Логарифм илэрхийллийн жишээ. Логарифмын үндсэн шинж чанарууд. Логарифмын томъёо. Логарифмын шийдлийн жишээ

В7 асуудал нь хялбарчлах шаардлагатай зарим илэрхийлэлийг өгдөг. Үр дүн нь хариултын хуудсан дээр бичиж болох энгийн тоо байх ёстой. Бүх илэрхийлэлийг уламжлалт байдлаар гурван төрөлд хуваадаг.

1. Логарифм,
2. Заалт,
3. Нэгтгэсэн.

Цэвэр хэлбэрээр харуулах ба логарифм илэрхийллүүд бараг тохиолддоггүй. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг хэрхэн тооцож байгааг мэдэх нь туйлын чухал юм.

Ерөнхийдөө В7 асуудлыг маш энгийнээр шийдэж болох бөгөөд энэ нь дундаж төгсөгчдийн бүрэн эрхэд байдаг. Тодорхой алгоритмын дутагдлыг стандарт, монотон байдлаар нөхдөг. Та маш олон сургалтанд хамрагдсанаар ийм асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжтой.

Логарифм илэрхийллүүд

В7 бодлогуудын дийлэнх нь нэг хэлбэрээр логарифм агуулдаг. Энэ сэдэв нь ихэвчлэн 11-р ангид төгсөлтийн шалгалтанд бэлтгэх эрин үе байдаг тул энэ сэдвийг хэцүү гэж үздэг. Үүний үр дүнд олон төгсөгчид логарифмын талаар маш тодорхой бус ойлголттой байдаг.

Гэхдээ энэ даалгаварт хэн ч онолын гүнзгий мэдлэг шаарддаггүй. Бид зөвхөн ээдрээгүй үндэслэл шаарддаг хамгийн энгийн хэллэгүүдтэй тулгарах болно, мөн өөрсдөө сайн эзэмшиж болно. Логарифмтай харьцахын тулд мэдэх шаардлагатай үндсэн томъёог доор харуулав.

Нэмж дурдахад, үндэс ба бутархайг оновчтой илтгэгчээр орлуулах чадвартай байх ёстой, эс тэгвээс зарим илэрхийлэлд логарифмын тэмдгээс хасах зүйл байхгүй болно. Орлуулах томъёо:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг олох:
бүртгэл 6 270 - бүртгэл 6 7.5
бүртгэл 5 775 - бүртгэл 5 6.2

Эхний хоёр илэрхийлэлийг логарифмын зөрүү болгон хувиргана.
log 6 270 - log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 - log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.

Гурав дахь илэрхийллийг тооцоолохын тулд та үндсэн болон аргумент дахь хүчийг сонгох хэрэгтэй. Эхлээд дотоод логарифмыг олъё:

Дараа нь - гадаад:

log a log b x маягтын бүтэц нь олон хүнд төвөгтэй бөгөөд ойлгомжгүй мэт санагддаг. Үүний зэрэгцээ, энэ нь зөвхөн логарифмын логарифм юм, өөрөөр хэлбэл. log a (лог b x). Эхлээд дотоод логарифмыг тооцоолно (лог b x = c-г тавь), дараа нь гадаад: log a c.

Тайлбар илэрхийлэл

a, k тоонууд нь дурын тогтмолууд ба a> 0 хэлбэрийн a k хэлбэрийн аливаа бүтээцийг экспоненциал илэрхийлэл гэж нэрлэнэ. Ийм илэрхийлэлтэй ажиллах арга нь маш энгийн бөгөөд 8-р ангийн алгебрийн хичээлд авч үздэг.

Таны мэдэх ёстой үндсэн томъёог доор харуулав. Эдгээр томъёог практикт хэрэглэх нь дүрмээр бол асуудал үүсгэдэггүй.

1. a n a m = a n + m;
2. a n / a m = a n - m;
3. (a n) m = a n m;
4. (a b) n = a n b n;
5. (a: b) n = a n: b n.

Хэрэв эрх мэдэл бүхий нарийн төвөгтэй илэрхийлэл тулгарвал түүнд хэрхэн хандах нь тодорхойгүй байвал тэд бүх нийтийн арга техникийг ашигладаг - үндсэн хүчин зүйлчлэл. Үүний үр дүнд градусын суурь дахь том тоонууд нь энгийн бөгөөд ойлгомжтой элементүүдээр солигддог. Дараа нь дээрх томъёог ашиглахад л үлддэг бөгөөд асуудал шийдэгдэх болно.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: 7 9 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

Шийдэл. Зэрэглэлийн бүх суурийг үндсэн хүчин зүйл болгон задалъя.
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Хосолсон даалгавар

Хэрэв та томьёо мэддэг бол бүх экспоненциал болон логарифм илэрхийлэлүүдийг нэг мөрөнд шууд утгаараа шийддэг. Гэсэн хэдий ч В7 асуудалд градус ба логарифмуудыг нэгтгэж, нэлээд хүчтэй хослол үүсгэж болно.

Хэсэгүүд: Математик

Хичээлийн төрөл:мэдлэгийг нэгтгэх, системчлэх хичээл

Зорилго:

• ерөнхий давталт, шалгалтанд бэлтгэх хүрээнд логарифм, тэдгээрийн шинж чанарын талаархи оюутнуудын мэдлэгийг шинэчлэх;
• оюутнуудын сэтгэцийн үйл ажиллагааг хөгжүүлэх, дасгал хийхдээ онолын мэдлэгийг ашиглах чадварыг хөгжүүлэх;
• сурагчдын хувийн шинж чанар, өөрийгөө хянах чадвар, тэдний үйл ажиллагааг бие даан үнэлэх чадварыг хөгжүүлэх; хичээл зүтгэл, тэвчээр, тэсвэр тэвчээр, бие даасан байдлыг төлөвшүүлэх.

Тоног төхөөрөмж:компьютер, проектор, танилцуулга (Хавсралт 1), гэрийн даалгаврын карт (та даалгавар бүхий файлыг цахим өдрийн тэмдэглэлд хавсаргаж болно).

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч. Сайн байцгаана уу, хичээлийн сэтгэлийн байдал.

II. Гэрийн даалгаврын хэлэлцүүлэг.

III. Хичээлийн сэдэв, зорилгын талаархи мэдээлэл. Урам зориг.(Слайд 1) Үзүүлэн.

Шалгалтанд бэлтгэхийн тулд бид математикийн хичээлийн ерөнхий давталтыг үргэлжлүүлж байна. Өнөөдөр хичээл дээр бид логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудын талаар ярих болно.

Логарифмыг тооцоолох, логарифмын илэрхийллийг хөрвүүлэх даалгаврууд нь үндсэн болон профилын түвшний хяналт, хэмжилтийн материалд зайлшгүй байх ёстой. Тиймээс бидний хичээлийн зорилго бол "логарифм" гэсэн ойлголтын утгын талаархи санаа бодлыг сэргээх, логарифмын илэрхийлэлийг хувиргах чадварыг бодит болгох явдал юм. Хичээлийн сэдвийг дэвтэртээ бичээрэй.

IV. Мэдлэгийн шинэчлэл.

1. / Амаар /Эхлээд логарифм гэж юу байдгийг санацгаая. (Слайд 2)

(а суурьтай эерэг b тооны логарифм (а> 0, a? 1) нь b тоог авахын тулд а тоог өсгөх шаардлагатай илтгэгч юм)

Лог a b = n<->a n = b, (a> 0, a 1, b> 0)

Тэгэхээр “ЛОГАРИТМ” бол “ЗЭРГИЙН ҮЗҮҮЛЭГЧ”!

(Слайд 3) Дараа нь a n = b гэж дахин бичиж болно = b - үндсэн логарифмын таних тэмдэг.

Хэрэв суурь нь a = 10 бол логарифмыг аравтын бутархай гэж нэрлээд lgb гэж тэмдэглэнэ.

Хэрэв a = e бол логарифмыг натурал гэж нэрлээд lnb гэж тэмдэглэнэ.

2. / Бичсэн / (Слайд 4)Зөв тэгш байдлыг авахын тулд хоосон зайг бөглөнө үү.

Бүртгэл? x + Бүртгэл a? = Бүртгэл? (? y)

Бүртгүүлэх үү? - Бүртгэл? y = Бүртгэл? (x /?)

х оруулах уу? = pLog? (?)

Шалгалт:

1; 1; a, y, x; x, a, a, y; p, a, x.

Эдгээр нь логарифмын шинж чанарууд юм. Мөн өөр нэг бүлэг өмч: (Слайд 5)

Шалгалт:

a, 1, n, x; n, x, p, a; x, b, a, y; a, x, b; a, 1, b.

V. Аман ажил

(Слайд 6) # 1. Тооцоолох:

a B C D) ; e).

Хариултууд : a) 4; б) - 2; 2-д; d) 7; e) 27.

(Слайд 7) №2. X олох:

a) ; б) (Хариулт: a) 1/4; б) 9).

№3. Ийм логарифмийг авч үзэх нь утга учиртай юу:

a) ; б); v)? (Үгүй)

Ви. Бие даасан ажилбүлэгт, хүчтэй суралцагчид - зөвлөхүүд. (Слайд 8)

№ 1. Тооцоол: .

# 2. Хялбарчил:

№ 3. Хэрэв илэрхийллийн утгыг ол

# 4. Илэрхийллийг хялбарчлах:

№ 5. Тооцоол:

№ 6. Тооцоол:

№ 7. Тооцоол:

№ 8. Тооцоол:

Дууссаны дараа - бэлтгэсэн шийдэл эсвэл баримт бичгийн камерын тусламжтайгаар шалгаж, ярилцах.

Vii. Нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлэх ажлыг шийдвэрлэх(хүчтэй сурагч самбар дээр, үлдсэн нь дэвтэр дээр) (Слайд 9)

Илэрхийллийн утгыг ол:

VIII. Гэрийн даалгавар(карт дээр) ялгаатай.(Слайд 10)

# 1. Тооцоолох:

№2. Илэрхийллийн утгыг ол:

Ф.Ф.Лысенко нар Математик. Сэдэвчилсэн тестүүд 10 - 11 анги. 1-р хэсэг / Ростов-на-Дону: "Легион", 2008 он

В.В.Кочагин эрчимжүүлсэн сургалт. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалт. / М: "Эксмо", 2008 он

ИНТЕРНЭТ НӨӨЦ:

1. Л.В.Артамонова, математикийн багш "Москаленскийн лицей" "Логарифмын нутагт" илтгэл
2. A.A.Kuksheva, MOU "Егорьевская дунд сургууль" танилцуулга "Логарифм ба тэдгээрийн шинж чанарууд"

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш учраас энд гэж нэрлэгддэг дүрмүүд байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Эдгээр дүрмийг мэдэх нь зайлшгүй шаардлагатай - ямар ч ноцтой логарифмын асуудлыг тэдэнгүйгээр шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - бүгдийг нэг өдрийн дотор сурч болно. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифмын нэмэх ба хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log а хболон бүртгэл а y... Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. бүртгэл а х+ бүртгэл а y= бүртгэл а (х · y);
2. бүртгэл а х- бүртгэл а y= бүртгэл а (х : y).

Тиймээс, логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү бөгөөд ялгаа нь хуваарийн логарифм байна. Энд гол зүйл бол - гэдгийг анхаарна уу. ижил үндэслэлүүд... Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифмын илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцоогүй байсан ч тооцоолоход тусална (хичээлийг үзнэ үү" Логарифм гэж юу вэ"). Жишээнүүдийг хараарай - тэгээд харна уу:

Бүртгэл 6 4 + бүртгэл 6 9.

Логарифмын суурь нь ижил тул бид нийлбэрийн томъёог ашиглана:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 2 48 - log 2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 3 135 - log 3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа нэлээд хэвийн тоо гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Гэхдээ шалгалтанд ямар хяналт тавих вэ - ийм илэрхийлэлийг бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөгдөөгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг хасах

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Хэрэв логарифмын суурь эсвэл аргумент нь зэрэг дээр үндэслэсэн бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг бүгдийг нь санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг мэдэгдэхүйц бууруулах болно.

Мэдээжийн хэрэг, эдгээр бүх дүрмүүд нь логарифмын ODZ-ийг ажиглахад утга учиртай болно. а > 0, а ≠ 1, х> 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур, өөрөөр хэлбэл. логарифмын тэмдгийн урд байгаа тоонуудыг өөрөө логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 7 49 6.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
бүртгэл 7 49 6 = 6 бүртгэл 7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

[Зургийн тайлбар]

Хуваарь нь логарифмыг агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг хүчирхэг: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Бидэнд байгаа:

[Зургийн тайлбар]

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаана алга болсон бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг градусын хэлбэрээр танилцуулж, үзүүлэлтүүдийг гаргаж ирэв - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг цуцалж болно - хуваагч нь 2/4 хэвээр байна. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд үүнийг хийсэн. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьт ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмыг бүртгээрэй а х... Дараа нь дурын тооны хувьд втиймэрхүү в> 0 ба в≠ 1, тэгш байдал нь үнэн:

[Зургийн тайлбар]

Ялангуяа, хэрэв бид тавьсан бол в = х, бид авах:

[Зургийн тайлбар]

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг солих боломжтой боловч энэ тохиолдолд бүх илэрхийлэл нь "урвуу", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь ердийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Шийдвэр гаргахдаа л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой логарифм тэгшитгэлба тэгш бус байдал.

Гэсэн хэдий ч шинэ суурь руу шилжихээс бусад тохиолдолд ерөнхийдөө шийдэгдээгүй ажлууд байдаг. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг авч үзье:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 5 16 log 2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд яг градусыг агуулж байгааг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "эргэцгээе":

[Зургийн тайлбар]

Үржвэр нь хүчин зүйлсийн орцноос өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв, хоёрыг тайван байдлаар үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 9 100 · lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг градус юм. Үүнийг бичиж, хэмжүүрээс салцгаая:

[Зургийн тайлбар]

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

[Зургийн тайлбар]

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ үүнийг шийдвэрлэх явцад тоог өгөгдсөн суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд томъёонууд бидэнд туслах болно:

Эхний тохиолдолд тоо nмэтгэлцээний зэрэглэлийн үзүүлэлт болдог. Тоо nюу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг: үндсэн логарифмын таних тэмдэг гэж нэрлэдэг.

Үнэхээр, тоо бол яах вэ бтоо нь ийм хүч чадалд бэнэ хэмжээгээр тоог өгдөг а? Энэ нь зөв: та яг энэ тоог авах болно а... Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн "өлгөх" болно.

Шинэ суурь руу шилжих томьёотой адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

[Зургийн тайлбар]

log 25 64 = log 5 8 - зүгээр л квадратыг суурь болон логарифмын аргументаас гаргасныг анхаарна уу. Ижил суурьтай градусыг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

[Зургийн тайлбар]

Хэрэв хэн нэг нь мэдэхгүй бол энэ нь шалгалтын үеэр үнэхээр асуудал байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалтай тулгардаг бөгөөд гайхалтай нь "дэвшилтэт" оюутнуудад ч асуудал үүсгэдэг.

1. бүртгэл а а= 1 нь логарифмын нэгж юм. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: дурын суурь руу логарифм аэнэ суурь нь нэгтэй тэнцүү байна.
2. бүртгэл а 1 = 0 нь логарифмын тэг юм. Суурь аюу ч байж болно, гэхдээ аргумент нь нэг бол логарифм нь тэг болно! учир нь а 0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Логарифмын хүчинтэй утгуудын хүрээ (ODV).

Одоо хязгаарлалтын талаар ярилцъя (ODZ нь хувьсагчийн зөвшөөрөгдсөн утгын муж юм).

Жишээлбэл, квадрат язгуурыг сөрөг тооноос гаргаж авах боломжгүй гэдгийг бид санаж байна; эсвэл бид бутархайтай бол хуваагч нь тэг байж болохгүй. Логарифмд ижил төстэй хязгаарлалтууд байдаг:

Өөрөөр хэлбэл, аргумент болон суурь хоёулаа тэгээс их байх ёстой бөгөөд суурь нь тэнцүү байж болохгүй.

Яагаад тэр вэ?

Энгийнээр эхэлцгээе: үүнийг хэлье. Дараа нь, жишээ нь, тоо байхгүй, учир нь бид ямар ч зэрэглэлийг өсгөхөөс үл хамааран энэ нь үргэлж гарч ирдэг. Түүнээс гадна энэ нь хэнд ч байхгүй. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн энэ нь юу ч байж болно (ижил шалтгаанаар - ямар ч хэмжээгээр тэнцүү). Тиймээс объект нь ямар ч сонирхолгүй бөгөөд энэ нь зүгээр л математикаас хаягдсан юм.

Бидэнд ийм асуудал тулгараад байна: ямар ч эерэг түвшинд байгаа, гэхдээ үүнийг огт хасах боломжгүй, учир нь тэг хуваахад үр дүн гарах болно (үүнийг санаарай).

Бид бутархай хүчийг өсгөх асуудалтай тулгарсан үед (энэ нь үндэс болгон төлөөлдөг:. Жишээ нь, (энэ нь), гэхдээ байхгүй.

Тиймээс сөрөг үндэслэлийг хаях нь тэдэнтэй хутгалдахаас илүү хялбар байдаг.

За, бид зөвхөн эерэг суурьтай байдаг тул бид үүнийг ямар ч зэрэг өсгөхөөс үл хамааран бид үргэлж эерэг тоог авдаг. Тиймээс аргумент эерэг байх ёстой. Жишээлбэл, энэ нь байхгүй, учир нь энэ нь ямар ч байдлаар сөрөг тоо байх болно (тэр ч байтугай тэг, тиймээс энэ нь бас байхгүй).

Логарифмын асуудалд эхний алхам бол ODV-ийг бичих явдал юм. Би танд нэг жишээ хэлье:

Тэгшитгэлээ шийдье.

Тодорхойлолтыг санацгаая: логарифм нь аргументыг олж авахын тулд суурийг өсгөх ёстой түвшин юм. Мөн нөхцөлөөр энэ зэрэг нь:.

Бид ердийн квадрат тэгшитгэлийг авна:. Үүнийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдье: язгууруудын нийлбэр тэнцүү ба үржвэр. Сонгоход хялбар, эдгээр нь тоонууд ба.

Харин хариуд нь энэ хоёр тоог шууд аваад бичвэл бодлогод 0 оноо авах боломжтой. Яагаад? Хэрэв бид эдгээр язгуурыг анхны тэгшитгэлд орлуулбал юу болох талаар бодож үзье.

Энэ нь тодорхой буруу, учир нь суурь нь сөрөг байж болохгүй, өөрөөр хэлбэл үндэс нь "гадна" юм.

Ийм тааламжгүй заль мэхээс зайлсхийхийн тулд та тэгшитгэлийг шийдэж эхлэхээсээ өмнө ODV-ийг бичих хэрэгтэй.

Дараа нь үндсийг нь хүлээн авсны дараа бид тэр даруй үндсийг нь хаяж, зөв ​​хариултыг бичнэ.

Жишээ 1(өөрөө шийдэхийг хичээ) :

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол. Хэрэв хэд хэдэн үндэс байгаа бол тэдгээрийн хамгийн жижигийг нь хариултдаа зааж өгнө үү.

Шийдэл:

Юуны өмнө ODZ-г бичье:

Одоо логарифм гэж юу болохыг санацгаая: аргумент авахын тулд суурийг ямар түвшинд өсгөх шаардлагатай вэ? Хоёрдугаарт. Тэр бол:

Жижиг үндэс нь тэнцүү юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ энэ нь тийм биш юм: ODZ-ийн дагуу үндэс нь гадаад, өөрөөр хэлбэл энэ нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс огт биш юм. Тиймээс тэгшитгэл нь зөвхөн нэг үндэстэй байна:.

Хариулт: .

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Логарифмын тодорхойлолтыг ерөнхийд нь санацгаая.

Логарифмын оронд хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна:

Энэ тэгш байдлыг нэрлэдэг үндсэн логарифмын ижилсэл... Хэдийгээр үндсэндээ энэ тэгш байдлыг өөрөөр бичсэн байдаг логарифмын тодорхойлолт:

Энэ бол хүлээн авахын тулд ямар түвшинд хүрэх ёстой.

Жишээлбэл:

Дараах жишээнүүдийг шийднэ үү.

Жишээ 2.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Хэсэг дэх дүрмийг эргэн санацгаая: өөрөөр хэлбэл хүчийг хүчирхэг болгон өсгөх үед үзүүлэлтүүдийг үржүүлдэг. Үүнийг хэрэгжүүлье:

Жишээ 3.

Үүнийг нотол.

Шийдэл:

Логарифмын шинж чанарууд

Харамсалтай нь даалгавар нь үргэлж тийм ч энгийн байдаггүй - ихэнхдээ та эхлээд илэрхийлэлийг хялбарчилж, ердийн хэлбэрт оруулах хэрэгтэй бөгөөд зөвхөн дараа нь утгыг тооцоолох боломжтой болно. Үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол мэдэх явдал юм логарифмын шинж чанарууд... Тиймээс логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг сурцгаая. Би тэдгээрийг тус бүрээр нь батлах болно, учир нь хэрэв та хаанаас ирснийг мэдэж байвал аливаа дүрмийг санах нь илүү хялбар байдаг.

Эдгээр бүх шинж чанаруудыг санаж байх ёстой бөгөөд тэдгээргүйгээр логарифмын ихэнх асуудлыг шийдвэрлэх боломжгүй юм.

Одоо логарифмын бүх шинж чанаруудын талаар илүү дэлгэрэнгүй.

Өмч 1:

Нотолгоо:

За тэгье.

Бидэнд:, гэх мэт.

2-р шинж чанар: Логарифмын нийлбэр

Ижил суурьтай логарифмын нийлбэр нь бүтээгдэхүүний логарифмтай тэнцүү байна. .

Нотолгоо:

За тэгье. За тэгье.

Жишээ:Илэрхийллийн утгыг ол:.

Шийдэл: .

Таны дөнгөж сурсан томьёо нь ялгааг бус логарифмын нийлбэрийг хялбарчлахад тусалдаг тул эдгээр логарифмуудыг шууд нэгтгэх боломжгүй юм. Гэхдээ та эсрэгээр нь хийж болно - эхний логарифмыг хоёр болгон "хуваах": Энд амласан хялбарчлах арга байна:
.
Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? За, жишээ нь: энэ нь юу чухал вэ?

Энэ нь одоо тодорхой болсон.

Одоо өөрийгөө хялбарчлах:

Даалгаварууд:

Хариултууд:

3-р шинж чанар: Логарифмын ялгаа:

Нотолгоо:

Бүх зүйл 2-р зүйлтэй яг ижил байна:

За тэгье.

За тэгье. Бидэнд байгаа:

Сүүлийн догол мөрний жишээ одоо бүр хялбар болсон:

Илүү төвөгтэй жишээ:. Хэрхэн шийдэхээ тааж чадах уу?

Дөрвөлжин дэх логарифмын талаархи ганц томьёо бидэнд байхгүй гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ бол илэрхийлэлтэй төстэй зүйл бөгөөд үүнийг шууд хялбарчлах боломжгүй юм.

Тиймээс, логарифмын талаархи томъёоноос ухарч, математикт ямар томьёог ихэвчлэн ашигладаг талаар бодоцгооё? Бүр 7-р ангиасаа эхлэн!

Энэ -. Тэд хаа сайгүй байдаг гэдэгт та дасах хэрэгтэй! Тэд экспоненциал, тригонометрийн болон иррациональ бодлогод тулгардаг. Тиймээс тэдгээрийг санаж байх ёстой.

Хэрэв та эхний хоёр нэр томъёог анхааралтай ажиглавал энэ нь тодорхой болно квадратуудын ялгаа:

Баталгаажуулах хариулт:

Өөрийгөө хялбарчил.

Жишээ нь

Хариултууд.

Өмч 4: Логарифмын аргументаас илтгэгчийг хасах:

Нотолгоо:Энд бид логарифмын тодорхойлолтыг ашигладаг: let, тэгвэл. Бидэнд:, гэх мэт.

Та энэ дүрмийг дараах байдлаар ойлгож болно.

Өөрөөр хэлбэл, аргументийн зэрэг нь логарифмын өмнө, коэффициент болгон тавигддаг.

Жишээ:Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл: .

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Жишээ нь:

Хариултууд:

5-р шинж чанар: Логарифмын сууринаас илтгэгчийг хасах:

Нотолгоо:За тэгье.

Бидэнд:, гэх мэт.
Санаж байна уу: -аас үндэслэлзэрэг гэж дүрсэлсэн байна эсрэгээрээөмнөх тохиолдлоос ялгаатай нь тоо!

6-р шинж чанар: Суурь болон логарифмын аргументаас илтгэгчийг хасах:

Эсвэл зэрэг нь ижил байвал:.

Өмч 7: Шинэ суурь руу шилжих:

Нотолгоо:За тэгье.

Бидэнд:, гэх мэт.

8-р шинж чанар: Суурь болон логарифмын аргументыг солино уу:

Нотолгоо:Энэ бол 7-р томъёоны онцгой тохиолдол юм: хэрэв бид орлуулбал:, p.t.d.

Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 4.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Бид 2-р логарифмын шинж чанарыг ашигладаг - ижил суурьтай логарифмын нийлбэр нь бүтээгдэхүүний логарифмтай тэнцүү байна.

Жишээ 5.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Бид 3 ба 4-р логарифмын шинж чанарыг ашигладаг.

Жишээ 6.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

№7 өмчийг ашиглах - 2-р суурь руу шилжих:

Жишээ 7.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Нийтлэл танд хэр таалагдаж байна вэ?

Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол нийтлэлийг бүхэлд нь уншсан гэсэн үг.

Мөн энэ нь дажгүй юм!

Одоо энэ нийтлэл танд хэр таалагдаж байгааг хэлээч?

Та логарифмыг хэрхэн шийдэж сурсан уу? Хэрэв тийм биш бол ямар асуудал байна вэ?

Доорх сэтгэгдэл дээр бидэнд бичээрэй.

Тийм ээ, шалгалтанд тань амжилт хүсье.

Шалгалт, шалгалт, ерөнхийдөө амьдралд