objašnjenju matematičkih pojmova, „Dokaz je rasuđivanje tokom kojeg se utvrđuje istinitost ili neistinitost bilo koje tvrdnje (presude, izjave, teoreme)“... Dokaz kontradikcijom postoji obrazloženje, tokom kojeg se to utvrđuje lažnost(apsurdnost) zaključka koji proizilazi iz false uslovi teoreme koja se dokazuje.

Dato: od A trebalo bi E i od A to ne slijedi E .

dokazati: od A trebalo bi E .

Dokaz: Logički uslov teoreme sadrži kontradikciju koju treba riješiti. Kontradikcija uvjeta mora naći svoje rješenje u dokazu i njegovom rezultatu. Rezultat se ispostavlja lažnim s besprijekornim rasuđivanjem bez grešaka. Uz logički ispravno zaključivanje, razlog za lažan zaključak može biti samo kontradiktorni uvjet: od A trebalo bi E i od A to ne slijedi E .

Nema sumnje da je jedan dio uslova netačan, dok je drugi u ovom slučaju tačan. Oba dela uslova imaju isto poreklo, prihvataju se kao podaci, pretpostavljeni, podjednako mogući, podjednako dozvoljeni itd. U toku logičkog zaključivanja nije pronađena niti jedna logička osobina koja bi razlikovala jedan deo uslova od drugog. . Dakle, u istoj mjeri može biti od A trebalo bi E i možda od A to ne slijedi E ... Izjava od A trebalo bi E možda false, zatim izjava od A to ne slijedi E biće istina. Izjava od A to ne slijedi E može biti lažna, onda izjava od A trebalo bi E biće istina.

Prema tome, nemoguće je dokazati direktnu teoremu kontradikcijom.

Sada ćemo dokazati istu direktnu teoremu uobičajenom matematičkom metodom.

Dato: A .

dokazati: od A trebalo bi E .

Dokaz.

1. Od A trebalo bi B

2. Od B trebalo bi V (prema prethodno dokazanoj teoremi)).

3. Od V trebalo bi G (prema prethodno dokazanoj teoremi).

4. Od G trebalo bi D (prema prethodno dokazanoj teoremi).

5. Od D trebalo bi E (prema prethodno dokazanoj teoremi).

Na osnovu zakona tranzitivnosti, od A trebalo bi E ... Direktna teorema se dokazuje uobičajenom metodom.

Neka dokazana direktna teorema ima ispravnu obrnutu teoremu: od E trebalo bi A .

Dokažimo to uobičajenim matematički metoda. Dokaz obrnute teoreme može se simbolično izraziti u obliku algoritma matematičkih operacija.

Dato: E

dokazati: od E trebalo bi A .

Dokaz.

1. Od E trebalo bi D

2. Od D trebalo bi G (prema prethodno dokazanoj obrnutoj teoremi).

3. Od G trebalo bi V (prema prethodno dokazanoj obrnutoj teoremi).

4. Od V to ne slijedi B (obrnuta teorema nije tačna). Zbog toga od B to ne slijedi A .

U ovoj situaciji, nema smisla nastaviti matematički dokaz obrnutog teorema. Razlog za situaciju je logičan. Netačnu obrnutu teoremu nemoguće je zamijeniti ničim. Shodno tome, ova suprotna teorema ne može se dokazati uobičajenom matematičkom metodom. Sva nada je u dokaz ove obrnute teoreme metodom kontradikcije.

Da bi se to dokazalo kontradiktornom metodom, potrebno je da se njegov matematički uslov zameni logičkim kontradiktornim uslovom, koji u svom značenju sadrži dva dela – netačan i istinit.

Obratna teorema navodi: od E to ne slijedi A ... Njeno stanje E , iz čega slijedi zaključak A , je rezultat dokazivanja direktne teoreme uobičajenom matematičkom metodom. Ovaj uslov se mora zadržati i dopuniti izjavom od E trebalo bi A ... Kao rezultat sabiranja, dobija se kontradiktorni uslov nove obrnute teoreme: od E trebalo bi A i od E to ne slijedi A ... Na osnovu ovoga logično kontradiktorni uslov, obrnuta teorema se može dokazati pomoću ispravnog logicno samo rezonovanje, i samo, logicno metodom kontradikcije. U dokazu kontradiktorno, sve matematičke radnje i operacije su podređene logičkim i stoga se ne računaju.

U prvom dijelu kontradiktorne izjave od E trebalo bi A stanje E dokazano je dokazom direktne teoreme. U drugom dijelu od E to ne slijedi A stanje E pretpostavljeno i prihvaćeno bez dokaza. Neki od njih su jedno lažno, a drugo istinito. Potrebno je dokazati koji od njih je lažan.

Dokazujemo pomoću tačnih logicno rasuđivanja i utvrditi da je njegov rezultat lažan, apsurdan zaključak. Razlog lažnog logičkog zaključka je kontradiktorni logički uslov teoreme, koji se sastoji od dva dijela - lažnog i istinitog. Samo izjava može biti lažan dio od E to ne slijedi A , u kojem E je prihvaćeno bez dokaza. Po tome se razlikuje od E odobrenje od E trebalo bi A , što je dokazano dokazom direktne teoreme.

Stoga je tačna sljedeća izjava: od E trebalo bi A , kako je potrebno dokazati.

Zaključak: samo suprotna teorema se dokazuje logičkom metodom kontradikcijom, koja ima direktnu teoremu dokazanu matematičkom metodom i koja se ne može dokazati matematičkom metodom.

Dobiveni zaključak dobija izuzetnu važnost u odnosu na metodu dokazivanja kontradikcijom sa Velikom Fermaovom teoremom. Ogromna većina pokušaja da se to dokaže ne zasniva se na uobičajenoj matematičkoj metodi, već na logičkoj metodi dokazivanja kontradikcijom. Dokaz Wilesove Velike Fermaove teoreme nije izuzetak.

Dmitrij Abrarov je u svom članku "Fermatova teorema: Fenomen Wilesovih dokaza" objavio komentar Wilesovog dokaza Velike Fermaove teoreme. Prema Abrarovu, Wiles dokazuje teoremu Velikog Fermata uz pomoć izvanrednog otkrića njemačkog matematičara Gerharda Freya (r. 1944.), koji je povezao potencijalno rješenje Fermatove jednadžbe x n + y n = z n , gdje n> 2 , s drugom, potpuno različitom od njega, jednačinom. Ova nova jednačina je data specijalnom krivom (nazvanom Freyeva eliptična kriva). Freyeva kriva je data jednačinom vrlo jednostavnog oblika:
.

“Naime, Frey je odgovarao svakom rješenju (a, b, c) Fermatova jednačina, odnosno brojevi koji zadovoljavaju relaciju a n + b n = c n iznad krive. U ovom slučaju, velika Fermatova teorema bi slijedila odavde.(Citat iz: Abrarov D. "Fermatova teorema: Fenomen Wilesovih dokaza")

Drugim riječima, Gerhard Frey je predložio da jednačina velikog Fermaovog teorema x n + y n = z n , gdje n> 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. Ova rješenja su, prema Freyjevoj pretpostavci, rješenja njegove jednadžbe
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , što je dato njegovom eliptičnom krivom.

Andrew Wiles je prihvatio ovo izvanredno Freyovo otkriće i uz njegovu pomoć prošao matematički metoda je dokazala da ovo nalaz, odnosno Freyeva eliptična kriva, ne postoji. Dakle, ne postoji jednačina i njena rješenja koja su data nepostojećom eliptičnom krivom, stoga je Wiles trebao prihvatiti zaključak da jednačina Velike Fermaove teoreme i sama Fermatova teorema ne postoje. Međutim, doneo je skromniji zaključak da jednačina Velike Fermaove teoreme nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Možda je nepobitna činjenica da je Wiles prihvatio pretpostavku koja je po značenju upravo suprotna od onoga što navodi Fermatova posljednja teorema. To obavezuje Wilesa da dokaže Fermatovu posljednju teoremu kontradikcijom. Slijedit ćemo njegov primjer i vidjeti šta će iz ovog primjera proizaći.

Fermatova posljednja teorema kaže da je jednadžba x n + y n = z n , gdje n> 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Prema logičkoj metodi dokazivanja kontradikcijom, ova izjava je sačuvana, uzeta kao data bez dokaza, a zatim dopunjena suprotnim iskazom po značenju: jednačina x n + y n = z n , gdje n> 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Navodna izjava se takođe prihvata kao data, bez dokaza. Oba iskaza, posmatrana sa stanovišta osnovnih zakona logike, podjednako su validna, jednaka i podjednako moguća. Ispravnim rasuđivanjem potrebno je utvrditi koja je od njih lažna, da bi se potom utvrdilo da je druga tvrdnja tačna.

Ispravno rezonovanje završava lažnim, apsurdnim zaključkom, čiji logički razlog može biti samo kontradiktorni uslov teoreme koja se dokazuje, a koja sadrži dva dijela suprotnog značenja. Oni su bili logičan razlog za apsurdan zaključak, rezultat dokaza kontradikcijom.

Međutim, tokom logički ispravnog zaključivanja nije pronađen niti jedan znak po kojem bi se moglo utvrditi koja je konkretna tvrdnja lažna. To može biti izjava: jednačina x n + y n = z n , gdje n> 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. Na istoj osnovi, to može biti izjava: jednačina x n + y n = z n , gdje n> 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.

Kao rezultat obrazloženja, može biti samo jedan zaključak: Fermatova posljednja teorema se ne može dokazati kontradikcijom.

Bila bi sasvim druga stvar da je Fermatova posljednja teorema suprotna teorema koja ima direktnu teoremu dokazanu uobičajenom matematičkom metodom. U ovom slučaju, to bi se moglo dokazati kontradikcijom. A budući da je to direktna teorema, njen dokaz ne bi trebao biti zasnovan na logičkoj metodi dokazivanja kontradikcijom, već na uobičajenoj matematičkoj metodi.

Prema D. Abrarovu, najpoznatiji od modernih ruskih matematičara, akademik V. I. Arnold, reagovao je na Wilesov dokaz „aktivno skeptično“. Akademik je izjavio: “ovo nije prava matematika – prava matematika je geometrijska i jaka u vezi sa fizikom.” (Citat iz: Abrarov D. “Fermatova teorema: fenomen Wilesovih dokaza.” Akademikova izjava izražava samu suštinu Wilesovog nematematički dokaz Velike Fermaove teoreme.

Kontradikcijom je nemoguće dokazati ni da jednačina Velike Fermaove teoreme nema rješenja, niti da ima rješenja. Wilesova greška nije matematička, već logična - upotreba dokaza kontradiktornošću gdje njegova upotreba nema smisla i ne dokazuje Veliki Fermatov teorem.

Fermatova posljednja teorema nije dokazana uobičajenom matematičkom metodom, ako je data: jednačina x n + y n = z n , gdje n> 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima, a ako se u njemu traži dokazati: jednadžba x n + y n = z n , gdje n> 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. U ovom obliku ne postoji teorema, već tautologija lišena značenja.

Bilješka. O mom dokazu o BTF-u se raspravljalo na jednom od foruma. Jedan od Trotilovih saradnika, stručnjak za teoriju brojeva, dao je sljedeću autoritativnu izjavu pod naslovom: "Kratko prepričavanje onoga što je Mirgorodski uradio." Citiram doslovno:

« A. Dokazao je da ako z 2 = x 2 + y , onda z n> x n + y n ... Ovo je dobro poznata i sasvim očigledna činjenica.

V. Uzeo je dvije trojke - pitagorejsku i nepitagorejsku i jednostavnom pretragom pokazao da je za određenu, specifičnu porodicu trojki (78 i 210 komada), BTF ispunjen (i samo za njega).

WITH. A onda autor izostavlja činjenicu da iz < u narednom stepenu može biti = , ne samo > ... Jednostavan kontraprimjer - tranzicija n = 1 v n = 2 u Pitagorinoj trojki.

D. Ova tačka ne dodaje ništa značajno dokazu BTF-a. Zaključak: BTF nije dokazan."

Razmotriću njegov zaključak tačku po tačku.

A. Dokazano je BTF za cijeli beskonačan skup trojki Pitagorinih brojeva. Dokazano geometrijskom metodom, koju, kako vjerujem, nisam ja otkrio, već ponovo otkrio. A otkrio ga je, vjerujem, lično P. Fermat. Fermat je to možda imao na umu kada je napisao:

"Otkrio sam zaista divan dokaz za to, ali ova polja su mu preuska." Ova moja pretpostavka zasniva se na činjenici da se u Diofantovom problemu, protiv kojeg je, na marginama knjige, pisao Fermat, govori o rješenjima Diofantove jednačine, koja su trojke Pitagorinih brojeva.

Beskonačan skup trojki Pitagorinih brojeva su rješenja Diofatske jednadžbe, au Fermatovoj teoremi, naprotiv, nijedno rješenje ne može biti rješenje jednačine Fermatove teoreme. A Fermatov zaista čudesan dokaz direktno je povezan s ovom činjenicom. Kasnije je Fermat mogao proširiti svoju teoremu na skup svih prirodnih brojeva. Na skupu svih prirodnih brojeva, BTF ne pripada „skupu izuzetno lijepih teorema“. Ovo je moja pretpostavka koju je nemoguće dokazati ili opovrgnuti. Može se i prihvatiti i odbiti.

V. U ovom trenutku dokazujem da je zadovoljena i porodica proizvoljno uzete Pitagorine trojke brojeva i porodica proizvoljno uzete nepitagorine trojke BTF brojeva. Ovo je neophodna, ali nedovoljna i srednja karika u mom dokazu BTF-a . Primjeri koje sam uzeo za porodicu trojke pitagorinih brojeva i porodicu trojke nepitagorinih brojeva imaju značenje konkretnih primjera koji pretpostavljaju i ne isključuju postojanje sličnih drugih primjera.

Trotilova tvrdnja da sam „jednostavnom pretragom pokazao da je za određenu, određenu porodicu trojki (78 i 210 komada), BTF ispunjen (i samo za njega) je neosnovana. On ne može opovrgnuti činjenicu da mogu isto tako uzeti i druge primjere pitagorejskih i nepitagorinih trojki da bih dobio specifičnu porodicu jedne i druge trojke.

Koji god par trojki da uzmem, njihovu podobnost za rješavanje problema može se provjeriti, po mom mišljenju, samo metodom „jednostavnog nabrajanja“. Bilo koja druga metoda mi nije poznata i nije potrebna. Ako se Trotilu ne sviđa, onda je trebao predložiti drugu metodu, koja mu se ne sviđa. Bez nuđenja zauzvrat, pogrešno je osuđivati ​​„običnu grubu silu“, koja je u ovom slučaju nezamjenjiva.

WITH. Izostavio sam = između< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), u kojoj je stepen n> 2 — cijeli pozitivan broj. Iz jednakosti između nejednakosti slijedi obavezan razmatranje jednadžbe (1) sa stepenom koji nije cijeli n> 2 ... Trotil counting obavezna razmatranje jednakosti između nejednakosti zapravo razmatra neophodno u dokazivanju BTF-a, razmatranje jednačine (1) za nepotpuna značenje stepena n> 2 ... Uradio sam ovo za sebe i pronašao tu jednačinu (1) za nepotpuna značenje stepena n> 2 ima rješenje tri broja: z, (z-1), (z-1) sa eksponentom koji nije cijeli broj.

Grigorij Perelman. Refusenik

Vasilij Maksimov

U avgustu 2006. objavljena su imena najboljih matematičara planete, koji su dobili najprestižniju Fildsovu medalju - svojevrsni analog Nobelove nagrade, koju su matematičari, po hiru Alfreda Nobela, bili lišeni. Fildsovu medalju - pored značke časti, laureatima se dodjeljuje ček na petnaest hiljada kanadskih dolara - dodjeljuje Međunarodni kongres matematičara svake četiri godine. Osnovao ga je kanadski naučnik John Charles Fields i prvi put je nagrađen 1936. godine. Od 1950. godine, Fildsovu medalju redovno dodjeljuje lično kralj Španije za njegov doprinos razvoju matematičke nauke. Laureati nagrade mogu biti od jednog do četiri naučnika mlađih od četrdeset godina. Nagradu su već dobila 44 matematičara, od kojih su osam Rusi.

Grigorij Perelman. Henri Poincaré.

2006. laureati su bili Francuz Wendelin Werner, Australac Terence Tao i dvojica Rusa - Andrej Okunkov, koji radi u SAD, i Grigory Perelman, naučnik iz Sankt Peterburga. Međutim, u posljednjem trenutku se saznalo da je Perelman odbio ovu prestižnu nagradu - kako su organizatori objavili, "iz principijelnih razloga".

Ovako ekstravagantan čin ruskog matematičara nije bio iznenađenje za ljude koji su ga poznavali. Nije prvi put da odbija matematičke nagrade, obrazlažući svoju odluku činjenicom da ne voli svečane događaje i pretjeranu pompu oko svog imena. Prije deset godina, 1996. godine, Perelman je odbio nagradu Evropskog matematičkog kongresa, navodeći činjenicu da nije završio rad na naučnom problemu koji je bio nominovan za nagradu, a to nije bio posljednji put. Činilo se da je ruski matematičar sebi postavio za cilj da zadivi ljude, protiveći se javnom mnjenju i naučnoj zajednici.

Grigorij Jakovljevič Perelman rođen je 13. juna 1966. godine u Lenjingradu. Od malih nogu je volio egzaktne nauke, briljantno je završio čuvenu 239. srednju školu sa detaljnim studijama matematike, pobeđivao na brojnim matematičkim olimpijadama: na primer, 1982. godine, kao deo tima sovjetskih školaraca, učestvovao je na Međunarodnoj matematičkoj olimpijadi, održanoj u Budimpešti. Perelman je bez ispita upisan na Fakultet mehanike i matematike Lenjingradskog univerziteta, gdje je odlično studirao, nastavljajući pobjeđivati ​​na matematičkim takmičenjima na svim nivoima. Nakon što je diplomirao na univerzitetu s odličnim uspjehom, upisao je postdiplomske studije u Sankt Peterburgskom ogranku Matematičkog instituta Steklov. Njen naučni savetnik bio je poznati matematičar akademik Aleksandrov. Nakon što je odbranio doktorsku tezu, Grigorij Perelman je ostao na institutu, u laboratoriju za geometriju i topologiju. Poznat je njegov rad na teoriji Aleksandrovskih prostora, bio je u stanju da pronađe dokaze za niz važnih hipoteza. Unatoč brojnim ponudama vodećih zapadnih univerziteta, Perelman radije radi u Rusiji.

Njegov najglasniji uspjeh bilo je rješenje 2002. poznate Poincaréove hipoteze, objavljene 1904. godine i od tada je ostala nedokazana. Perelman je na njemu radio osam godina. Poincaréova hipoteza smatrana je jednom od najvećih matematičkih misterija, a njeno rješenje je najvažnije dostignuće matematičke nauke: odmah će unaprijediti istraživanje problema fizičkih i matematičkih osnova univerzuma. Najistaknutiji umovi planete predvidjeli su njegovo rješenje tek nekoliko decenija kasnije, a Institut za matematiku Clay u Cambridgeu, Massachusetts, uvrstio je Poincaréov problem među sedam najzanimljivijih neriješenih matematičkih problema milenijuma, od kojih je svakom obećana nagrada od milion dolara. (Problemi milenijumske nagrade) ...

Pretpostavka (koja se ponekad naziva i problem) francuskog matematičara Henrija Poincaréa (1854–1912) je formulisana na sledeći način: svaki zatvoreni jednostavno povezani trodimenzionalni prostor homeomorfan je trodimenzionalnoj sferi. Da pojasnimo, upotrijebite ilustrativni primjer: ako omotate jabuku gumenom trakom, tada, u principu, povlačenjem trake možete stisnuti jabuku do točke. Ako zamotate bagel istom trakom, onda ga ne možete stisnuti do tačke, a da ne pocepate ni krofnu ni gumu. U ovom kontekstu, jabuka se naziva "jednostruko povezana" figura, dok krofna nije jednostavno povezana. Prije skoro jednog stoljeća, Poincaré je ustanovio da je dvodimenzionalna sfera jednostavno povezana, te sugerirao da je i trodimenzionalna sfera jednostavno povezana. Najbolji matematičari svijeta nisu mogli dokazati ovu hipotezu.

Da bi se kvalifikovao za nagradu Instituta za glinu, Perelman je trebao samo da objavi svoje rješenje u jednom od naučnih časopisa, a ako u roku od dvije godine niko ne pronađe grešku u njegovim proračunima, tada će se rješenje smatrati ispravnim. Međutim, Perelman je od samog početka odstupio od pravila, objavivši svoju odluku na preprint stranici Laboratorije za nauku u Los Alamosu. Možda se plašio da se u njegove proračune uvukla greška - slična se priča već dogodila u matematici. Godine 1994. engleski matematičar Endru Vajls predložio je rešenje čuvene Fermaove teoreme, a nekoliko meseci kasnije se ispostavilo da se u njegove proračune uvukla greška (iako je kasnije ispravljena, a senzacija se ipak dogodila). Još uvijek nema službene objave dokaza Poincaréove hipoteze - ali postoji mjerodavno mišljenje najboljih matematičara planete, koje potvrđuje ispravnost Perelmanovih proračuna.

Fildsova medalja dodijeljena je Grigoriju Perelmanu upravo za rješavanje Poincaréovog problema. Ali ruski naučnik je odbio nagradu, koju nesumnjivo zaslužuje. "Gregory mi je rekao da se osjeća izolovano od međunarodne matematičke zajednice, izvan ove zajednice, te da stoga ne želi da dobije nagradu", rekao je na konferenciji za novinare u Madridu predsjednik Svjetske unije matematičara (WCM), Englez John Ball.

Priča se da će Grigorij Perelman potpuno napustiti nauku: prije šest mjeseci napustio je rodni Steklov matematički institut, a kažu da se više neće baviti matematikom. Možda ruski naučnik vjeruje da je, dokazavši čuvenu hipotezu, učinio sve što je mogao za nauku. Međutim, ko bi se upustio da govori o toku misli tako briljantnog naučnika i izuzetne osobe?.. Perelman odbija bilo kakve komentare, a za The Daily Telegraph je rekao: „Ništa što mogu da kažem nije od ni najmanjeg javnog interesa“. Međutim, vodeće naučne publikacije bile su jednoglasne u svojim ocjenama kada su objavile da je "Grigori Perelman, nakon što je riješio Poincaréov teorem, stao u ravan s najvećim genijima prošlosti i sadašnjosti".

Mjesečni književno-novinarski časopis i izdavačka kuća.

Da će Andrew Wiles dobiti Abelovu nagradu 2016. godine za dokaz Taniyama-Shimura pretpostavke za polustabilne eliptičke krive i dokaz Fermatove teoreme koja proizlazi iz ove hipoteze. Premija trenutno iznosi 6 miliona norveških kruna, ili približno 50 miliona rubalja. Prema Wilesu, nagrada je za njega bila "potpuno iznenađenje".

Fermatova teorema, dokazana prije više od 20 godina, još uvijek privlači pažnju matematičara. Djelomično je to zbog njegove formulacije, koja je razumljiva čak i za školskog djeteta: dokazati da za prirodno n> 2 ne postoje trojke cijelih brojeva koji nisu nula takvi da je a n + b n = c n. Pierre Fermat napisao je ovaj izraz na marginama Diofantove Aritmetike, sa prekrasnim potpisom "Pronašao sam zaista divan dokaz za ovo [ove izjave], ali margine knjige su preuske za njega." Za razliku od većine matematičkih priča, ova je stvarna.

Dodjela nagrade odličan je povod da se prisjetimo deset zabavnih priča vezanih za Fermatovu teoremu.

1.

Prije nego što je Andrew Wiles dokazao Fermatov teorem, bilo je ispravnije nazvati ga hipotezom, odnosno Fermatovom pretpostavkom. Poenta je da je teorema, po definiciji, već dokazana izjava. Međutim, iz nekog razloga takvo ime je ostalo za ovu izjavu.

2.

Ako u Fermatov teorem stavimo n = 2, onda takva jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja. Ova rješenja se nazivaju "pitagorine trojke". Ovo ime su dobili jer odgovaraju pravokutnim trouglovima čije su stranice izražene upravo takvim skupovima brojeva. Pitagorine trojke možete generisati koristeći ove tri formule (m 2 - n 2, 2mn, m 2 + n 2). Različite vrijednosti m i n moraju se zamijeniti u ove formule, a rezultat će biti trojke koje su nam potrebne. Glavna stvar ovdje je, međutim, osigurati da dobijeni brojevi budu veći od nule - dužine se ne mogu izraziti negativnim brojevima.

Usput, lako je vidjeti da ako se svi brojevi u Pitagorinoj trojci pomnože s nekom različitom od nule, dobijate novu Pitagorinu trojku. Stoga je razumno proučavati trojke u kojima tri broja u zbiru nemaju zajednički djelitelj. Shema koju smo opisali nam omogućava da dobijemo sve takve trojke - ovo više nije jednostavan rezultat.

3.

Prvog marta, na sastanku Pariške akademije nauka 1847., dvojica matematičara odjednom - Gabriel Lame i Augustin Cauchy - objavili su da su na ivici dokazivanja izvanredne teoreme. Oni su se utrkivali objavljivanjem dokaza. Većina akademika je navijala za Lamea, budući da je Cauchy bio samozadovoljni, netolerantni vjerski fanatik (i, naravno, u kombinaciji apsolutno briljantan matematičar). Međutim, meču nije bilo suđeno da se završi - preko svog prijatelja Josepha Liouvillea, njemački matematičar Ernst Kummer rekao je akademicima da su dokazi Cauchyja i Lamea imali istu grešku.

U školi se dokazuje da je faktorizacija broja na proste faktore jedinstvena. Oba matematičara su vjerovala da ako pogledate dekompoziciju cijelih brojeva već u složenom slučaju, onda će ovo svojstvo - jedinstvenost - biti sačuvano. Međutim, nije.

Važno je napomenuti da ako uzmemo u obzir samo m + i n, onda je dekompozicija jedinstvena. Takvi brojevi se nazivaju Gausovim. Ali za rad Lamea i Cauchyja bila je potrebna faktorizacija u ciklotomskim poljima. To su, na primjer, brojevi u kojima su m i n racionalni, a i zadovoljava svojstvo i ^ k = 1.

4.

Fermatova teorema za n = 3 ima jasno geometrijsko značenje. Zamislimo da imamo mnogo malih kockica. Pretpostavimo da smo od njih sakupili dvije velike kocke. U ovom slučaju, naravno, strane će biti cijeli brojevi. Da li je moguće pronaći dvije tako velike kocke da, rastavljajući ih na male kocke koje su sastavljene, možemo sastaviti od njih jednu veliku kocku? Fermatova teorema kaže da ovo nikada ne možete učiniti. Smiješno je da ako postavite isto pitanje za tri kocke, odgovor je da. Na primjer, postoje takva četiri broja, koje je otkrio divni matematičar Srinivas Ramanujan:

3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3

5.

U priči o Fermatovoj teoremi, zapazio je Leonard Euler. Nije baš uspio dokazati tvrdnju (pa čak ni pristupiti dokazu), ali je formulirao hipotezu da je jednadžba

x 4 + y 4 + z 4 = u 4

nema celobrojno rešenje. Svi pokušaji da se direktno nađe rješenje takve jednačine bili su neuspješni. Tek 1988. Naum Elkies sa Harvarda pronašao je kontraprimjer. izgleda ovako:

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .

Obično se ova formula pamti u kontekstu numeričkog eksperimenta. U pravilu, u matematici to izgleda ovako: postoji neka formula. Matematičar provjerava ovu formulu u jednostavnim slučajevima, provjerava istinitost i formulira neku hipotezu. Zatim on (iako češće neki od njegovih postdiplomaca ili studenta) napiše program kako bi provjerio da li je formula tačna za dovoljno velike brojeve koji se ne mogu prebrojati rukama (govorimo o jednom takvom eksperimentu sa prostim brojevima). Ovo, naravno, nije dokaz, već odličan razlog za iznošenje hipoteze. Sve ove konstrukcije su zasnovane na razumnoj pretpostavci da ako postoji protuprimjer neke razumne formule, onda ćemo ga pronaći dovoljno brzo.

Ojlerova hipoteza nas podsjeća da je život mnogo raznolikiji od naših fantazija: prvi protuprimjer može biti proizvoljno velik.

6.

U stvari, naravno, Andrew Wiles nije pokušavao da dokaže Fermatov teorem - on je rješavao teži problem nazvan Taniyama-Shimura pretpostavka. Postoje dvije izvanredne klase objekata u matematici. Prvi se zove modularni oblici i u suštini je funkcija na prostoru Lobačevskog. Ove funkcije se ne mijenjaju s kretanjem same ravnine. Druga se naziva "eliptične krive" i krive su definisane jednadžbom trećeg stepena na kompleksnoj ravni. Oba objekta su veoma popularna u teoriji brojeva.

Pedesetih godina prošlog veka u biblioteci Univerziteta u Tokiju susrela su se dva talentovana matematičara, Yutaka Taniyama i Goro Shimura. U to vrijeme na univerzitetu nije bilo posebne matematike: jednostavno nije imao vremena da se oporavi nakon rata. Kao rezultat toga, naučnici su učili koristeći stare udžbenike i na seminarima analizirali probleme za koje se u Evropi i Sjedinjenim Državama smatralo da su riješeni i nisu bili posebno relevantni. Taniyama i Shimura su otkrili da postoji određena podudarnost između modularnih oblika i eliptičkih funkcija.

Testirali su svoju hipotezu na nekim jednostavnim klasama krivulja. Ispostavilo se da radi. Tako su pretpostavili da je ta veza uvijek prisutna. Tako se pojavila hipoteza Taniyama-Shimura, a tri godine kasnije Taniyama je izvršio samoubistvo. Godine 1984. njemački matematičar Gerhard Frey je pokazao da ako je Fermatova teorema pogrešna, onda je pretpostavka Taniyama-Shimura pogrešna. Iz ovoga je slijedilo da će onaj koji je dokazao ovu pretpostavku dokazati i teoremu. To je upravo ono što je Wiles uradio - ali ne na vrlo uopšten način.

7.

Wiles je proveo osam godina dokazujući hipotezu. A tokom provjere recenzenti su u njemu pronašli grešku, koja je "ubila" većinu dokaza, poništivši sve godine rada. Jedan od recenzenata po imenu Richard Taylor se obavezao da popravi ovu rupu s Wilesom. Dok su radili pojavila se poruka da je Elkies, onaj koji je pronašao kontraprimer Ojlerovoj pretpostavci, našao kontraprimer Fermatovoj teoremi (kasnije se ispostavilo da je to bila prvoaprilska šala). Wiles je bio depresivan i nije želio da nastavi - rupa u dokazima se ni na koji način nije zatvarala. Taylor je nagovorio Wilesa da se bori još mjesec dana.

Desilo se čudo, a do kraja ljeta matematičari su uspjeli napraviti iskorak - ovako su nastala djela "Modularne eliptične krive i velika Fermatova teorema" Andrewa Wilesa (pdf) i "Teorijske osobine nekih Hekeovih algebri " rođeni su Richard Taylor i Andrew Wiles. Ovo je već bio tačan dokaz. Objavljena je 1995. godine.

8.

Matematičar Paul Wolfskel umro je u Darmstadtu 1908. Poslije sebe ostavio je testament, u kojem je matematičkoj zajednici dao 99 godina da pronađe dokaz Fermatove velike teoreme. Autor dokaza je trebao dobiti 100 hiljada maraka (autor kontraprimjera, inače, ne bi dobio ništa). Prema popularnoj legendi, ljubav je navela Wolfskehla da napravi takav poklon matematičarima. Ovako Simon Singh opisuje legendu u svojoj knjizi Fermatova posljednja teorema:

Priča počinje Wolfskelovom zaljubljenošću u prelijepu ženu, čiji identitet nikada nije utvrđen. Na Wolfskelovu veliku žalost, tajanstvena žena ga je odbila. Pao je u tako duboko očajanje da je odlučio da izvrši samoubistvo. Wolfskel je bio strastven čovjek, ali ne i impulzivan, te je stoga počeo da razrađuje svoju smrt do svakog detalja. Odredio je datum za svoje samoubistvo i odlučio da se puca sebi u glavu prvim udarcem sata tačno u ponoć. Preostale dane Wolfskel je odlučio da dovede u red svoje poslove koji su išli odlično, a posljednjeg dana je napravio testament i pisao pisma bliskim prijateljima i rođacima.

Wolfskel je toliko radio da je sve svoje poslove završio prije ponoći i, kako bi nekako popunio preostale sate, otišao u biblioteku, gdje je počeo prelistavati matematičke časopise. Ubrzo je naišao na klasični Kummerov članak, u kojem je objasnio zašto su Cauchy i Lame propali. Kumerov rad bio je jedna od najznačajnijih matematičkih publikacija svog doba i bio je savršeno štivo za matematičara koji planira da izvrši samoubistvo. Wolfskel je pažljivo, red po red, pratio Kummerove proračune. Odjednom se Wolfskelu učinilo da je otkrio prazninu: autor je napravio određenu pretpostavku i nije potkrijepio ovaj korak u svom rasuđivanju. Wolfskel se pitao da li je zaista pronašao ozbiljnu prazninu ili je Kummerova pretpostavka validna. Ako bi se pronašao jaz, postojala je šansa da se Fermatova posljednja teorema može dokazati mnogo lakše nego što su mnogi mislili.

Wolfskel je sjeo za sto, pažljivo analizirao "pogrešan" dio Kummerovog rezonovanja i počeo da skicira mini-dokaz koji bi trebao ili podržati Kummerov rad, ili pokazati pogrešnost njegove pretpostavke i, kao rezultat, opovrgnuti sve njegove argumente . Do zore, Wolfskel je završio svoje proračune. Loša vijest (matematički) bila je da je Kummerov dokaz izliječen, a Fermatova posljednja teorema još uvijek nije bila dostupna. Ali bilo je dobrih vijesti: vrijeme određeno za samoubistvo je prošlo, a Wolfskehl je bio toliko ponosan što je uspio pronaći i popuniti prazninu u radu velikog Ernesta Kummera da su se njegov očaj i tuga sami raspršili. Matematika je oživjela njegovu žeđ za životom.

Međutim, postoji i alternativna verzija. Prema njenim riječima, Wolfskel se bavio matematikom (i, zapravo, Fermatovom teoremom) zbog progresivne multiple skleroze, koja ga je spriječila da radi ono što voli – da bude doktor. A novac je ostavio matematičarima kako ne bi napustio svoju ženu koju je do kraja života jednostavno mrzeo.

9.

Pokušaji da se Fermatov teorem dokaže elementarnim metodama doveli su do pojave čitave klase čudnih ljudi zvanih "fermatisti". Bavili su se izvođenjem ogromne količine dokaza i nisu nimalo očajavali kada su pronašli grešku u ovim dokazima.

Na Fakultetu za mehaniku i matematiku Moskovskog državnog univerziteta postojao je legendarni lik po imenu Dobretsov. Sakupio je svjedodžbe sa raznih odsjeka i koristeći ih se probio na odsjek za mehaniku i matematiku. To je učinjeno isključivo kako bi se pronašla žrtva. Nekako je naišao na mladog postdiplomca (budućeg akademika Novikova). On je, u svojoj naivnosti, počeo pažljivo da proučava hrpu papira koje mu je Dobrecov ubacio uz riječi, kažu, evo dokaza. Nakon još jednog "evo greške..." Dobrecov je uzeo gomilu i strpao je u svoju aktovku. Iz druge aktovke (da, prošao je kroz mašinsko-matematički odsek sa dve aktovke) izvadio je drugu gomilu, uzdahnuo i rekao: „Pa, da vidimo opciju 7 B“.

Inače, većina ovih dokaza počinje rečenicom "Prenesimo jedan od pojmova na desnu stranu jednakosti i razložimo ga."

10.


Priča o teoremi neće biti potpuna bez divnog filma "Matematičar i đavo".

Amandman

Odjeljak 7 ovog članka prvobitno je naveo da je Naum Elkies pronašao protuprimjer Fermatovoj teoremi, za koju se kasnije pokazalo da je pogrešan. Ovo nije istina: izvještaj iz kontraprimjera bio je prvoaprilska šala. Izvinjavamo se zbog netačnosti.


Andrey Konyaev