تحديد رقم باللوغاريتم الخاص به. خصائص اللوغاريتمات وأمثلة على حلولها. دليل شامل (2020). علم النفس وعلم الأحياء

الخصائص الرئيسية للوغاريتم ، الرسم البياني للوغاريتم ، مجال التعريف ، مجموعة القيم ، الصيغ الأساسية ، الزيادة والنقصان. يعتبر إيجاد مشتق اللوغاريتم. بالإضافة إلى توسع وتمثيل متسلسلة القوة المتكاملة عن طريق الأعداد المركبة.

محتوى

المجال ، مجموعة من القيم ، تصاعدي ، تنازلي

اللوغاريتم هو دالة رتيبة ، لذلك ليس له حدود قصوى. يتم عرض الخصائص الرئيسية للوغاريتم في الجدول.

اِختِصاص	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
مدى من القيم	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
روتيني	يزيد بشكل رتيب	ينخفض ​​بشكل رتيب
الأصفار ، ص = 0	س = 1	س = 1
نقاط التقاطع مع المحور y ، x = 0	لا	لا
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

القيم الخاصة

يسمى اللوغاريتم الأساسي 10 اللوغاريتم العشريويتم وضع علامة على هذا النحو:

اللوغاريتم الأساسي همُسَمًّى اللوغاريتم الطبيعي:

صيغ اللوغاريتم الأساسية

خصائص اللوغاريتم التالية من تعريف الدالة العكسية:

الخاصية الرئيسية للوغاريتمات وعواقبها

صيغة الاستبدال الأساسية

اللوغاريتم هو العملية الرياضية لأخذ اللوغاريتم. عند أخذ اللوغاريتم ، يتم تحويل منتجات العوامل إلى مبالغ من المصطلحات.
التقوية هي عملية حسابية معكوسة للوغاريتم. عند التقوية ، يتم رفع القاعدة المعينة إلى قوة التعبير الذي يتم تنفيذ التقوية عليه. في هذه الحالة ، يتم تحويل مبالغ المصطلحات إلى منتجات لعوامل.

دليل على الصيغ الأساسية للوغاريتمات

الصيغ المتعلقة باللوغاريتمات تتبع من الصيغ للدوال الأسية ومن تعريف الدالة العكسية.

ضع في اعتبارك خاصية الدالة الأسية
.
ثم
.
طبق خاصية الدالة الأسية
:
.

دعونا نثبت معادلة التغيير الأساسي.
;
.
ضبط c = b ، لدينا:

وظيفة عكسية

مقلوب القاعدة لوغاريتم هو الدالة الأسية مع الأس أ.

اذا ثم

اذا ثم

مشتق من اللوغاريتم

مشتق من اللوغاريتم modulo x:
.
مشتق من الترتيب التاسع:
.
اشتقاق الصيغ>>>

لإيجاد مشتق اللوغاريتم ، يجب اختزاله إلى الأساس ه.
;
.

أساسي

يتم حساب تكامل اللوغاريتم عن طريق التكامل بالأجزاء:.
لذا،

التعبيرات من حيث الأعداد المركبة

ضع في اعتبارك دالة العدد المركب ض:
.
دعونا نعبر عن عدد مركب ضعبر الوحدة صوالحجة φ :
.
ثم ، باستخدام خصائص اللوغاريتم ، لدينا:
.
أو

ومع ذلك ، فإن الحجة φ غير محدد بشكل واضح. إذا وضعنا
، حيث n هي عدد صحيح ،
ثم سيكون نفس الرقم لمختلف ن.

لذلك ، فإن اللوغاريتم ، كدالة لمتغير معقد ، ليس دالة ذات قيمة واحدة.

توسيع سلسلة الطاقة

ل ، يتم التوسع:

مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي ، لان ، 2009.

أنظر أيضا:

نواصل دراسة اللوغاريتمات. في هذا المقال سنتحدث عنه حساب اللوغاريتمات، هذه العملية تسمى اللوغاريتم. أولاً ، سنتعامل مع حساب اللوغاريتمات بالتعريف. بعد ذلك ، فكر في كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات باستخدام خصائصها. بعد ذلك ، سوف نتعمق في حساب اللوغاريتمات من خلال القيم المعطاة في البداية للوغاريتمات الأخرى. أخيرًا ، دعنا نتعلم كيفية استخدام جداول اللوغاريتمات. يتم تزويد النظرية بأكملها بأمثلة مع حلول مفصلة.

التنقل في الصفحة.

حساب اللوغاريتمات بالتعريف

في أبسط الحالات ، من الممكن الأداء بسرعة وسهولة إيجاد اللوغاريتم بالتعريف. دعونا نلقي نظرة فاحصة على كيفية حدوث هذه العملية.

جوهرها هو تمثيل الرقم ب في الشكل أ ج ، ومن هنا ، من خلال تعريف اللوغاريتم ، فإن الرقم ج هو قيمة اللوغاريتم. وهذا يعني ، بحكم التعريف ، أن إيجاد اللوغاريتم يتوافق مع سلسلة المساواة التالية: log a b = log a a c = c.

لذلك ، فإن حساب اللوغاريتم ، بالتعريف ، ينخفض ​​إلى إيجاد مثل هذا الرقم c الذي هو c \ u003d b ، والرقم c نفسه هو القيمة المطلوبة للوغاريتم.

بالنظر إلى المعلومات الواردة في الفقرات السابقة ، عندما يتم إعطاء الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم بدرجة معينة من أساس اللوغاريتم ، يمكنك على الفور الإشارة إلى ما يساوي اللوغاريتم - فهو يساوي الأس. دعنا نعرض الأمثلة.

مثال.

أوجد اللوغاريتم 2 2 −3 واحسب أيضًا اللوغاريتم الطبيعي لـ e 5.3.

حل.

يتيح لنا تعريف اللوغاريتم أن نقول على الفور أن log 2 2 −3 = −3. في الواقع ، الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم يساوي الأساس 2 أس −3.

وبالمثل ، نجد اللوغاريتم الثاني: lne 5.3 = 5.3.

إجابة:

سجل 2 2 −3 = 3 و lne 5.3 = 5.3.

إذا لم يتم إعطاء الرقم ب الموجود أسفل علامة اللوغاريتم كقوة أساس اللوغاريتم ، فأنت بحاجة إلى التفكير بعناية فيما إذا كان من الممكن التوصل إلى تمثيل للرقم ب في الشكل أ ج. غالبًا ما يكون هذا التمثيل واضحًا تمامًا ، خاصةً عندما يكون الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم مساويًا للأساس لقوة 1 أو 2 أو 3 ، ...

مثال.

احسب اللوغاريتمات log 5 25 و.

حل.

من السهل أن ترى أن 25 = 5 2 ، وهذا يسمح لك بحساب اللوغاريتم الأول: log 5 25 = log 5 5 2 = 2.

ننتقل إلى حساب اللوغاريتم الثاني. يمكن تمثيل الرقم كقوة لـ 7: (انظر إذا لزم الأمر). لذلك، .

دعونا نعيد كتابة اللوغاريتم الثالث بالشكل التالي. الآن يمكنك رؤية ذلك ، ومن أين نستنتج ذلك . لذلك ، من خلال تعريف اللوغاريتم .

باختصار ، يمكن كتابة الحل على النحو التالي:

إجابة:

سجل 5 25 = 2 ، و .

عندما يكون عدد طبيعي كبير بدرجة كافية تحت علامة اللوغاريتم ، فلا يضر تحليله إلى عوامل أولية. غالبًا ما يساعد في تمثيل مثل هذا الرقم مثل بعض قوة أساس اللوغاريتم ، وبالتالي ، حساب هذا اللوغاريتم بالتعريف.

مثال.

أوجد قيمة اللوغاريتم.

حل.

تسمح لك بعض خصائص اللوغاريتمات بتحديد قيمة اللوغاريتمات على الفور. تتضمن هذه الخصائص خاصية لوغاريتم واحد وخاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس: log 1 1 = log a 0 = 0 and log a a = log a 1 = 1. أي عندما يكون الرقم 1 أو الرقم أ تحت علامة اللوغاريتم ، يساوي أساس اللوغاريتم ، ففي هذه الحالات يكون اللوغاريتمات 0 و 1 على التوالي.

مثال.

ما هي اللوغاريتمات و lg10؟

حل.

منذ ذلك الحين ، فإنه يتبع من تعريف اللوغاريتم .

في المثال الثاني ، يتطابق الرقم 10 الموجود أسفل علامة اللوغاريتم مع قاعدته ، لذا فإن اللوغاريتم العشري للعشرة يساوي واحدًا ، أي lg10 = lg10 1 = 1.

إجابة:

و lg10 = 1.

لاحظ أن اللوغاريتمات الحاسوبية بالتعريف (التي ناقشناها في الفقرة السابقة) تعني استخدام سجل المساواة أ ع = ص ، وهي إحدى خصائص اللوغاريتمات.

من الناحية العملية ، عندما يتم تمثيل الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم وقاعدة اللوغاريتم بسهولة كقوة لعدد ما ، فمن الملائم جدًا استخدام الصيغة ، والذي يتوافق مع إحدى خصائص اللوغاريتمات. ضع في اعتبارك مثالًا لإيجاد اللوغاريتم ، يوضح استخدام هذه الصيغة.

مثال.

احسب لوغاريتم.

حل.

إجابة:

.

يتم استخدام خصائص اللوغاريتمات غير المذكورة أعلاه في الحساب أيضًا ، لكننا سنتحدث عن ذلك في الفقرات التالية.

إيجاد اللوغاريتمات من حيث اللوغاريتمات الأخرى المعروفة

تستمر المعلومات الواردة في هذه الفقرة في موضوع استخدام خصائص اللوغاريتمات في حسابها. لكن الاختلاف الرئيسي هنا هو أن خصائص اللوغاريتمات تُستخدم للتعبير عن اللوغاريتم الأصلي من حيث لوغاريتم آخر ، تُعرف قيمته. لنأخذ مثالا للتوضيح. لنفترض أننا نعلم أن log 2 3≈1.584963 ، فيمكننا إيجاد ، على سبيل المثال ، log 2 6 بإجراء تحويل بسيط باستخدام خصائص اللوغاريتم: سجل 2 6 = سجل 2 (2 3) = سجل 2 2 + سجل 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

في المثال أعلاه ، كان يكفي لنا استخدام خاصية لوغاريتم المنتج. ومع ذلك ، غالبًا ما يتعين عليك استخدام ترسانة أكبر من خصائص اللوغاريتمات من أجل حساب اللوغاريتم الأصلي من حيث اللوغاريتمات المعطاة.

مثال.

احسب لوغاريتم 27 إلى الأساس 60 إذا كان معروفًا أن log 60 2 = a و log 60 5 = b.

حل.

إذن علينا إيجاد log 60 27. من السهل أن نرى أن 27 = 3 3 ، واللوغاريتم الأصلي ، بسبب خاصية لوغاريتم الدرجة ، يمكن إعادة كتابته على النحو 3 · log 60 3.

لنرى الآن كيف يمكن التعبير عن log 60 3 بدلالة اللوغاريتمات المعروفة. تتيح لك خاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس كتابة سجل المساواة 60 60 = 1. من ناحية أخرى ، log 60 60 = log60 (2 2 3 5) = سجل 60 2 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5 = 2 سجل 60 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5. هكذا، 2 سجل 60 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5 = 1. لذلك، السجل 60 3 = 1−2 السجل 60 2 − السجل 60 5 = 1−2 أ − ب.

أخيرًا ، نحسب اللوغاريتم الأصلي: log 60 27 = 3 log 60 3 = 3 (1−2 أ − ب) = 3−6 أ − 3 ب.

إجابة:

سجل 60 27 = 3 (1−2 أ − ب) = 3−6 أ − 3 ب.

بشكل منفصل ، تجدر الإشارة إلى معنى صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة لوغاريتم النموذج . يسمح لك بالانتقال من اللوغاريتمات مع أي قاعدة إلى لوغاريتمات ذات قاعدة محددة ، وقيمها معروفة أو من الممكن العثور عليها. عادةً ، من اللوغاريتم الأصلي ، وفقًا لصيغة الانتقال ، يتحولون إلى اللوغاريتمات في إحدى القواعد 2 أو e أو 10 ، نظرًا لأن هناك جداول من اللوغاريتمات لهذه القواعد تسمح بحسابها بدرجة معينة من الدقة. في القسم التالي ، سوف نوضح كيف يتم ذلك.

جداول اللوغاريتمات واستخدامها

لحساب تقريبي لقيم اللوغاريتمات ، يمكن للمرء استخدام جداول اللوغاريتم. الأكثر استخدامًا هو جدول اللوغاريتم الأساسي 2 وجدول اللوغاريتم الطبيعي وجدول اللوغاريتم العشري. عند العمل في نظام الأرقام العشري ، من الملائم استخدام جدول اللوغاريتمات للأساس عشرة. بمساعدتها ، سوف نتعلم كيفية إيجاد قيم اللوغاريتمات.

يسمح الجدول المقدم ، بدقة تبلغ واحدًا على عشرة آلاف ، بإيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام من 1.000 إلى 9.999 (بثلاثة منازل عشرية). سنقوم بتحليل مبدأ إيجاد قيمة اللوغاريتم باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية باستخدام مثال محدد - إنه أوضح. لنجد lg1،256.

في العمود الأيسر من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد أول رقمين من الرقم 1.256 ، أي نجد 1.2 (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأزرق للتوضيح). الرقم الثالث من الرقم 1.256 (الرقم 5) موجود في السطر الأول أو الأخير على يسار الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأحمر). الرقم الرابع من الرقم الأصلي 1.256 (الرقم 6) موجود في السطر الأول أو الأخير على يمين الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأخضر). الآن نجد الأرقام في خلايا جدول اللوغاريتمات عند تقاطع الصف المحدد والأعمدة المميزة (يتم تمييز هذه الأرقام باللون البرتقالي). يعطي مجموع الأرقام المميزة القيمة المرغوبة للوغاريتم العشري حتى المكان العشري الرابع ، أي ، السجل 1.236≈0.0969 + 0.0021 = 0.0990.

هل من الممكن ، باستخدام الجدول أعلاه ، إيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام التي تحتوي على أكثر من ثلاثة أرقام بعد الفاصلة العشرية ، وكذلك تجاوز الحدود من 1 إلى 9.999؟ نعم تستطيع. دعنا نوضح كيف يتم ذلك بمثال.

لنحسب lg102.76332. أولا تحتاج إلى الكتابة الرقم في الشكل القياسي: 102.76332 = 1.0276332 10 2. بعد ذلك ، يجب تقريب الجزء العشري لأقرب منزلة عشرية ثالثة ، لدينا 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، في حين أن اللوغاريتم العشري الأصلي يساوي تقريبًا لوغاريتم الرقم الناتج ، أي أننا نأخذ lg102.76332≈lg1.028 · 10 2. الآن قم بتطبيق خصائص اللوغاريتم: lg1.028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2. أخيرًا ، نجد قيمة اللوغاريتم lg1.028 وفقًا لجدول اللوغاريتمات العشرية lg1.028≈0.0086 + 0.0034 = 0.012. نتيجة لذلك ، تبدو عملية حساب اللوغاريتم بالكامل كما يلي: lg102.76332 = lg1.0276332 10 2 ميكرو جرام 1.028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2≈0.012 + 2 = 2.012.

في الختام ، تجدر الإشارة إلى أنه باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية ، يمكنك حساب القيمة التقريبية لأي لوغاريتم. للقيام بذلك ، يكفي استخدام صيغة الانتقال للانتقال إلى اللوغاريتمات العشرية ، والعثور على قيمها في الجدول ، وإجراء العمليات الحسابية المتبقية.

على سبيل المثال ، لنحسب السجل 2 3. وفقًا لصيغة الانتقال إلى أساس جديد للوغاريتم ، لدينا. من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد lg3≈0.4771 و lg2≈0.3010. هكذا، .

فهرس.

• كولموغوروف إيه إن ، أبراموف إيه إم ، دودنيتسين يو. الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 من مؤسسات التعليم العام.
• Gusev V.A.، Mordkovich A.G. الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية).

ما هو اللوغاريتم؟

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

ما هو اللوغاريتم؟ كيف تحل اللوغاريتمات؟ هذه الأسئلة تحير الكثير من الخريجين. تقليديا ، يعتبر موضوع اللوغاريتمات معقدًا وغير مفهوم ومخيف. خاصة - المعادلات مع اللوغاريتمات.

هذا ليس صحيحا على الاطلاق. قطعاً! لا تصدق؟ بخير. الآن ، لمدة تتراوح من 10 إلى 20 دقيقة ، أنت:

1. فهم ما هو اللوغاريتم.

2. تعلم كيفية حل فئة كاملة من المعادلات الأسية. حتى لو لم تسمع بهم.

3. تعلم كيفية حساب اللوغاريتمات البسيطة.

علاوة على ذلك ، لهذا ستحتاج فقط إلى معرفة جدول الضرب ، وكيف يتم رفع الرقم إلى أس ...

أشعر أنك تشك ... حسنًا ، حافظ على الوقت! يذهب!

أولاً ، حل المعادلة التالية في ذهنك:

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

مع تطور المجتمع ، تعقيد الإنتاج ، تطورت الرياضيات أيضًا. الحركة من البسيط إلى المعقد. من طريقة المحاسبة المعتادة للجمع والطرح ، مع تكرارهم المتكرر ، توصلوا إلى مفهوم الضرب والقسمة. أصبح الحد من عملية المضاعفة المتكررة مفهوم الأس. تم تجميع الجداول الأولى لاعتماد الأرقام على القاعدة وعدد الأس في القرن الثامن من قبل عالم الرياضيات الهندي فاراسينا. من بينها ، يمكنك حساب وقت حدوث اللوغاريتمات.

مخطط تاريخي

حفز إحياء أوروبا في القرن السادس عشر أيضًا تطور الميكانيكا. تي يتطلب قدرًا كبيرًا من الحسابالمتعلقة بضرب وقسمة الأعداد متعددة الأرقام. كانت الطاولات القديمة خدمة رائعة. لقد جعلوا من الممكن استبدال العمليات المعقدة بعمليات أبسط - الجمع والطرح. تمثلت خطوة كبيرة إلى الأمام في عمل عالم الرياضيات مايكل ستيفل ، الذي نُشر عام 1544 ، والذي أدرك فيه فكرة العديد من علماء الرياضيات. هذا جعل من الممكن استخدام الجداول ليس فقط للدرجات في شكل أعداد أولية ، ولكن أيضًا للأرقام المنطقية التعسفية.

في عام 1614 ، قام الاسكتلندي جون نابير ، بتطوير هذه الأفكار ، بتقديم المصطلح الجديد "لوغاريتم الرقم". تم تجميع جداول معقدة جديدة لحساب لوغاريتمات الجيب وجيب التمام ، وكذلك الظلال. هذا قلل بشكل كبير من عمل علماء الفلك.

بدأت الجداول الجديدة في الظهور ، والتي استخدمها العلماء بنجاح لمدة ثلاثة قرون. مر الكثير من الوقت قبل أن تكتسب العملية الجديدة في الجبر شكلها النهائي. تم تحديد اللوغاريتم ودراسة خصائصه.

فقط في القرن العشرين ، مع ظهور الآلة الحاسبة والكمبيوتر ، تخلت البشرية عن الجداول القديمة التي كانت تعمل بنجاح طوال القرن الثالث عشر.

اليوم نسمي لوغاريتم b لأساس الرقم x ، وهو قوة a ، لنحصل على الرقم b. تتم كتابة هذا كصيغة: x = log a (b).

على سبيل المثال ، سجل 3 (9) سيساوي 2. وهذا واضح إذا اتبعت التعريف. إذا رفعنا 3 أس 2 ، فسنحصل على 9.

وبالتالي ، فإن التعريف المصوغ يضع قيدًا واحدًا فقط ، يجب أن يكون الرقمان أ و ب حقيقيين.

أنواع اللوغاريتمات

يُطلق على التعريف الكلاسيكي اللوغاريتم الحقيقي وهو في الواقع حل للمعادلة أ س = ب. الخيار a = 1 هو حد فاصل ولا يهم. ملاحظة: 1 إلى أي قوة هي 1.

القيمة الحقيقية للوغاريتميتم تعريفها فقط إذا كانت القاعدة والوسيطة أكبر من 0 ، ويجب ألا تكون الأساس مساوية لـ 1.

مكانة خاصة في مجال الرياضياتلعب اللوغاريتمات ، والتي سيتم تسميتها بناءً على قيمة قاعدتها:

القواعد والقيود

الخاصية الأساسية للوغاريتمات هي القاعدة: لوغاريتم المنتج يساوي المجموع اللوغاريتمي. سجل أب = سجل أ (ب) + سجل أ (ع).

كمتغير لهذا البيان ، سيكون: السجل ج (ب / ع) \ u003d السجل ج (ب) - السجل ج (ع) ، وظيفة حاصل القسمة تساوي فرق الوظائف.

من السهل أن نرى من القاعدتين السابقتين أن: log a (b p) = p * log a (b).

تشمل الخصائص الأخرى ما يلي:

تعليق. لا ترتكب خطأ شائعًا - لوغاريتم المجموع لا يساوي مجموع اللوغاريتمات.

لقرون عديدة ، كانت عملية إيجاد اللوغاريتم مهمة تستغرق وقتًا طويلاً. استخدم علماء الرياضيات الصيغة المعروفة للنظرية اللوغاريتمية للتوسع في كثير الحدود:

ln (1 + x) = x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 + ... + ((-1) ^ (n + 1)) * ((x ^ n) / n) ، حيث n هو رقم طبيعي أكبر من 1 ، والذي يحدد دقة الحساب.

تم حساب اللوغاريتمات ذات القواعد الأخرى باستخدام نظرية الانتقال من قاعدة إلى أخرى وخاصية لوغاريتم المنتج.

لأن هذه الطريقة شاقة للغاية و عند حل المشكلات العمليةصعب التنفيذ ، فقد استخدموا جداول اللوغاريتمات المجمعة مسبقًا ، مما أدى إلى تسريع العمل بأكمله بشكل كبير.

في بعض الحالات ، تم استخدام الرسوم البيانية التي تم تجميعها خصيصًا للوغاريتمات ، مما أعطى دقة أقل ، ولكنه أدى إلى تسريع البحث عن القيمة المطلوبة بشكل كبير. منحنى الدالة y = log a (x) ، المبني على عدة نقاط ، يسمح باستخدام المسطرة المعتادة للعثور على قيم الوظيفة في أي نقطة أخرى. لفترة طويلة ، استخدم المهندسون ما يسمى بورق الرسم البياني لهذه الأغراض.

في القرن السابع عشر ، ظهرت أولى ظروف الحوسبة التناظرية المساعدة ، والتي اكتسبت شكلاً كاملاً بحلول القرن التاسع عشر. كان الجهاز الأكثر نجاحًا يسمى قاعدة الشريحة. على الرغم من بساطة الجهاز ، إلا أن مظهره أدى إلى تسريع عملية جميع الحسابات الهندسية بشكل كبير ، ومن الصعب المبالغة في تقدير ذلك. في الوقت الحالي ، قلة من الناس على دراية بهذا الجهاز.

جعل ظهور الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر من العبث استخدام أي أجهزة أخرى.

المعادلات وعدم المساواة

تُستخدم الصيغ التالية لحل المعادلات والمتباينات المختلفة باستخدام اللوغاريتمات:

• الانتقال من قاعدة إلى أخرى: log a (b) = log c (b) / log c (a) ؛
• كنتيجة للإصدار السابق: سجل أ (ب) = 1 / سجل ب (أ).

لحل عدم المساواة ، من المفيد معرفة:

• ستكون قيمة اللوغاريتم موجبة فقط إذا كان كل من الأساس والوسيطة أكبر من أو أقل من واحد ؛ إذا تم انتهاك شرط واحد على الأقل ، فستكون قيمة اللوغاريتم سالبة.
• إذا تم تطبيق دالة اللوغاريتم على الجانبين الأيمن والأيسر من المتباينة ، وكانت قاعدة اللوغاريتم أكبر من واحد ، فسيتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة ؛ خلاف ذلك ، يتغير.

أمثلة المهام

ضع في اعتبارك عدة خيارات لاستخدام اللوغاريتمات وخصائصها. أمثلة لحل المعادلات:

ضع في اعتبارك خيار وضع اللوغاريتم في الدرجة:

• المهمة 3. احسب 25 ^ سجل 5 (3). الحل: في ظروف المشكلة ، يكون التدوين مشابهًا لما يلي (5 ^ 2) ^ log5 (3) أو 5 ^ (2 * log 5 (3)). دعنا نكتبها بشكل مختلف: 5 ^ log 5 (3 * 2) ، أو يمكن كتابة مربع الرقم كوسيطة دالة كمربع للدالة نفسها (5 ^ log 5 (3)) ^ 2. باستخدام خصائص اللوغاريتمات ، يكون هذا التعبير 3 ^ 2. الجواب: نتيجة الحساب نحصل على 9.

الاستخدام العملي

لكونه أداة رياضية بحتة ، يبدو بعيدًا عن الحياة الواقعية أن اللوغاريتم أصبح فجأة ذا أهمية كبيرة في وصف الأشياء في العالم الحقيقي. من الصعب العثور على علم لا يستخدم فيه. هذا لا ينطبق فقط على مجالات المعرفة الطبيعية ، ولكن أيضًا على مجالات المعرفة الإنسانية.

التبعيات اللوغاريتمية

فيما يلي بعض الأمثلة على التبعيات العددية:

الميكانيكا والفيزياء

تاريخيًا ، تطورت الميكانيكا والفيزياء دائمًا باستخدام طرق البحث الرياضية وفي الوقت نفسه كانت بمثابة حافز لتطوير الرياضيات ، بما في ذلك اللوغاريتمات. معظم قوانين الفيزياء مكتوبة بلغة الرياضيات. نعطي مثالين فقط لوصف القوانين الفيزيائية باستخدام اللوغاريتم.

من الممكن حل مشكلة حساب كمية معقدة مثل سرعة الصاروخ باستخدام صيغة Tsiolkovsky ، التي أرست الأساس لنظرية استكشاف الفضاء:

V = I * ln (M1 / M2) ، أين

• V هي السرعة النهائية للطائرة.
• أنا هو الدافع المحدد للمحرك.
• M 1 هي الكتلة الأولية للصاروخ.
• م 2 - الكتلة النهائية.

مثال آخر مهم- هذا هو الاستخدام في صيغة عالم عظيم آخر ، ماكس بلانك ، والذي يعمل على تقييم حالة التوازن في الديناميكا الحرارية.

S = k * ln () ، أين

• S هي خاصية ديناميكية حرارية.
• k هو ثابت بولتزمان.
• Ω هو الوزن الإحصائي للحالات المختلفة.

كيمياء

أقل وضوحًا هو استخدام الصيغ في الكيمياء التي تحتوي على نسبة اللوغاريتمات. هنا مثالان فقط:

• معادلة نرنست ، حالة إمكانات الأكسدة والاختزال للوسط فيما يتعلق بنشاط المواد وثابت التوازن.
• كما أن حساب الثوابت مثل مؤشر التحلل الذاتي وحموضة المحلول لا يكتمل بدون وظيفتنا.

علم النفس وعلم الأحياء

ومن غير المفهوم تمامًا ما علاقة علم النفس به. اتضح أن قوة الإحساس موصوفة جيدًا بواسطة هذه الوظيفة على أنها النسبة العكسية لقيمة شدة التحفيز إلى قيمة الشدة الأقل.

بعد الأمثلة المذكورة أعلاه ، لم يعد من المستغرب أن يتم استخدام موضوع اللوغاريتمات أيضًا على نطاق واسع في علم الأحياء. يمكن كتابة مجلدات كاملة عن الأشكال البيولوجية المقابلة للحلزونات اللوغاريتمية.

مناطق أخرى

يبدو أن وجود العالم مستحيل دون الارتباط بهذه الوظيفة ، وهو يحكم جميع القوانين. خاصة عندما ترتبط قوانين الطبيعة بتقدم هندسي. يجدر الإشارة إلى موقع MatProfi ، وهناك العديد من الأمثلة في مجالات النشاط التالية:

يمكن أن تكون القائمة لا نهاية لها. بعد أن أتقنت القوانين الأساسية لهذه الوظيفة ، يمكنك الانغماس في عالم الحكمة اللانهائية.

اللوغاريتم رقم موجب، عدد إيجابي N للقاعدة(ب> 0, ب 1 ) يسمى الأس x ، التي تحتاج إلى رفعهاب للحصول على N. .

تدوين اللوغاريتم:

هذا الإدخال يعادل ما يلي:ب س = ن .

أمثلة: سجل 3 81 = 4 ، منذ 3 4 = 81 ؛

سجل 1/3 27 = – 3 ، منذ (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

يمكن كتابة التعريف أعلاه للوغاريتم كهوية:

الخصائص الأساسية للوغاريتمات.

1) سجل ب= 1 , لأن ب 1 = ب.

ب

2) تسجيل الدخول 1 = 0 , لأن ب 0 = 1 .

ب

3) يساوي لوغاريتم المنتج مجموع لوغاريتمات العوامل:

سجل( أب) = تسجيل الدخول أ+ سجل ب.

4) لوغاريتم حاصل القسمة يساوي الفرق بين لوغاريتمات المقسوم والمقسوم عليه:

سجل( أ/ب) = تسجيل الدخول أ-سجل ب.

5) لوغاريتم الدرجة يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم قاعدته:

سجل (ب ك ) = كسجل ب.

نتيجة هذه الخاصية هي ما يلي:جذر السجل يساوي لوغاريتم رقم الجذر مقسومًا على قوة الجذر:

6) إذا كانت قاعدة اللوغاريتم درجة ، فإن القيمة يمكن إخراج مقلوب الأس من علامة السجلقافية:

يمكن دمج خاصيتين أخيرتين في خاصية واحدة:

7) صيغة معامل الانتقال (أي.ه . الانتقال من قاعدة واحدةلوغاريتم لقاعدة أخرى):

في حالة معينة ، متى N = ألدينا:

اللوغاريتم العشري مُسَمًّى اللوغاريتم الأساسي 10. تم تعيينه lg ، أي سجل 10 ن = إل جي ن. لوغاريتمات الأعداد 10 ، 100 ، 1000 ، ...ص هي على التوالي 1 ، 2 ، 3 ، ... ،أولئك. لديها الكثير من الإيجابية

الوحدات ، كم عدد الأصفار في رقم اللوغاريتم بعد واحد. لوغاريتمات الأرقام 0.1 ، 0.01 ، 0.001 ، ...ص avny على التوالي –1 ، –2, –3 ، ... ، أي لديها العديد من الآحاد السالبة حيث توجد أصفار في رقم اللوغاريتم قبل الواحد ( العد والصفر صحيح). اللوغاريتمات أرقام أخرى لها جزء كسري يسمى العشري. جميعيسمى جزء من اللوغاريتم صفة مميزة. لعملياللوغاريتمات العشرية هي الأكثر ملاءمة.

اللوغاريتم الطبيعي مُسَمًّى اللوغاريتم الأساسي ه. يشار إليه ln ، أي سجل هن = ln ن. رقم هغير منطقي ،القيمة التقريبية 2.718281828.هو - هي هو الحد الذي يتجه نحوه الرقم(1 + 1 / ن) ن مع زيادة غير محدودةن(سم. أول حد رائع ).
قد يبدو غريبًا ، فقد تبين أن اللوغاريتمات الطبيعية مريحة للغاية عند تنفيذ عمليات مختلفة متعلقة بتحليل الوظائف.حساب اللوغاريتمات الأساسيةهأسرع بكثير من أي أساس آخر.