Презентация по геометрии на тему "Введение декартовых координат в пространстве. Формулы середины отрезка и расстояния между двумя точками.". Введение декартовых координат в пространстве Презентация на тему декартовы координаты в пространстве

Разделы: Математика

Цели урока:

Образовательные: Рассмотреть понятие системы координат и координаты точки в пространстве; вывести формулу расстояния в координатах; вывести формулу координат середины отрезка.

Развивающие: Способствовать развитию пространственного воображения учащихся; способствовать выработке решения задач и развития логического мышления учащихся.

Воспитательные: Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога. Оборудование: Чертежные принадлежности, кристаллическая решетка соли.

Тип урока: Урок изучения нового материала (2 часа).

Структура урока:

1. Организационный момент.
2. Введение.
3. Сообщение целей урока.
4. Мотивация.
5. Актуализация.
6. Изучение нового материала.
7. Осмысление и осознание.
8. Закрепление.
9. Итог урока.

Опережающее задание: подготовить доказательство теорем и вывод формул, сообщение о Рене Декарте.

Технология обучения: Технология программированного обучения (блочное обучение).

Ход урока

1. Организационный момент. Добрый день.

2. Введение.

Сегодня на уроке мы начинаем изучать четвертый блок курса геометрии 10 класса “Декартовы координаты и векторы в пространстве”.

Знакомство с таблицей четвертого блока (таблица лежит на каждой парте).

10 класс. Декартовы координаты и векторы в пространстве. Блок № 4

Количество часов - 18 часов

Наименование тем	Теория (учебник)	Практикум	Самостоятельная работа	Зачет по теории	Контрольные работы
Введение: Декартовы координаты в пространстве. Расстояние между точками. Координаты середины отрезка.	П.152	Практическая работа №6	Самостоятельная работа №5	Геометрический диктант.	Домашняя контрольная работа №4 Классная контрольная работа №4
Симметрия. Параллельный перенос. Движение.	П.155,п.156	Практическая работа №7	Самостоятельная работа №6	Зачетная карточка №3	Домашняя контрольная работа №5 Классная контрольная работа №5
Угол между: Скрещивающими прямыми; Прямой и плоскостью; Плоскостями. 9. Площадь ортогональной проекции многоугольника.		Практическая работа №8		Зачетная карточка №4
Векторы в пространстве.	П.164	Практическая работа №9		Зачетная карточка№5

Какую тему созвучную с темой нашего урока мы изучали в 8 классе? Какое ключевое слово определяют эти две темы? (Координаты). Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом различных способов.

Решая геометрическую, физическую, химическую задачу можно использовать различные координатные системы: прямоугольную, полярную, цилиндрическую, сферическую. (Показ моделей кристаллической решётки поваренной соли)

В общеобразовательном курсе изучается прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Иначе её называют Декартовой системой координат по имени французского ученого философа Рене Декарта (1596 – 1650) впервые введшего координаты в геометрию.

(Рассказ ученика об Рене Декарте.)

Рене Декарт родился в 1596 г. в городе Лаэ на юге Франции, в дворянской семье. Отец хотел сделать из Рене офицера. Для этого в 1613 г. он отправил Рене в Париж. Много лет пришлось Декарту пробыть в армии, участвовать в военных походах в Голландии, Германии, Венгрии, Чехии, Италии, в осаде крепости гугенотов Ла-Рошали. Но Рене интересовала философия, физика и математика. Вскоре по приезде в Париж он познакомился с учеником Виета, видным математиком того времени - Мерсеном, а затем и с другими математиками Франции. Будучи в армии, Декарт все свое свободное время отдавал занятиям математикой. Он изучил алгебру немецких, математику французских и греческих ученых.

После взятия Ла-Рошали в 1628 г. Декарт уходит из армии. Он ведет уединенный образ жизни с тем, чтобы реализовать намеченные обширные планы научных работ.

Философские взгляды Декарта не соответствовали требованиям католической церкви. Поэтому он переселился в Голландию, где прожил 20 лет, с 1629 по 1649 г., но из-за гонений протестантской церкви в 1649 г. переехал в Стокгольм. Но суровый северный климат Швеции оказался для Декарта губительным, и он умер от простуды в 1650 г.

Декарт был крупнейшим философом и математиком своего времени. В основе его философии лежал материализм. Самым известным трудом Декарта является его “Геометрия”. Декарт ввел систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел алгебраический метод в геометрию. Эти открытия Декарта дали огромный толчок развитию как геометрии, так и другим разделам математики, оптики. Появилась возможность изображать зависимость величин графически на координатной плоскости, числа - отрезками и выполнять арифметические действия над отрезками и другими геометрическими величинами, а также различными функциями. Это был совершенно новый метод, отличавшийся красотой, изяществом и простотой.

Р. Декарт - французский ученый (1596- 1650)

3. Сообщение цели урока.

Сегодня на уроке мы продолжим изучение декартовой системы координат, и покажем, что координаты в пространстве вводятся также просто, как и координаты на плоскости.

4. Мотивация.

В своё время Рене Декарт сказал: “… потомки будут благодарны мне не только за то, что я сказал, но и за то, что я не сказал и тем самым дал им возможность и удовольствие додуматься до этого самостоятельно”. Я предоставлю вам возможность и удовольствие разобраться с декартовой системой координат самостоятельно.

5. Изучение нового материала .

Пояснение. Технология блочного изучения предусматривает изучение нескольких тем на уроке. На уроке будет рассмотрено три темы. Каждая тема будет содержать следующую структуру:

• Изучение нового материала (изучение построено на основе сравнительного анализа основных понятий и формул рассмотренных в планиметрии и доказательстве необходимых теорем);
• Осознание и осмысление.

На основе известного вам материала за 8 класс, мы с вами заполним таблицу. Сделаем сравнительную характеристику.

(На доске нарисована таблица, её необходимо заполнить вместе с учениками. Рассмотреть основные понятия декартовых координат, формулу расстояния между точками, формулы координат середины отрезка на плоскости, и попытаться учащимся самим сформулировать основные понятия и формулы в пространстве)

На плоскости	В пространстве
Определение.	Определение.
2 оси, ОУ- ось ординат, ОХ- ось абсцисс	3 оси, ОХ - ось абсцисс, ОУ – ось ординат, ОZ - ось аппликат.
ОХ перпендикулярна ОУ	ОХ перпендикулярна ОУ, ОХ перпендикулярна ОZ , ОУ перпендикулярна ОZ.
(О;О)	(О;О;О)
	Направление, единичный отрезок
Расстояние между точками.	Расстояние между точками. d = v (х2 - х1)? + (у2 - у1)? + (z2 – z1)?
Координаты середины отрезка.	Координаты середины отрезка.

Для беседы используются рисунки:

Вопросы для заполнения первой части таблицы.

1. Сформулируйте определение декартовой системы координат?

2. Попробуйте сформулировать определение декартовой системы координат в пространстве?

3. Назовите оси координат на плоскости? Назовите оси координат в пространстве? Название, какой оси мы не изучали? (Знакомство с новым словом “аппликата”)

4. Какие плоскости рассматриваются в планиметрии (в пространстве)?

5. Назовите координату начала координат на плоскости (в пространстве)?

6. Какие еще компоненты должна иметь система координат на плоскости и в пространстве?

7. Как задается координата точки на плоскости и в пространстве?

Вывод:

Расскажите, как вводится, декартова система координат в пространстве и из чего она состоит?

При беседе построить рисунок фронтально-диметрической проекции осей.

Рассмотреть положение осей в соответствии с черчением.

Построить точку с заданными координатами А (2; - 3).

Построить точку с заданными координатами А (1; 2; 3).

Рассмотреть построение на доске. Работа по карточкам (2 человека у доски).

Работа с классом: задача № 3 из учебника, страница 287, устно.

Вопросы для заполнения второй части таблицы.

1. Запишите формулу расстояния между точками на плоскости.

2. Как бы вы записали формулу расстояния между точками в пространстве?

Докажем её справедливость (вывод формулы - п. 154, стр. 273)

Опережающее задание - вывод формулы на доске учащимся.

Работа по карточкам 2 человека у доски.

Найти длину отрезка:

1. А (1;2;3;) и В (-1; 0; 5)
2. А (1;2;3) и В (х; 2 ;-3)

Работа с классом: Задача № 5 на странице 288 .

Вопросы для заполнения третьей части таблицы.

1. Как запишется формулы координат середины отрезка?

2. Как бы вы записали формулы координат середины отрезка?

Докажем её справедливость (вывод формулы п. -154 стр., 273) .

Опережающее задание - вывод формулы координат середины отрезка у доски.

Работа с классом. Устно.

Найдите координаты точки М - середины отрезка

А(2;3;2), В (0;2;4) и С (4;1;0)

• Является ли точка В серединой отрезка АС?

Работа с классом: Задача № 9 страница 288.

Закрепление.

Практикум: Решение задач (Практическая работа).

Во время решения задач - опрос учащихся по предыдущим темам и вновь изученному материалу (доказательство теорем).

Домашнее задание: учить п. 152, 153,154 , вопросы 1 – 3, задачи 3, 4, 6, 10, подготовиться к геометрическому диктанту.

Итог урока.

1. Как вводится, декартова система координат? Из чего она состоит?
2. Как определяются координаты точки в пространстве?
3. Чуму равна координата начала координат?
4. Чему равно расстояние от начала координат до заданной точки?
5. Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками в пространстве?

Оценивание (учитель самостоятельно выставляет оценки за работу на уроке и объявляет их учащимся).

Организационный момент. Спасибо за урок. До свидания.

Литература.

1. А.В. Погорелов. Учебник 7-11. М. “Просвещение”, 19992-2005г.г.
2. И.С. Петраков. Математические кружки в 8-10 классах. М, “Просвещение”, 1987 г.

Урок № 3
МЕТОД КООРДИНАТ В
ПРОСТРАНСТВЕ
Декартовы координаты в пространстве
Ренее Декаерт, французский философ, математик, механик, физик и физиолог
Высь, ширь, глубь.
Лишь три координаты.
Мимо них где путь? Засов закрыт.
С Пифагором слушай сфер сонаты,
Атомам дли счёт, как Демокрит.
В. Брюсов.

План урока
1 Введение прямоугольной системы координат в пространстве.
2 Расположение точек в системе координат.
3 Нахождение координат точек в пространстве.
4 Построение точки в пространстве по её координатам.
5 Понятие радиус-вектора.
6 Разложение вектора по координатным векторам.
7 Нахождение координат вектора суммы векторов, вектора
разности векторов, вектора умноженного на данное число.
8 Решение задач.
9 Запись ДЗ.

МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
Система координат на плоскости
Y
y
Система координат в пространстве
Z
z
M(x;y)
абсцисса
ордината
О
x
1) 2 прямые
2) Точка – НК
3) Направление осей
4) Название осей
5) Точка М
6) Название
координат
точки М
X
X
1)
2)
3)
4)
x
аппликата
y
Y
Ось абсцисс
Ось ординат
Ось аппликат
OX; OY; OZ
5) Координатные плоскости
6) Точка М
7) Название
координат
точки М
ордината
M(x;y;z)
О
3 прямые
Точка – НК
Направление осей
Название осей
абсцисса
XOY; XOZ; YOZ

Различные расположения точек в системе координат
Z
K
T
M
L
N
О
Y
P
X
Расположение точки в системе координат
на оси ОХ
в плоскости ХOY
на оси ОY
в плоскости YOZ
на оси ОZ
в плоскости ХOZ

1) Нахождение координат точек
2) Нахождение координат точек
Дан куб с длиной ребра 2
Z
C1
B1
A1
A
2
D1
B
Y
Дан прямоугольный параллелепипед
с измерениями 2; 5; 7
2
X
Z
B1
A1
C
D
2
Найдите координаты всех вершин куба
A
X
D1
5
2
B
7
C
D
Найдите координаты всех вершин
прямоугольного параллелепипеда
3) Построение точки по её координатам
Постройте точки в прямоугольной
системе координат:
М(3; 4; 5) и Т(-2; 5; -7)
C1
Y

Координаты вектора
Разложение вектора
по координатным векторам
Z
С
ОМ ОА ОВ ОС
М
k
О
X
А
j
по правилу параллелепипеда
ОМ xi yj zk
В Y
i
р
ОМ {x; y; z}
радиус - вектор
М (x; y; z)
Координаты радиусвектора равны
координатам конца
данного вектора
Равные векторы имеют
одинаковые координаты
р{x; y; z}
р xi yj zk

a{x1;y1;z1}
Координаты
суммы векторов
b{x2;y2;z2}
Координаты
разности векторов
(a+b){ }
(a-b){ }
сложить
соответствующие
координаты
Координаты вектора,
умноженного на число
ka{ }
каждую
координату
умножить на это
число
вычесть
соответствующие
координаты

4) Дано разложение вектора по единичным векторам, запишите координаты вектора.
р 3i 2 j k , р j 6k , р k .
5) Даны координаты вектора, запишите разложение вектора по единичным векторам.
р{ 3;6;1}, р{ 2;5;0}, р{0; 1;0}.

Домашнее задание с урока 3:
п.46, 47 и конспект, уметь составить грамотный рассказ,
№ 400, 402, 403, 404, 410
на следующем уроке простейшая СР

Введение декартовых координат в пространстве. Расстояние между точками. Координаты середины отрезка. Подготовил учитель ЛСОШ №2 Бесшабашнова Л.ф. Я мыслю – следовательно, я существую. Рене Декарт

• Рене Декарт родился в 1596 г. в городе Лаэ на юге Франции, в дворянской семье. Отец хотел сделать из Рене офицера. Для этого в 1613 г. он отправил Рене в Париж. Много лет пришлось Декарту пробыть в армии, участвовать в военных походах в Голландии, Германии, Венгрии, Чехии, Италии, в осаде крепости гугенотов Ла-Рошали. Но Рене интересовала философия, физика и математика. Вскоре по приезде в Париж он познакомился с учеником Виета, видным математиком того времени - Мерсеном, а затем и с другими математиками Франции. Будучи в армии, Декарт все свое свободное время отдавал занятиям математикой. Он изучил алгебру немецких, математику французских и греческих ученых.

• После взятия Ла-Рошали в 1628 г. Декарт уходит из армии. Он ведет уединенный образ жизни с тем, чтобы реализовать намеченные обширные планы научных работ.
• Декарт был крупнейшим философом и математиком своего времени. Самым известным трудом Декарта является его “Геометрия”. Декарт ввел систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел алгебраический метод в геометрию. Эти открытия Декарта дали огромный толчок развитию как геометрии, так и другим разделам математики, оптики. Появилась возможность изображать зависимость величин графически на координатной плоскости, числа - отрезками и выполнять арифметические действия над отрезками и другими геометрическими величинами, а также различными функциями. Это был совершенно новый метод, отличавшийся красотой, изяществом и простотой.

Тема урока

Введение декартовых координат в пространстве. Расстояние между точками. Координаты середины отрезка.

Система координат

• Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат. В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат.

Декартова система координат

• Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат

Система координат на плоскости Система координат в пространстве Координата точки М на плоскости Координаты точки М в пространстве

• М (Х;У;Z)

Таблица

На плоскости	В пространстве
Определение. Системой координат называется совокупность двух пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей	Определение. Системой координат называется совокупность трех координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей
ОУ- ось ординат, ОХ- ось абсцисс	ОХ - ось абсцисс, ОУ – ось ординат, ОZ - ось аппликат.
ОХ перпендикулярна ОУ	ОХ перпендикулярна ОУ, ОХ перпендикулярна ОZ , ОУ перпендикулярна ОZ
	Направление, единичный отрезок
Расстояние между точками.	Расстояние между точками
Координаты середины отрезка.	Координаты середины отрезка

Коордиаты точки Физкультминутка

Все ребята дружно встали.

И на месте зашагали.

На носочках потянулись.

А теперь назад прогнулись.

Как пружинки, мы присели.

И тихонько разом сели.

Построить точки

• А(9;5;10), В(4;-3;6), С (9;0;0), D(0;0;4), Е(0;8;0),К(-2;4;6)

Решение задач Итог урока Задание на дом

• П.23-25
• №7,№10(1)

Спасибо за внимание!

Презентация на тему "Прямоугольная система координат в пространстве" по алгебре в формате powerpoint. В презентации для школьников дается понятие прямоугольной системы координат в пространстве, а также приведены задачи на нахождение координат точки. Автор презентации: Кошкарева Галина Фёдоровна.

Фрагменты презентации

Цель урока: ввести понятие прямоугольной системы координат в пространстве.

Умения и навыки: выработать умения строить точку по заданным её координатам и находить координаты точки, изображённой в заданной системе координат.

Идея координат зародилась в науке Вавилона и Греции в связи с потребностью географии, астрономии и мореплавания. Во II в. греческий учёный Гиппарх предложил определять положение точки на земной поверхности с помощью географических координат – широты и долготы, выражаемых числами.

В IIV в. француз Оресм перенёс эту идею в математику.В XIX в. французский учёный Рене Декарт перенёс эту идею в математику, предложив покрывать плоскость прямоугольной сеткой. Работа М.Эшера отражает идею введения прямоугольной системы координат в пространстве.

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана система координат в пространстве. Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат.

• Ох – ось абсцисс,
• Оу – ось ординат,
• Оz – ось аппликат.

Три плоскости, проходящие через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями: Оху, Оуz, Оzх.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел – её координаты. М (х,у,z), где х – абсцисса, у – ордината, z - аппликата.

Итог урока

На уроке познакомились с прямоугольной системой координат, научились строить точку по заданным ее координатам и находить координаты точки, изображенной в заданной системе координат. Декартова система координат не единственная. К следующему уроку найти в Интернете другие системы координат.