Ինտեգրում ըստ մասերի: Լուծումների օրինակներ

Կրկին ողջույն. Այսօր դասի ընթացքում մենք կսովորենք, թե ինչպես ինտեգրվել ըստ մասերի: Մասերով ինտեգրման մեթոդը ինտեգրալ հաշվարկի հիմնաքարերից մեկն է։ Թեստերի կամ քննությունների ժամանակ ուսանողներին գրեթե միշտ խնդրում են լուծել ինտեգրալների հետևյալ տեսակները՝ ամենապարզ ինտեգրալը. (տես հոդվածը)կամ ինտեգրալ՝ փոփոխականը փոխարինելով (տես հոդվածը)կամ ինտեգրալը պարզապես միացված է ինտեգրում մասերի մեթոդով.

Ինչպես միշտ, դուք պետք է ձեռքի տակ ունենաք. Ինտեգրալների աղյուսակԵվ Ածանցյալների աղյուսակ. Եթե ​​դուք դեռ չունեք դրանք, ապա այցելեք իմ կայքի պահեստային սենյակը. Մաթեմատիկական բանաձևեր և աղյուսակներ. Չեմ հոգնի կրկնելուց, ավելի լավ է ամեն ինչ տպել: Ես կփորձեմ ամբողջ նյութը ներկայացնել հետևողական, պարզ և հստակ, առանձնակի դժվարություններ չկան մասերի ինտեգրման հարցում։

Ի՞նչ խնդիր է լուծում մասերի ինտեգրման մեթոդը: Մասերի կողմից ինտեգրման մեթոդը լուծում է շատ կարևոր խնդիր, այն թույլ է տալիս ինտեգրել որոշ գործառույթներ, որոնք չկան աղյուսակում, աշխատանքըֆունկցիաներ, իսկ որոշ դեպքերում՝ նույնիսկ քանորդներ: Ինչպես հիշում ենք, հարմար բանաձև չկա. . Բայց կա այս մեկը. – Մասերի կողմից անձամբ ինտեգրվելու բանաձև: Գիտեմ, գիտեմ, դու միակն ես. մենք նրա հետ կաշխատենք ամբողջ դասի ընթացքում (այժմ ավելի հեշտ է):

Եվ անմիջապես ցուցակը ստուդիա: Հետևյալ տեսակների ինտեգրալները վերցված են ըստ մասերի.

1) , , – լոգարիթմ, լոգարիթմ՝ բազմապատկված ինչ-որ բազմանդամով։

2) ,էքսպոնենցիալ ֆունկցիա է, որը բազմապատկվում է որոշ բազմանդամով: Սա ներառում է նաև ինտեգրալներ, ինչպիսիք են՝ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան, որը բազմապատկվում է բազմանդամով, բայց գործնականում դա 97 տոկոս է, ինտեգրալի տակ կա գեղեցիկ «e» տառ: ... հոդվածը որոշ չափով լիրիկական է ստացվում, այո... գարուն է եկել։

3) , , եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ են՝ բազմապատկված որոշ բազմանդամով։

4) , – հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ («կամարներ»), «կամարներ»՝ բազմապատկված որոշ բազմանդամով։

Որոշ կոտորակներ նույնպես վերցված են մասերով, մանրամասն կդիտարկենք նաև համապատասխան օրինակները։

Լոգարիթմների ինտեգրալներ

Օրինակ 1

Դասական. Ժամանակ առ ժամանակ այս ինտեգրալը կարելի է գտնել աղյուսակներում, սակայն նպատակահարմար չէ օգտագործել պատրաստի պատասխանը, քանի որ ուսուցիչը գարնանային վիտամինի պակաս ունի և խիստ հայհոյելու է։ Քանի որ դիտարկվող ինտեգրալը ոչ մի կերպ աղյուսակային չէ, այն վերցված է մասերով: Մենք որոշում ենք.

Մենք ընդհատում ենք լուծումը միջանկյալ բացատրությունների համար։

Մենք օգտագործում ենք ինտեգրումը ըստ մասերի բանաձևի.

Բանաձևը կիրառվում է ձախից աջ

Մենք նայում ենք ձախ կողմին. Ակնհայտ է, որ մեր օրինակում (և բոլոր մյուսներում, որոնք մենք կքննարկենք), ինչ-որ բան պետք է նշանակվի որպես և ինչ-որ բան:

Քննարկվող տիպի ինտեգրալներում լոգարիթմը միշտ նշվում է։

Տեխնիկապես լուծման ձևավորումն իրականացվում է հետևյալ կերպ. սյունակում գրում ենք.

Այսինքն, մենք լոգարիթմը նշել ենք և - մնացած մասըինտեգրալ արտահայտություն.

Հաջորդ փուլ՝ գտնել դիֆերենցիալը.

Դիֆերենցիալը գրեթե նույնն է, ինչ ածանցյալը, մենք արդեն քննարկել ենք, թե ինչպես գտնել այն նախորդ դասերում:

Այժմ մենք գտնում ենք գործառույթը: Գործառույթը գտնելու համար անհրաժեշտ է ինտեգրվել աջ կողմցածր հավասարություն.

Այժմ մենք բացում ենք մեր լուծումը և կառուցում բանաձևի աջ կողմը.
Ի դեպ, ահա վերջնական լուծման նմուշ մի քանի նշումներով.

Աշխատանքի միակ կետն այն է, որ ես անմիջապես փոխանակեցի և, քանի որ ընդունված է գործակիցը գրել լոգարիթմից առաջ։

Ինչպես տեսնում եք, ինտեգրումն ըստ մասերի բանաձևի կիրառումը մեր լուծումը էապես նվազեցրեց երկու պարզ ինտեգրալների:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ որոշ դեպքերում անմիջապես հետոԲանաձևի կիրառմամբ, պարզեցումը պարտադիր է կատարվում մնացած ինտեգրալի տակ. դիտարկվող օրինակում մենք ինտեգրանդը իջեցրինք «x»:

Եկեք ստուգենք. Դա անելու համար հարկավոր է վերցնել պատասխանի ածանցյալը.

Ստացվել է սկզբնական ինտեգրման ֆունկցիան, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրալը ճիշտ է լուծվել։

Փորձարկման ընթացքում մենք օգտագործեցինք արտադրանքի տարբերակման կանոնը. . Եվ սա պատահական չէ։

Ըստ մասերի ինտեգրման բանաձև և բանաձեւ - սրանք երկու փոխադարձ հակադարձ կանոններ են:

Օրինակ 2

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը:

Ինտեգրանդը լոգարիթմի և բազմանդամի արտադրյալն է։
Եկեք որոշենք.

Ես ևս մեկ անգամ մանրամասն կնկարագրեմ կանոնը կիրառելու կարգը, հետագայում օրինակները կներկայացվեն ավելի հակիրճ, և եթե դժվարություններ ունեք ինքնուրույն լուծելու համար, ապա պետք է վերադառնաք դասի առաջին երկու օրինակներին: .

Ինչպես արդեն նշվեց, անհրաժեշտ է նշել լոգարիթմը (այն, որ դա ուժ է, նշանակություն չունի): Նշում ենք ըստ մնացած մասըինտեգրալ արտահայտություն.

Սյունակում գրում ենք.

Նախ մենք գտնում ենք դիֆերենցիալը.

Այստեղ մենք օգտագործում ենք բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը . Պատահական չէ, որ թեմայի հենց առաջին դասին Անորոշ ինտեգրալ։ Լուծումների օրինակներԵս կենտրոնացա այն փաստի վրա, որ ինտեգրալներին տիրապետելու համար անհրաժեշտ է «ձեռք բերել» ածանցյալները։ Դուք ստիպված կլինեք գործ ունենալ ածանցյալների հետ մեկից ավելի անգամ:

Այժմ մենք գտնում ենք գործառույթը, դրա համար մենք ինտեգրում ենք աջ կողմցածր հավասարություն.

Ինտեգրման համար մենք օգտագործեցինք ամենապարզ աղյուսակային բանաձևը

Այժմ ամեն ինչ պատրաստ է բանաձեւը կիրառելու համար . Բացեք աստղանիշով և լուծումը «կառուցեք» աջ կողմի համաձայն.

Ինտեգրալի տակ մենք կրկին ունենք լոգարիթմի բազմանդամ: Հետևաբար, լուծումը կրկին ընդհատվում է և երկրորդ անգամ կիրառվում է մասերով ինտեգրվելու կանոնը։ Մի մոռացեք, որ նմանատիպ իրավիճակներում լոգարիթմը միշտ նշվում է:

Լավ կլիներ, որ մինչ այժմ իմանայիք, թե ինչպես կարելի է բանավոր կերպով գտնել ամենապարզ ինտեգրալներն ու ածանցյալները։

(1) Մի շփոթվեք նշանների մասին: Շատ հաճախ այստեղ մինուսը կորչում է, նշեք նաև, որ մինուսը վերաբերում է բոլորինփակագիծ , և այս փակագծերը պետք է ճիշտ ընդլայնվեն:

(2) Բացեք փակագծերը: Մենք պարզեցնում ենք վերջին ինտեգրալը։

(3) Մենք վերցնում ենք վերջին ինտեգրալը:

(4) «Սանրում» պատասխանը:

Մասերի կողմից ինտեգրման կանոնը երկու անգամ (կամ նույնիսկ երեք անգամ) կիրառելու անհրաժեշտությունը հազվադեպ է առաջանում:

Եվ հիմա մի քանի օրինակ ձեր սեփական լուծման համար.

Օրինակ 3

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը:

Այս օրինակը լուծվում է փոփոխականը փոխելով (կամ փոխարինելով այն դիֆերենցիալ նշանի տակ): Ինչու ոչ, կարող եք փորձել վերցնել այն մաս-մաս, ծիծաղելի բան կստացվի:

Օրինակ 4

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը:

Բայց այս ինտեգրալը ինտեգրված է մասերով (խոստացված կոտորակը):

Սրանք օրինակներ են, որոնք կարող եք ինքնուրույն լուծել, լուծումներ և պատասխաններ դասի վերջում:

Թվում է, թե 3-րդ և 4-րդ օրինակներում ինտեգրալները նման են, բայց լուծման մեթոդները տարբեր են: Սա է ինտեգրալների յուրացման հիմնական դժվարությունը. եթե սխալ մեթոդ եք ընտրել ինտեգրալը լուծելու համար, ապա կարող եք ժամերով շփոթել դրա հետ, ինչպես իրական գլուխկոտրուկով: Հետեւաբար, որքան շատ լուծեք տարբեր ինտեգրալներ, այնքան լավ, այնքան հեշտ կլինի թեստն ու քննությունը: Բացի այդ, երկրորդ տարում կլինեն դիֆերենցիալ հավասարումներ, և առանց ինտեգրալների և ածանցյալների լուծման փորձի, այնտեղ անելիք չկա:

Լոգարիթմների առումով սա, հավանաբար, ավելի քան բավարար է։ Որպես մի կողմ, ես կարող եմ նաև հիշել, որ ճարտարագիտության ուսանողներն օգտագործում են լոգարիթմներ՝ կանանց կուրծքը =): Ի դեպ, օգտակար է անգիր իմանալ հիմնական տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ սինուս, կոսինուս, արկտանգենս, ցուցիչ, երրորդ, չորրորդ աստիճանի բազմանդամներ և այլն։ Ոչ, իհարկե, պահպանակ ամբողջ աշխարհում
Չեմ ձգի, բայց հիմա շատ բան կհիշես հատվածից Գծապատկերներ և գործառույթներ =).

Էքսպոնենցիալի ինտեգրալները բազմանդամով

Ընդհանուր կանոն.

Օրինակ 5

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը:

Օգտագործելով ծանոթ ալգորիթմ, մենք ինտեգրում ենք ըստ մասերի.

Եթե ​​դուք դժվարություններ ունեք ինտեգրալի հետ, ապա պետք է վերադառնաք հոդվածին Փոփոխական փոփոխության մեթոդ անորոշ ինտեգրալում.

Միակ այլ բանը, որ դուք կարող եք անել, պատասխանն ուղղելն է.

Բայց եթե ձեր հաշվարկման տեխնիկան այնքան էլ լավը չէ, ապա ամենաշահավետ տարբերակը դա որպես պատասխան թողնելն է կամ նույնիսկ

Այսինքն՝ օրինակը համարվում է լուծված, երբ վերցվում է վերջին ինտեգրալը։ Սխալ չի լինի, այլ հարց է, որ ուսուցիչը կարող է խնդրել ձեզ պարզեցնել պատասխանը:

Օրինակ 6

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը:

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Այս ինտեգրալը երկու անգամ ինտեգրված է մասերի կողմից: Առանձնահատուկ ուշադրություն պետք է դարձնել նշաններին. նրանց մեջ հեշտ է շփոթվել, մենք նաև հիշում ենք, որ սա բարդ գործառույթ է:

Ցուցահանդեսի մասին ավելին ասելու ոչինչ չկա: Կարող եմ միայն ավելացնել, որ էքսպոնենցիալը և բնական լոգարիթմը փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաներ են, սա ես եմ բարձրագույն մաթեմատիկայի զվարճալի գրաֆիկների թեմայում =) Կանգնիր, կանգ առիր, մի անհանգստացիր, դասախոսը սթափ է։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալները բազմանդամով

Ընդհանուր կանոն. for միշտ նշանակում է բազմանդամ

Օրինակ 7

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը:

Եկեք ինտեգրվենք ըստ մասերի.

Հմմ...և մեկնաբանելու բան չկա։

Օրինակ 8

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքներդ լուծելու համար

Օրինակ 9

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Մեկ այլ օրինակ կոտորակի հետ: Ինչպես նախորդ երկու օրինակներում, for-ը նշանակում է բազմանդամ:

Եկեք ինտեգրվենք ըստ մասերի.

Եթե ​​ինտեգրալը գտնելու հետ կապված դժվարություններ կամ թյուրիմացություններ ունեք, խորհուրդ եմ տալիս մասնակցել դասին Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալներ.

Օրինակ 10

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։

Հուշում. Նախքան մասերով ինտեգրման մեթոդն օգտագործելը, դուք պետք է կիրառեք որոշ եռանկյունաչափական բանաձև, որը երկու եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը վերածում է մեկ ֆունկցիայի: Բանաձևը կարող է օգտագործվել նաև ըստ մասերի ինտեգրման մեթոդի կիրառման ժամանակ, որն ավելի հարմար է ձեզ համար:

Դա, հավանաբար, այս պարբերության մեջ է: Չգիտես ինչու, ես հիշեցի մի տող ֆիզիկամաթեմատիկական օրհներգից «Եվ սինուսային գրաֆիկը անցնում է ալիք առ ալիք աբսցիսայի առանցքի երկայնքով»…:

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալներ։
Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալները բազմանդամով

Ընդհանուր կանոն. միշտ նշանակում է հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիա.

Հիշեցնեմ, որ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներառում են արկսին, արկկոսին, արկտանգենս և արկոտանգենս: Գրառման հակիրճ լինելու համար ես դրանք կանվանեմ «կամարներ»

Բարդ ինտեգրալներ

Այս հոդվածը եզրափակում է անորոշ ինտեգրալների թեման և ներառում է ինտեգրալներ, որոնք ես բավականին բարդ եմ համարում: Դասը ստեղծվել է այցելուների բազմիցս խնդրանքով, ովքեր ցանկություն են հայտնել, որ ավելի բարդ օրինակներ վերլուծվեն կայքում։

Ենթադրվում է, որ այս տեքստի ընթերցողը լավ պատրաստված է և գիտի, թե ինչպես կիրառել ինտեգրման հիմնական տեխնիկան: Կեղծիքները և մարդիկ, ովքեր այնքան էլ վստահ չեն ինտեգրալների մեջ, պետք է վերաբերվեն հենց առաջին դասին. Անորոշ ինտեգրալ։ Լուծումների օրինակներ, որտեղ կարելի է գրեթե զրոյից տիրապետել թեմային։ Ավելի փորձառու ուսանողները կարող են ծանոթանալ ինտեգրման մեթոդներին և մեթոդներին, որոնք դեռ չեն հանդիպել իմ հոդվածներում:

Ի՞նչ ինտեգրալներ են դիտարկվելու:

Նախ կդիտարկենք արմատներով ինտեգրալներ, որոնց լուծման համար հաջորդաբար օգտագործում ենք փոփոխական փոխարինումԵվ ինտեգրում ըստ մասերի. Այսինքն՝ մեկ օրինակում միանգամից երկու տեխնիկա են համակցված։ Եվ նույնիսկ ավելին:

Հետո կծանոթանանք հետաքրքիր ու օրիգինալին Ինտեգրալն ինքն իրեն նվազեցնելու մեթոդ. Բավականին մի քանի ինտեգրալներ լուծվում են այսպես.

Ծրագրի երրորդ թողարկումը կլինի բարդ կոտորակների ինտեգրալները, որոնք նախորդ հոդվածներում անցան դրամարկղի կողքով:

Չորրորդ, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից լրացուցիչ ինտեգրալներ կվերլուծվեն: Մասնավորապես, կան մեթոդներ, որոնք խուսափում են ժամանակատար ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինումից:

(2) Ինտեգրանդ ֆունկցիայի մեջ մենք համարիչը բաժանում ենք հայտարարի անդամով:

(3) Մենք օգտագործում ենք անորոշ ինտեգրալի գծայինության հատկությունը: Վերջին ինտեգրալում անմիջապես ֆունկցիան դնել դիֆերենցիալ նշանի տակ.

(4) Մենք վերցնում ենք մնացած ինտեգրալները: Նկատի ունեցեք, որ լոգարիթմում դուք կարող եք օգտագործել ոչ թե մոդուլ, այլ փակագծեր, քանի որ .

(5) Մենք իրականացնում ենք հակադարձ փոխարինում՝ ուղղակի փոխարինումից արտահայտելով «te».

Մազոխիստ ուսանողները կարող են տարբերակել պատասխանը և ստանալ սկզբնական ինտեգրանդը, ինչպես ես հենց նոր արեցի: Ոչ, ոչ, ես ստուգումը ճիշտ իմաստով եմ արել =)

Ինչպես տեսնում եք, լուծման ընթացքում մենք ստիպված էինք օգտագործել նույնիսկ ավելի քան երկու լուծման մեթոդներ, ուստի նման ինտեգրալների հետ գործ ունենալու համար ձեզ անհրաժեշտ են վստահ ինտեգրման հմտություններ և բավականին մեծ փորձ:

Գործնականում, իհարկե, քառակուսի արմատն ավելի տարածված է, ահա այն ինքներդ լուծելու երեք օրինակ.

Օրինակ 2

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Օրինակ 3

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Օրինակ 4

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Այս օրինակները նույն տիպի են, ուստի հոդվածի վերջում ամբողջական լուծումը կլինի միայն օրինակ 2-ի համար, օրինակ 3-4-ն ունեն նույն պատասխանները: Ո՞ր փոխարինումն օգտագործել որոշումների սկզբում, կարծում եմ, ակնհայտ է։ Ինչու՞ ընտրեցի նույն տեսակի օրինակներ: Հաճախ հանդիպում են իրենց դերում: Ավելի հաճախ, գուցե, պարզապես նման բան .

Բայց ոչ միշտ, երբ արկտանգենս, սինուս, կոսինուս, էքսպոնենցիալ և այլ ֆունկցիաների տակ կա գծային ֆունկցիայի արմատ, պետք է միանգամից մի քանի մեթոդ կիրառել։ Մի շարք դեպքերում հնարավոր է «հեշտ իջնել», այսինքն՝ փոխարինումից անմիջապես հետո ստացվում է պարզ ինտեգրալ, որը հեշտությամբ կարելի է վերցնել։ Վերոնշյալ առաջադրանքներից ամենահեշտը օրինակ 4-ն է, որտեղ փոխարինումից հետո ստացվում է համեմատաբար պարզ ինտեգրալ։

Ինտեգրալն ինքն իրեն նվազեցնելով

Սրամիտ և գեղեցիկ մեթոդ. Եկեք նայենք ժանրի դասականներին.

Օրինակ 5

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Արմատի տակ քառակուսի երկանդամ է, և այս օրինակը ինտեգրելու փորձերը կարող են ժամերով գլխացավանք պատճառել թեյնիկին: Նման ինտեգրալը վերցվում է մասերով և կրճատվում է ինքն իրեն։ Սկզբունքորեն, դա դժվար չէ. Եթե ​​դուք գիտեք, թե ինչպես.

Դիտարկվող ինտեգրալը նշանակենք լատինատառով և սկսենք լուծումը.

Եկեք ինտեգրվենք ըստ մասերի.

(1) Պատրաստել ինտեգրման ֆունկցիան՝ տերմին առ տերմին բաժանման համար:

(2) Ինտեգրանդ ֆունկցիան բաժանում ենք տերմինի: Հնարավոր է, որ դա բոլորի համար պարզ չէ, բայց ես այն ավելի մանրամասն կներկայացնեմ.

(3) Մենք օգտագործում ենք անորոշ ինտեգրալի գծայինության հատկությունը:

(4) Վերցրեք վերջին ինտեգրալը («երկար» լոգարիթմ):

Հիմա եկեք նայենք լուծման հենց սկզբին.

Եվ վերջում.

Ինչ է պատահել? Մեր մանիպուլյացիաների արդյունքում ինտեգրալը կրճատվեց ինքն իրեն։

Հավասարեցնենք սկիզբն ու վերջը.

Նշանի փոփոխությամբ շարժվեք դեպի ձախ.

Եվ մենք երկուսը տեղափոխում ենք աջ կողմը: Որպես արդյունք:

Անընդհատը, խիստ ասած, պետք է ավելի վաղ ավելացվեր, բայց վերջում ավելացրի։ Ես խստորեն խորհուրդ եմ տալիս կարդալ, թե որն է խստությունը այստեղ.

Նշում: Ավելի խիստ, լուծման վերջնական փուլն այսպիսին է թվում.

Այսպիսով.

հաստատունը կարող է վերանշանակվել ըստ . Ինչու՞ այն կարող է վերաձեւակերպվել: Քանի որ նա դեռ ընդունում է դա ցանկացածարժեքներ, և այս առումով տարբերություն չկա հաստատունների և.
Որպես արդյունք:

Նմանատիպ հնարք՝ մշտական ​​վերափոխմամբ, լայնորեն կիրառվում է Հայաստանում դիֆերենցիալ հավասարումներ. Եվ այնտեղ ես խիստ կլինեմ։ Եվ ահա ես նման ազատություն եմ թույլ տալիս միայն ձեզ ավելորդ բաների հետ չշփոթելու և ուշադրությունը բուն ինտեգրման մեթոդի վրա կենտրոնացնելու համար։

Օրինակ 6

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Մեկ այլ բնորոշ ինտեգրալ անկախ լուծման համար: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։ Նախորդ օրինակի պատասխանի հետ տարբերություն կլինի:

Եթե ​​քառակուսի արմատի տակ կա քառակուսի եռանկյուն, ապա լուծումն ամեն դեպքում հանգում է երկու վերլուծված օրինակի։

Օրինակ, հաշվի առեք ինտեգրալը . Ձեզ անհրաժեշտ է միայն առաջինը ընտրեք ամբողջական քառակուսի:
.
Հաջորդը կատարվում է գծային փոխարինում, որն անում է «առանց որևէ հետևանքի».
, որի արդյունքում ինտեգրալը . Ծանոթ բան, չէ՞:

Կամ այս օրինակը՝ քառակուսի երկանդամով.
Ընտրեք ամբողջական քառակուսի.
Եվ գծային փոխարինումից հետո մենք ստանում ենք ինտեգրալը, որը նույնպես լուծվում է արդեն քննարկված ալգորիթմի միջոցով։

Դիտարկենք ևս երկու բնորոշ օրինակ, թե ինչպես կարելի է ինտեգրալն ինքն իրեն կրճատել.
– էքսպոնենցիալի ինտեգրալը բազմապատկված սինուսով.
– էքսպոնենցիալի ինտեգրալը՝ բազմապատկված կոսինուսով:

Թվարկված ինտեգրալներում ըստ մասերի դուք ստիպված կլինեք ինտեգրվել երկու անգամ.

Օրինակ 7

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Ինտեգրանդը սինուսով բազմապատկած էքսպոնենցիալն է։

Մենք երկու անգամ ինտեգրվում ենք մասերով և ինտեգրալը փոքրացնում ենք ինքն իրեն.

Մասերի կողմից կրկնակի ինտեգրման արդյունքում ինտեգրալը կրճատվել է դեպի իրեն։ Մենք հավասարեցնում ենք լուծման սկիզբն ու վերջը.

Մենք այն տեղափոխում ենք ձախ կողմը նշանի փոփոխությամբ և արտահայտում մեր ինտեգրալը.

Պատրաստ. Միևնույն ժամանակ, նպատակահարմար է սանրել աջ կողմը, այսինքն. փակագծերից հանեք ցուցիչը և փակագծերում տեղադրեք սինուսն ու կոսինուսը «գեղեցիկ» հերթականությամբ:

Այժմ վերադառնանք օրինակի սկզբին, ավելի ճիշտ՝ ինտեգրմանը ըստ մասերի.

Մենք նշանակեցինք ցուցանիշը որպես. Հարց է առաջանում՝ արդյոք դա այն ցուցիչն է, որը միշտ պետք է նշանակվի . Ոչ անհրաժեշտ. Փաստորեն, դիտարկված ինտեգրալում հիմնովին նշանակություն չունի, ինչ նկատի ունենք ասելով, մենք կարող էինք գնալ այլ ճանապարհով.

Ինչու է դա հնարավոր: Քանի որ էքսպոնենցիալը վերածվում է ինքն իր մեջ (ինչպես տարբերակման, այնպես էլ ինտեգրման ժամանակ), սինուսն ու կոսինուսը փոխադարձաբար վերածվում են միմյանց (կրկին և՛ տարբերակման, և՛ ինտեգրման ժամանակ)։

Այսինքն՝ մենք կարող ենք նշել նաև եռանկյունաչափական ֆունկցիա։ Բայց, դիտարկված օրինակում, դա ավելի քիչ ռացիոնալ է, քանի որ կոտորակները կհայտնվեն: Եթե ​​ցանկանում եք, կարող եք փորձել լուծել այս օրինակը՝ օգտագործելով երկրորդ մեթոդը, պատասխանները պետք է համընկնեն:

Օրինակ 8

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Նախքան որոշելը, մտածեք, թե այս դեպքում ո՞րն է ավելի ձեռնտու նշանակել որպես ցուցիչ, թե՞ եռանկյունաչափական ֆունկցիա: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Եվ, իհարկե, մի մոռացեք, որ այս դասի պատասխանների մեծ մասը բավականին հեշտ է ստուգել տարբերակման միջոցով:

Դիտարկված օրինակներն ամենաբարդը չէին։ Գործնականում ինտեգրալներն ավելի տարածված են այնտեղ, որտեղ հաստատունը գտնվում է և՛ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի ցուցիչում, և՛ արգումենտում, օրինակ՝ . Նման ինտեգրալում շատերը կշփոթվեն, իսկ ես ինքս հաճախ եմ շփոթվում։ Փաստն այն է, որ լուծույթում կոտորակների հայտնվելու հավանականությունը մեծ է, իսկ անզգուշությամբ ինչ-որ բան կորցնելը շատ հեշտ է։ Բացի այդ, նշաններում սխալվելու մեծ հավանականություն կա, նշեք, որ ցուցիչը ունի մինուս նշան, և դա լրացուցիչ դժվարություն է առաջացնում:

Վերջնական փուլում արդյունքը հաճախ այսպիսին է լինում.

Նույնիսկ լուծման վերջում դուք պետք է չափազանց զգույշ լինեք և ճիշտ հասկանաք կոտորակները.

Բարդ կոտորակների ինտեգրում

Մենք կամաց-կամաց մոտենում ենք դասի հասարակածին և սկսում ենք դիտարկել կոտորակների ինտեգրալները: Կրկին, նրանցից ոչ բոլորն են գերբարդ բարդ, պարզապես այս կամ այն ​​պատճառով օրինակները մի փոքր «թեմայից դուրս» էին այլ հոդվածներում:

Շարունակելով արմատների թեման

Օրինակ 9

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Արմատի տակ գտնվող հայտարարի մեջ կա քառակուսի եռանկյուն գումարած «հավելված»՝ արմատից դուրս «X»-ի տեսքով։ Այս տեսակի ինտեգրալը կարող է լուծվել ստանդարտ փոխարինման միջոցով:

Մենք որոշում ենք.

Այստեղ փոխարինումը պարզ է.

Եկեք նայենք կյանքին փոխարինումից հետո.

(1) Փոխարինելուց հետո մենք արմատի տակ գտնվող տերմինները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի:
(2) Այն հանում ենք արմատի տակից։
(3) համարիչն ու հայտարարը կրճատվում են . Միևնույն ժամանակ, արմատի տակ ես հարմար հերթականությամբ վերադասավորեցի տերմինները։ Որոշակի փորձի դեպքում (1), (2) քայլերը կարելի է բաց թողնել՝ մեկնաբանված գործողությունները բանավոր կատարելով:
(4) Ստացված ինտեգրալը, ինչպես հիշում եք դասից Որոշ կոտորակների ինտեգրում, որոշվում է ամբողջական քառակուսի արդյունահանման մեթոդ. Ընտրեք ամբողջական քառակուսի:
(5) Ինտեգրման միջոցով մենք ստանում ենք սովորական «երկար» լոգարիթմ:
(6) Մենք իրականացնում ենք հակադարձ փոխարինում: Եթե ​​սկզբում, ապա հետ.
(7) Վերջնական գործողությունը նպատակաուղղված է արդյունքի ուղղմանը. արմատի տակ մենք կրկին տերմինները բերում ենք ընդհանուր հայտարարի և հանում արմատի տակից։

Օրինակ 10

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Այստեղ հաստատուն է ավելացվում միայնակ «X»-ին, և փոխարինումը գրեթե նույնն է.

Միակ բանը, որ պետք է լրացուցիչ անեք, կատարվող փոխարինումից «x»-ն արտահայտելն է.

Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Երբեմն նման ինտեգրալում արմատի տակ կարող է լինել քառակուսի երկանդամ, սա չի փոխում լուծման եղանակը, ավելի պարզ կլինի։ Զգացեք տարբերությունը.

Օրինակ 11

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Օրինակ 12

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Համառոտ լուծումներ և պատասխաններ դասի վերջում: Պետք է նշել, որ օրինակ 11-ը ճիշտ է երկանդամ ինտեգրալ, որի լուծման եղանակը քննարկվել է դասարանում Իռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալներ.

Հզորության 2-րդ աստիճանի անբաժանելի բազմանդամի ինտեգրալ

(բազմանդամը հայտարարի մեջ)

Ինտեգրալի ավելի հազվագյուտ տեսակ, որը, այնուամենայնիվ, հանդիպում է գործնական օրինակներում:

Օրինակ 13

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Բայց եկեք վերադառնանք 13-ի հաջողակ թվով օրինակին (անկեղծ ասած, ես ճիշտ չէի կռահել): Այս ինտեգրալը նաև նրանցից է, որը կարող է բավականին հիասթափեցնող լինել, եթե չգիտեք, թե ինչպես լուծել:

Լուծումը սկսվում է արհեստական ​​փոխակերպմամբ.

Կարծում եմ՝ բոլորն արդեն հասկանում են, թե ինչպես կարելի է համարիչը բաժանել հայտարարի անդամ առ անդամ։

Ստացված ինտեգրալը վերցված է մասերով.

Ձևի (– բնական թիվ) ինտեգրալի համար մենք բխում ենք կրկնվողնվազեցման բանաձև.
, Որտեղ – մի աստիճան ցածր ինտեգրալ:

Եկեք ստուգենք այս բանաձևի վավերականությունը լուծված ինտեգրալի համար:
Այս դեպքում՝ , , մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Ինչպես տեսնում եք, պատասխանները նույնն են.

Օրինակ 14

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Նմուշի լուծումը օգտագործում է վերը նշված բանաձեւը երկու անգամ հաջորդաբար:

Եթե ​​աստիճանի տակ է անբաժանելիքառակուսի եռանդամ, ապա լուծումը վերածվում է երկանդամի՝ մեկուսացնելով կատարյալ քառակուսին, օրինակ.

Իսկ եթե համարիչում կա լրացուցիչ բազմանդամ: Այս դեպքում կիրառվում է անորոշ գործակիցների մեթոդը, իսկ ինտեգրանդ ֆունկցիան ընդլայնվում է կոտորակների գումարի մեջ։ Բայց իմ պրակտիկայում նման օրինակ կա երբեք չի հանդիպել, ուստի հոդվածում բաց եմ թողել այս դեպքը Կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալներ, ես հիմա դա բաց կթողնեմ։ Եթե ​​դուք դեռ հանդիպում եք նման ինտեգրալին, նայեք դասագրքին՝ այնտեղ ամեն ինչ պարզ է։ Չեմ կարծում, որ նպատակահարմար է ներառել նյութը (նույնիսկ պարզը), որի հետ հանդիպելու հավանականությունը զրոյի է ձգտում:

Բարդ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրում

Օրինակների մեծ մասի համար «բարդ» ածականը կրկին հիմնականում պայմանական է: Սկսենք բարձր հզորությունների շոշափողներից և կոտանգենսներից: Օգտագործված լուծման եղանակների տեսանկյունից շոշափողն ու կոտանգենսը գրեթե նույնն են, ուստի ես ավելի շատ կխոսեմ շոշափողի մասին՝ ակնարկելով, որ ինտեգրալի լուծման ցուցադրված մեթոդը վավեր է նաև կոտանգենսի համար։

Վերոնշյալ դասում մենք նայեցինք ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինումեռանկյունաչափական ֆունկցիաների որոշակի տեսակի ինտեգրալների լուծման համար։ Համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինման թերությունն այն է, որ դրա օգտագործումը հաճախ հանգեցնում է դժվարին հաշվարկներով ծանր ինտեգրալների: Եվ որոշ դեպքերում, համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինումը կարելի է խուսափել:

Դիտարկենք մեկ այլ կանոնական օրինակ՝ մեկի սինուսով բաժանված ինտեգրալը.

Օրինակ 17

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Այստեղ դուք կարող եք օգտագործել ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինումը և ստանալ պատասխանը, բայց կա ավելի ռացիոնալ ճանապարհ: Ես կտրամադրեմ ամբողջական լուծումը յուրաքանչյուր քայլի համար մեկնաբանություններով.

(1) Մենք օգտագործում ենք եռանկյունաչափական բանաձևը կրկնակի անկյան սինուսի համար:
(2) Մենք արհեստական ​​փոխակերպում ենք կատարում՝ բաժանել հայտարարի մեջ և բազմապատկել .
(3) Օգտագործելով հայտարարի հայտնի բանաձևը, մենք կոտորակը վերածում ենք շոշափողի:
(4) Մենք ֆունկցիան բերում ենք դիֆերենցիալ նշանի տակ։
(5) Վերցրեք ինտեգրալը:

Մի քանի պարզ օրինակներ, որոնք դուք կարող եք ինքնուրույն լուծել.

Օրինակ 18

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Նշում. Առաջին քայլը պետք է լինի կրճատման բանաձևի օգտագործումը և զգուշորեն կատարեք նախորդ օրինակի նման գործողություններ:

Օրինակ 19

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Դե, սա շատ պարզ օրինակ է։

Դասի վերջում լրացրեք լուծումները և պատասխանները:

Կարծում եմ, որ հիմա ոչ ոք խնդիր չի ունենա ինտեգրալների հետ.
եւ այլն։

Ո՞րն է մեթոդի գաղափարը: Գաղափարն այն է, որ օգտագործվեն փոխակերպումներ և եռանկյունաչափական բանաձևեր՝ միայն շոշափողներն ու շոշափող ածանցյալը ինտեգրանդում կազմակերպելու համար: Այսինքն՝ խոսքը փոխարինելու մասին է. . Օրինակներ 17-19-ում մենք իրականում օգտագործեցինք այս փոխարինումը, բայց ինտեգրալներն այնքան պարզ էին, որ մենք հասանք համարժեք գործողության՝ ֆունկցիան ներառելով դիֆերենցիալ նշանի տակ:

Նմանատիպ պատճառաբանություն, ինչպես արդեն նշեցի, կարող է իրականացվել կոտանգենսի համար:

Վերոնշյալ փոխարինումը կիրառելու համար կա նաև պաշտոնական նախադրյալ.

Կոսինուսի և սինուսի հզորությունների գումարը բացասական ամբողջ թիվ ԶՈՒԳԻ թիվ է, Օրինակ:

ինտեգրալի համար՝ բացասական ամբողջ թիվ ԱՆԳԱՄ թիվ:

! Նշում եթե ինտեգրանդը պարունակում է ՄԻԱՅՆ սինուս կամ ՄԻԱՅՆ կոսինուս, ապա ինտեգրալը նույնպես վերցվում է բացասական կենտ աստիճանի համար (ամենապարզ դեպքերը օրինակներ թիվ 17, 18):

Դիտարկենք այս կանոնի հիման վրա մի քանի ավելի իմաստալից առաջադրանքներ.

Օրինակ 20

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Սինուսի և կոսինուսի հզորությունների գումարը՝ 2 – 6 = –4 բացասական ամբողջ թիվ ԶՈՒՅԳ թիվ է, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրալը կարող է կրճատվել շոշափողների և նրա ածանցյալի.

(1) Փոխակերպենք հայտարարը:
(2) Օգտագործելով հայտնի բանաձևը, մենք ստանում ենք.
(3) Փոխակերպենք հայտարարը:
(4) Մենք օգտագործում ենք բանաձևը .
(5) Մենք ֆունկցիան բերում ենք դիֆերենցիալ նշանի տակ։
(6) Մենք իրականացնում ենք փոխարինում: Ավելի փորձառու ուսանողները կարող են չկատարել փոխարինումը, բայց դեռ ավելի լավ է շոշափողը փոխարինել մեկ տառով. շփոթվելու ավելի քիչ վտանգ կա:

Օրինակ 21

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։

Կանգնեք այնտեղ, առաջնության փուլերը շուտով սկսվում են =)

Հաճախ ինտեգրանդը պարունակում է «hodgepodge»:

Օրինակ 22

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Այս ինտեգրալն ի սկզբանե պարունակում է շոշափող, որն անմիջապես տանում է դեպի արդեն ծանոթ միտք.

Արհեստական ​​տրանսֆորմացիան հենց սկզբում և մնացած քայլերը կթողնեմ առանց մեկնաբանության, քանի որ ամեն ինչ արդեն խոսվել է վերևում։

Մի քանի ստեղծագործական օրինակ ձեր սեփական լուծման համար.

Օրինակ 23

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Օրինակ 24

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը

Այո, դրանցում, իհարկե, դուք կարող եք իջեցնել սինուսի և կոսինուսի ուժերը և օգտագործել համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինում, բայց լուծումը շատ ավելի արդյունավետ և կարճ կլինի, եթե այն իրականացվի շոշափողների միջոցով: Ամբողջական լուծում և պատասխաններ դասի վերջում

Հակածանցյալների աղյուսակ («ինտեգրալներ»): Ինտեգրալների աղյուսակ. Աղյուսակային անորոշ ինտեգրալներ. (Ամենապարզ ինտեգրալները և ինտեգրալները պարամետրով): Ըստ մասերի ինտեգրման բանաձևեր. Նյուտոն-Լայբնից բանաձև.

Հակածանցյալների աղյուսակ («ինտեգրալներ»): Աղյուսակային անորոշ ինտեգրալներ. (Ամենապարզ ինտեգրալները և ինտեգրալները պարամետրով):
Հզորության ֆունկցիայի ինտեգրալ:	Հզորության ֆունկցիայի ինտեգրալ:
Ինտեգրալ, որը վերածվում է հզորության ֆունկցիայի ինտեգրալի, եթե x-ը շարժվում է դիֆերենցիալ նշանի տակ:
	Էքսպոնենցիալի ինտեգրալ, որտեղ a-ն հաստատուն թիվ է:
Բարդ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ինտեգրալ:	Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ինտեգրալ։
Բնական լոգարիթմին հավասար ինտեգրալ։	Ինտեգրալ՝ «Երկար լոգարիթմ»։
	Ինտեգրալ՝ «Երկար լոգարիթմ»։
Ինտեգրալ՝ «Բարձր լոգարիթմ»։	Ինտեգրալը, որտեղ x-ը համարիչում դրված է դիֆերենցիալ նշանի տակ (նշանի տակ հաստատունը կարող է գումարվել կամ հանվել), ի վերջո նման է բնական լոգարիթմին հավասար ինտեգրալին։
Ինտեգրալ՝ «Բարձր լոգարիթմ»։
Կոսինուսային ինտեգրալ.	Սինուսային ինտեգրալ:
Շոշափողին հավասար ինտեգրալ։	Ինտեգրալը հավասար է կոտանգենսին:
Ինտեգրալ հավասար է և՛ արկսինին, և՛ արկկոսինին
Ինտեգրալ, որը հավասար է և՛ արկսինին, և՛ արկկոսինին:	Ինտեգրալ, որը հավասար է և՛ արկտանգենսին, և՛ արկոտանգենսին:
Ինտեգրալը հավասար է կոսեկանտին:	Սեկանտին հավասար ինտեգրալ։
Ինտեգրալը հավասար է աղեղային:	Ինտեգրալը հավասար է arccosecant-ին:
Ինտեգրալը հավասար է աղեղային:	Ինտեգրալը հավասար է աղեղային:
Ինտեգրալը հավասար է հիպերբոլիկ սինուսին:	Ինտեգրալը հավասար է հիպերբոլիկ կոսինուսին:
Ինտեգրալ, որը հավասար է հիպերբոլիկ սինուսին, որտեղ sinhx-ը հիպերբոլիկ սինուսն է անգլերեն տարբերակում:	Ինտեգրալը հավասար է հիպերբոլիկ կոսինուսին, որտեղ sinhx-ը հիպերբոլիկ սինուսն է անգլերեն տարբերակում:
Ինտեգրալը հավասար է հիպերբոլիկ շոշափողին:	Ինտեգրալը հավասար է հիպերբոլիկ կոտանգենսին:
Ինտեգրալ, որը հավասար է հիպերբոլիկ սեկանտին:	Ինտեգրալը հավասար է հիպերբոլիկ կոսեկանտին:

Ըստ մասերի ինտեգրման բանաձևեր. Ինտեգրման կանոններ.

Ըստ մասերի ինտեգրման բանաձևեր. Նյուտոն-Լայբնից բանաձև. Ինտեգրման կանոններ.
Արտադրանքի (ֆունկցիայի) ինտեգրում հաստատունով.
Գործառույթների գումարի ինտեգրում.
անորոշ ինտեգրալներ:
Ըստ մասերի ինտեգրման բանաձև որոշակի ինտեգրալներ.
Նյուտոն-Լայբնից բանաձև որոշակի ինտեգրալներ.	Որտեղ F(a), F(b) հակաածանցյալների արժեքներն են համապատասխանաբար b և a կետերում:

Ածանցյալների աղյուսակ. Աղյուսակային ածանցյալներ. Արտադրանքի ածանցյալ. քանորդի ածանցյալ. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ։

Եթե ​​x-ը անկախ փոփոխական է, ապա.

Ածանցյալների աղյուսակ. Աղյուսակային ածանցյալներ."աղյուսակի ածանցյալ" - այո, ցավոք, հենց այդպես են որոնվում ինտերնետում
	Հզորության ֆունկցիայի ածանցյալ
	Ցուցանիշի ածանցյալ
Բարդ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ	Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ
Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ	Բնական լոգարիթմի ածանցյալ
	Ֆունկցիայի բնական լոգարիթմի ածանցյալ
Սինուսի ածանցյալ	Կոսինուսի ածանցյալ
Կոսեկանտի ածանցյալ	Սեկանտի ածանցյալ
Արքսինի ածանցյալ	աղեղային կոսինուսի ածանցյալ
Արքսինի ածանցյալ	աղեղային կոսինուսի ածանցյալ
Շոշափող ածանցյալ	Կոտանգենտի ածանցյալ
Արկտանգենսի ածանցյալ	Արկային կոտանգենսի ածանցյալ
Արկտանգենսի ածանցյալ	Արկային կոտանգենսի ածանցյալ
Արկսեկանտի ածանցյալ	arccosecant-ի ածանցյալ
Արկսեկանտի ածանցյալ	arccosecant-ի ածանցյալ
Հիպերբոլիկ սինուսի ածանցյալ Հիպերբոլիկ սինուսի ածանցյալը անգլերեն տարբերակում	Հիպերբոլիկ կոսինուսի ածանցյալ Հիպերբոլիկ կոսինուսի ածանցյալը անգլերեն տարբերակում
Հիպերբոլիկ շոշափողի ածանցյալ	Հիպերբոլիկ կոտանգենսի ածանցյալ
Հիպերբոլիկ սեկանտի ածանցյալ	Հիպերբոլիկ կոսեկանտի ածանցյալ

Տարբերակման կանոններ. Արտադրանքի ածանցյալ. քանորդի ածանցյալ. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ։
Արտադրանքի (ֆունկցիայի) ածանցյալը հաստատունով.
Գումարի (գործառույթների) ածանցյալ.
Արտադրանքի (գործառույթների) ածանցյալը.
քանորդի (գործառույթների) ածանցյալ.
Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ.

Լոգարիթմների հատկությունները. Լոգարիթմների հիմնական բանաձևերը. Տասնորդական (lg) և բնական լոգարիթմներ (ln):

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը
Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է a b ձևի ցանկացած ֆունկցիա դարձնել էքսպոնենցիալ։ Քանի որ e x ձևի ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենցիալ, ուրեմն
a b ձևի ցանկացած ֆունկցիա կարող է ներկայացվել որպես տասի աստիճան

Բնական լոգարիթմ ln (լոգարիթմից մինչև հիմք e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Թեյլորի շարք. Թեյլորի շարքի ֆունկցիայի ընդլայնում.

Ստացվում է, որ մեծամասնությունը գործնականում հանդիպելմաթեմատիկական ֆունկցիաները կարող են ցանկացած ճշգրտությամբ ներկայացվել որոշակի կետի մոտակայքում՝ փոփոխականի հզորություններ պարունակող հզորությունների շարքի տեսքով՝ աճող կարգով: Օրինակ x=1 կետի շրջակայքում.

Երբ օգտագործվում է շարք կոչված Թեյլորի շարքերըխառը ֆունկցիաները, որոնք պարունակում են, ասենք, հանրահաշվական, եռանկյունաչափական և էքսպոնենցիալ ֆունկցիաներ, կարող են արտահայտվել որպես զուտ հանրահաշվական ֆունկցիաներ։ Օգտագործելով շարքերը, դուք հաճախ կարող եք արագ կատարել տարբերակում և ինտեգրում:

Թեյլորի շարքը a կետի հարևանությամբ ունի ձև.

1) , որտեղ f(x) ֆունկցիան է, որն ունի բոլոր կարգերի ածանցյալներ x = a-ում: R n - Թեյլորի շարքի մնացորդային տերմինը որոշվում է արտահայտությամբ

2)

Շարքի k-րդ գործակիցը (x k-ում) որոշվում է բանաձևով

3) Թեյլորի շարքի հատուկ դեպքը Maclaurin (=McLaren) շարքն է (ընդլայնումը տեղի է ունենում a=0 կետի շուրջ)

a=0-ում

շարքի անդամները որոշվում են բանաձևով

Taylor շարքի օգտագործման պայմանները.

1. Որպեսզի f(x) ֆունկցիան ընդարձակվի Թեյլորի շարքի (-R;R) միջակայքում, անհրաժեշտ և բավարար է, որ մնացորդը Թեյլորի (Maclaurin (=McLaren)) բանաձևի համար. ֆունկցիան ձգտում է զրոյի, քանի որ k →∞ նշված միջակայքում (-R;R):

2. Անհրաժեշտ է, որ տվյալ ֆունկցիայի համար ածանցյալներ լինեն այն կետում, որի շրջակայքում մենք պատրաստվում ենք կառուցել Թեյլորի շարքը։

Թեյլոր շարքի հատկությունները.

Եթե ​​f-ը վերլուծական ֆունկցիա է, ապա նրա Թեյլորի շարքը a-ի ցանկացած կետում, f-ի սահմանման տիրույթում, համընկնում է f-ին a-ի որոշ հարևանությամբ:

Կան անսահմանորեն տարբերվող ֆունկցիաներ, որոնց Թեյլորի շարքը համընկնում է, բայց միևնույն ժամանակ տարբերվում է a-ի ցանկացած հարևանության ֆունկցիայից։ Օրինակ:

Թեյլորի շարքերը օգտագործվում են մոտավորության մեջ (մոտարկումը գիտական ​​մեթոդ է, որը բաղկացած է մի քանի առարկաների փոխարինումից որոշ առարկաներ՝ այս կամ այն ​​իմաստով բնօրինակներին մոտ, բայց ավելի պարզ) ֆունկցիայի բազմանդամներով։ Մասնավորապես, գծայինացում ((linearis-ից՝ գծային), փակ ոչ գծային համակարգերի մոտավոր ներկայացման մեթոդներից մեկը, որում ոչ գծային համակարգի ուսումնասիրությունը փոխարինվում է գծային համակարգի վերլուծությամբ՝ ինչ-որ իմաստով համարժեք սկզբնականին։ .) հավասարումները տեղի են ունենում՝ ընդլայնելով Թեյլորի շարքը և կտրելով առաջին կարգի բոլոր տերմինները:

Այսպիսով, գրեթե ցանկացած ֆունկցիա կարող է ներկայացվել որպես տրված ճշգրտությամբ բազմանդամ:

Maclaurin շարքի հզորության ֆունկցիաների որոշ ընդհանուր ընդլայնումների օրինակներ (=McLaren, Taylor՝ 0 կետի մոտակայքում) և Taylor՝ 1-ին կետի մոտակայքում։

Maclaurin շարքի հզորության ֆունկցիաների որոշ ընդհանուր ընդլայնումների օրինակներ (=McLaren, Taylor 0 կետի մոտակայքում)

Թեյլորի շարքի որոշ ընդհանուր ընդլայնումների օրինակներ 1-ին կետի մոտակայքում

Հակաածանցյալ և ինտեգրալ

1. Հակածանցյալ. F(x) ֆունկցիան կոչվում է հակաածանցյալ F (x) ֆունկցիայի համար X միջակայքում, եթե X-ից որևէ x-ի համար գործում է F"(x)=f(x) հավասարությունը:

T.7.13 (Եթե F(x)-ը հակաածանցյալ է f(x) ֆունկցիայի համար X միջակայքում, ապա f(x) ֆունկցիան ունի անսահման շատ հակաածանցյալներ, և այս բոլոր հակաածանցյալներն ունեն F (x) + C ձևը, որտեղ C-ն կամայական հաստատուն է (հակածանցյալի հիմնական հատկությունը):

2. Հակածանցյալների աղյուսակ. Հաշվի առնելով, որ հակաածանցյալ գտնելը տարբերակման հակադարձ գործողությունն է, և սկսած ածանցյալների աղյուսակից, մենք ստանում ենք հակաածանցյալների հետևյալ աղյուսակը (պարզության համար աղյուսակը ցույց է տալիս մեկ հակաածանցյալ F(x), և ոչ թե F( հակաածանցյալների ընդհանուր ձևը): x) + C:

	Հակաածանցյալ		Հակաածանցյալ

Հակածանցյալ և լոգարիթմական ֆունկցիա

Լոգարիթմական ֆունկցիա, էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հակադարձ։ L. f. նշվում է

նրա y արժեքը, որը համապատասխանում է x փաստարկի արժեքին, կոչվում է x թվի բնական լոգարիթմ։ Ըստ սահմանման՝ (1) կապը համարժեք է

(e-ն Նեպերի թիվ է): Քանի որ ey > 0 ցանկացած իրական y-ի համար, ապա L.f. սահմանվում է միայն x > 0-ի համար: Ավելի ընդհանուր իմաստով, L. f. զանգահարել գործառույթը

հակաածանցյալ հզորության ինտեգրալ լոգարիթմ

որտեղ a > 0 (a? 1) լոգարիթմների կամայական հիմքն է: Այնուամենայնիվ, մաթեմատիկական վերլուծության մեջ InX ֆունկցիան առանձնահատուկ նշանակություն ունի. logaX ֆունկցիան կրճատվում է դրան՝ օգտագործելով բանաձևը.

որտեղ M = 1/In a. L. f. - հիմնական տարրական գործառույթներից մեկը; դրա գրաֆիկը (նկ. 1) կոչվում է լոգարիթմիկա։ L. f-ի հիմնական հատկությունները. հետևել էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի և լոգարիթմների համապատասխան հատկություններին. օրինակ, L. f. բավարարում է ֆունկցիոնալ հավասարումը

Համար - 1< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

Շատ ինտեգրալներ արտահայտվում են գծային ֆունկցիաներով. Օրինակ

L. f. անընդհատ տեղի է ունենում մաթեմատիկական վերլուծության և դրա կիրառման մեջ:

L. f. լավ հայտնի էր 17-րդ դարի մաթեմատիկոսներին։ Առաջին անգամ փոփոխական մեծությունների միջև կախվածությունը, որն արտահայտվել է L. f.-ի կողմից, դիտարկվել է J. Napier-ի կողմից (1614 թ.): Նա ներկայացրեց թվերի և նրանց լոգարիթմների հարաբերությունները՝ օգտագործելով զուգահեռ գծերով շարժվող երկու կետեր (նկ. 2): Դրանցից մեկը (Y) շարժվում է հավասարաչափ՝ սկսած C-ից, իսկ մյուսը (X), սկսած A-ից, շարժվում է դեպի B հեռավորությանը համաչափ արագությամբ: Եթե դնենք SU = y, XB = x, ապա, ըստ. այս սահմանումը,

dx/dy = - kx, որտեղից.

L. f. Կոմպլեքս հարթության վրա բազմարժեք (անսահման արժեքավոր) ֆունկցիա՞ է սահմանված z փաստարկի բոլոր արժեքների համար: 0-ը նշվում է Lnz-ով: Այս ֆունկցիայի միարժեք ճյուղը, որը սահմանվում է որպես

Inz = In?z?+ i arg z,

որտեղ arg z-ը z կոմպլեքս թվի արգումենտն է, որը կոչվում է գծային ֆունկցիայի հիմնական արժեք։ Մենք ունենք

Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

L. f.-ի բոլոր իմաստները. բացասականի համար իրական z-ը բարդ թվեր են: L. f.-ի առաջին բավարար տեսությունը. բարդ հարթությունում տվել է Լ.Էյլերը (1749), որը ելնում է սահմանումից