Primeri verodostojnih in nemogočih dogodkov. Sami si izmislite dva zanesljiva, naključna in nemogoča dogodka. Nekaj informacij iz kombinatorike
Dogodek je rezultat testa. Kaj je dogodek? Iz žare se naključno vzame ena kroglica. Odstranjevanje žoge iz žare je preizkus. Pojav krogle določene barve je dogodek. V teoriji verjetnosti je dogodek razumljen kot nekaj, o čemer je po določenem času mogoče reči eno in samo eno od dveh stvari. Ja, zgodilo se je. Ne, ni se zgodilo. Možen izid poskusa se imenuje elementarni dogodek, številni taki izidi pa se preprosto imenujejo dogodek.
Nepredvidljivi dogodki se imenujejo naključni dogodki. Dogodek se imenuje naključni, če se pod enakimi pogoji lahko zgodi ali pa tudi ne. Ko je kocka vržena, bo izpadla šestica. Imam srečko. Po objavi rezultatov žrebanja se dogodek, ki me zanima - dobitek tisoč rubljev, zgodi ali pa se ne zgodi. Primer.
Dva dogodka, ki se v teh pogojih lahko zgodita hkrati, imenujemo skupni, tisti, ki se ne morejo zgoditi hkrati, pa nezdružljivi. Vrže se kovanec. Videz "grba" izključuje videz napisa. Dogodki »pokazal se je grb« in »pokazal se je napis« sta nezdružljiva. Primer.
Dogodek, ki se vedno zgodi, se imenuje verodostojen. Dogodek, ki se ne more zgoditi, se imenuje nemogoč. Na primer, iz žare, ki vsebuje samo črne kroglice, vzamemo kroglico. Potem je pojav črne krogle določen dogodek; pojav bele krogle je nemogoč dogodek. Primeri. Prihodnje leto ne bo zapadel sneg. Ko je kocka vržena, bo padla sedmica. To so nemogoči dogodki. Prihodnje leto bo zapadel sneg. Na metu kocke bo vrženo število, manjše od sedem. Sončni vzhod vsak dan. To so zanesljivi dogodki.
Reševanje problemov Za vsak od opisanih dogodkov določite, kaj je: nemogoče, gotovo ali naključno. 1. Od 25 učencev v razredu dva praznujeta rojstni dan a) 30. januarja; b) 30. februarja. 2. Naključno se odpre učbenik književnosti in na levi strani se najde druga beseda. Ta beseda se začne: a) s črko "K"; b) s črko "b".
3. Danes v Sočiju barometer kaže normalen atmosferski tlak. V tem primeru: a) voda v loncu zavre pri temperaturi 80 °C; b) ko je temperatura padla na -5 ° C, je voda v luži zmrznila. 4. Vrzi dve kocki: a) prva kocka ima 3 točke, druga pa 5 točk; b) vsota točk, padlih na dve kocki, je enaka 1; c) vsota točk, padlih na dve kocki, je 13; d) na obeh kosteh so bile dosežene 3 točke; e) vsota točk na dveh kockah je manjša od 15. Reševanje nalog
5. Odprli ste knjigo na kateri koli strani in prebrali prvi samostalnik, ki vam je naletel. Izkazalo se je, da: a) je v črkovanju izbrane besede samoglasnik; b) črkovanje izbrane besede vsebuje črko »O«; c) v črkovanju izbrane besede ni samoglasnikov; d) v črkovanju izbrane besede je mehki znak. Reševanje težav
Teorija verjetnosti, tako kot katera koli veja matematike, deluje z določeno paleto konceptov. Večini konceptov teorije verjetnosti je dana definicija, nekateri pa so vzeti kot primarni, nedefinirani, kot v geometriji točka, ravna črta, ravnina. Primarni koncept teorije verjetnosti je dogodek. Dogodek se razume kot nekaj, o čemer je po določenem času mogoče reči eno in samo eno od dveh stvari:
- · Da, zgodilo se je.
- · Ne, ni se zgodilo.
Na primer, imam srečko. Po objavi rezultatov žrebanja me zanima dogodek, da se dobitek tisoč rubljev bodisi zgodi bodisi ne zgodi. Vsak dogodek se zgodi kot rezultat testa (ali izkušnje). Test (ali izkušnja) se nanaša na pogoje, ki povzročijo dogodek. Metanje kovanca je na primer preizkus, pojav "grba" na njem pa dogodek. Dogodek je običajno označen z velikimi latiničnimi črkami: A, B, C,…. Dogodke v materialnem svetu lahko razdelimo v tri kategorije - zanesljive, nemogoče in naključne.
Verodostojen dogodek je dogodek, za katerega je znano vnaprej. Označena je s črko W. Torej je zanesljivo dobiti največ šest točk pri metanju navadne kocke, videz bele kroglice, ko jo vzamemo iz žare, ki vsebuje samo bele kroglice, itd.
Nemogoč dogodek je dogodek, za katerega je vnaprej znano, da se ne bo zgodil. Označena je s črko E. Primeri nemogočih dogodkov so odstranitev več kot štirih asov iz običajnega kompleta kart, videz rdeče žoge iz žare, ki vsebuje samo bele in črne kroglice itd.
Naključni dogodek je dogodek, ki se lahko pojavi kot rezultat testa ali pa tudi ne. Dogodka A in B imenujemo nezdružljiva, če nastop enega od njiju izključuje možnost nastopa drugega. Torej je pojav kakršnega koli možnega števila točk pri metanju kocke (dogodek A) nezdružljiv s pojavom drugačnega števila (dogodek B). Sodo število točk je v neskladju z lihim številom. Nasprotno, izguba sodih točk (dogodek A) in število točk, ki je večkratnik treh (dogodek B), ne bosta neskladna, saj izguba šestih točk pomeni nastop tako dogodkov A kot dogodkov B, tako da pojav enega od njih ne izključuje nastopa drugega. Operacije lahko izvajate z dogodki. Združitev dveh dogodkov C = AUB je dogodek C, ki se zgodi, če in samo če se zgodi vsaj eden od teh dogodkov A in B. Presečišče dveh dogodkov D = A ?? B se imenuje dogodek, ki se zgodi, če in samo takrat, ko dogodka tako A kot B.
Dogodke (pojave), ki jih opazujemo, lahko razdelimo na naslednje tri vrste: zanesljive, nemogoče in naključne.
Verodostojno se imenuje dogodek, ki se bo nujno zgodil, če je izpolnjen določen niz pogojev S. Na primer, če posoda vsebuje vodo pri normalnem atmosferskem tlaku in temperaturi 20 °, potem je dogodek »voda v posodi v tekočem stanju « je zanesljiv. V tem primeru sta nastavljeni atmosferski tlak in temperatura vode nabor pogojev S.
Nemogoče je dogodek, ki se ne bo zgodil, če je izpolnjen nabor pogojev S. Na primer dogodek »voda v posodi je v trdnem stanju« se zagotovo ne bo zgodil, če je izpolnjen nabor pogojev prejšnjega primera.
Naključen je dogodek, ki se lahko zgodi ali ne, ko je izpolnjen niz pogojev S. Na primer, če se vrže kovanec, lahko pade tako, da bo na vrhu bodisi grb bodisi napis. Zato je dogodek, "ko je bil vržen kovanec," grb "padel ven - naključno. Vsak naključni dogodek, še posebej padec "grba", je posledica delovanja zelo številnih naključnih vzrokov (v našem primeru: sila, s katero se kovanec vrže, oblika kovanca in mnogi drugi). ). Nemogoče je upoštevati vpliv vseh teh razlogov na rezultat, saj je njihovo število zelo veliko in zakoni njihovega delovanja niso znani. Zato si teorija verjetnosti ne zada naloge napovedovanja, ali se bo zgodil en sam dogodek ali ne – tega preprosto ne zmore.
Situacija je drugačna, če upoštevamo naključne dogodke, ki jih je mogoče opazovati večkrat pod enakimi pogoji S, torej če govorimo o množično homogenih naključnih dogodkih. Izkazalo se je, da dovolj veliko število homogenih naključnih dogodkov, ne glede na njihovo specifično naravo, izpolnjuje določene zakone, in sicer verjetnostne zakone. Ugotavljanje teh pravilnosti se ukvarja s teorijo verjetnosti.
Tako je predmet teorije verjetnosti preučevanje verjetnostnih zakonov množičnih homogenih naključnih dogodkov.
Metode teorije verjetnosti se pogosto uporabljajo v različnih vejah naravoslovja in tehnike. Teorija verjetnosti služi tudi za utemeljitev matematične in uporabne statistike.
Vrste naključnih dogodkov... Dogodki se imenujejo nedosledenče nastop enega od njih izključuje pojav drugih dogodkov v istem preskušanju.
Primer. Vrže se kovanec. Videz "grba" izključuje videz napisa. Dogodki »pokazal se je grb« in »pokazal se je napis« sta nezdružljiva.
Oblikuje se več dogodkov polna skupinače se vsaj eden od njih pojavi kot rezultat testa. Zlasti, če so dogodki, ki tvorijo celotno skupino, parno neskladni, se bo kot rezultat testa pojavil en in samo eden od teh dogodkov. Ta konkretni primer nas najbolj zanima, saj ga uporabljamo v nadaljevanju.
Primer 2. Kupljeni sta dve srečki za gotovino. Zagotovo se bo zgodil en in samo eden od naslednjih dogodkov: "dobitek je padel na prvi listič in ni padel na drugi", "dobitek ni padel na prvi listič in je padel na drugi", "dobitek je padel na obeh listkih", "na obeh listkih dobitek ni izpadel." Ti dogodki tvorijo popolno skupino parno nezdružljivih dogodkov.
Primer 3. Strelec je sprožil strel v tarčo. Zagotovo se bo zgodil eden od naslednjih dveh dogodkov: zadetek, zgrešen. Ta dva nezdružljiva dogodka tvorita popolno skupino.
Dogodki se imenujejo enako možnoče obstaja razlog za domnevo, da nobeden od njih ni bolj mogoč kot drugi.
Primer 4. Pojav »grba« in videz napisa ob metanju kovanca sta enako možna dogodka. Dejansko se domneva, da je kovanec izdelan iz homogenega materiala, ima pravilno cilindrično obliko in prisotnost kovanja ne vpliva na izpadanje ene ali druge strani kovanca.
Lastno je označeno z velikimi črkami latinske abecede: A, B, C, .. A 1, A 2 ..
Edini dve možni entiteti, ki tvorita popolno skupino, se imenujeta nasprotni. Če je eno od dveh nasprotij. dogodki so označeni z A, potem so drugi označeni z A '.
Primer 5. Zadeti in zgrešiti pri streljanju na tarčo - nasprotno polje. torej jaz.
Namen lekcije:
- Predstavite koncept zanesljivih, nemogočih in naključnih dogodkov.
- Oblikovati znanje in veščine za določanje vrste dogodkov.
- Razviti: računalniške sposobnosti; Pozor; sposobnost analiziranja, sklepanja, sklepanja; spretnosti skupinskega dela.
Med poukom
1) Organizacijski trenutek.
Interaktivna vaja: otroci morajo rešiti primere in dešifrirati besede, glede na rezultate se razdelijo v skupine (zanesljive, nemogoče in naključne) in določijo temo učne ure.
1 kartica.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 kartica
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 kartica
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Posodabljanje naučenega znanja.
Igra ploskanja: sodo število - ploskaj, liho - vstani.
Naloga: iz danega niza števil 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... določi sodo in liho.
3) Učenje nove teme.
Na mizah imate kocke. Oglejmo si jih podrobneje. Kaj vidiš?
Kje se uporabljajo kocke? Kako?
Skupinsko delo.
Izvajanje eksperimenta.
Kakšne napovedi lahko naredite pri metanju kocke?
Prva napoved: ena od številk 1,2,3,4,5 ali 6 bo izpuščena.
Dogodek, ki se bo nujno zgodil v tej izkušnji, se imenuje zanesljiv.
Druga napoved: številka 7 bo odpadla.
Mislite, da bo napovedani dogodek prišel ali ne?
To je nemogoče!
Imenuje se dogodek, ki se v dani izkušnji ne more zgoditi nemogoče.
Tretja napoved: številka 1 bo odpadla.
Bo ta dogodek prišel?
Imenuje se dogodek, ki se v določeni izkušnji lahko zgodi ali pa tudi ne naključen.
4) Utrjevanje preučenega gradiva.
I. Določite vrsto dogodka
-Jutri bo snežilo rdeče.
Jutri močan sneg.
Jutri bo snežilo, čeprav je julij.
Jutri, čeprav je julij, snega ne bo.
Jutri bo snežilo in snežilo.
II. Temu stavku dodajte besedo, da dogodek postane nemogoč.
Kolya je dobil A v zgodovini.
Saša na testu ni opravil niti ene naloge.
Oksana Mikhailovna (učiteljica zgodovine) bo razložila novo temo.
III. Navedite primere nemogočih, naključnih in zanesljivih dogodkov.
IV. Delo po učbeniku (v skupinah).
Opišite dogodke, navedene v spodnjih nalogah, kot verjetne, nemogoče ali naključne.
Št. 959. Petya si je zamislila naravno število. Dogodek je naslednji:
a) zamišljeno je sodo število;
b) zamišljeno je liho število;
c) zamišljeno je število, ki ni niti sodo niti liho;
d) zamišljeno je število, ki je liho ali sodo.
Št. 960. To vadnico ste odprli na kateri koli strani in izbrali prvi samostalnik, ki je naletel. Dogodek je naslednji:
a) v črkovanju izbrane besede je samoglasnik;
b) v črkovanju izbrane besede je črka »o«;
c) v črkovanju izbrane besede ni samoglasnikov;
d) v črkovanju izbrane besede je mehki znak.
Reši št. 961, št. 964.
Pogovor o rešenih nalogah.
5) Refleksija.
1. Katere dogodke ste spoznali v lekciji?
2. Navedite, kateri od naslednjih dogodkov je zanesljiv, kateri nemogoč in kateri je naključen:
a) poletnih počitnic ne bo;
b) sendvič bo padel po maslu;
c) šolsko leto se bo nekoč končalo.
6) Domača naloga:
Izmislite dva zanesljiva, naključna in nemogoča dogodka.
Nariši risbo na enega od njih.
5. razred. Uvod v verjetnost (4 ure)
(razvoj 4 lekcij na to temo)
Učni cilji : - uvesti definicijo naključnega, zanesljivega in nemogočega dogodka;
Vodite prve ideje o reševanju kombinatornih problemov: uporaba drevesa možnosti in uporaba pravila množenja.
Izobraževalni namen: razvoj svetovnega nazora učencev.
Razvojni cilj : razvoj prostorske domišljije, izboljšanje spretnosti dela z ravnilom.
Zanesljivi, nemogoči in naključni dogodki (2h.)
Kombinatorne naloge (2h.)
Zanesljivi, nemogoči in naključni dogodki.
Prva lekcija
Oprema za pouk: kocke, kovanec, backgammon.
Naše življenje je v veliki meri sestavljeno iz nesreč. Obstaja taka znanost "Teorija verjetnosti". Z njenim jezikom je mogoče opisati številne pojave in situacije.
Tudi primitivni vodja je razumel, da ima ducat lovcev "verjetnost" zadeti bizona s sulico več kot enega. Zato so takrat lovili kolektivno.
Tako starodavni generali, kot sta Aleksander Veliki ali Dmitrij Donskoy, so se pripravljali na bitko, ne le na hrabrost in spretnost bojevnikov, ampak tudi na naključje.
Mnogi ljudje ljubijo matematiko zaradi večnih resnic, dvakrat dva sta vedno štiri, vsota sodih števil je soda, površina pravokotnika je enaka zmnožku njegovih sosednjih stranic itd. V vsakem problemu, ki ga rešiš, dobi vsak enak odgovor - samo ni treba delati napak pri rešitvi.
Resnično življenje ni tako preprosto in naravnost. Rezultatov številnih pojavov ni mogoče vnaprej predvideti. Nemogoče je na primer zagotovo reči, na katero stran bo padel vrženi kovanec, kdaj bo naslednje leto zapadel prvi sneg ali koliko ljudi v mestu bo želelo poklicati v naslednji uri. Takšni nepredvidljivi pojavi se imenujejo naključen .
Vendar ima primer tudi svoje zakonitosti, ki se začnejo manifestirati s ponavljajočim se ponavljanjem naključnih pojavov. Če kovanec vržete 1000-krat, bodo "glave" približno polovico časa padle, kar ne moremo reči o dveh ali celo desetih metah. "Približno" ne pomeni polovice. To je praviloma lahko ali pa tudi ne. Zakon sploh ne navaja ničesar zagotovo, ampak daje določeno mero gotovosti, da se bo zgodil kakšen naključni dogodek. Takšne vzorce preučuje poseben oddelek matematike - Teorija verjetnosti . Z njegovo pomočjo je mogoče z večjo mero zaupanja (a še vedno negotovo) napovedati tako datum prvega sneženja kot tudi število telefonskih klicev.
Teorija verjetnosti je neločljivo povezana z našim vsakdanjim življenjem. To nam daje čudovito priložnost, da empirično vzpostavimo številne verjetnostne zakone in večkrat ponovimo naključne poskuse. Materiali za te poskuse bodo najpogosteje navaden kovanec, kocka, komplet domin, backgammon, ruleta ali celo krov kart. Vsak od teh predmetov je nekako povezan z igrami. Dejstvo je, da se primer tukaj pojavlja v najpogostejši obliki. In prve verjetnostne težave so bile povezane z ocenjevanjem možnosti igralcev za zmago.
Sodobna teorija verjetnosti se je oddaljila od iger na srečo, vendar so njeni rekviziti še vedno najpreprostejši in najbolj zanesljiv vir naključja. Po vadbi z ruleto in kockami se boste naučili izračunati verjetnost naključnih dogodkov v resničnih situacijah, kar vam bo omogočilo, da ocenite svoje možnosti za uspeh, preizkusite hipoteze in sprejemate optimalne odločitve ne le v igrah in loterijah. .
Pri reševanju verjetnostnih problemov bodite zelo previdni, poskušajte utemeljiti vsak svoj korak, saj nobeno drugo področje matematike ne vsebuje toliko paradoksov. Kot teorija verjetnosti. In morda je glavna razlaga za to njena povezanost z resničnim svetom, v katerem živimo.
Številne igre uporabljajo kocke z različnim številom pik na vsaki ploskvi od 1 do 6. Igralec vrže kocko, pogleda, koliko pik je izpadlo (na obrazu, ki je na vrhu), in naredi ustrezno število potez : 1,2,3, 4,5 ali 6. Metanje kocke se lahko šteje za izkušnjo, poskus, preizkus, dobljeni rezultat pa je dogodek. Ljudje so običajno zelo zainteresirani za ugibanje začetka dogodka in napovedovanje njegovega izida. Kakšne napovedi lahko naredijo, ko vržejo kocko? Prva napoved: ena od številk 1, 2, 3, 4, 5 bo izpadla ali 6. Ali menite, da bo napovedani dogodek prišel ali ne? Seveda bo zagotovo prišlo. Dogodek, ki se bo nujno zgodil v tej izkušnji, se imenuje zanesljiv dogodek.
Druga napoved : izpadla bo številka 7. Ali menite, da bo napovedani dogodek prišel ali ne? Seveda ne bo, preprosto je nemogoče. Imenuje se dogodek, ki se v dani izkušnji ne more zgoditi nemogoč dogodek.
Tretja napoved : bo izpadla številka 1. Kaj menite, bo napovedani dogodek prišel ali ne? Na to vprašanje ne moremo odgovoriti popolnoma samozavestno, saj se napovedani dogodek lahko zgodi ali pa tudi ne. Imenuje se dogodek, ki se v določeni izkušnji lahko zgodi ali pa tudi ne naključni dogodek.
Vaja : Opišite dogodke, ki so navedeni v spodnjih nalogah. Kako zanesljivo, nemogoče ali naključno.
Vržemo kovanec. Pojavil se je grb. (naključen)
Lovec je ustrelil volka in ga zadel. (naključen)
Šolar gre vsak večer na sprehod. Med sprehodom v ponedeljek je srečal tri znance. (naključen)
Umsko izvedemo naslednji poskus: kozarec vode obrnite na glavo. Če se ta poskus ne izvaja v vesolju, ampak doma ali v učilnici, se bo voda izlila. (zanesljivo)
V tarčo so bili izstreljeni trije streli." Bilo je pet zadetkov "(Nemogoče)
Vržemo kamen gor. Kamen ostane v zraku. (nemogoče)
Naključno prerazporedimo črke besede »antagonizem«. Izkazala se bo beseda "anakroizem". (nemogoče)
№959. Petya je zasnovala naravno število. Dogodek je naslednji:
a) zamišljeno je sodo število; (naključno) b) zamišljeno je liho število; (naključen)
c) zamišljeno je število, ki ni niti sodo niti liho; (nemogoče)
d) zamišljeno je število, ki je liho ali sodo. (zanesljivo)
№ 961. Petya in Tolya primerjata svoje rojstne dneve. Dogodek je naslednji:
a) njihova rojstna dneva se ne ujemata; (naključno) b) njihovi rojstni dnevi so enaki; (naključen)
d) rojstni dnevi obeh padejo na praznike - novo leto (1. januar) in dan neodvisnosti Rusije (12. junij). (naključen)
№ 962. Pri igranju backgammona se uporabljata dve kocki. Število potez, ki jih naredi udeleženec v igri, se določi tako, da seštejeta števila na dveh padlih robovih kocke, in če izpade "dvojček" (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6), potem se število premikov podvoji. Vržete kocko in ugotovite, koliko potez morate narediti. Dogodek je naslednji:
a) narediti morate en korak; b) narediti morate 7 potez;
c) narediti morate 24 potez; d) narediti morate 13 potez.
a) - nemogoče (1 potezo je mogoče narediti, če kombinacija 1 + 0 izpade, na kocki pa ni številke 0).
b) - naključno (če izpade 1 + 6 ali 2 + 5).
c) - naključno (če je kombinacija 6 +6).
d) - nemogoče (ni kombinacij številk od 1 do 6, katerih vsota je 13; tega števila ni mogoče dobiti niti, ko se pojavi "dvojnik", saj je liho).
Preverite sami. (matematični narek)
1) Navedite, kateri od naslednjih dogodkov so nemogoči, kateri so zanesljivi, kateri so naključni:
Nogometna tekma "Spartak" - "Dynamo" se bo končala z remijem. (naključen)
Zmagali boste s sodelovanjem v win-win loteriji (preverjeno)
Sneg bo zapadel ob polnoči, sonce pa bo posijalo čez 24 ur. (nemogoče)
Jutri bo izpit iz matematike. (naključen)
Izvoljeni boste za predsednika Združenih držav. (nemogoče)
Izvoljeni boste za predsednika Rusije. (naključen)
2) V trgovini ste kupili TV sprejemnik, za katerega proizvajalec daje dveletno garancijo. Kateri od naslednjih dogodkov so nemogoči, kateri so naključni, kateri so zanesljivi:
Televizor se ne bo pokvaril eno leto. (naključen)
Televizor se ne bo pokvaril v dveh letih. (naključen)
V dveh letih vam ne bo treba plačati za popravilo televizorja. (zanesljivo)
Televizor se bo v tretjem letu pokvaril. (naključen)
3) Avtobus, ki prevaža 15 potnikov, bo moral narediti 10 postankov. Kateri od naslednjih dogodkov so nemogoči, kateri so naključni, kateri so zanesljivi:
Vsi potniki bodo izstopili iz avtobusa na različnih postajališčih. (nemogoče)
Vsi potniki se bodo izkrcali na enem postanku. (naključen)
Na vsakem postanku bo vsaj nekdo izstopil. (naključen)
Tam bo postanek, kjer nihče ne bo izstopil. (naključen)
Na vseh postajališčih bo odšlo sodo število potnikov. (nemogoče)
Na vseh postajališčih bo odšlo liho število potnikov. (nemogoče)
Domača naloga : str. 53 №960, 963, 965 (sami pomislite na dva zanesljiva, naključna in nemogoča dogodka).
Druga lekcija.
Preverjanje domače naloge. (ustno)
a) Pojasni, kaj je gotov, naključen in nemogoč dogodek.
b) Navedite, kateri od naslednjih dogodkov je zanesljiv, kateri je nemogoč, kateri je naključen:
Poletnih počitnic ne bo. (nemogoče)
Sendvič bo padel po maslu. (naključen)
Šolsko leto se bo nekoč končalo. (zanesljivo)
Jutri me bodo vprašali v razredu. (naključen)
Danes bom srečal črno mačko. (naključen)
№ 960. To vadnico ste odprli na kateri koli strani in izbrali prvi samostalnik, ki je naletel. Dogodek je naslednji:
a) v črkovanju izbrane besede je samoglasnik. ((zanesljivo)
b) v črkovanju izbrane besede je črka »o«. (naključen)
c) v črkovanju izbrane besede ni samoglasnikov. (nemogoče)
d) v črkovanju izbrane besede je mehak predznak. (naključen)
№ 963. Spet igraš backgammon. Opišite naslednji dogodek:
a) igralec ne sme narediti več kot dve potezi. (nemogoče - s kombinacijo najmanjših številk 1 + 1 igralec naredi 4 poteze; kombinacija 1 + 2 daje 3 poteze; vse druge kombinacije dajejo več kot 3 poteze)
b) igralec mora narediti več kot dve potezi. (zanesljivo - vsaka kombinacija daje 3 ali več potez)
c) igralec ne sme narediti več kot 24 potez. (zanesljivo - kombinacija najvišjih številk 6 + 6 daje 24 potez, vse ostalo pa manj kot 24 potez)
d) igralec mora narediti dvomestno število potez. (naključno - na primer kombinacija 2 + 3 daje enomestno število potez: 5, padec dveh štirih - dvomestno število potez)
2. Reševanje problemov.
№ 964. V vrečki je 10 kroglic: 3 modre, 3 bele in 4 rdeče. Opišite naslednji dogodek:
a) iz vrečke so bile vzete 4 kroglice in vse so modre; (nemogoče)
b) iz vrečke so bile vzete 4 kroglice in so vse rdeče; (naključen)
c) iz vrečke so bile vzete 4 kroglice in vse so se izkazale za drugačne barve; (nemogoče)
d) Iz vrečke so bile vzete 4 kroglice, med njimi pa ni bilo črne kroglice. (zanesljivo)
Cilj 1. Škatla vsebuje 10 rdečih, 1 zeleno in 2 modra pisala. Dva predmeta se naključno vzameta iz škatle. Kateri od naslednjih dogodkov so nemogoči, kateri so naključni, kateri so zanesljivi:
a) dva rdeča ročaja sta odstranjena (naključno)
b) dva zelena ročaja sta vzeta ven; (nemogoče)
c) dva modra ročaja sta vzeta ven; (naključen)
d) ročaji dveh različnih barv se odstranijo; (naključen)
e) dva ročaja sta odstranjena; (zanesljivo)
f) vzameta dva svinčnika. (nemogoče)
Cilj 2. Winnie the Pooh, Pujsek in vsi - vsi - vsi se usedejo za okroglo mizo in proslavijo svoj rojstni dan. Koliko od vseh - vseh - od vsega dogodka »Winnie Pooh in Pujsek bosta sedela drug poleg drugega« je zanesljivih in koliko je naključnih?
(če so vsi - vsi - vsi samo 1, je dogodek zanesljiv, če je več kot 1, potem je naključen).
Cilj 3. Med 100 dobrodelnimi loterijskimi vstopnicami je 20 zmagovalnih. Koliko vstopnic morate kupiti, da dogodek »nič ne dobite« nemogoče?
4. naloga. V razredu je 10 fantov in 20 deklet. Kateri od naslednjih dogodkov so za tak razred nemogoči, kateri so naključni, kateri so zanesljivi
V razredu sta dve osebi, ki sta se rodila v različnih mesecih. (naključen)
V razredu sta dve osebi, ki sta se rodila v istem mesecu. (zanesljivo)
V razredu sta dva fantka, ki sta se rodila v istem mesecu. (naključen)
V razredu sta dve deklici, ki sta se rodili v istem mesecu. (zanesljivo)
Vsi fantje so bili rojeni v različnih mesecih. (zanesljivo)
Vsa dekleta so bila rojena v različnih mesecih. (naključen)
V istem mesecu sta rojena fantek in deklica. (naključen)
Obstajata fant in dekle, ki sta se rodila v različnih mesecih. (naključen)
5. naloga. Škatla vsebuje 3 rdeče, 3 rumene in 3 zelene kroglice. Naključno vzamemo 4 kroglice. Razmislite o dogodku "Med odvzetimi kroglicami bodo kroglice točno M barv". Za vsako M od 1 do 4 določite, kateri dogodek je nemogoč, zanesljiv ali naključen, in izpolnite tabelo:
Samostojno delo.
jazmožnost
a) rojstni dan vašega prijatelja je manj kot 32;
c) jutri bo test iz matematike;
d) Prihodnje leto bo prvi sneg v Moskvi zapadel v nedeljo.
Vrzi kocko. Opišite dogodek:
a) kocka, ki je padla, bo stala na robu;
b) ena od številk bo izpadla: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
c) številka 6 bo izpuščena;
d) večkratnik 7 bo izpuščen.
Škatla vsebuje 3 rdeče, 3 rumene in 3 zelene kroglice. Opišite dogodek:
a) vse odstranjene kroglice iste barve;
b) vse odstranjene kroglice različnih barv;
c) med izvzetimi kroglicami so kroglice različnih barv;
c) med izvzetimi kroglicami je rdeča, rumena in zelena kroglica.
IImožnost
Opišite zadevni dogodek kot gotov, nemogoč ali naključen:
a) sendvič, ki je padel z mize, pade maslo na tla;
b) v Moskvi bo ob polnoči snežilo, čez 24 ur pa bo posijalo sonce;
c) zmagate s sodelovanjem v win-win loteriji;
d) prihodnje leto, maja, se bo slišalo prvo pomladno grmenje.
Vsa dvomestna števila so zapisana na kartah. Ena karta je izbrana naključno. Opišite dogodek:
a) na kartici je bila nič;
b) kartica ima številko, ki je večkratnik 5;
c) kartica ima številko, ki je večkratnik 100;
d) kartica ima število večje od 9 in manjše od 100.
Škatla vsebuje 10 rdečih, 1 zeleno in 2 modra pisala. Dva predmeta se naključno vzameta iz škatle. Opišite dogodek:
a) dva modra ročaja sta vzeta ven;
b) dva rdeča ročaja sta vzeta ven;
c) dva zelena ročaja sta vzeta ven;
d) zeleni in črni ročaj se odstranita.
Domača naloga: 1). Izmislite dva zanesljiva, naključna in nemogoča dogodka.
2). Naloga . Škatla vsebuje 3 rdeče, 3 rumene in 3 zelene kroglice. Naključno vzemite N kroglic. Razmislite o dogodku "med odvzetimi kroglicami bodo kroglice točno treh barv". Za vsak N od 1 do 9 določi, kateri dogodek je nemogoč, gotov ali naključen, in izpolni tabelo:
Kombinatorne težave.
Prva lekcija
Preverjanje domače naloge. (ustno)
a) preverimo težave, na katere so se pojavili učenci.
b) dodatna naloga.
Berem odlomek iz knjige V. Levshina "Tri dni v škratu".
»Najprej so se ob zvokih gladkega valčka številke sestavile v skupino: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. Nato so mladi drsalci začeli menjavati mesta in tvorili vedno več novih skupin: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10 itd.
To se je nadaljevalo, dokler se drsalci niso vrnili v prvotni položaj."
Kolikokrat sta zamenjala mesta?
Danes v lekciji se bomo naučili, kako rešiti takšne težave. Poklicani so kombinatorično.
3. Učenje nove snovi.
Cilj 1. Koliko dvomestnih števil je mogoče sestaviti iz števk 1, 2, 3?
rešitev: 11, 12, 13
31, 32, 33. Skupno je 9 številk.
Pri reševanju tega problema smo izvedli naštevanje vseh možnih možnosti oz., kot v teh primerih običajno rečejo. Vse možne kombinacije. Zato se takšne naloge imenujejo kombinatorično. Dokaj pogosto morate izračunati možne (ali nemogoče) možnosti v življenju, zato je koristno, da se seznanite s kombinatoričnimi problemi.
№ 967. Več držav se je odločilo uporabiti simbole za svojo državno zastavo v obliki treh vodoravnih črt enake širine v različnih barvah - beli, modri, rdeči. Koliko držav lahko uporablja takšne simbole, če ima vsaka država svojo zastavo?
Rešitev. Recimo, da je prva črta bela. Potem je lahko druga črta modra ali rdeča, tretja črta pa rdeča ali modra. Izkazalo se je dve možnosti: bela, modra, rdeča ali bela, rdeča, modra.
Zdaj naj bo prva črta modra, nato pa spet dobimo dve možnosti: bela, rdeča, modra ali modra, rdeča, bela.
Naj bo prva črta rdeča, potem sta še dve možnosti: rdeča, bela, modra ali rdeča, modra, bela.
Skupno je 6 možnih možnosti. To zastavo lahko uporablja 6 držav.
Pri reševanju tega problema smo torej iskali način, kako našteti možne možnosti. V mnogih primerih se izkaže, da je uporabna tehnika za izdelavo slike - shema štetja. To je, prvič, jasno, in drugič, omogoča nam, da upoštevamo vse, da ničesar ne zamudimo.
Ta shema se imenuje tudi drevo možnih možnosti.
Prednja stran
Drugi pas
Tretji pas
Nastala kombinacija
№ 968. Koliko dvomestnih številk je mogoče sestaviti iz števk 1, 2, 4, 6, 8?
Rešitev. Za dvomestna števila, ki nas zanimajo, je lahko katera koli od danih števk na prvem mestu, razen 0. Če na prvo mesto postavimo številko 2, je lahko katera koli od danih števk na drugem mestu. Dvomestnih številk bo pet: 2., 22, 24, 26, 28. Podobno bo pet dvomestnih števil s prvo številko 4, pet dvomestnih števil s prvo številko 6 in pet dvomestnih številk s prvo številko 6. -mestne številke s prvo številko 8.
Odgovor: skupaj bo 20 številk.
Zgradimo drevo možnih možnosti za rešitev tega problema.
Dvojne številke
Prva številka
Druga številka
Prejete številke
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Z sestavljanjem drevesa možnosti rešite naslednje težave.
№ 971. Vodstvo države se je odločilo, da bo svojo državno zastavo naredilo tako: na enobarvnem pravokotnem ozadju v enem od vogalov je postavljen krog druge barve. Odločeno je bilo izbrati med tremi barvami: rdečo, rumeno, zeleno. Koliko variant takšne zastave
obstaja? Slika prikazuje nekaj možnih možnosti.
Odgovor: 24 možnosti.
№ 973. a) Koliko trimestnih števil je mogoče sestaviti iz števk 1,3,5,? (27 številk)
b) Koliko trimestnih števil je mogoče sestaviti iz števk 1,3, 5, če se števila ne ponavljajo? (6 številk)
№ 979. Sodobni petobojci se dva dni udeležujejo tekmovanj v petih športih: preskakovanje, sabljanje, plavanje, streljanje in tek.
a) Koliko možnosti je za vrstni red vrst tekmovanja? (120 možnosti)
b) Koliko možnosti je za vrstni red uspešnosti vrst tekmovanja, če je znano, da bi morala teči zadnja vrsta? (24 možnosti)
c) Koliko možnosti je za vrstni red uspešnosti vrst tekmovanja, če je znano, da naj bo zadnja vrsta tek, prva pa preskakovanje? (6 možnosti)
№ 981. Dve žari vsebujeta po pet kroglic v petih različnih barvah: beli, modri, rdeči, rumeni, zeleni. Iz vsake žare se istočasno odstrani ena kroglica.
a) koliko različnih kombinacij izvzetih kroglic je (kombinacije, kot sta "bela - rdeča" in "rdeča - bela" se štejejo za enake)?
(15 kombinacij)
b) Koliko kombinacij je, v katerih so odstranjene kroglice enake barve?
(5 kombinacij)
c) koliko kombinacij je, v katerih so odstranjene kroglice različnih barv?
(15 - 5 = 10 kombinacij)
Domača naloga: str 54, številka 969, 972, da sami pridemo do kombinatornega problema.
№ 969. Več držav se je odločilo uporabiti simbole za svojo državno zastavo v obliki treh navpičnih črt enake širine v različnih barvah: zeleni, črni, rumeni. Koliko držav lahko uporablja takšne simbole, če ima vsaka država svojo zastavo?
№ 972. a) Koliko dvomestnih števil je mogoče sestaviti iz števil 1, 3, 5, 7, 9?
b) Koliko dvomestnih števil je mogoče sestaviti iz številk 1, 3, 5, 7, 9, če se števila ne ponavljajo?
Druga lekcija
Preverjanje domače naloge. a) št. 969 in št. 972a) in št. 972b) - sestavite drevo možnih možnosti na tabli.
b) ustno preveri sestavljene naloge.
Reševanje težav.
Pred tem sva se ti in jaz naučila reševati kombinatorne probleme z uporabo drevesa možnosti. Je to dober način? Verjetno da, vendar zelo okorno. Poskusimo rešiti domači problem št.972 na drugačen način. Kdo lahko ugane, kako je to mogoče storiti?
odgovor: za vsako od petih barv majic so 4 barve spodnjic. Skupaj: 4 * 5 = 20 možnosti.
№ 980. Žare imajo po pet kroglic v petih različnih barvah: beli, modri, rdeči, rumeni, zeleni. Iz vsake žare se istočasno odstrani ena kroglica. Naslednji dogodek opišite kot gotov, naključen ali nemogoč:
a) odstranjene kroglice različnih barv; (naključen)
b) izvlečene kroglice enake barve; (naključen)
c) črno-bele kroglice se vzamejo ven; (nemogoče)
d) vzeti sta bili dve kroglici, ki sta bili obe pobarvani v eno od naslednjih barv: bela, modra, rdeča, rumena, zelena. (zanesljivo)
№ 982. Skupina turistov namerava izvesti pohod po poti Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. Od Antonovega do Borisovega lahko splavate po reki ali se sprehodite. Od Borisova do Vlasovega se lahko sprehodite ali se vozite s kolesom. Od Vlasova do Gribovega lahko plavate ob reki, se vozite s kolesom ali se sprehajate. Koliko možnosti za pohodništvo lahko izberejo turisti? Koliko možnosti pohodništva lahko izberejo turisti, če morajo na vsaj enem od odsekov poti uporabljati kolesa?
(12 možnosti poti, od tega 8 s kolesi)
Samostojno delo.
1. možnost
a) Koliko trimestnih števil je mogoče sestaviti iz števk: 0, 1, 3, 5, 7?
b) Koliko trimestnih številk je mogoče sestaviti iz števk: 0, 1, 3, 5, 7, če se števila ne ponavljajo?
Athos, Porthos in Aramis imajo samo meč, bodalo in pištolo.
a) Na koliko načinov so lahko oboroženi mušketirji?
b) Koliko možnosti orožja obstaja, če bi Aramis vihtel meč?
c) Koliko možnosti je za orožje, če bi imel Aramis meč, Porthos pa pištolo?
Vrani je nekje Bog poslal kos sira, pa tudi feta sir, klobaso, beli in črni kruh. Vrana, ki je sedela na smreki, se je pripravila na zajtrk, a se je spraševala: na koliko načinov lahko narediš sendviče iz teh izdelkov?
2. možnost
a) Koliko trimestnih številk je mogoče sestaviti iz števk: 0, 2, 4, 6, 8?
b) Koliko trimestnih števil je mogoče sestaviti iz števk: 0, 2, 4, 6, 8, če se števke ne smejo ponavljati?
Grof Monte Cristo se je odločil, da bo princesi Gaide podaril uhane, ogrlico in zapestnico. Vsak kos nakita mora vsebovati eno vrsto dragulja: diamante, rubine ali granate.
a) Koliko možnosti je za kombiniranje nakita iz dragih kamnov?
b) Koliko možnosti nakita je, če naj bi bili uhani z diamanti?
c) Koliko možnosti je nakita, če naj bodo uhani diamantni, zapestnica pa granat?
Za zajtrk lahko izberete žemljico, sendvič ali medenjake s kavo ali kefirjem. Koliko možnosti zajtrka lahko sestavite?
Domača naloga : št. 974, 975. (s sestavljanjem drevesa variant in uporabo pravila množenja)
№ 974 . a) Koliko trimestnih števil je mogoče sestaviti iz števk 0, 2, 4?
b) Koliko trimestnih števil je mogoče sestaviti iz števk 0, 2, 4, če se števila ne ponavljajo?
№ 975 . a) Koliko trimestnih številk je mogoče sestaviti iz števk 1,3, 5,7?
b) Koliko trimestnih številk je mogoče sestaviti iz podanih števk 1.3, 5.7. Da se številke ne bi smele ponavljati?
Številke težav so povzete iz vadnice
"Matematika-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.
