Решение уравнения вида ax by c. Диофантовы уравнения. Поиск алгоритма выполнения неравенств

Алгоритмы решений диофантовых уравнений

Алгоритм Евклида

• Пример №1 (простой)
• Пример №2 (сложный)

Решаем задачи на подбор чисел без подбора

• Задача про кур, кроликов и их лапы
• Задача про продавщицу и сдачу

По отзывам сибмам, настоящим камнем преткновения в школьном курсе математики не только для учеников, но и для родителей становятся диофантовы уравнения. Что это такое и как их правильно решать? Разобраться нам помогли учитель математики образовательного центра «Горностай» Аэлита Бекешева и кандидат физико-математических наук Юрий Шанько.

Кто такой Диофант?

Еще древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но в то время не было еще знаков действий и знака равенства, поэтому и записывать уравнения они не умели.

Первым, кто придумал, как можно записать уравнение, был замечательный ученый Диофант Александрийский. Александрия была большим культурным, торговым и научным центром древнего мира. Этот город существует и сейчас, он находится на Средиземноморском побережье Египта.

Жил Диофант, по-видимому, в III веке н.э. и был последним великим математиком античности. До нас дошли два его сочинения — «Арифметика» (из тринадцати книг сохранилось шесть) и «О многоугольных числах» (в отрывках). Творчество Диофанта оказало большое влияние на развитие алгебры, математического анализа и теории чисел.

А ведь вы знаете кое-что о диофантовых уравнениях…

Диофантовы уравнения знают все! Это задачки для учеников младших классов, которые решаются подбором.

” Например, «сколькими различными способами можно расплатиться за мороженое ценой 96 копеек, если у вас есть только копейки и пятикопеечные монеты?»

Если дать диофантовому уравнению общее определение, то можно сказать, что это алгебраическое уравнение с дополнительным условием: все его решения должны быть целыми числами (а в общем случае и рациональными).

” Зачастую мамы (особенно те, кто окончил школу еще при развитом социализме) полагают, что основная цель таких задач - научить детей расплачиваться мелочью за мороженое. И вот, когда они искренне убеждены, что раскладывание мелочи кучками осталось далеко в прошлом, их любимый семиклассник (или восьмиклассник) подходит с неожиданным вопросом: «Мама, как это решать?», и предъявляет уравнение с двумя переменными. Раньше таких задачек в школьном курсе не было (все мы помним, что уравнений должно быть столько же, сколько и переменных), так что мама не-математик нередко впадает в ступор. А ведь это та же самая задача про мелочь и мороженое, только записанная в общем виде!

Кстати, а зачем к ней вдруг возвращаются в седьмом классе? Все просто: цель изучения диофантовых уравнения - дать основы теории целых чисел, которая дальше развивается как в математике, так и в информатике и программировании. Диофантовы уравнения часто встречаются среди задач части «С» единого госэкзамена. Трудность, прежде всего в том, что существует множество методов решения, из которых выпускник должен выбрать один верный. Тем не менее, линейные диофантовы уравнения ax + by = c могут быть решены относительно легко с помощью специальных алгоритмов.

Алгоритмы для решения диофантовых уравнений

Изучение диофантовых уравнения начинается в углубленном курсе алгебры с 7 класса. В учебнике Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка приводятся некоторые задачи и уравнения, которые решают с использованием алгоритма Евклида и метода перебора по остаткам , - рассказывает Аэлита Бекешева. - Позже, в 8 - 9 классе, когда уже рассматриваем уравнения в целых числах более высоких порядков, показываем ученикам метод разложения на множители , и дальнейший анализ решения этого уравнения, оценочный метод . Знакомим с методом выделения полного квадрата . При изучении свойств простых чисел знакомим с малой теоремой Ферма, одной из основополагающих теорем в теории решений уравнений в целых числах. На более высоком уровне это знакомство продолжается в 10 - 11 классах. В это же время мы подводим ребят к изучению и применению теории «сравнений по модулю», отрабатываем алгоритмы, с которыми знакомились в 7 - 9 классах. Очень хорошо это материал прописан в учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа, 10 класс» и Г.В. Дорофеева «Математика» за 10 класс.

Алгоритм Евклида

Сам метод Евклида относится к другой математической задаче - нахождению наибольшего общего делителя: вместо исходной пары чисел записывают новую пару - меньшее число и разность между меньшим и большим числом исходной пары. Это действие продолжают до тех пор, пока числа в паре не уравняются - это и будет наибольший общий множитель. Разновидность алгоритма используется и при решении диофантовых уравнений - сейчас мы вместе с Юрием Шанько покажем на примере, как решать задачи "про монетки".

Рассматриваем линейное диофантово уравнение ax + by = c, где a, b, c, x и y — целые числа. Как видите, одно уравнение содержит две переменных. Но, как вы помните, нам нужны только целые корни, что упрощает дело - пары чисел, при которых уравнение верно, можно найти.

Впрочем, диофантовы уравнения не всегда имеют решения. Пример: 4x + 14y = 5. Решений нет, т.к. в левой части уравнения при любых целых x и y будет получаться четное число, а 5 — число нечетное. Этот пример можно обобщить. Если в уравнении ax + by = c коэффициенты a и b делятся на какое-то целое d, а число c на это d не делится, то уравнение не имеет решений. С другой стороны, если все коэффициенты (a, b и c) делятся на d, то на это d можно поделить все уравнение.

Например, в уравнении 4x + 14y = 8 все коэффициенты делятся на 2. Делим уравнение на это число и получаем: 2𝑥 + 7𝑦 = 4. Этот прием (деления уравнения на какое-то число) позволяет иногда упростить вычисления.

Зайдем теперь с другой стороны. Предположим, что один из коэффициентов в левой части уравнения (a или b) равен 1. Тогда наше уравнение уже фактически решено. Действительно, пусть, например, a = 1, тогда мы можем в качестве y взять любое целое число, при этом x = c − by. Если научиться сводить исходное уравнение к уравнению, в котором один из коэффициентов равен 1, то мы научимся решать любое линейное диофантово уравнение!

Я покажу это на примере уравнения 2x + 7y = 4.

Его можно переписать в следующем виде: 2(x + 3y) + y = 4.

Введем новую неизвестную z = x + 3y, тогда уравнение запишется так: 2z + y = 4.

Мы получили уравнение с коэффициентом один! Тогда z — любое число, y = 4 − 2z.

Осталось найти x: x = z − 3y = z − 3(4 − 2z) = 7z − 12.

Пусть z=1. Тогда y=2, x=-5. 2 * (-5)+7 * 2=4

Пусть z=5. Тогда y=-6, x=23. 2 * (23)+7 * (-6)=4

” В этом примере важно понять, как мы перешли от уравнения с коэффициентами 2 и 7 к уравнению с коэффициентами 2 и 1. В данном случае (и всегда!) новый коэффициент (в данном случае - единица) это остаток от деления исходных коэффициентов друг на друга (7 на 2).

В этом примере нам повезло, мы сразу после первой замены получили уравнение с коэффициентом 1. Такое бывает не всегда, но и мы можем повторять предыдущий трюк, вводя новые неизвестные и выписывая новые уравнения. Рано или поздно после таких замен получится уравнение с коэффициентом 1.

Давайте попрообуем решить более сложное уравнение, предлагает Аэлита Бекешева.

Рассмотрим уравнение 13x - 36y = 2.

Шаг №1

36/13=2 (10 в остатке). Таким образом, исходное уравнение можно переписать следующим образом: 13x-13* 2y-10y=2. Преобразуем его: 13(x-2y)-10y=2. Введем новую переменную z=x-2y. Теперь мы получили уравнение: 13z-10y=2.

Шаг №2

13/10=1 (3 в остатке). Исходное уравнение 13z-10y=2 можно переписать следующим образом: 10z-10y+3z=2. Преобразуем его: 10(z-y)+3z=2. Введем новую переменную m=z-y. Теперь мы получили уравнение: 10m+3z=2.

Шаг №3

10/3=3 (1 в остатке). Исходное уравнение 10m+3z=2 можно переписать следующим образом: 3* 3m+3z+1m=2. Преобразуем его: 3(3m+z)+1m=2. Введем новую переменную n=3m+z. Теперь мы получили уравнение: 3n+1m=2.

Ура! Мы получили уравнение с коэффициентом единица!

m=2-3n, причем n может быть любым числом. Однако нам нужно найти x и y. Проведем замену переменных в обратном порядке. Помните, мы должны выразить x и y через n, которое может быть любым числом.

y=z-m; z=n-3m, m=2-3n ⇒ z=n-3* (2-3n), y=n-3*(2-3n)-(2-3n)=13n-8; y=13n-8

x=2y+z ⇒ x=2(13n-8)+(n-3*(2-3n))=36n-22; x=36n-22

Пусть n=1. Тогда y=5, x=24. 13 * (14)-36 * 5=2

Пусть n=5. Тогда y=57, x=158. 13 * (158)-36 * (57)=2

Да, разобраться не очень просто, зато теперь вы всегда сможете решить в общем виде задачи, которые решаются подбором!

Решаем задачи на подбор чисел

Примеры задач для учеников младших классов, которые решаются подбором: посоревнуйтесь с ребенком, кто решит их быстрее: вы, используя алгорит Евклида, или школьник - подбором?

Задача про лапы

Условия

В клетке сидят куры и кролики. Всего у них 20 лап. Сколько там может быть кур, а сколько - кроликов?

Решение

Пусть у нас будет x кур и y кроликов. Составим уравнение: 2х+4y=20. Сократим обе части уравнения на два: x+2y=10. Следовательно, x=10-2y, где x и y - это целые положительные числа.

Ответ

Число кроликов и куриц: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2), (5; 0)

Согласитесь, получилось быстрее, чем перебирать «пусть в клетке сидит один кролик...»

Задача про монетки

Условия

У одной продавщицы были только пяти- и двухрублевые монетки. Сколькими способами она может набрать 57 рублей сдачи?

Решение

Пусть у нас будет x двухрублевых и y пятирублевых монеток. Составим уравнение: 2х+5y=57. Преобразуем уравнение: 2(x+2y)+y=57. Пусть z=x+2y. Тогда 2z+y=57. Следовательно, y=57-2z , x=z-2y=z-2(57-2z) ⇒ x=5z-114 . Обратите внимание, переменная z не может быть меньше 23 (иначе x, число двухрублевых монеток, будет отрицательным) и больше 28 (иначе y, число пятирублевых монеток, будет отрицательным). Все значения от 23 до 28 нам подходят.

Ответ

Шестью способами.

Подготовила Татьяна Яковлева

Министерство образования и науки

Научное Общество Учащихся

Секция «Алгебра»

Работа по теме:

«Диофантовы уравнения»

Выполнила:

ученица 10 «А» классаМОУ СОШ № 43

Булавина Татьяна

Научный руководитель:Пестова

Надежда Ивановна

Нижний новгород2010

Введение

О диофантовых уравнениях

Способы решения диофантовых уравнений

Список литературы

Введение

Я выбрала тему: «Диофантовы уравнения» потому, что меня заинтересовало, как зарождалась арифметика.

Диофант Александрийский (3 век)-греческий математик. Его книгу «Арифметика» изучали математики всех поколений.

Необычайный расцвет древнегреческой науки в IV-III вв. до н. э. сменился к началу новой эры постепенным спадом в связи с завоеванием Греции Римом, а потом и начавшимся разложением Римской империи. Но на фоне этого угасания еще вспыхивает яркий факел. В 3-ем веке новой эры появляется сочинение александрийского математика Диофанта «Арифметика». О жизни самого Диофанта нам известно только из стихотворения, содержащегося в «Палатинской антологии». В этой антологии содержалось 48 задач в стихах, собранных греческим поэтом и математиком VI в. Метродором. Среди них были задачи о бассейне, о короне Герона, о жизненном пути Диофанта. Последняя оформлена в виде эпитафии - надгробной надписи.

Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей - и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять, лет проведя, сына дождался мудрец.

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Трактат «Арифметика» занимает особое место в античной матиматике не только по времени своего появления, но и по содержанию. Большую часть его составляют разнообразные задачи по теории чисел и их решения. Но, главное, автор использует не геометрический подход, как это было принято у древних греков,-решения Диофанта предвосхищают алгебраические и теоретико- числовые методы. К сожалению, из 13 книг, составлявших «Арифметику», до нас дошли лишь первые 6, а остальные погибли в перипетиях тогдашнего бурного времени. Достаточно сказать, что через 100 лет после смерти Диофанта была сожжена знаменитая александрийская библиотека, содержавшая бесценные сокровища древнегреческой науки.

О диофантовых уравнениях.

Задачи Диофантовой «Арифметики» решаются с помощью уравнений, проблемы решения уравнеий скорее относятся к алгебре, чем к арифметике. Почему же тогда мы говорим, что эти уравнения относятся к арифметическим? Дело в том, что эти задачи имеют специфические особенности.

Во-первых, они сводятся к уравнениям или к системам уравнений с целыми коэффициентами. Как правило, эти системы неопределённые,т.е. число уравнений в них меньше числа неизвестных.

Во-вторых, решения требуется найти только целые, часто натуральные.

Для выделения таких решений из всего бесконечного их множества приходится пользоваться свойствами целых чисел,а это уже относится к области арифметики.Дадим определение диофантовым уравнениям.

Диофантовы уравнения-алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвесных в уравнениях больше числа уравнений. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений.

Давайте рассмотрим современную простенькую задачу.

За покупку нужно уплатить 1700 р. У покупателя имеются купюры только по 200р. и по 500 р. Какими способами он может расплатиться? Для ответа на этот вопрос достаточно решить уравнение 2x + 5y=17 с двумя неизвестными x и y. Такие уравнения имеют бесконечное множество решений. В частности, полученному уравнению отвечает любая пара чисел вида (x, 17-2x/5). Но для этой практической задачи годятся только целые неотрицательные значения x и y. Поэтому приходим к такой постановке задачи: найти все целые неотрицательные решения уравнения 2x+5y=17. Ответ содержит уже не бесконечно много,авсего лишь две пары чисел (1, 3) и (6, 1).Диофант сам находил решения своих задач. Вот несколько задач из его «Арифметики».

1. Найти два числа так, чтобы их произведение находилось в заданном отношении к их сумме.

2. Найти три квадрата так, чтобы сумма их квадратов тоже была квадратом.

3. Найти два числа так, чтобы их произведение делалось кубом как при прибавлении, так и при вычитании их суммы.

4. Для числа 13=2²+3² найти два других,сумма квадратов которых равна 13.

Приведём диофантово решение последней задачи. Он полагает первое число (обозначим его через А) равным x+2, а второе число B равным 2x-3 , указывая, что коэффициент перед xможно взять и другой. Решая уравнения

(x+2)²+(kx-3)²=13,

Диофант находит x=8/5, откуда A=18/5,B=1/5. Воспользуемся указанием Диофанта и возьмём произвольный коэффициент перед x в выражении для B. Пусть снова А=x+2,а В=kx-3, тогда из уравнения

(x+2)²+(kx-3)²=13

x=2(3k-2)/k²+1.

А=2(k²+3k-1)/k²+1,

В=3k²-4k-3/k²+1.

Теперь становятся понятными рассуждения Диофанта. Он вводит очень удобную подстановку А=x+2, В=2x-3, которая с учётом условия 2²+3²=13 позволяет понизить степень квадратного уравнения. Можно было бы с тем же успехом в качестве В взять 2x+3 , но тогда получаются отрицательные значения для В,чего Диофант не допускал. Очевидно, k=2- наименьшее натуральное число, при котором А и В положительны.

Исследование Диифантовых уравнений обычно связано с большими трудностями. Более того, можно указать многочлен F (x,y1,y2 ,…,yn) c целыми коэффициентами такой, что не существует алгоритма, позволяющего по любому целому числу x узнавать, разрешимо ли уравнение F (x,y1,y2 ,…,yn)=0 относительно y1,…,y. Примеры таких многочленов можно выписать явно. Для них невозможно дать исчерпывающего описания решений.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязанны Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Надо сказать, что это не было изобретением Ферма - он только возродил интерес к поиску целочисленных решений. А вообще задачи, допускающие только целые решения, были распространены во многих странах в очень далёкие от нас времена.В нынешней математике существует целое направление, занимающееся исследованиями диофантовых уравнений,поиском способов их решений.Называется оно диофантовым анализом и диофантовой геометрией, поскольку использует геометрические способы доказательств.

Простейшее Диофантово уравнение ax+by=1,где a и b – цельные взаимопростые числа, имеет бесконечно много решений (если x0 и y0-решение, то числа x=x0+bn, y=y0-an, где n- любое целое, тоже будут решениями).

Другим примером Диофантовых уравнений является

x 2 + у 2 = z 2 . (5)

Это Диофантово уравнение 2-й степени. Сейчас мы займёмся поиском его решений. Удобно записывать их в виде троек чисел (x,y,z). Они называются пифагоровыми тройками. Вообще говоря, уравнению (5) удовлетворяет бесконечное множество решений. Но нас будут интересовать только натуральные. Целые, положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами. Наша задача состоит в том, чтобы найти все тройки пифагоровых чисел. Заметим, что если два числа из такой тройки имеют общий делитель, то на него делится и третье число. Поделив их все на общий делитель, вновь получим пифагороау тройку. Значит от любой пифагоровой тройки можно перейти к другой пифагоровой тройке, числа которой попарно взаимо просты. Такую тройку называют примитивной. Очевидно, для поставленной нами задачи достаточно найти общий вид примитивних пифагоровых троек. Ясно, что в примитивной пифагоровой тройке два числа не могут быть чётными, но в то же время все три числа не могут быть нечётными одновременно. Остаётся один вариант: два числа нечётные, а одно чётное. Покажем, что z не может быть чётным числом. Предположим противное: z=2m, тогда x и y-нечётные числа. x=2k+1, y=2t+1. В этом случае сумма x²+y²=4(k²+k+t²+t)+2 не делится на 4, в то время как z²=4m² делится на 4. Итак, чётным числом является либо x, либо y. Пусть x=2u, y и z- нечётные числа. Обозначим z+y=2v, z-y=2w . Числа v и wвзаимно простые. На самом деле, если бы они имели общий делитель d>1, то он был бы делителем и для z=w+v, и для y=v-w, что противоречит взаимной простоте y и z. Кроме того, v и w разной чётности: иначе бы y и z были бы чётными. Из равенства x²=(z+y)(z-y) следует, что u²=vw. Поскольку v и w взаимно просты, а их произведение является квадратом, то каждый из множителей является квадратом. Значит найдутся такие натуральные числа p и q, что v=p², w= q² . Очевидно, числа p и q взаимно просты и имеют разную чётность. Теперь имеем

z=p²+q² , y=p²-q²,

x²=(p²+q²)²-(p²-q²)²=4 p² q².

В результате мы доказали, что для любой примитивной пифагоровой тройки (x,y,z) найдутся взаимо простые натуральные числа p и qразной чётности, p>q , такие, что

х =2pq, у =p²-q², z = p 2 + q 2 .(6)

Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам

х =2pq, у = p²-q², z = p 2 + q 2 ,

где m и n - целые взаимо простые числа. Все остальные его натуральные решения имеют вид:

x=2kpq,y=k(p²-q²),z=k(p 2 + q 2 ),

где k-произвольное натуральное число. Теперь рассмотрим следующую задачу: дано произвольное натуральное число m>2; существует ли пифагоров треугольник, одна из сторон которого равна m? Если потребовать, чтобы заданную длину m имел катет, то для любого m ответ положительный. Докажем это. Пусть сначала m-нечётное число. Положим p=m+1/2, q=m-1/2. Получаем пифагорову тройку

Задача 1. Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?

Решение. Пусть х - количество морских звёзд, у – количество осьминогов. Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног. Составим уравнение: 5х + 8у = 39.

Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда у = 3. Ответ: (3; 3).

Уравнения, вида ах+bу=с, называются диофантовыми, по имени древнегреческого математика Диофанта Александрийского. Жил Диофант, по-видимому, в 3 в. н. э., остальные известные нам факты его биографии исчерпываются таким стихотворением-загадкой, по преданию выгравированным на его надгробии:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругой он обручился.

С нею, пять лет, проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Сколько же лет прожил Диофант Александрийский?

Задача 2. На складе имеются гвозди в ящиках по 16,17 и 40 кг. Может ли кладовщик выдать 100 кг гвоздей, не вскрывая ящики? (метод прямого перебора)

Разберем метод решения относительно одного неизвестного.

Задача 3. В каталоге картинной галереи всего 96 картин. На каких-то страницах расположено 4 картины, а на каких-то 6. Сколько страниц каждого вида есть в каталоге?

Решение. Пусть х – количество страниц с четырьмя картинами,

у – количество страниц с шестью картинами,

Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. В нашем случае это 4х, то есть:

Делим все уравнение на этот коэффициент:

4х=96-6у | :4;

Остатки при делении на 4: 1,2,3. Подставим вместо у эти числа.

Если у=1, то х=(96-6∙1):4=90:4 - Не походит, решение не в целых числах.

Если у=2, то х=(96-6∙2):4=21 – Подходит.

Если у=3, то х=(96-6∙3):4=78:4 - Не походит, решение не в целых числах.

Итак, частным решением является пара (21;2), а это значит, что на 21 странице расположено по 4 картины, а на 2 страницах по 6 картин.

Разберем метод решения с использованием алгоритма Евклида.

Задача 4. В магазине продаётся шоколад двух видов: молочный и горький. Весь шоколад хранится в коробках. Молочного шоколада на складе имеется 7 коробок, а горького 4. Известно, что горького шоколада было на одну плитку больше. Сколько плиток шоколада находятся в коробках каждого вида?

Решение. Пусть х – количество плиток молочного шоколада в одной коробке,

у – количество плиток горького шоколада в одной коробке,

тогда по условию этой задачи можно составить уравнение:

Решим это уравнение, используя алгоритм Евклида.

Выразим 7=4∙1+3, => 3=7-4∙1.

Выразим 4=3∙1+1, => 1=4-3∙1=4-(7-4∙1)=4-7+4∙1=4∙2 -7∙1 =1.

Итак, получается х=1; у=2.

А это значит, что молочный шоколад лежит в коробке по 1 штуке, а горький по 2 штуки.

Разберем метод поиска частного решения и общей формулы решений.

Задача 5. В африканском племени Тумбе-Юмбе два аборигена Тумба и Юмба работают парикмахерами, причем Тумба всегда заплетает своим клиентам по 7 косичек, а Юмба по 4 косички. Сколько клиентов обслужили мастера по отдельности за смену, если известно, что вместе они заплели 53 косички?

Решение. Пусть х – количество клиентов Тумбы,

у – количество клиентов Юмбы,

тогда 7х+4у=53 (1).

Теперь чтобы найти частные решения уравнения (,), заменим данную нам сумму чисел на 1. Это заметно упростит поиск подходящих чисел. Получим:

Решим это уравнение методом подстановки.

4у=1-7х │:4;

Остатки при делении на 4: 1, 2, 3. Подставим вместо х эти числа:

Если х=1, то у=(1-7):4 – не подходит, т.к. решение не в целых числах.

Если х=2, то у=(1-7∙2):4 – не подходит, т.к. решение не в целых числах.

Если х=3, то у=(1-7∙3):4=-5 – подходит.

Затем умножим получившиеся значения на начальное значение суммы, которую мы заменяли на 1, т.е.

х=х 0 ∙53=3∙53=159;

у=у 0 ∙53=-5∙53=-265.

Мы нашли частное решение уравнения(1). Проверим его, подставив начальное уравнение:

7∙159+4∙(-265)=53; (3)

Ответ сошелся. Если бы, мы решали абстрактное уравнение, то можно было бы на этом остановиться. Однако мы решаем задачу, а поскольку Тумба не мог заплести отрицательное число косичек, нам необходимо продолжать решение. Теперь составим формулы для общего решения. Чтобы это сделать вычтем из начального уравнения(1) уравнение с подставленными значениями (3). Получим:

Вынесем общие множители за скобки:

7(х-159)+4(у+265)=0.

Перенесем одно из слагаемых из одной части уравнения в другую:

7(х-159)=-4(у+265).

Теперь стало видно, что чтобы уравнение решалось (х-159) должно делиться на -4, а (у+265) должно делиться на 7. Введем переменную n, которая будет отображать это наше наблюдение:

Перенесем слагаемые из одной части уравнения в другую:

Мы получили общее решение данного уравнения, теперь в него можно подставлять различные числа и получать соответствующие ответы.

Например, пусть n=39, тогда

А это значит, что Тумба заплел косички 3 клиентам, а Юмба 8 клиентам.

Решите задачи различными методами.

Задача 6: Вовочка купил ручки по 8 рублей и карандаши по 5 рублей. Причем за все карандаши он заплатил на 19 рублей больше, чем за все ручки. Сколько ручек и сколько карандашей купил Вовочка? (метод поиска общего решения, решение относительно одного не известного, использование алгоритма Евклида).

Задача 7. Куплены фломастеры по 7 рублей и карандаши по 4 рубля за штуку, всего на сумму 53 рубля. Сколько куплено фломастеров и карандашей?

Задача 8.(муниципальный тур ВОШ 2014-2015 г.) : на планете С в ходу два вида монет: по 16 тугриков и по 27 тугриков. Можно ли с их помощью купить товар, ценой в 1 тугрик?

Задача 9. Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои сказки, если в какие-то ночи она будет рассказывать по 3 сказки, а в какие-то по 5? За сколько ночей Шехерезада расскажет все свои сказки, если хочет сделать это как можно быстрее? Сколько ночей понадобится Шехерезаде, если ей утомительно рассказывать по пять сказок за ночь, поэтому таких ночей должно быть как можно меньше?

Задача10. (вспомним «Водолея») Как налить 3 литра воды, имея 9-литровую и 5-литровую емкости?

Задача 11. Вовочка отлично успевает по математике. В дневнике у него только пятерки и четверки, причем пятерок больше. Сумма всех Вовочкиных оценок по математике равна 47. Сколько Вовочка получил пятерок и сколько четверок?

Задача 12. Кощей Бессмертный устроил питомник по разведению Змеев Горынычей. В последнем выводке у него есть Змеи о 17-ти головах и о 19-ти головах. Всего этот выводок насчитывает 339 голов. Сколько 17-тиголовых и сколько 19-тиголовых Змеев вывелось у Кощея?

Ответы: Диофант прожил 84 года;

задача 2: 4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг;

задача 6: куплено 7 карандашей и 8 ручек, то есть (7,2) – частное решение и у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где nє Z – общее решение;

задача 7: (-53; 106) – частное решение, х=4n-53, у=-7n+106 – общие решения, при n=14, х=3, у=8, то есть куплено 3фломастера и 8 карандашей;

задача 8: например, заплатить 3 монеты по 27 тугриков и получить сдачу 5 монет по 16 тугриков;

задача 9: (2002; -1001) – частное решение, х=-5 n+2002, у=3n-1001 – общее решение, при n=350, у=49, х=252, то есть 252 ночи по 3 сказки и 49 ночей по 5 сказок - всего 301 ночь; самый быстрый вариант: 2 ночи по три сказки и 199 ночей по 5 сказок - всего 201 ночь; самый долгий вариант: 332 ночи по 3 сказки и 1 ночь 5 сказок - всего 333 ночи.

задача 10: например, 2 раза налить воду 9-тилитровой банкой и 3 раза вычерпать ее 5-тилитровой банкой;

задача 11: Вовочка получил 7 пятерок и 4 четверки;

задача 12: 11 Змеев о 17-ти головах и 8 Змеев о 19-ти головах.

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Восточно-Казахстанская область

Направление: математическое моделирование экономических и социальных процессов.

Секция: математика

Тема: Решение диофантовых уравнений первой и второй степени

Жумадилов Эльдар,

Буркутова Амина,

ГУ «Экономический лицей»

Руководитель:

Дранная Наталия Александровна

ГУ «Экономический лицей»

Консультант:

Заведующий кафедрой математики и методики преподавания математики Семипалатинского государственного педагогического института, кандидат физико- математических наук, доцент

Жолымбаев Оралтай Муратханович

Усть-Каменогорск

Введение……………………………………………………………...….3

Глава 1.О диофантовых уравнениях.......................................................4

Глава 2.Методы решения.........................................................................6

2.1.Алгоритм Евклида......................................................................6

2.2.Цепная дробь...............................................................................8

2.3.Метод разложения на множители.............................................9

2.4.ИСпользование четности...........................................................10

2.5.Другие методы решения диофантовых уравнений.................10

Заключение...............................................................................................12

Список литературы..................................................................................13

Приложение.............................................................................................14

Введение

«Достопочтеннейший Дионисий, зная, что ты ревностно хочешь научиться решению задач, касающихся чисел, я попытался изложить природу их и могуще­ство, начиная с тех оснований, на которых покоится эта наука.

Может быть, этот предмет покажется тебе затруднительным, поскольку ты еще с ним незнаком, а начинающие не склонны надеяться на успех. Но он станет тебе удобопонятным благодаря твоему усердию и моим пояснениям, ибо страстная любовь к науке помогает быстро воспринять учение»

Таким посвящением открывается «Арифметика» Диофанта Александрий­ского.

Диофант представляет одну из занимательных загадок в истории математики. Мы не знаем, кем был Диофант, точные года его жизни, нам не известны его предшественники, которые работали бы в той же области, что и он.

На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки, Поля Таннри, и это, веро­ятно, середина 3 в.н.э.

Наиболее интересным представляется творчество Диофанта. До нас дошло 7 книг из 13, которые были объединены в “Арифметику”.

В этой книге Диофант (3 век) суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных алгебраических уравнений в целых или рацио­нальных числах. С тех пор эти уравнения стали называться диофантовыми.

Вот примеры таких уравнений: х 2 +у 2 =z 2 , х 2 = у 3 +5у + 7.

Интерес к диофантовым уравнениям связан, видимо, с самой природой чело­века – сохранившиеся документы обнаруживают его следы в глубине тысячеле­тий. Еще в Древнем Вавилоне занимались поисками пифагоровых троек – цело­численных решений уравнения

х 2 +у 2 =z 2 .

Диофантовы уравнения позволяют решать алгебраические задачи в целых числах. «Арифметика» Диофанта легла в основу теории чисел нового времени.

Цель данного исследования: найти различные методы решения неопределенных уравнений.

Задачи исследования: научиться решать неопределенные уравнения первой и второй степени с помощью алгоритма Евклида, с помощью цепных дробей или разложением уравнения на множители

Глава 1. О диофантовых уравнениях.

Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неиз­вестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями.

К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвест­ные значения величин могут быть только целыми числами.

Рассмотрим одну задачу: За покупку нужно уплатить 1700 р. У покупателя имеются купюры только по 200 и 500 р. Какими способами он может распла­титься? Для ответа на этот вопрос достаточно решить уравнение 2х +5у = 17 с двумя неизвестными х и у. Такие уравнения имеют бесконечное множество реше­ний. В частности, полученному уравнению отвечает любая пара чисел вида
. Для нашей практической задачи годятся только целые неотрицатель­ные значения х и у (рвать купюры на части не стоит). Поэтому приходим к поста­новке задачи: найти все целые неотрицательные решения уравнения 2х +5у = 17. Ответ содержит уже не бесконечно много, а всего лишь две пары чисел (1;3) и (6; 1).

Таким образом, особенности диофантовых задач заключаются в том, что: 1) они сводятся к уравнениям или систе­мам уравнений с целыми коэффициентами; 2) решения требуется найти только целые, часто натуральные.

Перед тем как рассмотреть методы решения неопределенных уравнений представим некоторые определения и утверждения, необходимые для дальнейшего изложения.

Делимость

Определение Пусть a,b  Z , b ≠ 0. Числа q  Z и r  {0,1,...,|b|-1} называются соответственно неполным частным и остатком от деления a на b, если выполнено равенство

При этом, если r = 0, то говорят, что a делится на b, или что b является делите­лем a (обозначение a b или b| a).

Диофантовы уравнения можно записать в виде

P(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0,

где P(x 1 , ..., x n) - многочлен с целыми коэффициентами.

При исследовании диофантовых уравнений обычно ставятся следующие во­просы:

имеет ли уравнение целочисленные решения;

конечно или бесконечно множество его целочисленных решений;

решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочислен­ные решения;

решить уравнение на множестве целых положительных чисел;

решить уравнение на множестве рациональных чисел.

Отметим, что проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений с одним неизвестным, для уравнений первой степени и для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными достаточно трудной является даже за­дача существования целочисленных решений. Например, не известно, имеет ли уравнение

x 3 + y 3 + z 3 = 30

хотя бы одно целочисленное решение. Более того, доказано, что в принципе не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения.

Глава 2. Методы решения.

2.1 Алгоритм Евклида.

Можно найти наибольший общий делитель натуральных чисел а и b, не раскладывая эти числа на простые множители, а применяя процесс деления с ос­татком. Для этого надо разделить большее из этих чисел на меньшее, потом меньшее из чисел на остаток при первом делении, затем остаток при первом деле­нии на остаток при втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не произойдет деление без остатка (т.к. остатки убывают, то это на каком-то шаге случится). Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД (а, b).

Чтобы доказать это утверждение, представим описанный процесс в виде следующей цепочки равенств: если а>b, то

Здесь r 1 , …, r n – положительные остатки, убывающие с возрастанием но­мера. Из первого равенства следует, что общий делитель чисел а и b делит r 1 и общий делитель b и r 1 делит а, поэтому НОД (а, b) = НОД (b, r 1). Переходя к сле­дующим равенствам системы, получаем:

НОД(а, b) = НОД (b, r 1) = НОД (r 1, r 2) = …

…= НОД (r n -1 , r n) = НОД (r n , 0) = r n .

Таким образом, решая диофантовы уравнения первой степени ax + by = с, можно применять следующие теоремы:

Теорема1.. Если НОД (a, b) = 1, то уравнение ax + by = 1 имеет, по меньшей мере, одну пару (x, y) целого решения.

Теорема 2. Если НОД (a, b) = d > 1, и число с не делится на d, то уравнение ах + by = с не имеет целого решения.

Доказательство. Предположим, что уравнение ах + by = с имеет целое реше­ние (х 0 , y 0). Так как, аd, bd, то получим, что с = (ах + by)d. Это противоречит условиям теоремы и тем самым теорема доказана.

Теорема 3. Если НОД (a, b) = 1,то все целые решения уравнения ах + by = с опре­деляются формулой:

х = х 0 с + bt

Здесь (х 0 , y 0) – целое решение уравнения ах + by = 1, а t – произвольное целое число.

Пример 1. Решить в целых числах уравнение 54х + 37у = 1.

По алгоритму Евклида а = 54, b = 37. Подставляем данные под алгоритм и получаем:

54=371+17, остаток от деления 17 = 54-371

37 = 172+3 , 3 = 37-172

17 = 35+2 , 2 = 17- 35

3 = 21+1 , 1 = 3 - 21

После нахождения единицы выражаем через неё значения а и b:

1 = 3 – (17-35);

1 = 17 - (37- 172) 4;

1 = 17 - 374+178;

1 = 179 – 374;

1 = (54- 371) 9 - 374;

1 = 549 - 379 - 374;

Следовательно, х 0 = 9, у 0 = -13. Значит, данное уравнение имеет следующее решение
.

Пример 2. Требуется найти целое решение уравнения 15x + 37y = 1.

1-й метод. Воспользуемся разложением единицы:

1 = 15*5 + 37*(-2).Ответ: x = 5, y = -2.

2-й метод. Применяя алгоритм Евклида, имеем: 37 = 15*2 + 7, 15 = 2*7 + 1. Отсюда 1 = 15 – 2*7 = 15 – 2(37 – 15*2) = 15*5 + (-2)*37. Тогда x о = 5, y о = - 2. Общее решение уравнения есть система .

Пример 3 . В уравнении 16x + 34y = 7, НОД (16, 34) = 2 и 7 не делится на 2,то нет целых решений.

2.2 Цепная дробь

Одним из применений алгоритма Евклида является представление дроби в виде

Где q 1 – целое число, а q 2 , … ,q n – натуральные числа. Такое выражение на­зывается цепной (конечной непрерывной) дробью.

Уравнение:

с взаимно простыми коэффициентами a и b имеет решение

,
,

где
- предпоследняя подходящая дробь к цепной дроби, в которую раскладывается дробь .

Доказательство:

Если для заданной цепной дроби с последовательными частными q 1 , q 2 ,…,q n несократимые дроби

, , …,

являются результатами свертывания подходящих дробей
,
, и т.д. , порядка 1, 2, …, n соответственно,то

,
, …, n.

При k = n получаем:

,

Где - последняя подходящая дробь к цепной дроби, в которую раскладывается дробь . Так как дроби и несократимы, то , и

.

Умножая обе части последнего равенства на (-1) n , имеем

То есть пара чисел , , где n-порядок цепной дроби, является решением уравнения .

Пример. Для перевозки большого количества контейнеров по 170 кг и по 190 кг выделены трехтонные машины. Можно ли ими загружать машины полно­стью?

Решение:

Пусть х и у количество контейнеров по 170 и 190 кг соответственно, тогда имеем уравнение

170х+190у=3000

После сокращения на 10 уравнение выглядит так,

Для нахождения частного решения воспользуемся разложением дроби в цепную дробь

Свернув предпоследнюю подходящую к ней дробь в обыкновенную

Частное решение данного уравнения имеет вид

х 0 = (-1) 4 300*9=2700, у 0 =(-1) 5 300*8=-2400,

а общее задается формулой

х=2700-19k, y= -2400+17k.

откуда получаем условие на параметр k

Т.е. k=142, x=2, y=14. .

2.3 Метод разложения на множители

Данный метод и все последующие применяются к решению диофантовых уравнений второй степени.

Задача 1.

Решение. Запишем уравнение в виде

(x - 1)(y - 1) = 1.

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в том случае, когда оба они равны 1. Т. е. исходное уравнение равносильно совокупности

с решениями (0,0) и (2,2).

2.4 Использование четности

Задача 2. Решить в простых числах уравнение

x 2 - 2y 2 = 1.

Решение. Рассмотрим два случая в зависимости от четности переменной x.

a) Пусть x - нечетное число. Подстановка x = 2t + 1 приводит исходное уравне­ние к виду

(2t + 1) 2 - 2y 2 = 1,

2y 2 = 4t(t + 1).

Следовательно, 2 | y 2 . Так как y - простое число, то y = 2. Отсюда

b) Пусть x - четное число. Так как x - простое число, то x = 2. Следовательно, т. е. уравнение неразрешимо в простых числах.

Следовательно, уравнение имеет в классе простых чисел единственное реше­ние (3;2).

2.5 Другие методы решения диофантовых уравнений

Задача 3. Доказать, что уравнение

x 2 - 2y 2 = 1

имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Решение. Нетрудно заметить, что (3,2) - одно из решений исходного уравне­ния. С другой стороны из тождества

(x 2 + 2y 2) 2 - 2(2xy) 2 = (x 2 - 2y 2) 2

следует, что если (x, y) - решение данного уравнения, то пара (x 2 + 2y 2 , 2xy) также явля­ется его решением. Используя этот факт, рекуррентно определим бесконеч­ную последовательность (x n , y n) различных решений исходного уравнения:

(x 1 , y 1) = (3,2) и x n +1 = x n 2 + 2y n 2 , y n +1 = 2x n y n , n  N * .

Задача 4. Доказать, что уравнение

x(x + 1) = 4y(y + 1)

неразрешимо в целых положительных числах.

Решение. Нетрудно заметить, что исходное уравнение равносильно уравнению

x 2 + x + 1 = (2y + 1) 2 .

Следовательно, x 2

Задача 5. Решить в целых числах уравнение

x + y = x 2 - xy + y 2 .

Решение. Положим t = x + y. Так как

то должно выполняться неравенство откуда t  .

Заключение:

Современное обозначение непрерывных дробей предложил выдающийся учёный Христиан Гюйгенс (1629-1695).

К цепным дробям Гюйгенс обратился при построении планетария в Париже. Он хотел получить наилучшее приближение для отношения периодов обращения планет. Эти отношения и отношения чисел зубцов соответствующих связанных между собой шестерён планетария должны были совпадать. Но числа зубцов шестерен по техническим причинам не могут быть очень большими. Необходимо было так их подобрать, чтобы полученные отношения как можно меньше отличались от истинных. Гюйгенс обратился к цепным дробям и с их помощью нашел решение стоящей перед ним задачи.

В заключении отметим преимущества и недостатки цепных дробей по сравнению, например, с десятичными. Удобство заключается в том, что их свойства не связаны ни с какой системой счисления. По этой причине цепные дроби эффективно используются в теоретических исследованиях. Но широкого практического применения они не получили, так как для них нет удобных правил выполнения арифметических действий, которые имеются для десятичных дробей.

Данная тема актуальна тем, что диофантовы уравнения используются так же в инженерии, биологии и т.д. Например, при подсчете хромосом первого поколе­ния.

Для начала выберем пять случайных решений: 1=

Хромосома

1-е поколение хромосом и их содержимое.

Главное свойство диофантовых уравнений в том, что мы не перебираем все варианты решений подряд, а приближаемся от случайно выбранных решений к лучшим.

Список литературы

Журнал «Квант» 1970г. №7

«Энциклопедия юного математика» 520 с.

Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики» (10-11 класс).- Москва: «Просвещение» 1996-320 с.

http:// festival .1 september . ru / articles /417558/

Шыныбеков Н.А. «Алгебра 8» Алматы «Атамұра» 2004-272 с.

И.Н.Сергеев «Примени математику» 1989г.- 240 с.

1. http:// ilib . mirror 1. mccme . ru / djvu / serp - int _ eq . htm

   Кожегельдинов С.Ш. «Некоторые элементы теории диофантовых уравнений в упражнениях и задачах»

   Пичугин Л.Ф. «За страницами учебника алгебры», М., 1990г., 224с.

   Глейзер Г.И. «История математики в школе 10-11», 351с

   Гусев В.А., Орлов А.И. и др. «Внеклассная работа по математике в 6-8 классах», М., 1984г., 286 с.

   Петраков И.А. «Математика для любознательных», М., 2000г. 256с.

   http://bse.sci-lib.com/article028554.html

   http://bars-minsk.narod.ru/teachers/diofant.html

Приложение

Решить в целых числах уравнение 127x - 52y + 1 = 0. Ответ: x = 9 + 52t, y = 22 + 127t, t  Z .

Решить в целых числах уравнение 107х + 84у = 1.

Решить в целых числах уравнение 3x 2 + 4xy - 7y 2 = 13. Указание. Применить разложение на множители.
Ответ: (2,1), (-2,-1).

Доказать, что уравнение y 2 = 5x 2 + 6 не имеет целочисленных решений.
Указание. Рассмотреть уравнение по модулю 4.

Доказать, что уравнение x 2 - 3y 2 = 1 имеет бесконечно много решений в целых числах.
Указание. Использовать реккурентное соотношение между решениями.

Решить уравнение: 17х +13у=5.

Докажите, что любую денежную сумму, выраженную целым числом рублей, большим 7, можно уплатить без сдачи, имея лишь трёхрублёвые и пятирублёвые купюры в достаточном количестве.

Требуется разлить 20,5 литра сока в банки по 0,7 литра и 0,9 литра так, чтобы все банки оказались полными. Сколько каких банок надо заготовить? Какое наименьшее количество банок при этом может понадобиться?

Причем, с тремя неизвестными, а также решают...

1. Генетические алгоритмы и их практическое применение

   Задача >> Информатика

   Strategies). Ближе ко второму полюсу - системы, которые... идеях адаптации и эволюции. Степень мутации в данном случае... математика Диофанта.26 Рассмотрим диофантово уравнение : a+2b+3c+4d ... Коэффициенты выживаемости первого поколения хромосом (набора решений ) Так...

2. Выдающаяся роль Леонарда Эйлера в развитии алгебры геометрии и теории чисел

   Дипломная работа >> Исторические личности

   ... решении уравнений . Он указывал, что решение уравнений второй , третьей и четвертой степеней приводится к уравнениям соответственно первой , второй и третьей степени ; эти последние уравнения ... целочисленном решении систем диофантовых уравнений высших степеней и...

3. Моделирование парожидкостного равновесия в четырехкомпонентной смеси ацетонтолуолн-бутанолдиметилформамид

   Дипломная работа >> Химия

   Являются составляющими единой системы диофантовых уравнений и взаимно дополняют... Эффективность принимаемых решений в значительной степени определяется особенностями... молекулу первого компонента, другой – молекулу второго компонента. Согласно уравнению ...

Сегодня предлагаю поразмышлять над некоторой интересной математической задачкой.
А именно, давайте-ка для разминки решим следующее линейной уравнение:

«Чего сложного?» - спросите вы. Действительно, лишь одно уравнение и целых четыре неизвестных. Следовательно, три переменных есть свободные, а последняя зависит от оных. Так давайте выразим скорее! Например, через переменную , тогда множество решений следующее:

где - множество любых действительных чисел.

Что же, решение действительно оказалось слишком тривиальным. Тогда будем нашу задачу усложнять и делать её более интересной.

Вспомним про линейные уравнения с целыми коэффициентами и целыми корнями , которые, собственно, являются разновидностью диофантовых уравнений . Конкретно - наложим на наше уравнение соответствующие ограничение на целочисленность коэффициентов и корней. Коэффициенты при неизвестных у нас и так целые (), а вот сами неизвестные необходимо ограничить следующим:

где - множество целых чисел.

Теперь решение, полученное в начале статьи, «не проканает», так как мы рискуем получить как рациональное (дробное) число. Так как же решить это уравнение исключительно в целых числах?

Заинтересовавшихся решением данной задачи прошу под кат.

А мы с вами продолжаем. Попробуем произвести некоторые элементарные преобразования искомого уравнения:

Задача выглядит по-прежнему непонятной, в таких случаях математики обычно производят какую-нибудь замену. Давайте и мы с вами её бахнем:

Опа, мы с вами достигли интересного результата! Коэффициент при у нас сейчас равен единице , а это значит, что мы с вами можем выразить эту неизвестную через остальные неизвестные в этом уравнении без всяких делений (чем грешили в самом начале статьи). Сделаем это:

Обращу внимание, что это говорит нам о том, что какие бы не были (в рамках диофантовых уравнений), всё равно останется целым числом, и это прекрасно.

Вспоминая, что справедливо говорить, что . А подставив заместо полученный выше результат получим:

Тут мы также видим, что что какие бы не были , всё равно останется целым числом, и это по-прежнему прекрасно.

Тогда в голову приходит гениальная идея: так давайте же объявим как свободные переменные, а будем выражать через них! На самом деле, мы уже это сделали. Осталось только записать ответ в систему решений:

Теперь можно лицезреть, что в системе решений нигде нет деления , а это значит, что всегда решения будут целочисленными. Попробуем найти частное решение исходного уравнения, положив, к примеру, что :

Подставим в исходное уравнение:

Тождественно, круто! Давайте попробуем ещё разок на другом примере?

Тут мы видим отрицательный коэффициент, он может доставить нам изрядных проблем, так что давайте от греха избавимся от него заменой , тогда уравнение будет следующим:

Как мы помним, наша задача сделать такие преобразования, чтобы в нашем уравнении оказалась неизвестная с единичным коэффициентом при ней (чтобы затем выразить её через остальные без любого деления). Для этого мы должны снова что-нибудь взять «за скобку», самое быстрое - это брать коэффициенты из уравнения которые самые близкие к единице. Однако нужно понимать, что за скобку можно взять только лишь то число, которое обязательно является каким-либо коэффициентом уравнения (ни больше, ни меньше), иначе наткнемся на тавтологию/противоречие или дроби (иными словами, нельзя чтобы свободные переменные появились где-то кроме как в последней замене). Итак:

Введем замену , тогда получим:

Вновь возьмем за скобку и наконец получим в уравнении неизвестную с единичным коэффициентом:

Введем замену , тогда:

Выразим отсюда нашу одинокую неизвестную :

Из этого следует, что какие бы мы не взяли, все равно останется целым числом. Тогда найдем из соотношения :

Аналогичным образом найдем из соотношения :

На этом наша система решений созрела - мы выразили абсолютно все неизвестные, не прибегая к делению, тем самым показывая, что решение точно будет целочисленным. Также не забываем, что , и нам надо ввести обратную замену. Тогда окончательная система решений следующая:

Таким образом, осталось ответить на вопрос - а любое ли подобное уравнение можно так решить? Ответ: нет, если уравнение в принципе нерешаемо. Такое возникает в тех случаях, если свободный член не делится нацело на НОД всех коэффициентов при неизвестных. Иными словами, имея уравнение:

Для его решения в целых числах достаточно выполнение следующего условия:

(где - наибольший общий делитель).

Доказательство

Доказательство в рамках этой статьи не рассматривается, так как это повод для отдельной статьи. Увидеть его вы можете, например, в чудесной книге В. Серпинского «О решении уравнений в целых числах» в §2.

Резюмируя вышесказанное, выпишем алгоритм действий для решения линейных диофантовых уравнений с любым числом неизвестных:

В заключение стоит сказать, что также можно добавить ограничения на каждый член уравнения в виде неравенства на оного (тогда к системе решений добавляется система неравенств, в соответствии с которой нужно будет скорректировать ответ), а также добавить ещё чего-нибудь интересное. Ещё не стоит забывать и про то, что алгоритм решения является строгим и поддается записи в виде программы для ЭВМ.

С вами был Петр,
спасибо за внимание.