ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი პარამეტრულად არის ონლაინ. პარამეტრულად განსაზღვრული მრუდით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობის გამოთვლა. როგორ გამოვთვალოთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა

განვიხილოთ მიღებული ფორმულის გამოყენების მაგალითები, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ პარამეტრულად განსაზღვრული ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურების არეები.

მაგალითი.

გამოთვალეთ წრფით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი, რომლის პარამეტრული განტოლებები ასე გამოიყურება.

გამოსავალი.

ჩვენს მაგალითში, პარამეტრულად განსაზღვრული ხაზი არის ელიფსი 2 და 3 ერთეულის ნახევრად ღერძებით. ავაშენოთ.

იპოვეთ ელიფსის მეოთხედის ფართობი, რომელიც მდებარეობს პირველ კვადრატში. ეს ტერიტორია დევს ინტერვალში . ჩვენ ვიანგარიშებთ მთელი ფიგურის ფართობს მიღებული მნიშვნელობის ოთხზე გამრავლებით.

რაც გვაქვს:

ამისთვის k = 0 ვიღებთ ინტერვალს . ამ ინტერვალზე ფუნქცია მონოტონურად მცირდება (იხ. განყოფილება). ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას ფართობის გამოსათვლელად და ვიპოვნეთ განსაზღვრული ინტეგრალი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით:

ასე რომ, ორიგინალური ფიგურის ფართობი არის .

კომენტარი.

ჩნდება ლოგიკური კითხვა: რატომ ავიღეთ ელიფსის მეოთხედი და არა ნახევარი? შესაძლებელი იყო ფიგურის ზედა (ან ქვედა) ნახევრის გათვალისწინება. ის დიაპაზონშია . ამ შემთხვევისთვის გვექნებოდა

ანუ, k = 0-ისთვის ვიღებთ ინტერვალს . ამ ინტერვალზე ფუნქცია მონოტონურად მცირდება.

შემდეგ ელიფსის ნახევრის ფართობი მოცემულია

მაგრამ ელიფსის მარჯვენა ან მარცხენა ნახევრის აღება შეუძლებელია.

ელიფსის პარამეტრულ გამოსახულებას საწყისზე და ნახევრადღერძებზე a და b აქვს ფორმა. თუ ვიმოქმედებთ ისევე, როგორც გაანალიზებულ მაგალითში, მივიღებთ ელიფსის ფართობის გამოსათვლელი ფორმულა .

წრე, რომლის ცენტრია R რადიუსის კოორდინატების სათავეში t პარამეტრით, მოცემულია განტოლებათა სისტემით. თუ გამოვიყენებთ მიღებულ ფორმულას ელიფსის ფართობისთვის, მაშინვე შეგვიძლია დავწეროთ წრის ფართობის პოვნის ფორმულარადიუსი R:.

გადავწყვიტოთ კიდევ ერთი მაგალითი.

მაგალითი.

გამოთვალეთ პარამეტრულად მოცემული მრუდით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.

გამოსავალი.

ცოტა წინ რომ ვიხედოთ, მრუდი არის "მოგრძო" ასტროიდი. (ასტროიდს აქვს შემდეგი პარამეტრული წარმოდგენა).

მოდით დეტალურად ვისაუბროთ ფიგურის შემოსაზღვრული მრუდის აგებაზე. ჩვენ ავაშენებთ მას წერტილი-პუნქტით. როგორც წესი, ასეთი კონსტრუქცია საკმარისია პრობლემების უმეტესობის გადასაჭრელად. უფრო რთულ შემთხვევებში, უეჭველია, საჭირო იქნება პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის დეტალური შესწავლა დიფერენციალური გამოთვლების დახმარებით.

ჩვენს მაგალითში.

ეს ფუნქციები განსაზღვრულია t პარამეტრის ყველა რეალური მნიშვნელობებისთვის და სინუსისა და კოსინუსის თვისებებიდან ვიცით, რომ ისინი პერიოდულია ორი pi პერიოდით. ამრიგად, ზოგიერთისთვის ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლა (მაგალითად ), ვიღებთ ქულების ერთობლიობას .

მოხერხებულობისთვის, ჩვენ შევიყვანთ მნიშვნელობებს ცხრილში:

ჩვენ ვნიშნავთ წერტილებს სიბრტყეზე და თანმიმდევრულად ვაკავშირებთ მათ ხაზით.

გამოვთვალოთ პირველი კოორდინატთა კვარტალში მდებარე ტერიტორიის ფართობი. ამ სფეროსთვის .

ზე k=0 ვიღებთ ინტერვალს , რომელზედაც ფუნქცია მონოტონურად მცირდება. ფართობის საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას:

ჩვენ ვიანგარიშებთ მიღებულ განსაზღვრულ ინტეგრალებს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით და ვიპოვით ანტიწარმოებულებს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულისთვის, ფორმის რეკურსიული ფორმულის გამოყენებით. , სად .

ამრიგად, ფიგურის მეოთხედის ფართობია , მაშინ მთელი ფიგურის ფართობი უდრის.

ანალოგიურად, შეიძლება ამის ჩვენება ასტროიდული ტერიტორიამდებარეობს როგორც და ხაზით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი გამოითვლება ფორმულით.

როდესაც გავარკვიეთ გარკვეული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა, მივიღეთ ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ იპოვოთ მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია აბსცისის ღერძით, სწორი ხაზებით. x=a, x=b, ასევე უწყვეტი (არაუარყოფითი ან არაპოზიტიური) ფუნქცია y = f(x) .ზოგჯერ უფრო მოსახერხებელია ფუნქციის დაყენება, რომელიც ზღუდავს ფიგურას პარამეტრულ ფორმაში, ე.ი. გამოხატეთ ფუნქციური დამოკიდებულება t პარამეტრით. ამ მასალის ფარგლებში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ შეგიძლიათ იპოვოთ ფიგურის ფართობი, თუ ის შემოიფარგლება პარამეტრულად მოცემული მრუდით.

თეორიის ახსნისა და ფორმულის გამოყვანის შემდეგ ჩვენ გავაანალიზებთ რამდენიმე ტიპურ მაგალითს ასეთი ფიგურების ფართობის საპოვნელად.

გაანგარიშების ძირითადი ფორმულა

დავუშვათ, რომ გვაქვს მრუდი ტრაპეცია, რომლის საზღვრებია წრფეები x = a, x = b, ღერძი O x და პარამეტრულად განსაზღვრული მრუდი x = φ (t) y = ψ (t) და x ფუნქციები. = φ (t) და y = ψ (t) არის უწყვეტი α ინტერვალზე; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

განმარტება 1

ასეთ პირობებში ტრაპეციის ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა S (G) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t .

ჩვენ გამოვიყვანეთ მრუდი ტრაპეციის ფართობის ფორმულიდან S (G) = ∫ a b f (x) d x x = φ (t) y = ψ (t) ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით:

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

განმარტება 2

x = φ (t) ფუნქციის მონოტონური კლების გათვალისწინებით β ინტერვალზე; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

თუ ფუნქცია x = φ (t) არ მიეკუთვნება ძირითად ელემენტებს, მაშინ უნდა გვახსოვდეს ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ძირითადი წესები ინტერვალზე, რათა განვსაზღვროთ, იქნება ის მზარდი თუ კლებადი.

ამ პარაგრაფში ჩვენ გავაანალიზებთ რამდენიმე პრობლემას ზემოთ მიღებული ფორმულის გამოსაყენებლად.

მაგალითი 1

მდგომარეობა: იპოვეთ x = 2 cos t y = 3 sin t ფორმის განტოლებით მოცემული წრფით ჩამოყალიბებული ფიგურის ფართობი.

გამოსავალი

ჩვენ გვაქვს პარამეტრულად განსაზღვრული ხაზი. გრაფიკულად, ის შეიძლება გამოჩნდეს ელიფსის სახით ორი ნახევრად ღერძით 2 და 3. იხილეთ ილუსტრაცია:

შევეცადოთ ვიპოვოთ მიღებული ფიგურის ფართობი 1 4, რომელიც იკავებს პირველ კვადრატს. ფართობი არის x ∈ a ინტერვალში; b = 0 2. შემდეგი, გავამრავლოთ მიღებული მნიშვნელობა 4-ით და იპოვნეთ ტერიტორიამთელი ფიგურა.

აქ არის ჩვენი გამოთვლების კურსი:

x = φ (t) = 2 cos ty = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

0-ის ტოლი k-ით ვიღებთ β ინტერვალს; α = 0; π 2 . ფუნქცია x = φ (t) = 2 cos t მასზე მონოტონურად შემცირდება (დაწვრილებით იხილეთ სტატია ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების და მათი თვისებების შესახებ). ასე რომ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფართობის ფორმულა და იპოვოთ განსაზღვრული ინტეგრალი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 π 2 - ცოდვა 2 π 2 2 - 0 - ცოდვა 2 0 2 \u003d 3 π 2

ეს ნიშნავს, რომ ორიგინალური მრუდით მოცემული ფიგურის ფართობი ტოლი იქნება S (G) \u003d 4 3 π 2 \u003d 6 π.

პასუხი: S (G) = 6 π

განვმარტოთ, რომ ზემოაღნიშნული პრობლემის გადაჭრისას შესაძლებელი იყო ელიფსის არა მხოლოდ მეოთხედის, არამედ მისი ნახევრის აღებაც - ზედა ან ქვედა. ერთი ნახევარი განთავსდება x ∈ a ინტერვალზე; b = - 2; 2. ამ შემთხვევაში გვექნებოდა:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

ამრიგად, k 0-ის ტოლი, მივიღეთ β; α = 0; π . ფუნქცია x = φ (t) = 2 cos t ამ ინტერვალზე მონოტონურად შემცირდება.

ამის შემდეგ ვიანგარიშებთ ელიფსის ნახევრის ფართობს:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "dt = 6 ∫ 0 π sin 2 tdt = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) dt = = 3 t - sin (2 ტ) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ მხოლოდ ზედა ან ქვედა, და არა მარჯვნივ ან მარცხნივ.

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ პარამეტრული განტოლება ამ ელიფსისთვის, რომლის ცენტრი მდებარეობს საწყისზე. ეს გამოიყურება x = a cos t y = b sin t. ვმოქმედებთ ისევე, როგორც ზემოთ მოცემულ მაგალითში, ვიღებთ ფორმულას ელიფსის S e l და p ფართობის გამოსათვლელად \u003d πab.

თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ წრე, რომლის ცენტრი მდებარეობს საწყისთან x = R cos t y = R sin t განტოლების გამოყენებით, სადაც t არის პარამეტრი და R არის მოცემული წრის რადიუსი. თუ დაუყოვნებლივ გამოვიყენებთ ფორმულას ელიფსის ფართობისთვის, მაშინ მივიღებთ ფორმულას, რომლითაც შეგვიძლია გამოვთვალოთ წრის ფართობი R რადიუსით: S მრგვალი a = πR 2.

განვიხილოთ კიდევ ერთი პრობლემა.

მაგალითი 2

მდგომარეობა: იპოვეთ რა იქნება ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია პარამეტრულად მოცემული მრუდით x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t .

გამოსავალი

დაუყოვნებლივ განვმარტოთ, რომ ამ მრუდს აქვს წაგრძელებული ასტროიდის ფორმა. ჩვეულებრივ ასტროიდი გამოიხატება x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t ფორმის განტოლების გამოყენებით.

ახლა ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ, თუ როგორ უნდა ავაშენოთ ასეთი მრუდი. მოდით დავამყაროთ ცალკეული პუნქტები. ეს არის ყველაზე გავრცელებული მეთოდი და გამოიყენება ამოცანების უმეტესობისთვის. უფრო რთული მაგალითები მოითხოვს დიფერენციალურ კალკულუსს პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის გამოსავლენად.

გვაქვს x \u003d φ (t) \u003d 3 cos 3 t, y \u003d ψ (t) \u003d 2 sin 3 t.

ეს ფუნქციები განისაზღვრება t-ის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის. სინისთვის და კოსისთვის ცნობილია, რომ ისინი პერიოდულია და მათი პერიოდია 2 პი. x = φ (t) = 3 cos 3 t , y = ψ (t) = 2 sin 3 t ზოგიერთი t = t 0 ∈ 0 ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლა; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8 , ვიღებთ ქულებს x 0 ; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

მოდით შევქმნათ ჯამური მნიშვნელობების ცხრილი:

t0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 \u003d φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t0	9 π 8	5 π 4	11 პი 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2 პ
x 0 \u003d φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

ამის შემდეგ, მონიშნეთ სასურველი წერტილები თვითმფრინავზე და დააკავშირეთ ისინი ერთი ხაზით.

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ფიგურის იმ ნაწილის ფართობი, რომელიც არის პირველ კოორდინატთა კვარტალში. მისთვის x ∈ a ; b = 0 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

თუ k არის 0, მაშინ მივიღებთ β ინტერვალს; α = 0; π 2 და ფუნქცია x = φ (t) = 3 cos 3 t მასზე მონოტონურად შემცირდება. ახლა ვიღებთ ფართობის ფორმულას და ვიანგარიშებთ:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 tdt = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) dt = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 tdt - ∫ 0 π 2 sin 6 tdt

ჩვენ მივიღეთ გარკვეული ინტეგრალები, რომელთა გამოთვლა შესაძლებელია ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით. ამ ფორმულის პრიმიტივები შეიძლება მოიძებნოს რეკურსიული ფორმულის გამოყენებით J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , სადაც J n (x) = ∫ sin nxdx .

∫ sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 tdt = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 tdt = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 tdt ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 tdt = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 tdt = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

ჩვენ გამოვთვალეთ ფიგურის მეოთხედის ფართობი. ის უდრის 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

თუ ამ მნიშვნელობას გავამრავლებთ 4-ზე, მივიღებთ მთელი ფიგურის ფართობს - 9 π 4.

ზუსტად ანალოგიურად შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ ასტროიდის ფართობი, მოცემული განტოლებებით x \u003d a cos 3 ty \u003d a sin 3 t, შეიძლება მოიძებნოს sin 3 t ფორმულით, გამოითვლება ფორმულით S = 3 πab 8.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

მოდით ვიპოვოთ სხეულის მოცულობა, რომელიც წარმოიქმნება ციკლოიდური თაღის ბრუნვის შედეგად მისი ფუძის გარშემო. რობერვალმა ის აღმოაჩინა მიღებული კვერცხის ფორმის სხეულის (ნახ. 5.1) უსასრულოდ თხელ ფენებად გატეხვით, ამ ფენებში ცილინდრების ჩაწერით და მათი მოცულობების დამატებით. მტკიცებულება გრძელი, დამღლელი და არა მთლად მკაცრია. ამიტომ მის გამოსათვლელად მივმართავთ უმაღლეს მათემატიკას. ციკლოიდური განტოლება პარამეტრულად დავაყენოთ.

ინტეგრალურ გამოთვლებში მოცულობების შესწავლისას ის იყენებს შემდეგ შენიშვნას:

თუ მრუდი ტრაპეციის შემოსაზღვრული მრუდი მოცემულია პარამეტრული განტოლებებით და ამ განტოლებების ფუნქციები აკმაყოფილებს თეორემის პირობებს ცვლადის ცვლილებაზე გარკვეულ ინტეგრალში, მაშინ ტრაპეციის ბრუნვის სხეულის მოცულობა Ox ღერძის გარშემო იქნება. გამოითვლება ფორმულით:

მოდით გამოვიყენოთ ეს ფორმულა, რათა ვიპოვოთ საჭირო მოცულობა.

ანალოგიურად, ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ სხეულის ზედაპირს.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - ღირებულება), 0 ? t ? 2р)

ინტეგრალურ გამოთვლებში არის შემდეგი ფორმულა, რათა ვიპოვოთ ბრუნვის სხეულის ზედაპირის ფართობი მრუდის x-ღერძის გარშემო, მითითებული სეგმენტზე პარამეტრულად (t 0 ?t ?t 1):

ამ ფორმულის გამოყენებით ჩვენს ციკლოიდურ განტოლებაზე, მივიღებთ:

განვიხილოთ აგრეთვე სხვა ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება ციკლოიდური რკალის ბრუნვის შედეგად. ამისათვის ჩვენ ავაშენებთ ციკლოიდური თაღის სარკის ანარეკლს მის ფუძესთან მიმართებაში და მოვატრიალებთ ციკლოიდის მიერ წარმოქმნილ ოვალურ ფიგურას და მის ანარეკლს KT ღერძის გარშემო (ნახ. 5.2).

ჯერ ვიპოვოთ სხეულის მოცულობა, რომელიც წარმოიქმნება ციკლოიდური თაღის ბრუნვის შედეგად KT ღერძის გარშემო. მისი მოცულობა გამოითვლება ფორმულით (*):

ამრიგად, ჩვენ გამოვთვალეთ ამ ტურნიკის სხეულის ნახევრის მოცულობა. მაშინ მთლიანი მოცულობა იქნება

სექციები: Მათემატიკა

გაკვეთილის ტიპი: კომბინირებული.

გაკვეთილის მიზანი:ისწავლეთ რევოლუციის სხეულების მოცულობების გამოთვლა ინტეგრალის გამოყენებით.

Დავალებები:

• მრუდი ტრაპეციის რიგი გეომეტრიული ფიგურებიდან შერჩევის უნარის კონსოლიდაცია და მრუდი ტრაპეციის ფართობების გამოთვლის უნარის განვითარება;
• გაეცნონ სამგანზომილებიანი ფიგურის ცნებას;
• ისწავლეთ რევოლუციის ორგანოების მოცულობების გამოთვლა;
• ხელი შეუწყოს ლოგიკური აზროვნების, კომპეტენტური მათემატიკური მეტყველების განვითარებას, ნახატების აგების სიზუსტეს;
• საგნისადმი ინტერესის გაღვივება, მათემატიკური ცნებებითა და გამოსახულებებით მოქმედება, საბოლოო შედეგის მიღწევის ნებისყოფის, დამოუკიდებლობის, გამძლეობის გამომუშავება.

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი.

ჯგუფური მისალმება. მოსწავლეებისთვის გაკვეთილის მიზნების გაცნობა.

ანარეკლი. მშვიდი მელოდია.

დღევანდელი გაკვეთილი მინდა დავიწყო იგავით. „იყო ბრძენი კაცი, რომელმაც ყველაფერი იცოდა. ერთ ადამიანს სურდა დაემტკიცებინა, რომ ბრძენმა ყველაფერი არ იცის. პეპელას ხელში ეჭირა და ჰკითხა: "მითხარი, ბრძენო, რომელი პეპელა მაქვს ხელში: მკვდარი თუ ცოცხალი?" თვითონ კი ფიქრობს: „ცოცხალმა რომ თქვას, მოვკლავ, თუ მკვდარი იტყვის, გამოვუშვებ“. ბრძენმა ჩაფიქრებულმა უპასუხა: "ყველაფერი შენს ხელშია". (პრეზენტაცია.სლაიდი)

- ამიტომ, დღეს ვიმუშაოთ ნაყოფიერად, შევიძინოთ ცოდნის ახალი მარაგი და შეძენილ უნარებსა და შესაძლებლობებს გამოვიყენებთ შემდგომ ცხოვრებაში და პრაქტიკულ საქმიანობაში. "ყველაფერი შენს ხელშია".

II. ადრე ნასწავლი მასალის გამეორება.

მიმოვიხილოთ ადრე შესწავლილი მასალის ძირითადი პუნქტები. ამისათვის მოდით შევასრულოთ დავალება "წაშალე ზედმეტი სიტყვა."(სლაიდი.)

(სტუდენტი მიდის I.D.-ში საშლელის დახმარებით ამოიღებს დამატებით სიტყვას.)

- მართალია "დიფერენციალური". შეეცადეთ დაასახელოთ დარჩენილი სიტყვები ერთი საერთო სიტყვით. (ინტეგრალური გაანგარიშება.)

- გავიხსენოთ ძირითადი ეტაპები და ცნებები, რომლებიც დაკავშირებულია ინტეგრალურ გამოთვლებთან..

„მათემატიკური თაიგული“.

Ამოცანა. პასების აღდგენა. (მოსწავლე გამოდის და კალმით წერს საჭირო სიტყვებს.)

- ინტეგრალების გამოყენების შესახებ ანგარიშს მოგვიანებით მოვისმენთ.

რვეულებში მუშაობა.

– ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა შეიმუშავეს ინგლისელმა ფიზიკოსმა ისააკ ნიუტონმა (1643–1727) და გერმანელმა ფილოსოფოსმა გოტფრიდ ლაიბნიცმა (1646–1716). და ეს გასაკვირი არ არის, რადგან მათემატიკა არის ენა, რომელზეც თავად ბუნება საუბრობს.

– დაფიქრდით, როგორ გამოიყენება ეს ფორმულა პრაქტიკული ამოცანების ამოხსნისას.

მაგალითი 1: გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

ამოხსნა: ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები კოორდინატულ სიბრტყეზე . აირჩიეთ ფიგურის მოსაძებნი ფართობი.

III. ახალი მასალის სწავლა.

- ყურადღება მიაქციე ეკრანს. რა არის ნაჩვენები პირველ სურათზე? (სლაიდი) (ფიგურა გვიჩვენებს ბრტყელ ფიგურას.)

რა არის ნაჩვენები მეორე სურათზე? ეს ფიგურა ბრტყელია? (სლაიდი) (სურათზე ნაჩვენებია სამგანზომილებიანი ფიგურა.)

კოსმოსში, დედამიწაზე და შიგნით Ყოველდღიური ცხოვრებისჩვენ ვხვდებით არა მხოლოდ ბრტყელ ფიგურებს, არამედ სამგანზომილებიანს, მაგრამ როგორ გამოვთვალოთ ასეთი სხეულების მოცულობა? მაგალითად, პლანეტის, კომეტის, მეტეორიტის მოცულობა და ა.შ.

– იფიქრეთ სახლების მოცულობაზე და აშენებაზე და ერთი ჭურჭლიდან მეორეზე წყლის გადასხმაზე. მოცულობის გამოთვლის წესები და მეთოდები უნდა გაჩენილიყო, სხვა საქმეა, რამდენად ზუსტი და გამართლებული იყო.

სტუდენტის შეტყობინება. (ტიურინა ვერა.)

1612 წელი ძალიან ნაყოფიერი იყო ავსტრიის ქალაქ ლინცის მაცხოვრებლებისთვის, სადაც ცხოვრობდა მაშინდელი ცნობილი ასტრონომი იოჰანეს კეპლერი, განსაკუთრებით ყურძენისთვის. ხალხი ამზადებდა ღვინის კასრებს და სურდათ იცოდნენ, როგორ განესაზღვრათ მათი მოცულობა. (სლაიდი 2)

- ამგვარად, კეპლერის განხილულმა ნაშრომებმა აღინიშნა კვლევის მთელი ნაკადის დასაწყისი, რომელიც დასრულდა მე-17 საუკუნის ბოლო მეოთხედში. დიზაინი I. Newton-ისა და G.V.-ის ნამუშევრებში. ლაიბნიცის დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლა. ამ დროიდან მოყოლებული, მათემატიკური ცოდნის სისტემაში წამყვანი ადგილი დაიკავა სიდიდის ცვლადების მათემატიკამ.

- ასე რომ, დღეს ჩვენ ვიქნებით დაკავებულნი ასეთ პრაქტიკულ აქტივობებში, შესაბამისად,

ჩვენი გაკვეთილის თემა: "რევოლუციის ორგანოების მოცულობების გამოთვლა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით". (სლაიდი)

- თქვენ შეიტყობთ რევოლუციის ორგანოს განმარტებას შემდეგი დავალების შესრულებით.

"ლაბირინთი".

ლაბირინთი (ბერძნული სიტყვა) ნიშნავს დუნდულოში გადასვლას. ლაბირინთი არის ბილიკების, გადასასვლელების, ოთახების რთული ქსელი, რომლებიც ურთიერთობენ ერთმანეთთან.

მაგრამ განმარტება "ჩავარდა", იყო მინიშნებები ისრების სახით.

Ამოცანა. იპოვნეთ გამოსავალი დამაბნეველი სიტუაციიდან და ჩამოწერეთ განმარტება.

სლაიდი. "ინსტრუქციის ბარათი" ტომების გაანგარიშება.

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ სხეულის მოცულობა, კერძოდ, რევოლუციის სხეული.

ბრუნვის სხეული არის სხეული, რომელიც მიიღება მრუდი ტრაპეციის ბრუნვით მისი ფუძის გარშემო (ნახ. 1, 2).

რევოლუციის სხეულის მოცულობა გამოითვლება ერთ-ერთი ფორმულით:

1. x-ღერძის გარშემო.

2. , თუ მრუდი ტრაპეციის ბრუნვა y-ღერძის გარშემო.

თითოეული სტუდენტი იღებს ინსტრუქციის ბარათს. მასწავლებელი ხაზს უსვამს მთავარ საკითხებს.

მასწავლებელი ხსნის მაგალითების ამოხსნას დაფაზე.

განვიხილოთ ნაწყვეტი A.S. პუშკინის ცნობილი ზღაპრიდან "ზღაპარი ცარ სალტანზე, მისი დიდებული და ძლევამოსილი შვილის პრინცი გვიდონ სალტანოვიჩისა და მშვენიერი პრინცესა ლებედის შესახებ" (სლაიდი 4):

…..
და მოიყვანა მთვრალი მაცნე
იმავე დღეს შეკვეთაა:
”ცარი უბრძანებს თავის ბიჭებს,
დროის დაკარგვა,
და დედოფალი და შთამომავლობა
ფარულად ჩაგდებული წყლის უფსკრულში“.
არაფერია გასაკეთებელი: ბიჭები,
ხელმწიფის გამო გლოვობდა
და ახალგაზრდა დედოფალი
მის საძინებელში ბრბო მოვიდა.
გამოაცხადა სამეფო ანდერძი -
მას და მის შვილს ცუდი ბედი აქვთ,
წაიკითხეთ განკარგულება ხმამაღლა
და დედოფალი ამავე დროს
ჩემს შვილთან ერთად კასრში ჩამასვეს,
ილოცა, შემოვიდა
და მათ ოკიანში შემიშვეს -
ასე ბრძანა დე ცარ სალტანმა.

როგორი უნდა იყოს ლულის მოცულობა, რომ დედოფალი და მისი ვაჟი მოთავსდეს მასში?

- განიხილეთ შემდეგი ამოცანები

1. იპოვეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია ხაზებით შემოსაზღვრული მრუდი ტრაპეციის y ღერძის გარშემო: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

პასუხი: 1163 სმ 3 .

იპოვეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია პარაბოლური ტრაპეციის აბსცისის ღერძის გარშემო ბრუნვით y = , x = 4, y = 0.

IV. ახალი მასალის დაფიქსირება

მაგალითი 2. გამოთვალეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც წარმოიქმნება ფურცლის x-ღერძის გარშემო ბრუნვით y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

დავხატოთ ფუნქციის გრაფიკები. y=x2, y2=x. განრიგი y 2 = xფორმაში გადაქცევა წ= .

Ჩვენ გვაქვს V \u003d V 1 - V 2მოდით გამოვთვალოთ თითოეული ფუნქციის მოცულობა

- ახლა მოდით გადავხედოთ მოსკოვის რადიოსადგურის კოშკს შაბოლოვკაზე, რომელიც აშენდა მშვენიერი რუსი ინჟინრის, საპატიო აკადემიკოსის ვ.გ.შუხოვის პროექტის მიხედვით. იგი შედგება ნაწილებისგან - რევოლუციის ჰიპერბოლოიდები. უფრო მეტიც, თითოეული მათგანი დამზადებულია მიმდებარე წრეების დამაკავშირებელი სწორხაზოვანი ლითონის ღეროებისგან (ნახ. 8, 9).

- განიხილეთ პრობლემა.

იპოვეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია ჰიპერბოლის რკალების ბრუნვით მისი წარმოსახვითი ღერძის გარშემო, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 8, სადაც

კუბი ერთეულები

ჯგუფური დავალებები. მოსწავლეები დავალებებით აწყობენ წილს, ვატმენის ქაღალდზე კეთდება ნახატები, ჯგუფის ერთ-ერთი წარმომადგენელი იცავს ნამუშევარს.

1 ჯგუფი.

დაარტყი! დაარტყი! კიდევ ერთი დარტყმა!
ბურთი მიფრინავს ჭიშკარში - BALL!
და ეს არის საზამთროს ბურთი
მწვანე, მრგვალი, გემრიელი.
უკეთ გამოიყურე - რა ბურთია!
იგი შედგება წრეებისგან.
წრეებად დავჭრათ საზამთრო
და დააგემოვნეთ ისინი.

იპოვეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია შემოსაზღვრული ფუნქციის OX ღერძის გარშემო ბრუნვით

შეცდომა! სანიშნე არ არის განსაზღვრული.

- მითხარი, გთხოვ, სად ვხვდებით ამ ფიგურას?

სახლი. დავალება 1 ჯგუფისთვის. ცილინდრი (სლაიდი) .

"ცილინდრი - რა არის?" ვკითხე მამაჩემს.
მამას გაეცინა: ზედა ქუდი ქუდია.
სწორი წარმოდგენა რომ გქონდეს,
ცილინდრი, ვთქვათ, არის თუნუქის ქილა.
ორთქლის მილი არის ცილინდრი,
მილი ჩვენს სახურავზეც,

ყველა მილი ცილინდრის მსგავსია.
და მე მოვიყვანე ასეთი მაგალითი -
ჩემო საყვარელო კალეიდოსკოპი
თვალს ვერ მოაშორებ.
ის ასევე ცილინდრს ჰგავს.

- Ამოცანა. საშინაო დავალება ფუნქციის დახატვა და მოცულობის გამოთვლა.

მე-2 ჯგუფი. კონუსი (სლაიდი).

დედამ თქვა: ახლა კი
კონუსის შესახებ ჩემი ამბავი იქნება.
ვარსკვლავების შემხედვარე მაღალი ქუდით
ითვლის ვარსკვლავებს მთელი წლის განმავლობაში.
კონუსი - ვარსკვლავების ქუდი.
სწორედ ის არის. გასაგებია? Ის არის.
დედა მაგიდასთან იჯდა
მან ზეთი ჩაასხა ბოთლებში.
- სად არის ძაბრი? ძაბრის გარეშე.
შეხედე. არ დადგეთ გვერდით.
-დედა, ადგილიდან არ გადავალ.
მითხარი მეტი კონუსის შესახებ.
- ძაბრი სარწყავი კონუსის სახითაა.
მოდი, სწრაფად მიპოვე.
ძაბრი ვერ ვიპოვე
მაგრამ დედამ გააკეთა ჩანთა,
შემოიხვიეთ მუყაო თითზე
და ოსტატურად დამაგრებულია ქაღალდის სამაგრით.
ზეთი ასხამს, დედა ბედნიერია
კონუსი ზუსტად გამოვიდა.

Ამოცანა. გამოთვალეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია x-ღერძის გარშემო ბრუნვით

სახლი. დავალება მე-2 ჯგუფისთვის. პირამიდა(სლაიდი).

სურათი ვნახე. Ამ სურათზე
ქვიშიან უდაბნოში არის პირამიდა.
პირამიდაში ყველაფერი არაჩვეულებრივია,
მასში არის რაღაც საიდუმლო და საიდუმლო.
სპასკაიას კოშკი წითელ მოედანზე
ცნობილია როგორც ბავშვები, ასევე მოზრდილები.
შეხედეთ კოშკს - გარეგნულად ჩვეულებრივი,
რა არის მის თავზე? პირამიდა!

Ამოცანა.საშინაო დავალება დახაზეთ ფუნქცია და გამოთვალეთ პირამიდის მოცულობა

- ჩვენ გამოვთვალეთ სხვადასხვა სხეულების მოცულობა სხეულების მოცულობის ძირითადი ფორმულის საფუძველზე ინტეგრალის გამოყენებით.

ეს არის კიდევ ერთი დადასტურება იმისა, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის გარკვეული საფუძველი მათემატიკის შესწავლისთვის.

"ახლა მოდი დავისვენოთ."

იპოვე წყვილი.

მათემატიკური დომინოს მელოდია უკრავს.

”გზა, რომელსაც ის თავად ეძებდა, არასოდეს დაივიწყებს…”

Კვლევა. ინტეგრალის გამოყენება ეკონომიკასა და ტექნოლოგიაში.

ტესტები ძლიერი მოსწავლეებისთვის და მათემატიკური ფეხბურთი.

მათემატიკის სიმულატორი.

2. მოცემული ფუნქციის ყველა ანტიდერივატივის სიმრავლე ეწოდება

ა) განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ბ) ფუნქცია,

ბ) დიფერენციაცია.

7. იპოვეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია ხაზებით შემოსაზღვრული მრუდი ტრაპეციის აბსცისის ღერძის გარშემო:

დ/ზ. გამოთვალეთ რევოლუციის ორგანოების მოცულობა.

ანარეკლი.

ასახვის მიღება ფორმაში ახლობელი(ხუთი ხაზი).

1 სტრიქონი - თემის სახელი (ერთი არსებითი სახელი).

მე-2 სტრიქონი - თემის აღწერა მოკლედ, ორი ზედსართავი სახელი.

მე-3 სტრიქონი - ამ თემის ფარგლებში მოქმედების აღწერა სამი სიტყვით.

მე-4 სტრიქონი - ოთხსიტყვიანი ფრაზა, აჩვენებს დამოკიდებულებას თემისადმი (მთლიანი წინადადება).

მე-5 სტრიქონი არის სინონიმი, რომელიც იმეორებს თემის არსს.

1. მოცულობა.
2. განსაზღვრული ინტეგრალური, ინტეგრირებადი ფუნქცია.
3. ვაშენებთ, ვატრიალებთ, ვიანგარიშებთ.
4. მრუდი ტრაპეციის (მისი ფუძის გარშემო) ბრუნვით მიღებული სხეული.
5. რევოლუციის სხეული (3D გეომეტრიული სხეული).

გამომავალი (სლაიდი).

• განსაზღვრული ინტეგრალი არის ერთგვარი საფუძველი მათემატიკის შესწავლისთვის, რომელიც შეუცვლელი წვლილი შეაქვს პრაქტიკული შინაარსის ამოცანების გადაჭრაში.
• თემა „ინტეგრალი“ ნათლად აჩვენებს მათემატიკასა და ფიზიკას, ბიოლოგიას, ეკონომიკასა და ტექნოლოგიას შორის კავშირს.
• თანამედროვე მეცნიერების განვითარება წარმოუდგენელია ინტეგრალის გამოყენების გარეშე. ამასთან დაკავშირებით აუცილებელია მისი შესწავლა საშუალო სპეციალიზებული განათლების ფარგლებში!

შეფასება. (კომენტარით.)

დიდი ომარ ხაიამი მათემატიკოსი, პოეტი და ფილოსოფოსია. ის მოუწოდებს იყოთ მისი ბედის ბატონები. მოუსმინეთ ნაწყვეტს მისი ნაწარმოებიდან:

თქვენ ამბობთ, რომ ეს ცხოვრება მხოლოდ ერთი წამია.
დააფასეთ იგი, მიიღეთ შთაგონება მისგან.
როგორც დახარჯავ, ისე გაივლის.
არ დაგავიწყდეთ: ის თქვენი ქმნილებაა.