Exempel på vissa och omöjliga händelser. Kom på två pålitliga, slumpmässiga och omöjliga händelser. Lite information från kombinatorik
En händelse är resultatet av ett test. Vad är en händelse? En kula dras slumpmässigt från urnan. Att ta bort en boll från en urna är ett test. Utseendet på en boll av en viss färg är en händelse. I sannolikhetsteorin förstås en händelse som något som man efter ett visst ögonblick kan säga en och bara en av de två om. Ja, det hände. Nej, det hände inte. Det möjliga resultatet av ett experiment kallas en elementär händelse, och uppsättningen av sådana utfall kallas helt enkelt en händelse.
Oförutsägbara händelser kallas slumpmässiga. En händelse kallas slumpmässig om den, under samma förhållanden, kan inträffa eller inte. Att kasta en tärning kommer att resultera i en sexa. Jag har en lott. Efter publiceringen av resultatet av lotteridragningen inträffar eller inte inträffar händelsen som intresserar mig - att vinna tusen rubel. Exempel.
Två händelser som under givna förhållanden kan inträffa samtidigt kallas gemensamma och de som inte kan inträffa samtidigt kallas inkompatibla. Ett mynt kastas. Utseendet på "vapnet" utesluter utseendet på inskriptionen. Händelserna "ett vapen dök upp" och "en inskription dök upp" är oförenliga. Exempel.
En händelse som alltid inträffar kallas säker. En händelse som inte kan hända kallas omöjlig. Anta till exempel att en kula dras från en urna som bara innehåller svarta kulor. Då är utseendet på en svart boll en viss händelse; utseendet på en vit boll är en omöjlig händelse. Exempel. Det kommer inte snöa nästa år. När du slår en tärning kommer en sjua upp. Det här är omöjliga händelser. Snö kommer att falla nästa år. Att kasta tärningen kommer att resultera i ett nummer mindre än sju. Daglig soluppgång. Det här är verkliga händelser.
Problemlösning För var och en av de beskrivna händelserna, bestäm vad det är: omöjligt, säkert eller slumpmässigt. 1. Av de 25 eleverna i klassen firar två sin födelsedag a) 30 januari; b) 30 februari. 2. En litteraturlärobok öppnas slumpmässigt och det andra ordet finns på vänster sida. Detta ord börjar: a) med bokstaven "K"; b) med bokstaven "b".
3. Idag i Sochi visar barometern normalt atmosfärstryck. I detta fall: a) vattnet i pannan kokat vid en temperatur av 80º C; b) när temperaturen sjönk till -5º C frös vattnet i pölen. 4. Kasta två tärningar: a) 3 poäng på den första tärningen och 5 poäng på den andra; b) summan av poängen på de två tärningarna är lika med 1; c) summan av poängen som kastas på de två tärningarna är 13; d) 3 poäng på båda tärningarna; e) summan av poäng på två tärningar är mindre än 15. Problemlösning
5. Du öppnade boken på valfri sida och läste det första substantivet du stötte på. Det visade sig att: a) det finns en vokal i stavningen av det valda ordet; b) i stavningen av det valda ordet finns en bokstav "O"; c) det finns inga vokaler i stavningen av det valda ordet; d) det finns ett mjukt tecken i stavningen av det valda ordet. Problemlösning
Sannolikhetsteori, som alla grenar inom matematiken, arbetar med ett visst antal begrepp. De flesta av begreppen sannolikhetsteorin är definierade, men vissa tas som primära, inte definierade, som i geometrin en punkt, en linje, ett plan. Det primära begreppet sannolikhetsteori är en händelse. En händelse är något som, efter en viss tidpunkt, en och endast en av de två kan sägas:
- · Ja, det hände.
- · Nej, det hände inte.
Jag har till exempel en lott. Efter publiceringen av resultatet av lotteridragningen inträffar den händelse som intresserar mig - att vinna tusen rubel antingen eller inträffar inte. Varje händelse inträffar som ett resultat av ett test (eller erfarenhet). Under testet (eller erfarenheten) förstå de förhållanden som ett resultat av vilka en händelse inträffar. Att kasta ett mynt är till exempel ett test, och utseendet av ett "vapen" på det är en händelse. Händelsen betecknas vanligtvis med stora latinska bokstäver: A, B, C, .... Händelser i den materiella världen kan delas in i tre kategorier - säkra, omöjliga och slumpmässiga.
En viss händelse är en som man i förväg vet inträffar. Det betecknas med bokstaven W. Således är inte mer än sex poäng tillförlitliga när man kastar en vanlig tärning, utseendet på en vit boll när den dras från en urna som bara innehåller vita bollar, etc.
En omöjlig händelse är en händelse som är känt på förhand att den inte kommer att hända. Det betecknas med bokstaven E. Exempel på omöjliga händelser är att dra fler än fyra ess från en vanlig kortlek, utseendet på en röd boll från en urna som bara innehåller vita och svarta kulor, etc.
En slumpmässig händelse är en händelse som kan eller inte kan inträffa som ett resultat av ett test. Händelser A och B kallas inkompatibla om förekomsten av en av dem utesluter möjligheten att den andra inträffar. Så uppkomsten av ett eventuellt antal poäng när man kastar en tärning (händelse A) är oförenlig med utseendet på ett annat nummer (händelse B). Att rulla ett jämnt antal poäng är oförenligt med att rulla ett udda nummer. Omvänt kommer ett jämnt antal poäng (händelse A) och ett antal poäng som är delbart med tre (händelse B) inte att vara oförenliga, eftersom förlusten av sex poäng innebär förekomsten av både händelse A och händelse B, så förekomsten av en av dem utesluter inte förekomsten av den andra. Operationer kan utföras på händelser. Unionen av två händelser C=AUB är en händelse C som inträffar om och endast om åtminstone en av dessa händelser A och B inträffar. Skärningen av två händelser D=A?? B är en händelse som inträffar om och endast om både händelse A och B inträffar.
De händelser (fenomen) som vi observerar kan delas in i följande tre typer: tillförlitliga, omöjliga och slumpmässiga.
trovärdig kalla en händelse som definitivt kommer att inträffa om en viss uppsättning villkor S implementeras. Till exempel, om ett kärl innehåller vatten vid normalt atmosfärstryck och en temperatur på 20 °, då händelsen "vattnet i kärlet är i flytande tillstånd ” är säker. I det här exemplet utgör det specificerade atmosfärstrycket och vattentemperaturen uppsättningen villkor S.
Omöjlig anropa en händelse som säkerligen inte kommer att inträffa om uppsättningen villkor S implementeras. Till exempel kommer händelsen "vatten i fartyget är i fast tillstånd" säkerligen inte att inträffa om uppsättningen av villkor i föregående exempel implementeras.
Slumpmässig En händelse kallas en händelse som, under implementeringen av en uppsättning villkor S, antingen kan inträffa eller inte inträffa. Till exempel, om ett mynt kastas, kan det falla så att antingen ett vapen eller en inskription ligger ovanpå. Därför är händelsen "när man kastar ett mynt, ett "vapen" slumpmässigt ut. Varje slumpmässig händelse, i synnerhet fallet av "vapnet", är resultatet av verkan av väldigt många slumpmässiga orsaker (i vårt exempel: kraften med vilken myntet kastas, formen på myntet och många andra ). Det är omöjligt att ta hänsyn till inverkan av alla dessa orsaker på resultatet, eftersom deras antal är mycket stort och lagarna för deras åtgärd är okända. Sannolikhetsteorin ger sig därför inte uppgiften att förutsäga om en enskild händelse kommer att inträffa eller inte – den kan helt enkelt inte göra det.
Situationen är annorlunda om vi betraktar slumpmässiga händelser som kan observeras upprepade gånger under samma förhållanden S, d.v.s. om vi talar om massiva homogena slumpmässiga händelser. Det visar sig att ett tillräckligt stort antal homogena slumpmässiga händelser, oavsett deras specifika karaktär, lyder vissa lagar, nämligen probabilistiska lagar. Det är sannolikhetsteorin som handlar om fastställandet av dessa regelbundenheter.
Sålunda är ämnet för sannolikhetsteori studiet av probabilistiska regelbundenheter av massiva homogena slumpmässiga händelser.
Metoder för sannolikhetsteori används i stor utsträckning inom olika grenar av naturvetenskap och teknologi. Sannolikhetsteorin tjänar också till att underbygga matematisk och tillämpad statistik.
Typer av slumpmässiga händelser. Händelser kallas oförenlig om förekomsten av en av dem utesluter förekomsten av andra händelser i samma rättegång.
Exempel. Ett mynt kastas. Utseendet på "vapnet" utesluter utseendet på inskriptionen. Händelserna "ett vapen dök upp" och "en inskription dök upp" är oförenliga.
Flera evenemang bildas hela gruppen, om minst en av dem dyker upp som ett resultat av testet. I synnerhet om händelserna som bildar en komplett grupp är parvis inkompatibla, kommer en och endast en av dessa händelser att visas som ett resultat av testet. Detta specifika fall är av största intresse för oss, eftersom det kommer att användas nedan.
Exempel 2. Två lotter till kontant- och klädlotteriet köptes. En och endast en av följande händelser kommer nödvändigtvis att inträffa: "vinsterna föll på den första lotten och föll inte på den andra", "vinsterna föll inte på den första lotten och föll på den andra", "vinsterna föll på båda lotterna", "vinsterna vann inte på båda lotterna". föll ut." Dessa händelser bildar en komplett grupp av parvis inkompatibla händelser.
Exempel 3. Skytten sköt mot målet. En av följande två händelser kommer sannolikt att hända: hit, miss. Dessa två osammanhängande händelser bildar en komplett grupp.
Händelser kallas lika möjligt om det finns anledning att tro att inget är mer möjligt än det andra.
Exempel 4. Uppkomsten av ett "vapen" och utseendet av en inskription när ett mynt kastas är lika möjliga händelser. Det antas faktiskt att myntet är tillverkat av ett homogent material, har en regelbunden cylindrisk form, och närvaron av ett mynt påverkar inte förlusten av en eller annan sida av myntet.
Självbeteckning med versaler i det latinska alfabetet: A, B, C, .. A 1, A 2 ..
Motsatser kallas 2 unikt möjliga so-I, som bildar en komplett grupp. Om en av de två motsatta händelser betecknas med A, då är andra beteckningar A`.
Exempel 5. Träffa och missa när du skjuter mot ett mål - motsatt kön. egen.
Syftet med lektionen:
- Introducera begreppet vissa, omöjliga och slumpmässiga händelser.
- Att bilda kunskap och färdigheter för att bestämma typen av händelser.
- Utveckla: beräkningsskicklighet; Uppmärksamhet; förmågan att analysera, resonera, dra slutsatser; färdigheter i grupparbete.
Under lektionerna
1) Organisatoriskt ögonblick.
Interaktiv övning: barn måste lösa exempel och dechiffrera ord, enligt resultaten delas de in i grupper (pålitliga, omöjliga och slumpmässiga) och bestämma ämnet för lektionen.
1 kort.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 kort
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 kort
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Förverkligande av den studerade kunskapen.
Spelet "Clap": ett jämnt nummer - klapp, ett udda nummer - stå upp.
Uppgift: från en given nummerserie 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... bestäm jämna och udda.
3) Att lära sig ett nytt ämne.
Du har kuber på borden. Låt oss ta en närmare titt på dem. Vad ser du?
Var används tärningar? Hur?
Grupparbete.
Genomför ett experiment.
Vilka förutsägelser kan du göra när du slår en tärning?
Första förutsägelsen: ett av siffrorna 1,2,3,4,5 eller 6 kommer att falla ut.
En händelse som säkerligen kommer att inträffa i en given upplevelse kallas äkta.
Andra förutsägelsen: siffran 7 kommer upp.
Tror du att den förutsedda händelsen kommer att hända eller inte?
Det är omöjligt!
En händelse som inte kan inträffa i ett givet experiment kallas omöjlig.
Tredje förutsägelsen: siffran 1 kommer upp.
Kommer denna händelse att hända?
En händelse som kan eller inte kan inträffa i en given upplevelse kallas slumpmässig.
4) Konsolidering av det studerade materialet.
I. Bestäm typen av händelse
-Imorgon kommer det snörött.
Det kommer snöa rejält imorgon.
Imorgon, fast det är juli, kommer det att snöa.
Imorgon, trots att det är juli, kommer det ingen snö.
Imorgon kommer det att snöa och det blir snöstorm.
II. Lägg till ett ord till denna mening på ett sådant sätt att händelsen blir omöjlig.
Kolya fick ett A i historia.
Sasha slutförde inte en enda uppgift på testet.
Oksana Mikhailovna (historielärare) kommer att förklara det nya ämnet.
III. Ge exempel på omöjliga, slumpmässiga och vissa händelser.
IV. Arbeta enligt läroboken (i grupp).
Beskriv händelserna som diskuteras i uppgifterna nedan som säkra, omöjliga eller slumpmässiga.
Nr 959. Petya tänkte på ett naturligt tal. Evenemanget är som följer:
a) ett jämnt tal är tänkt;
b) ett udda tal är tänkt;
c) ett tal är tänkt som varken är jämnt eller udda;
d) ett tal som är jämnt eller udda är tänkt.
Nr 960. Du öppnade den här läroboken på vilken sida som helst och valde det första substantivet som kom över. Evenemanget är som följer:
a) det finns en vokal i stavningen av det valda ordet;
b) i stavningen av det valda ordet finns en bokstav "o";
c) det finns inga vokaler i stavningen av det valda ordet;
d) det finns ett mjukt tecken i stavningen av det valda ordet.
Lös #961, #964.
Diskussion av lösta uppgifter.
5) Reflektion.
1. Vilka händelser mötte du på lektionen?
2. Ange vilken av följande händelser som är säker, vilken som är omöjlig och vilken som är slumpmässig:
a) det blir inga sommarlov;
b) smörgåsen faller med smörsidan nedåt;
c) läsåret kommer att sluta någon gång.
6) Läxor:
Kom på två pålitliga, slumpmässiga och omöjliga händelser.
Rita en av dem.
Betyg 5 Introduktion till sannolikhet (4 timmar)
(utveckling av 4 lektioner om detta ämne)
lärandemål : - införa definitionen av en slumpmässig, tillförlitlig och omöjlig händelse;
Led de första idéerna om att lösa kombinatoriska problem: använda ett alternativträd och använda multiplikationsregeln.
utbildningsmål: utveckling av elevernas tankesätt.
Utvecklingsmål : utveckling av rumslig fantasi, förbättring av färdigheten att arbeta med en linjal.
Trovärdigt, omöjligt och slumpmässiga händelser(2 timmar)
Kombinatoriska uppgifter (2 timmar)
Pålitliga, omöjliga och slumpmässiga händelser.
Första lektion
Lektionsutrustning: tärningar, mynt, backgammon.
Vårt liv består till stor del av olyckor. Det finns en sådan vetenskap "Probability Theory". Med hjälp av dess språk är det möjligt att beskriva många fenomen och situationer.
Till och med den primitive ledaren förstod att ett dussin jägare hade en större "sannolikhet" att träffa en bison med ett spjut än en. Därför jagade de kollektivt då.
Sådana gamla befälhavare som Alexander den store eller Dmitry Donskoy, som förberedde sig för strid, förlitade sig inte bara på krigarnas tapperhet och skicklighet utan också på slumpen.
Många människor älskar matematik för de eviga sanningarna två gånger två är alltid fyra, summan av jämna tal är jämn, arean av en rektangel är lika med produkten av dess intilliggande sidor, etc. I alla problem som du löser får alla samma svar - du behöver bara inte göra några misstag i lösningen.
Det verkliga livet är inte så enkelt och entydigt. Resultaten av många händelser kan inte förutsägas i förväg. Det är till exempel omöjligt att med säkerhet säga vilken sida ett mynt som kastas kommer att falla, när den första snön faller nästa år eller hur många människor i staden som kommer att vilja ringa ett telefonsamtal inom den närmaste timmen. Sådana oförutsägbara händelser kallas slumpmässig .
Men fallet har också sina egna lagar, som börjar manifestera sig med upprepade upprepningar av slumpmässiga fenomen. Om du kastar ett mynt 1000 gånger kommer "örnen" att falla ut ungefär halva tiden, vilket inte kan sägas om två eller ens tio kast. "Ungefär" betyder inte hälften. Detta kan som regel vara fallet eller inte. Lagen säger i allmänhet inget säkert, men ger en viss grad av säkerhet att någon slumpmässig händelse kommer att inträffa. Sådana regelbundenheter studeras av en speciell gren av matematik - Sannolikhetsteori . Med den kan du mer säkert (men fortfarande inte säkert) förutsäga både datumet för det första snöfallet och antalet telefonsamtal.
Sannolikhetsteorin är oupplösligt kopplad till vårt dagliga liv. Detta ger oss en underbar möjlighet att etablera många probabilistiska lagar empiriskt, upprepade gånger upprepade slumpmässiga experiment. Materialet för dessa experiment kommer oftast att vara ett vanligt mynt, en tärning, en uppsättning dominobrickor, backgammon, roulette eller till och med en kortlek. Var och en av dessa föremål är relaterade till spel på ett eller annat sätt. Faktum är att fallet här förekommer i den vanligaste formen. Och de första probabilistiska uppgifterna var förknippade med att bedöma spelares chanser att vinna.
Modern sannolikhetsteori har gått bort från spel, men deras rekvisita är fortfarande den enklaste och mest pålitliga källan till slumpen. Genom att öva med ett roulettehjul och en tärning kommer du att lära dig hur du beräknar sannolikheten för slumpmässiga händelser i verkliga situationer, vilket gör att du kan bedöma dina chanser att lyckas, testa hypoteser och fatta optimala beslut inte bara i spel och lotterier .
När du löser probabilistiska problem, var mycket försiktig, försök att motivera varje steg, eftersom inget annat område av matematik innehåller ett sådant antal paradoxer. Som sannolikhetsteori. Och kanske den främsta förklaringen till detta är dess koppling till den verkliga värld vi lever i.
I många spel används en tärning som har olika antal poäng från 1 till 6 på varje sida. Spelaren kastar tärningen, tittar på hur många poäng som har fallit (på sidan som ligger överst) och gör lämpligt antal drag: 1,2,3 ,4,5 eller 6. Att kasta en tärning kan betraktas som en upplevelse, ett experiment, ett test och det erhållna resultatet kan betraktas som en händelse. Människor är vanligtvis mycket intresserade av att gissa början av en händelse, förutsäga dess utgång. Vilka förutsägelser kan de göra när en tärning kastas? Första förutsägelsen: ett av siffrorna 1,2,3,4,5 eller 6 kommer att falla ut. Tror du att den förutspådda händelsen kommer eller inte? Självklart kommer det definitivt. En händelse som säkerligen kommer att inträffa i en given upplevelse kallas pålitlig händelse.
Andra förutsägelsen : siffran 7 kommer att falla ut. Tror du att den förutspådda händelsen kommer eller inte? Det gör det såklart inte, det är bara omöjligt. En händelse som inte kan inträffa i ett givet experiment kallas omöjlig händelse.
Tredje förutsägelsen : siffran 1 kommer att falla ut. Tror du att den förutspådda händelsen kommer eller inte? Vi kan inte svara på denna fråga med fullständig säkerhet, eftersom den förutspådda händelsen kan inträffa eller inte. En händelse som kan eller inte kan inträffa i en given upplevelse kallas slumpmässig händelse.
Träning : beskriv de händelser som diskuteras i uppgifterna nedan. Som säkert, omöjligt eller slumpmässigt.
Vi kastar ett mynt. Vapnet dök upp. (slumpmässig)
Jägaren sköt mot vargen och träffade. (slumpmässig)
Eleven går en promenad varje kväll. Under en promenad, i måndags, träffade han tre bekanta. (slumpmässig)
Låt oss mentalt utföra följande experiment: vänd upp och ner på ett glas vatten. Om detta experiment inte utförs i rymden, utan hemma eller i ett klassrum, kommer vatten att rinna ut. (äkta)
Tre skott avlossades mot målet. Det var fem träffar" (omöjligt)
Vi kastar upp stenen. Stenen förblir svävande i luften. (omöjlig)
Bokstäverna i ordet "antagonism" ordnas om på måfå. Få ordet "anakroism". (omöjlig)
№959. Petya tänkte på ett naturligt tal. Evenemanget är som följer:
a) ett jämnt tal är tänkt; (slumpmässigt) b) ett udda tal är tänkt; (slumpmässig)
c) ett tal är tänkt som varken är jämnt eller udda; (omöjlig)
d) ett tal som är jämnt eller udda är tänkt. (äkta)
№ 961. Petya och Tolya jämför sina födelsedagar. Evenemanget är som följer:
a) deras födelsedagar stämmer inte överens; (slumpmässigt) b) deras födelsedagar är desamma; (slumpmässig)
d) båda födelsedagarna infaller på helgdagar - nyår (1 januari) och Rysslands självständighetsdag (12 juni). (slumpmässig)
№ 962. När man spelar backgammon används två tärningar. Antalet drag som en spelare gör bestäms genom att lägga till siffrorna på de två sidorna av tärningen som har fallit ut, och om en "dubbel" faller ut (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6), då dubbleras antalet drag. Du slår tärningen och räknar ut hur många drag du måste göra. Evenemanget är som följer:
a) du måste göra ett drag; b) du måste göra 7 drag;
c) du måste göra 24 drag; d) du måste göra 13 drag.
a) - omöjligt (1 drag kan göras om kombinationen 1 + 0 faller ut, men det finns ingen siffra 0 på tärningen).
b) - slumpmässigt (om 1 + 6 eller 2 + 5 faller ut).
c) - slumpmässigt (om kombinationen 6 +6 faller ut).
d) - omöjligt (det finns inga kombinationer av siffror från 1 till 6, vars summa är 13; detta nummer kan inte erhållas även när en "dubbel" kastas, eftersom den är udda).
Testa dig själv. (mattediktat)
1) Ange vilka av följande händelser som är omöjliga, vilka är säkra, vilka är slumpmässiga:
Fotbollsmatch "Spartak" - "Dynamo" kommer att sluta oavgjort. (slumpmässig)
Du kommer att vinna genom att delta i vinn-vinn-lotteriet (äkta)
Snö kommer att falla vid midnatt och solen kommer att skina 24 timmar senare. (omöjlig)
Imorgon blir det matteprov. (slumpmässig)
Du kommer att väljas till USA:s president. (omöjlig)
Du kommer att väljas till Rysslands president. (slumpmässig)
2) Du köpte en TV i en butik som tillverkaren ger två års garanti på. Vilka av följande händelser är omöjliga, vilka är slumpmässiga, vilka är säkra:
TV:n går inte sönder inom ett år. (slumpmässig)
TV:n går inte sönder på två år. (slumpmässig)
Inom två år behöver du inte betala för TV-reparationer. (äkta)
TV:n går sönder under det tredje året. (slumpmässig)
3) En buss med 15 passagerare har 10 hållplatser att göra. Vilka av följande händelser är omöjliga, vilka är slumpmässiga, vilka är säkra:
Alla passagerare kommer att kliva av bussen vid olika hållplatser. (omöjlig)
Alla passagerare kommer att gå av vid samma hållplats. (slumpmässig)
Vid varje stopp kommer någon att kliva av. (slumpmässig)
Det kommer att finnas ett stopp där ingen kommer att kliva av. (slumpmässig)
Vid alla hållplatser kommer ett jämnt antal passagerare att kliva av. (omöjlig)
Vid alla hållplatser kommer ett udda antal passagerare att kliva av. (omöjlig)
Läxa : 53 nr 960, 963, 965 (kom på två pålitliga, slumpmässiga och omöjliga händelser själv).
Andra lektionen.
Undersökning läxa. (oralt)
a) Förklara vad vissa, slumpmässiga och omöjliga händelser är.
b) Ange vilken av följande händelser som är säker, vilket är omöjligt, vilket är slumpmässigt:
Det blir inget sommarlov. (omöjlig)
Smörgåsen kommer att falla med smörsidan nedåt. (slumpmässig)
Så småningom tar läsåret slut. (äkta)
Jag kommer att bli tillfrågad i klassen imorgon. (slumpmässig)
Jag träffar en svart katt idag. (slumpmässig)
№ 960. Du öppnade den här läroboken på valfri sida och valde det första substantivet som stötte på. Evenemanget är som följer:
a) det finns en vokal i stavningen av det valda ordet. ((äkta)
b) i stavningen av det valda ordet finns en bokstav "o". (slumpmässig)
c) det finns inga vokaler i stavningen av det valda ordet. (omöjlig)
d) det finns ett mjukt tecken i stavningen av det valda ordet. (slumpmässig)
№ 963. Du spelar backgammon igen. Beskriv följande händelse:
a) spelaren får inte göra mer än två drag. (omöjligt - med kombinationen av de minsta siffrorna 1 + 1 gör spelaren 4 drag; kombinationen 1 + 2 ger 3 drag; alla andra kombinationer ger mer än 3 drag)
b) spelaren måste göra mer än två drag. (pålitlig - vilken kombination som helst ger 3 eller fler drag)
c) spelaren får inte göra mer än 24 drag. (pålitlig - kombinationen av de största siffrorna 6 + 6 ger 24 drag, och alla övriga - mindre än 24 drag)
d) spelaren måste göra ett tvåsiffrigt antal drag. (slumpmässigt - till exempel en kombination av 2 + 3 ger ett ensiffrigt antal drag: 5, och fallet med två fyror ger ett tvåsiffrigt antal drag)
2. Problemlösning.
№ 964. Det finns 10 bollar i en påse: 3 blå, 3 vita och 4 röda. Beskriv följande händelse:
a) 4 bollar tas ut ur påsen, och alla är blå; (omöjlig)
b) 4 bollar tas ur påsen, och alla är röda; (slumpmässig)
c) 4 bollar togs ur påsen, och de visade sig alla vara av olika färg; (omöjlig)
d) 4 bollar tas ut ur påsen, och det finns ingen svart boll bland dem. (äkta)
Uppgift 1 . Kartongen innehåller 10 röda, 1 gröna och 2 blå pennor. Två föremål tas slumpmässigt från lådan. Vilka av följande händelser är omöjliga, vilka är slumpmässiga, vilka är säkra:
a) två röda handtag tas ut (slumpmässigt)
b) två gröna handtag tas ut; (omöjlig)
c) två blå handtag tas ut; (slumpmässig)
d) handtag i två olika färger tas ut; (slumpmässig)
e) två handtag tas ut; (äkta)
e) Två pennor tas ut. (omöjlig)
Uppgift 2. Nalle Puh, Nalle och alla - alla - alla slår sig ner vid ett runt bord för att fira en födelsedag. Med vilket antal av alla - alla - alla händelser "Nalle Puh och Nalle kommer att sitta sida vid sida" är tillförlitlig, och med vad - slumpmässigt?
(om det bara finns 1 av alla - alla - alla, så är händelsen tillförlitlig, om fler än 1 är den slumpmässig).
Uppgift 3. Av 100 lotter för välgörenhet, 20 vinnande Hur många lotter behöver du köpa för att göra "du vinner ingenting"-evenemanget omöjligt?
Uppgift 4. Det är 10 killar och 20 tjejer i klassen. Vilka av följande händelser är omöjliga för en sådan klass, vilka är slumpmässiga, vilka är säkra
Det är två personer i klassen som är födda under olika månader. (slumpmässig)
Det är två personer i klassen som är födda under samma månad. (äkta)
Det är två pojkar i klassen som är födda i samma månad. (slumpmässig)
Det är två tjejer i klassen som är födda i samma månad. (äkta)
Alla pojkar föddes under olika månader. (äkta)
Alla flickor föddes under olika månader. (slumpmässig)
Det är en pojke och en flicka födda i samma månad. (slumpmässig)
Det är en pojke och en flicka födda i olika månader. (slumpmässig)
Uppgift 5. Det finns 3 röda, 3 gula, 3 gröna bollar i en låda. Rita 4 bollar på måfå. Tänk på händelsen "Bland de dragna bollarna kommer det att finnas bollar av exakt M-färger". För varje M från 1 till 4, bestäm vilken händelse det är - omöjligt, säkert eller slumpmässigt, och fyll i tabellen:
Självständigt arbete.
jagalternativ
a) din väns födelsedag är mindre än 32;
c) det blir ett matteprov imorgon;
d) Nästa år kommer den första snön i Moskva på söndag.
Kasta en tärning. Beskriv händelsen:
a) kuben, efter att ha fallit, kommer att stå på kanten;
b) ett av siffrorna faller ut: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
c) siffran 6 kommer att falla ut;
d) ett tal som är en multipel av 7 kommer upp.
En låda innehåller 3 röda, 3 gula och 3 gröna bollar. Beskriv händelsen:
a) alla dragna bollar är av samma färg;
b) alla ritade bollar i olika färger;
c) bland de ritade bollarna finns det bollar i olika färger;
c) bland de dragna bollarna finns en röd, gul och grön boll.
IIalternativ
Beskriv händelsen i fråga som säker, omöjlig eller slumpmässig:
a) en smörgås som har ramlat av bordet kommer att falla på golvet med smörsidan nedåt;
b) snö kommer att falla i Moskva vid midnatt, och om 24 timmar kommer solen att skina;
c) du vinner genom att delta i ett vinn-vinn-lotteri;
d) nästa år i maj hörs den första våråskan.
Alla tvåsiffriga nummer skrivs på korten. Ett kort väljs slumpmässigt. Beskriv händelsen:
a) kortet visade sig vara noll;
b) det finns ett tal på kortet som är en multipel av 5;
c) det finns ett tal på kortet som är en multipel av 100;
d) kortet innehåller ett nummer större än 9 och mindre än 100.
Kartongen innehåller 10 röda, 1 gröna och 2 blå pennor. Två föremål tas slumpmässigt från lådan. Beskriv händelsen:
a) två blå handtag tas ut;
b) två röda handtag tas ut;
c) två gröna handtag tas ut;
d) gröna och svarta handtag tas ut.
Läxa: 1). Kom på två pålitliga, slumpmässiga och omöjliga händelser.
2). Uppgift . Det finns 3 röda, 3 gula, 3 gröna bollar i en låda. Vi drar N bollar slumpmässigt. Tänk på händelsen "bland de dragna bollarna kommer det att finnas bollar i exakt tre färger." För varje N från 1 till 9, bestäm vilken händelse det är - omöjligt, säkert eller slumpmässigt, och fyll i tabellen:
kombinatoriska uppgifter.
Första lektion
Kollar läxor. (oralt)
a) Vi kontrollerar de problem som eleverna kommit på.
b) ytterligare uppgift.
Jag läser ett utdrag ur V. Levshins bok "Tre dagar i Karlikanii".
"Först, till ljudet av en mjuk vals, bildade siffrorna en grupp: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. Sedan började de unga skridskoåkarna att byta plats och bildade fler och fler nya grupper: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10 osv.
Detta fortsatte tills åkarna återgick till sin ursprungliga position.
Hur många gånger har de bytt plats?
Idag i lektionen kommer vi att lära oss hur man löser sådana problem. De kallas kombinatoriskt.
3. Att lära sig nytt material.
Uppgift 1. hur många tvåsiffriga nummer kan bestå av siffrorna 1, 2, 3?
Lösning: 11, 12, 13
31, 32, 33. Endast 9 nummer.
När vi löste detta problem räknade vi upp alla möjliga alternativ, eller som man brukar säga i dessa fall. Alla möjliga kombinationer. Därför kallas sådana uppgifter kombinatoriskt. Det är ganska vanligt att beräkna möjliga (eller omöjliga) alternativ i livet, så det är användbart att bekanta sig med kombinatoriska problem.
№ 967. Flera länder har beslutat att använda symboler för sina nationella flaggor i form av tre horisontella ränder av samma bredd i olika färger - vit, blå, röd. Hur många länder kan använda sådana symboler, förutsatt att varje land har sin egen flagga?
Lösning. Låt oss anta att den första randen är vit. Sedan kan den andra randen vara blå eller röd och den tredje randen röd eller blå. Det visade sig två alternativ: vit, blå, röd eller vit, röd, blå.
Låt nu den första randen vara blå, då får vi återigen två alternativ: vit, röd, blå eller blå, röd, vit.
Låt den första randen vara röd, sedan två alternativ: röd, vit, blå eller röd, blå, vit.
Det finns 6 möjliga alternativ totalt. Denna flagga kan användas av 6 länder.
Så när vi löste det här problemet letade vi efter ett sätt att räkna upp möjliga alternativ. I många fall visar det sig vara användbart att konstruera en bild - ett schema för att räkna upp alternativ. Detta är först och främst illustrativt För det andra, låter oss ta hänsyn till allt, inte missa något.
Detta schema kallas också ett träd med möjliga alternativ.
Framsida
Andra körfältet
tredje körfältet
Mottagen kombination
№ 968. Hur många tvåsiffriga nummer kan göras av siffrorna 1, 2, 4, 6, 8?
Lösning. För tvåsiffriga nummer som är intressanta för oss kan vilken som helst av de givna siffrorna vara i första hand, förutom 0. Om vi sätter siffran 2 i första hand, så kan vilken som helst av de givna siffrorna vara i andra hand. Det kommer att finnas fem tvåsiffriga nummer: 2.,22, 24, 26, 28. På samma sätt kommer det att finnas fem tvåsiffriga nummer med den första siffran 4, fem tvåsiffriga nummer med den första siffran 6 och fem tvåsiffriga nummer med den första siffran 6. siffror med den första siffran 8.
Svar: Det finns 20 nummer totalt.
Låt oss bygga ett träd med möjliga alternativ för att lösa detta problem.
Dubbelsiffriga
Första siffran
Andra siffran
Mottagna nummer
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Lös följande problem genom att konstruera ett träd med möjliga alternativ.
№ 971. Ledningen för ett visst land bestämde sig för att göra sin nationella flagga så här: på en enfärgad rektangulär bakgrund placeras en cirkel av en annan färg i ett av hörnen. Det beslutades att välja färger från tre möjliga: röd, gul, grön. Hur många varianter av denna flagga
existerar? Bilden visar några av de möjliga alternativen.
Svar: 24 alternativ.
№ 973. a) Hur många tresiffriga nummer kan göras av siffrorna 1,3, 5,? (27 nummer)
b) Hur många tresiffriga nummer kan göras av siffrorna 1,3, 5, förutsatt att siffrorna inte ska upprepas? (6 siffror)
№ 979. Moderna femidrottare tävlar i två dagar i fem sporter: hoppning, fäktning, simning, skytte och löpning.
a) Hur många alternativ finns det för att klara tävlingstyperna? (120 alternativ)
b) Hur många alternativ finns det för ordningsföljden för tävlingens tävlingar, om det är känt att den sista tävlingen ska vara en körning? (24 alternativ)
c) Hur många alternativ finns det för ordningen att klara tävlingstyperna, om det är känt att den sista typen ska köras, och den första - hoppning? (6 alternativ)
№ 981. Två urnor innehåller fem kulor vardera i fem olika färger: vit, blå, röd, gul, grön. En boll dras från varje urna åt gången.
a) hur många olika kombinationer av dragna kulor finns det (kombinationer som "vit-röd" och "röd-vit" anses vara lika)?
(15 kombinationer)
b) Hur många kombinationer finns där de dragna kulorna är av samma färg?
(5 kombinationer)
c) hur många kombinationer finns där de ritade kulorna har olika färg?
(15 - 5 = 10 kombinationer)
Läxa: 54, nr 969, 972, kommer själva på ett kombinatoriskt problem.
№ 969. Flera länder har beslutat att använda symboler i form av tre vertikala ränder av samma bredd i olika färger för sin nationella flagga: grön, svart, gul. Hur många länder kan använda sådana symboler, förutsatt att varje land har sin egen flagga?
№ 972. a) Hur många tvåsiffriga tal kan bildas av talen 1, 3, 5, 7, 9?
b) Hur många tvåsiffriga nummer kan göras av siffrorna 1, 3, 5, 7, 9, förutsatt att siffrorna inte ska upprepas?
Andra lektionen
Kollar läxor. a) nr 969 och nr 972a) och nr 972b) - bygg ett träd med möjliga alternativ på tavlan.
b) kontrollera de sammanställda uppgifterna muntligt.
Problemlösning.
Så innan dess har vi lärt oss hur man löser kombinatoriska problem med hjälp av ett alternativträd. Är detta ett bra sätt? Förmodligen ja, men väldigt krångligt. Låt oss försöka lösa hemproblem nr 972 på ett annat sätt. Vem kan gissa hur detta kan göras?
Svar: För var och en av de fem färgerna på T-shirts finns det fyra färger på shorts. Totalt: 4 * 5 = 20 alternativ.
№ 980. Urnorna innehåller fem kulor vardera i fem olika färger: vit, blå, röd, gul, grön. En boll dras från varje urna åt gången. Beskriv följande händelse som säker, slumpmässig eller omöjlig:
a) ritade bollar i olika färger; (slumpmässig)
b) ritade bollar av samma färg; (slumpmässig)
c) svarta och vita bollar ritas; (omöjlig)
d) två bollar tas ut, och båda är färgade i en av följande färger: vit, blå, röd, gul, grön. (äkta)
№ 982. En grupp turister planerar att göra en resa längs rutten Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. Från Antonovo till Borisovo kan du flotta nerför floden eller promenera. Från Borisovo till Vlasovo kan du gå eller cykla. Från Vlasovo till Gribovo kan du simma längs floden, cykla eller promenera. Hur många vandringsalternativ kan turister välja? Hur många vandringsalternativ kan turister välja, förutsatt att minst en av sträckorna måste använda cyklar?
(12 ruttalternativ, 8 av dem använder cyklar)
Självständigt arbete.
1 alternativ
a) Hur många tresiffriga nummer kan göras av talen: 0, 1, 3, 5, 7?
b) Hur många tresiffriga nummer kan göras av siffrorna: 0, 1, 3, 5, 7, förutsatt att siffrorna inte ska upprepas?
Athos, Porthos och Aramis har bara ett svärd, en dolk och en pistol.
a) På hur många sätt kan musketörerna beväpnas?
b) Hur många vapenalternativ finns det om Aramis måste använda ett svärd?
c) Hur många vapenalternativ finns det om Aramis ska ha ett svärd och Porthos ska ha en pistol?
Någonstans skickade Gud en bit ost till en kråka, samt ost, korv, vitt och svart bröd. Uppflugen på en gran skulle en kråka äta frukost, men hon tänkte på det: på hur många sätt kan man göra smörgåsar av dessa produkter?
Alternativ 2
a) Hur många tresiffriga nummer kan göras av talen: 0, 2, 4, 6, 8?
b) Hur många tresiffriga nummer kan göras av siffrorna: 0, 2, 4, 6, 8, förutsatt att siffrorna inte ska upprepas?
Greve Monte Cristo bestämde sig för att ge prinsessan Hyde örhängen, ett halsband och ett armband. Varje smycke måste innehålla en av följande typer av ädelstenar: diamanter, rubiner eller granater.
a) Hur många kombinationer av ädelstenssmycken finns det?
b) Hur många smyckesalternativ finns det om örhängena måste vara diamanter?
c) Hur många smyckesalternativ finns det om örhängena ska vara diamanter och armbandet granat?
Till frukost kan du välja en bulle, smörgås eller pepparkaka med kaffe eller kefir. Hur många frukostalternativ kan du göra?
Läxa : nr 974, 975. (genom att kompilera ett alternativträd och använda multiplikationsregeln)
№ 974 . a) Hur många tresiffriga tal kan bildas av talen 0, 2, 4?
b) Hur många tresiffriga nummer kan göras av siffrorna 0, 2, 4, förutsatt att siffrorna inte ska upprepas?
№ 975 . a) Hur många tresiffriga nummer kan göras av siffrorna 1.3, 5.7?
b) Hur många tresiffriga nummer kan göras av siffrorna 1.3, 5.7, angivna. Vilka siffror ska inte upprepas?
Problemnummer är hämtade från läroboken
"Mathematics-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.
